tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 高一数学 >>

2.1.2指数函数及其性质


§2.1.2指数函数及其性质(1)
芜湖市徽文中学 王坤

问题 引入
问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个, 2个分裂成4个,??以此类推,1个这样的细 胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数关 系式是什么?

研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次

……

y ? 2x (x ? N * )

细胞 总数

2个 21

4个 22

8个 23

16个 24

2

x

问题 引入
问题2、《庄子· 天下篇》中写道:“一尺 之棰,日取其半,万世不竭。”请你写出 截取x次后,木棰剩余量y关于x的函数关 系式?

研究
截取 次数
1次

2次

3次

4次

x次

1 x * y ? ( ) (x ? N ) 2

木棰 剩余

1 尺 2

1 尺 4

1 尺 8

1 尺 16

1 x ( ) 尺 2

提炼

1 x y?( ) y?2 2 设问1:以上两个函数有何共同特征 ?
x

我们把这种自变 (2)底数是一个正的常数; 量在指数位置上而底 数是一个大于0且不等 (3) 自变量x在指数位置. 于1的常量的函数叫做 指数函数.

(1)均为幂的形式;

定义 :

一般地,函数y ? a x (a ? 0, a ? 1)叫做指数 函数,其中x是自变量,函数的定义域是 R。

小结 指数函数的特征:

【提示】依据指数函数y=ax(a>0且a≠1)解析
式的结构特征: ①底数:大于零且不等于1的常数; ②指数:自变量x; ③系数:1; ④只有一项ax .

①底数:大于零且不等于1的常数;

练习
√ ×
x

②指数:自变量x; ③系数:1. ④只有一项ax

下列函数中,哪些是指数函数?
(1) y ? 2 x
(2) y ? x 2
(3) y ? ?2

(6) y ? 22 x
(7) y ? x x

√ × ×

×
x

(8) y ? 2 x ? 4
(9) y ? (2a ? 1) x
1 (a ? 且a ? 1) 2

(4) y ? ? ?2 ?

×

(5) y ? ? x





练习:

1.下列函数是指数函数的是
A. y=(-3)x



D



B. y=3x+1 C. y=-3x+1 D. y=3-x

2.函数 y = (完成预学案P35问题1 a2 - 3a + 3) ax 是指数函数,求 a的值.
解:由指数函数 的定义有

a2 - 3a + 3=1
a>0

a =1或a = 2

解得

a>0 a≠1

a≠1 ∴a=2

完成固学案P18题2

探究1:为什么要规定 (1)若 a ? 0 x 则当x > 0时, a
x

a ? 0且a ? 1
y?a
x

探讨:若不满足上述条件

会怎么样?

?0

当x≤0时, a 无意义. (2)若 a ? 0 则对于x的某些数值,可使 x 如 ( ?2) x ,这时对于 a 无意义.

x ? 1,x ? 2
(3)若

1 4

……等等,

在实数范围内函数值不存在.

a ? 1 则对于任何 x ? R x a ? 1 是一个常量,没有研究的必要性

探究2:函数 指数函数的解析式

是指数函数吗?

y?a

x

中,a 的系数是1.

x

有些函数貌似指数函数,实际上却不是.

如:y ? a x ? k (a ? 0且a ? 1, k ? Z )
有些函数看起来不像指数函数,实际上却是.

如:y ? a (a ? 0且a ? 1)

?x

1 x 1 1 因为它可以转化为:y ? ( ) ( ? 0且 ? 1) a a a

设问2:已知函数的解析式,怎么得到函

数的图象,一般用什么方法?
列表、描点、连线作图 在同一直角坐标系画出 y ? 2 的图象。 并观察:两个函数的图象有什么关系?
x

?1? y , ?? ? ?2?

x

y

1 x y?( ) 2

y=2x

4 3 2 1

-3

-2

-1 -1

0

1

2

3

x

观察:两个函数的图象有什么关系? 两个函数图像关于y轴对称

归纳

指数函数在底数 0 ? a ? 1 及 情况下的图象和性质:

a ? 1 这两种 a ?1
y y=ax
(a>1)

0 ? a ?1
y

y=ax
(0<a<1)

图 象
0

(0,1)

y=1 y=1

(0,1)

x

0

x

定义域:

R

(0,+∞) 性 值域: 质 (1)过定点(0,1),即x=0时,y=1

(2)在R上是减函数

(3)在R上是增函数

1.指数函数的图象和性质
a>1
y y=1
(0,1)
0

例.求下列函数的定义域、值域:

0<a<1
y=ax y=ax
y=1

y
(0,1)

(1) y ? 3

1 x

(2) y ? (0.25)

2 x ?1

图 象

解 (1) 函数的定义域为{x|x ? 0},
x

x

0

1.定义域为R,值域为(0,+?).

