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第一余弦定理


第一余弦定理(任意三角形射影定理)

直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的 高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中项。 公式 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边 BC 上的高,则 有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC, (2)(AB)^2;=BD·BC , (3)(AC)^2;=CD·BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明) 简介 所谓射影,就是正投影。直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid) 定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式: 如图,Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BD 是斜边 AC 上的高,则有射 影定理如下: (1)(BD)^2=AD·DC, (2)(AB)^2=AD·AC , (3)(BC)^2=CD·CA 。 等积式 (4)AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明) 直角三角形射影定理的证明

射影定理简图(几何画板)

:(主要是从三角形的相似比推算来的) 一、 在△BAD 与△BCD 中,∵∠BDA=∠BDC=90°,且∠DBC+∠C=90°, ∴∠ABD=∠C, 又∵∠BDA=∠BDC=90° ∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD 即 BD^2=AD·DC。其余同理可得可证

注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。
有射影定理如下: AB^2=AD·AC,BC^2=CD·CA 两式相加得: AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=AC^2 . 即 AB^2+BC^2=AC^2(勾股定理结论)。 二、 已知:三角形中角 A=90 度,AD 是高.

用勾股证射影 ∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, ∴2AD=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD. 故 AD=BD×CD. 运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。 任意三角形射影定理 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”: △ABC 的三边是 a、b、c,它们所对的角分别是 A、B、C,则有 a=b·cosC+c·cosB, b=c·cosA+a·cosC, c=a·cosB+b·cosA。 注: 以“a=b·cosC+c·cosB”为例, c 在 a 上的射影分别为 b·cosC、 b、 c·cosB,故名射影定理。 证明 1:设点 A 在直线 BC 上的射影为点 D,则 AB、AC 在直线 BC 上的 射影分别为 BD、CD,且 BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其 余。 证明 2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA, c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其它的。



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