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高中奥数习题——复数


练习一 一、 选择题
1. 当 z ? ? (A)1
1? i 2

时, z 100 ? z 50 ? 1 的值等于( (B)-1 (C) i



(D) ? i
x x? y )
1999

2. 设非零复数 x, y 满足 x 2 ? xy ? y 2

? 0 ,则代数式 ( 值是( ) (B)-1
2

?(

y x? y

)

1999



(A) 2 ? 1998

(C)1
2

(D)以上答案都不对 )

3. 复数 z 1 , z 2 满足条件 z 1 ? z 2 (A) z 1 ? z 2 ? 1 (B) z 1 ? 1或 z 2 ? 1 (C) z 1 ? 1, z 2 ? 1

? 1 ? z 1 z 2 ,则有(

(D) z 1 与 z 2 中至多有一个等于 1 4. 设复数 z 满足 z ? (A)2 5. 设 f (z) ? (A)实数
4 z (B) 2 i
3

? R ,且 arg( z ? 2 ) ?

3? 4

,则复数 z 为(



(C) 2 i 或 2

(D)以上答案都不对 )

z ? z ?1 z ? z ?1
3

,则 f (3 ? 2 i ) ? f (3 ? 2 i ) 为(

(B)纯虚数 (C)是虚数但不是纯虚数 (D)不能确定 )

6. 已知 z 满足 z ? 5 ? 12 i ? 3 ,则 z 的最大值是( (A)3 (B)10 (C)20 (D)16

7. 复数 z 1 , z 2 满足 z 1 ? 1, z 2 ? 2 , z 1 ? z 2 ? 7 ,则 z 1 ? z 2 的值是( (A)1 (B) 3 (C)2 (D) 2 2



2 8. 两个非零复数 z 1 , z 2 满足 z 12 ? z 2 ? 0 , z 1 , z 2 在复平面上分别对应于点

A 、 B 、 O 是原点,则 ? AOB 是(

(A)等腰三角形 (C)等腰直角三角形

) (B)直角三角形 (D)正三角形

二、 填空题
1. 设 复 数 z 1 , z 2 , z 3 满 足 z 1 ? z 2 ? z 3 ? r ? 0 , 则 __________. 2. 已知 arg( z ? 1) ?
?
6 , arg( z ? 1) ? 2? 3

z1 z 2 ? z 2 z 3 ? z 3 z1 z1 ? z 2 ? z 3

?

,则复数 z ? __________.

3. 设等比数列 ?z n ? ,其中 z 1 ? 1, z 2 ? a ? bi , z 3 ? b ? ai ( a , b ? R , a ? 0 ) .当满足 条件 z 1 ? z 2 ? ? ? z n ? 0 时,自然数 n 的最小值为_________. 4. 若 ? , ? 是实系数一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个虚根,且
? ?

?2 ?

?R,



? _________.

5. 设 x ? cos

?
7

? i sin

?
7

,则 x (1 ? x )(1 ? x ? x 2 )(1 ? x ? x 2 ) ? _________.

6. 已知复数 z 满足 z ? 1 ? 2 i ? 1 ,则 z ? 3 ? i 的最大值为_______;最小值为 _______.

三、 解答题
1. 求复数 z ? 2. 设 ? ? (? ,
( 7 ? 24 i )( 3 ? i ) 5 i ? ( 4 ? 3i ) ? i ? 1 ? 2 i 的模.

3? 2

) ,求

1 ? cos ? ? i sin ? 1 ? cos ? ? i sin ?

的模和辅角主值.
(? ? ? )( ? ? ? )( ? ? ? )

3. 设复数 ? , ? , ? 满足 ? ? ? ? ? ? 1 ,证明

???

是实数.

4. 设 a , b , c ? N ,且满足等式 c ? ( a ? bi ) 3 ? 107 i ,求 c 的值. 5. 设复数 z 1 ? 2 ? 3 a ? ai 和 z 2 ? 3b ? 1 ? ( 3 ? b )i 的模相等, z 1 z 2 的辅角 且 主值是
?
2

,求实数 a, b 的值.

6. 复数 z 满足 z ? 1 ,求 z 3 ? 3 z ? 2 的最大值和最小值及相应的复数 z .
7. 求值: (1 ? 2 cos
2 2

2? 7

)(1 ? 2 cos

4? 7

) ? (1 ? 2 cos

12 ? 7

)
2 2

8. 已知 x ? y ? 1 , a 2 ? b 2 ? 2 ( x , y , a , b ? R ) .求证 b ( x ? y ) ? 2 axy ?

2.


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