性 2.过定点(0,1)即x=0时,y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数

值域为{y |y>0 ,且y?1}. 1 (2) 由2 x ? 1 ? 0, 得x ? 2 1 函数的定义域为 [ ,?? )

2

? 2 x ? 1 ? 0,
? 0 ? 0.25
2 x ?1

质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.

4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.

?1

?函数的值域为(0,1].

5.既不是奇函数也不是偶函数.

完成课本P58题2、P59题5

2.指数函数的图象和性质
a>1
y y=1
(0,1)
0

0<a<1
y=ax y=ax
y=1

练习: 1 y=ax(a>0且 a≠1)图象必过
(0,1) 点_______ 2 y=ax-2(a>0且 a≠1)图象必 (2,1) 过点_______

y
(0,1)

图 象

x

0

x

3 y=ax+3-1(a>0且 a≠1)图象
(-3,0) 必过点________

1.定义域为R,值域为(0,+?).

性 2.过定点(0,1)即x=0时,y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数

求定点,先令指数为0,再 计算x,y的值
4 某种细菌在培养过程中,每 20分钟分裂一次(一个分裂成 两个),经过3小时这种细菌 完成预学案P35问题2 512 由一个分裂成______个
x * 完成固学案P18题3 y ? 2 (x ? N )

质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.

4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.

5.既不是奇函数也不是偶函数.

例6

f ? x ? ? a x ? a ? 0, a ? 1? 已知指数函数 的图像经过点 ? 3, ? ? , 求 f ? 0 ?、f ?1?、f ? ?3? 的值.

先看课本P56~57的解答过程,再 完成预学案P36问题1 待定系数法求a

2.指数函数的图象和性质
a>1 y y=1
(0,1)
0

例7.比较下列各题中两个值的大小: (1)1.52.5 ,1.5 3.2 ; (2)0.5 – 1.2 ,0.5 – 1.5 (3)1.50.3 ,0.8 1.2 解: (1)指数函数y=1.5x 在R上是增 (1)考察指数函数y=1.5x . 函数. 由于底数1.5>1 ,所以指数函数 y=1.5x 在R上是增函数. 3.2 ∵2.5<3.2 ∴1.52.5<1.5 (2)指数函数y=0.5x 在R上是减 函数. ∵-1.2>-1.5 ∴0.5-1.2<0.5-1.5 (3)由指数函数的性质知 利用函数的单调性比较大小 1.50.3>1.5 0=1 , 0.81.2<0.8 0=1 , 完成课本P59题7(1)(2) ∴1.5 0.3>0.8 1.2 . 搭桥法,与中间变量0,±1比较大小

0<a<1
y=ax y=ax
y=1

y
(0,1)

图 象

x

0

x

1.定义域为R,值域为(0,+?).

性 2.过定点(0,1)即x=0时,y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数

质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.

4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.

5.既不是奇函数也不是偶函数.

方法总结: 1、对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性, 必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函 数值; 2、对不同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比 较.

b<a<1

c>1

1.已知 a= 0.80.7 , b= 0.80.9 ,c= 1.20.8 , 按大小顺序排列 a,b,c

即b<a<1<c 答案:c>a>b

对不同底数幂 的大小的比较 可以与中间值 进行比较

2.比较a3 与 a4 的大小
答案:分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论: 当 a>1 时 a3 < a4 当 0<a<1 时 a3 > a4 对同底数幂大小 的比较用的是指 数函数的单调性

a>b>c
如图:试确定a, b, c的大小关系:


y?a y ?b y?c

x x x

y a







b
c 1 0 1


对同指数幂比较 底数的大小可设 指数为1

x

b>a>c
(变式)如图:试确定a, b, c的大小关系:
① ② ③

y?a y ?b y?c

x x x

y b a c 1

② ①



完成预学案P38问题1

0

1

x

比较a、b、c、d的大小.

0<c<d<1<a<b.

当指数函数底数大于1时,图象上升

,且底数越大时图象向上越靠近于y轴;
当底数大于0小于1时,图象下降,底数 越小图象向右越靠近于x轴.

