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2015年重庆一中高2016级高二下期半期考试 理科数学试题(手打版含答案)


秘密★启用前

2015 年重庆一中高 2016 级高二下期半期考试

数 学 试 题 卷(理科) 2015.5
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干

净后,再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.

第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的;各题答案必须答在答题卡上相应的位置. 1.五个不同的点最多可以连成线段( ) A.2 条 B.5 条 C.10 条 D.20 条

2.曲线的参数方程是 (其中 t 是参数) ,则曲线是( A.直线 B.射线 C. 线段 D. 抛物线 3.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径,MN 与 ⊙O 相切,切点为 A,∠MAB=35°,则下列各角中等 于 35°的是( ) A. ∠NAD B. ∠ACB C. ∠AOB D. ∠ABC 4. 通过随机询问 110 名性别不同的大学生 是否爱好某项运动,得到如右的 2×2 列联表: 由 K2=(a+b) (c+d) (a+c) (b+d), 算得 K2=
110×(40×30-20×20)2 60×50×60×50 ≈7.8 n(ad-bc)2



附表: 参照附表,得到的正确结论是( ) A. 在犯错误的概率不超过 0. 1%的前提下, P(K2≥k) 认为“爱好该项运动与性别有关” k B. 在犯错误的概率不超过 0. 1%的前提下, 认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

5. 设两个独立事件 A 和 B 同时不发生的概率是 ,A 发生 B 不发生与 A 不发生 B 发生的 概率相同,则事件 A 发生的概率为( )

A.

B.

C.

D. .

6.对于下列表格所示的五个散点,已知求得的线性回归直线方程为 则实数 m 的值为( ) A.8 B.8.2 C.8.4 D.8.5 7.(原创)已知随机变量ξ ?N(2,σ 2),记事件 “(ξ -2)(ξ 2-4ξ +3)<0” 为事件 A,则 P(A)=( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.不确定,和σ 的取值有关。 2016 8.设 a∈Z,且 0≤a<13,若 51 +a 能被 13 整除,则 a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12 9.将一枚骰子先后抛掷两次,所得向上点数依次记为 m 和 n,则函数 在[1,+∞)上为增函数的概率是( A. B. C. D. 10.(原创)执行某个程序,电脑会随机地按如下要求 给图中六个小圆涂色:①有五种给定的颜色供选用; ②每个小圆涂一种颜色,且图中被同一条线段相连的 两个小圆不能涂相同的颜色。若电脑完成每种涂色方 案的可能性是相同的,则执行一次程序后,图中刚好有 四种不同颜色的概率是( ) A. B. C. D. )

第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)各题答案必须填写在答题卡相应的

位置上. 11.已知随机变量ξ ?B(5,0.2),则 D(ξ )= . 12.根据历年气象统计资料, 某地 4 月 5 日那天吹东风的概率为 0.4, 下雨的概率为 0.35, 既吹东风又下雨的概率为 0.3,则当天在吹东风的条件下下雨的概率为 . 13.以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度 单位.已知直线 l 的极坐标方程为 2ρ cos3+1=0,曲线 N 的参数方程为 (t 为参数),则直线 l 被曲线 N 截得的弦长为________. 14.在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=2,BC=5,点 E、F 分 别在边 AB、CD 上,且 EF∥AD,若EB=4,则 EF 的长 为________. 15.用 8 个数字 的个数是 可以组成不同的四位数
AE 3 π x=1+3sin t, -3cos t

三、解答题 :(本大题6个小题,共75分)各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方 框内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程). 16.(本小题满分 13 分)袋中有 10 个大小形状完全相同的小球,其中 6 个红球,4 个白 球.每次从中任意摸出一个小球,连续摸三次。 (1)若采取不放回 抽样方式,求摸出的三球中至少有两个红球的概率; ... (2)若采取有放回 抽样方式,求摸出的三球中红球少于两个的概率。 ...

17.(本小题满分 13 分)现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》 ,若 甲应聘成功的概率为2,乙、丙应聘成功的概率均为2(0<t<2),且三个人是否应聘成功 是相互独立的. (1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率, 求 t 的值; (2)记应聘成功的人数为ξ ,若 E(ξ )=2, 求 t 的值.
1 t

18. (本小题满分 13 分)已知曲线 C1 的参数方程为

x=-t t (t 为参数),当

t=1 时,曲线 C1 上的点为 A,当 t=-1 时,曲线 C1 上的点为 B.以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为
ρ =4+5sin2θ .
6

(1)求曲线 C2 的直角坐标方程;

(2)设 M 是曲线 C2 上的动点,求|MA|2+|MB|2 的最大值.