★指数函数图象及性质

(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象
的相对位置与底数大小的关系如图所示, 则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧,图象从上到下相应的底数 由大变小;(指数函数在第一象限底大图高)

在y轴左侧,图象从下到上相应的底数
由大变小; 既无论在y轴的左侧还是右侧,底数按 逆时针方向变大.

变式 比较下列各题中两个值的大小:
(1)4 ,0.25
?4

5

?4

(2)2.13.4 ,3.13.4

1 ?4 解:) 0.25 ? ( ) ? 44 (1 4 x ? 指数函数y ? 4 在R上是增函数 5 4 5 ?4 ? 4 ? 4 即4 ? 0.25 又5 ? 4 21 2.13.4 21 3.4 ?0 ? ?1 (2) 3.4 ? ( ) 31 3.1 31 21 x ? 指数函数y ? ( ) 在R上是减函数 31 21 3.4 ? 2.13.4 ? 3.13.4 又3.4 ? 0 ? 0 ? ( ) ? 1 31

对同指数幂 不同底数的 大小比较可 用作商法.

2.指数函数的图象和性质
a>1
y y=1
(0,1)
0

练习:
x 1.当a ? (1,+?) 时, 函数y ? a

0<a<1
y=ax y=ax
y=1

y
(0,1)

图 象

( a ? 0且a ? 1)为增函数.这时, 当x ? (0, +?)时, y ? 1.
x

x

0

1.定义域为R,值域为(0,+?).

性 2.过定点(0,1)即x=0时,y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数

1 函数, 则a的取值范围是 (? ,.0) 2 1 x ?1 完成预学案P35问题3 [1, +?) 3.函数y ? ( ) 的定义域是

2.若函数f ( x ) ? (2a ? 1) x 是减

P38检测题2 值域是(0,1 .
] 4.比较下列各题中两个值的大小:
(1) ( 3)
3 1 5 (2) ( ) 4 ? 1 3

2

质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.

4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.

>,

( 3) 4 5 ( )6 3

?

1 2

;

5.既不是奇函数也不是偶函数.

<,

.

完成预学案P36检测题1
选D y

1
0 x

完成预学案P36拓展问题1
选C y

1
0 x

完成预学案P36检测题2
解析:分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论: 当 a>1 时 a +1=3 a=2 当 0<a<1 时 1+a=3 a=2 答案:2

完成预学案P36问题2
解析:分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论: a 2 当 a>1 时 a ? a ? 2 3 a ? 或 a=0(舍去) a 2 2 当 0<a<1 时 a ? a ? 2 1 a ? 或 a=0(舍去)
2

3 1 答案: ? 或a ? a 2 2

完成课本P60 B组题4
解:由已知(1)当y1 ? y2时 a 3 x ?1 ? a ?2 x 1 ? 3x ? 1 ? ?2 x ? x ? ? 52 x 3 x ?1 ? ?a (2)当y1 ? y2时 a

1 当0 ? a ? 1时 3x ? 1 ? ?2 x ? x ? ? 1 5 当a ? 1时 3x ? 1 ? ?2 x ? x ? ? 5 1 综上所述,当0 ? a ? 1时, x的取值范围是{x | x ? ? } 5 1 当a ? 1时, x的取值范围是{x | x ? ? } 5

完成预学案P38拓展问题1
解:由已知,当0 ? a ? 1时 x ? 5x ? x ? 7
2

即x ? 6 x ? 7 ? 0 解得 ? 1 ? x ? 7
2

当a ? 1时 x 2 ? 5x ? x ? 7
即x ? 6 x ? 7 ? 0 解得x ? 7或x ? ?1
2

综上所述,当0 ? a ? 1时, x的取值范围是 x | ?1 ? x ? 7} {

当a ? 1时, x的取值范围是 x | x ? 7或x ? ?1} {

高一数学测试(5)题14

1 2 ?2 已知x ? ? 5, 求(1) x ? x ; (2) x ? x 的值. x 1 解: ? ? 5即x ? x ?1 ? 5 x x ?1 2 2 ?2 (1) ? ( x ? x ) ? x ? x ? 2 ? 25

1 2

?

1 2

? x ? x ? 27
2

?2

(2) ? ( x ? x ) ? x ? x ? 2 即x ? x ?1 ? 2 ? 0
由( x ? x ?1 ) 2 ? ( x ? x ?1 ) 2 ? 4 ? 29 得x ? x ?1 ? 29
1 2 ? 1 2

1 2

1 ? 2 2

?1

?x ? x

?

29 ? 2

高一数学测试(5)题15
已知函数f ( x) ? x 2 ? ax ? 3的最小值是2.(1)求a的值.( a ? 0); (2)求证:f ( x)在(??,0)上是减函数.

a 2 a 2 (1)解:f ( x) ? x ? ax ? 3 ? ( x ? ) ? 3 ? ( ) 2 2 a 易知其图象顶点的横坐标为 ? 2 a a 2 所以函数的最小值为 f (? ) ? 3 ? ( ) ? 2 2 2 2 ?a ? 4 又a ? 0 ?a ? ?2
2

高一数学测试(5)题15
已知函数f ( x) ? x 2 ? ax ? 3的最小值是2.(1)求a的值.( a ? 0); (2)求证:f ( x)在(??,0)上是减函数.

? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 (2)证明: a ? ?2 ? 任取x1 , x2 ? (??,0), 且x1 ? x2 , 则
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x12 ? 2 x1 ? 3) ? ( x2 ? 2 x2 ? 3) 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2)

? x1 ? x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 2 ? 0
? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在 ?? ?,0? 上是减函数;
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即f ( x1 ) ? f ( x2 )

完成预学案P38问题2
1 x 2 ?2 x 讨论函数f ( x) ? ( ) 的单调性. 3 1 x 2 ?2 x 解:函数f ( x) ? ( ) 的定义域为R. 3 任取x1 , x2 ? (??,??)且x1 ? x2 , 则 1 x12 ?2 x1 1 x2 2 ?2 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ) ?( ) 3 3
要利用复合函数的单调性来求解.
什么是复合函数?

复合函数:
如果y是u的函数,而u又是x的函数,即 y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)] 叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量. 1 x 2 ?2 x 1 u u ? x2 ? 2x 如:函数f ( x) ? ( ) 由y ? ( ) 和 3 3 复合而成. 1 u 2 我们把y ? ( ) 叫外函数; ? x ? 2 x叫内函数。 u 3

注意:若y=f(u)定义域为A,u=g(x)值域 为B,则必须满足B ? A

复合函数的单调性
内u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
外y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数

规律:

复 增函数 增函数 y=f[g(x)]

当内外函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;
当内外函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数

“同增异减”“异”“同” 指内外函数单调性的 异同

完成预学案P38问题2
1 x 2 ?2 x 1 u u ? x2 ? 2x 解:函数f ( x) ? ( ) 由y ? ( ) 和 3 3 复合而成. 1 u u ? x 2 ? 2 x 的定义域均为R y?( ) 和 3 ? u( x)在(??,1]上是减函数, 在[1,??)是增函数 1 u 又y ? ( ) 在R上是减函数. 3 ? f ( x)在(??,1]上是增函数, 在[1,??)是减函数

完成固学案P18题5, P19题6、7

当x ?[?1,1]时,求函数f ( x) ? 3x ? 2的值域. 解:函数f ( x) ? 3x ? 2是R上的增函数.

当x ?[?1,1]时,有f (?1) ? f ( x) ? f (1). 5 即 ? ? f ( x) ? 1. 3 5 x ?函数f ( x) ? 3 ? 2的值域为[? ,1]. 3

完成固学案 P19题4

完成固学案 P19题4
求函数y ? 2
1 x ?4

的定义域与值域.
1 x ?4

解:由函数y ? 2 ?函数y ? 2

得x ? 4 ? 0.? x ? 4

1 x ?4

的定义域为 x | x ? 4}. {

1 由x ? 4 ? 0得 ? 0. x?4

?y ? 2

1 x ?4

?1
1 x ?4

?函数y ? 2

的值域为 y | y ? 0, 且y ? 1}. {

1 x 2 ?3 x ? 2 例:求函数 f ( x) ? ( ) 的单调性. 2 3 1
解:设 u ? x 2 ? 3x ? 2 ? ( x ? ) 2 ?
2 4

, f (u ) ? ( 1 )u 则
2

f(u)和u(x)的定义域均为R

因为,u(x)在 增.

3? ? ? ? ?, ? 2? ?

上递减,在

?3 ? ,?? ? ?2 ? ?

上递

1 u 而 f (u ) ? ( ) 在R上是减函数, 21 2 f ( x) ? ( ) x ?3 x ? 2 在 ? ? ?, 3 ? 上是增函数 ? 所以, 2? ? ? 2

,



?3 ? ,?? ? ?2 ? ?

上是减函数.