19.(本小题满分 12 分) (原创)已知:如图,P 是⊙O 的直径 AB 延长线上的一点,割线 PCD 交⊙O 于 C、D 两点,弦 DF 与直径 AB 垂直,H 为垂足,CF 与 AB 交于点 E. (1)若 OB=4,AD= ,求线段 DF 的长.

(2)求证:PA·PB=PO·PE;

20. (本小题满分 12 分) (原创) 已

知 ,

(1)当 a=-1 时,求

的值。 (n=0,1,2,3,┅,11),当 n 为何值时, 最大?

(2)当 a=0 时,对所有系数

(3)当 a=2 时,求

的值。

21.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=alnx(a>0),g(x)=x2-bx, (1)若 y=2x 与 y=f(x)相切,求 a 的值; (2)若 a=1,且关于 x 的方程 f(x)=g(x)在 上无解,求实数 b 的取值范围。 是 G(x) (3)设 G(x)=g(x)-f(x)+2 有两个零点 x1,x2,且 x0 是 x1 和 x2 的等差中项, 的导数,求证: .

命题人:侯明伟 审题人:王 明

2015 年重庆一中高 2016 级高二下期半期考试

数 学 答 案(理科)
一.选择题: CBBCD ABDDA 12. 0.75 13. 14. 7
23

2015.5

二.填空题:11. 0.8

15. 204

16.(13 分)解:(1)
t t

(2)
1

17.(13 分)解:(1)由题意得 2×2×(1-2)=2,解得 t=1. (2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,

P(ξ =0)=(1-2)(1-2)(1-2)=
1 t t

1

t

t

(2-t)2 8 ; 1 t t 4-t2

P(ξ =1)=2×(1-2)×(1-2)+2×(1-2)×2×(1-2)= 8 ; P(ξ =2)=2×2×2×(1-2)+(1-2)×2×2= P(ξ =3)=2×2×2= 8 .
故ξ 的分布列为: ξ 0 (2-t)2 1 4-t2 2 4t-t2 3 t2
1 t t t2 1 t t 1 t t 4t-t2 8 ;

P
1

8

8

8

8

所以 E(ξ )=t+2=2,故 t= 18. (13 分)解:(1) 由ρ =4+5sin2θ,得ρ 2(4+5sin2θ )=36, ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 9 + 4 =1. (2)由已知, , ,设曲线 C2 上的动点 M 的坐标为
x2 y2 6

M(3cosα ,2sinα ),则|MA|2+|MB|2=10cos2α +16≤26, ∴|MA|2+|MB|2 的最大值为 26.
19.(12 分) 解:(1)在直角△ABD 中,AD2=AH?AB,即 8=8AH,所以 AH=1,BH=7,又 DH2=AH?HB,即 DH2=7,所 以 DF= .

(2)证明:连接 OD. ∵AB 是⊙O 的直径,弦 DF 与直径 AB 垂直, H 为垂足,C 在⊙O 上, ∴∠DOA=∠DCF,∴∠POD=∠PCE. 又∵∠DPO=∠EPC,∴△PDO∽△PEC,

∴ PE = PC ,即 PD·PC=PO·PE. 由割线定理得 PA·PB=PD·PC,∴PA·PB=PO·PE. 20. (12 分)解:令 t=x+1,则有 (1)当 a=-1 时,有 在 所以 (2)当 a=0 时,有 在 有 的展开式中, ,不妨设 是最大的,则应 的展开式中, ,

PD

PO

,即 (3)当 a=2 时,有

,解得 r=7,即

最大。

因为



所以

上式中令 t=1 得

21.(12 分) 解: (1)设切点为(m,n),因为 ,所以切线方程为 ,由

切线过原点得

,所以 m=e,从而

,故 a=2e.

(2)方程即 lnx=x2-bx,所以

,令

,则

, 因为 x ≥ 1, 所以 ,由题意, b<1. (3) ,由题意有

, F(x) 在

上单增,



,两式相减得,

,即

,又

,令

,不妨设

,则 t>1,令 所以 ,故 ,得证。






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