完成预学案P36拓展问题1
1?x ?1?x 求函数 y= 4? +?2? +1 的值域. ? ? ? ? ? ? 1?x 【错解】 令 t= 2? ,则原函数可化为 y=t2 ? ? 1?2 3 3 1 3 ? +t+1= t+2? +4≥4,当 t=-2时,ymin=4,即 ? 3 函数的值域是[4,+∞). 【错因】
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

原函数的自变量 x 的取值范围是

1?x R,换元后 t= 2? >0,而不是 t∈R,错解中,把 ? ? t 的取值范围错当成了 R.

1?x 【正解】 令 t= 2? ,t∈(0,+∞),则原函 ? ? 1?2 3 数可化为 y=t2+t+1= t+2? +4. ? ? 1?2 3 因为函数 y= t+2? + 在(0,+∞)上是增函 ? 4 ? 1?2 3 数, 所以 y> 0+2? + =1, 即原函数的值域是(1, ? 4 ? +∞).
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

作业
1、完成课本P60B组题1

2、完成预学案P36检测题3

点滴收获:

本节课学习了那些知识?
? 指数函数的定义

一般地,函数y ? a (a ? 0, a ? 1)叫做指数
x

函数,其中x是自变量,函数的定义域是 R。

指数函数的图象及性质!

问题一: 图象分别在哪几个象限?

1x 观察右边图象,回答下列问题: ( 1 ) x y ? ( 3) y? 2

y=3x

y

y = 2x y=1 x

Ⅰ、Ⅱ 答四个图象都在第____象限。

问题二: 图象的上升、下降与底数a有联系吗?

0

a>1 0< a<1 答:当底数__ 时图象上升;当底数____时图象下降.
问题三: 图象中有哪些特殊的点?

(0,1) 答:四个图象都经过点____.

观察右边图象,回答下列问题:1 x y?( ) 2 问题四: 1 y ? ( ) x 图像是否具有 指数函数 2 对称性?

1x y?( ) 3

y=3x

y

y = 2x

答:

不关于y轴对称不关于 原点中心对称

问题五: y ? 3x 与 y ? ( 1 ) x 图象有 函数 3 什么关系 ? 答: 关于y轴对称。

0

y=1 x


赞助商链接
推荐相关:


2.1.2 指数函数及其性质

2.1.2 指数函数及其性质 1.指数函数的定义 一般地,函数 y=ax (a>0,且 a≠1)叫做指数函数. 理解指数函数的定义,需注意的几个问题: (1)因为 a>0,x ...


2.1.2指数函数及其性质

典型案例 2.1.2 指数函数及其性质 授课教师:朱雷 单位:凤台一中教材分析 本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上,进一步研究指数函 数,...


2.1.2指数函数及其性质教学设计与反思

学期讲的公开课,所以在教学设计上有多次修改,下面的教案是最初完成的) 、教学目标 1.知识与技能目标: 理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及其简单...


2-1-2-1 指数函数及其性质

2-1-2-1 指数函数及其性质_数学_高中教育_教育专区。一、选择题 1.下列各函数中,是指数函数的是( A.y=(-3)x C.y=3x-1 [答案] D 2.已知函数 y=(...


2.1.2指数函数及其性质

2.1.2 指数函数王世振 古蔺中学 教学目的: 1.理解指数函数的概念,并能正确作出其图象,掌握指数函数的性质. 2.培养学生实际应用函数的能力 教学重点:指数函数的...


2.1.2指数函数及其性质

2.1.2 指数函数及其性质一.知识清单: 1.指数函数的定义:一般地,函数 2.指数函数的图像与性质: a ?1 ( 出题人:张智力 )叫做指数函数。 0 ? a ?1 图像...


2.1.2 指数函数及其性质[2]

2.1.2 指数函数及其性质[2]_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2.1.2 指数函数及其性质[2]_数学_高中教育_教育专区。2.1.2 ...


数学_2.1.2指数函数及其性质复习课_l

数学_2.1.2指数函数及其性质复习课_l_小学作文_小学教育_教育专区。第 2 课时 一. 教学目标: 加深对函数的认识与理解 二. 教学过程: 1、复习指数函数的图象...


2.1.2《指数函数及其性质(1)》(导学案)

【难点】指数函数的性质 【使用方法与学法指导】 1、先精读一遍教材 P54—P58 内容,用红笔进行勾画;再针对预习案次阅读教材,并回答问题,时间不 超过 15 ...


2.1.2指数函数及其性质

2.1.2 指数函数及其性质 题型一 指数函数概念 1. 下列函数中,哪些是指数函数? (1) y ? ? ?6 ? (2) y ? 2 x x ?1 x x (3) y ? a (4) ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com