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2014-2015学年湖北省武汉二中、麻城一中高一(下)期中数学试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年湖北省武汉二中、麻城一中高一(下)期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分) (2015 春?麻城市校级期中)已知 a>b,则下列不等式中成立的是( ) 2 2 a b A. a >b B. ac>bc C. |a|>|b| D. 2 >2 考点

: 不等式的基本性质. 专题: 不等式. x 分析: 对于 A,B,C 举反例即可比较,对于 D,考察指数函数 y=2 的单调性即可得出. 2 2 解答: 解:对于 A,当 a=0,b=﹣1 时,a <b ,故 A 不成立, 对于 B,当 c=0 时,不成立, 对于 C,当 a=0,b=﹣1 时,|a|<|b|,故 C 不成立, x a b 对于 D,根据指数函数 y=2 为增函数,故 2 >2 ,故成立, 故选:D. 点评: 本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质,属于基础题

2. (5 分) 已知角 α 的终边上一点的坐标为 A. B. C. D.

, 则角 α 的最小正值为 (



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值.

分析: 由任意角的三角函数的定义可得 tanα=

=

,由此求得角 α 的最小正值.

解答: 解:由任意角的三角函数的定义可得 tanα= =

=

,故角 α 的最小正值为



故选 C. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题.

3. (5 分) (2015 春?麻城市校级期中) 若向量 , 满足 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5



, 则 ? =

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 通过将 、 两边平方,利用| | =
2

,相减即得结论.

解答: 解:∵
2 2





∴( + ) =10, ( ﹣ ) =6, 两者相减得:4 ? =4, ∴ ? =1, 故选:A. 点评: 本题考查向量数量积运算,注意解题方法的积累,属于基础题. 4. (5 分) (2015 春?麻城市校级期中)在等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值等于( ) A. 1 B. ﹣ C. 1 或 D. ﹣1 或

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 根据题意和等比数列的通项公式列出方程组,求出公比 q 的值. 解:∵在等比数列{an}中,a3=7,S3=21, ,化简得 2q ﹣q﹣1=0, ,
2

解得 q=1 或

故选:C. 点评: 本题考查等比数列的通项公式,以及方程思想,若利用等比数列的前 n 项和公式遗忘 q=1 的情况,属于基础题.

5. (5 分) (2015 春?麻城市校级期中)已知 f(x)=

,则不等式 f(x)<f

(4)的解集为( ) A. (4,+∞) B. (﹣∞,4) C. (﹣3,0) D. (﹣∞,﹣3) 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由分段函数可得 f(4)=2,讨论 x 的范围,由不等式的解法,即可得到所求解集.

解答: 解:由 f(x)=

,可得 f(4)=2,

当 x≥0 时,f(x)<2 可得 <2,解得 0≤x<4; 当 x<0,f(x)<2 可得﹣x +3x<2,解得 x<0; 综上可得 x<4, 即不等式的解集为(﹣∞,4) . 故选:B. 点评: 本题考查分段函数及运用,主要考查不等式的解法,考查运算能力,属于中档题. 6. (5 分) (2015 春?麻城市校级期中)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) , (ω>0,0<φ<2π) 的部分图象如图所示,则 f(x)的表达式为( )
2

A. C.

B. D.

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数的图象,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数 f(x)的解析 式. 解答: 解:由函数的图象可得 T= ? 再根据五点法作图可得 (﹣ = + ,∴ω= . ,∴f(x)=2sin( x+ ) ,

)+φ=π,求得 φ=

故选:D. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出 ω,由五点 法作图求出 φ 的值,属于基础题. 7. (5 分)若点(x,y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x﹣y 的最小值为( A. ﹣6 B. ﹣2 C. 0 D. 2 )

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 先根据曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域画出区域 D,再利用线性规划的方法求出目 标函数 2x﹣y 的最大值即可. 解答: 解:画出可行域,如图所示 解得 A(﹣2,2) ,设 z=2x﹣y, 把 z=2x﹣y 变形为 y=2x﹣z,则直线经过点 A 时 z 取得最小值;所以 zmin=2×(﹣2)﹣2=﹣6, 故选 A.

点评: 本题考查利用线性规划求函数的最值.属于基础题. 8. (5 分) (2014?青浦区三模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 的前 100 项和为( A. B. C. ) D.

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的通项公式及求和公式,结合已知可求 a1,d,进而可求 an,代入可得 = = ,裂项可求和

解答: 解:设等差数列的公差为 d 由题意可得, 解方程可得,d=1,a1=1 由等差数列的通项公式可得,an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n ∴ = =

=1﹣

=

故选 A 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,及数列求和的裂项求和方法 的应用,属于基础试题 9. (5 分) (2015 春?麻城市校级期中)已知实数 a、b、c 满足 b+c=6﹣4a+3a ,c﹣b=4﹣4a+a , 则 a、b、c 的大小关系是( ) A. c≥b>a B. a>c≥b C. c>b>a D. a>c>b
2 2

考点: 不等式比较大小. 专题: 综合题. 2 分析: 把给出的已知条件 c﹣b=4﹣4a+a 右侧配方后可得 c≥b, 再把给出的两个等式联立消去 2 c 后,得到 b=1+a ,利用基本不等式可得 b 与 a 的大小关系. 2 2 解答: 解:由 c﹣b=4﹣4a+a =(2﹣a) ≥0,∴c≥b. 2 再由 b+c=6﹣4a+3a ① 2 c﹣b=4﹣4a+a ② 2 2 ①﹣②得:2b=2+2a ,即 b=1+a . ∵ ,∴b=1+a >a.
2

∴c≥b>a. 故选 A. 点评: 本题考查了不等式的大小比较,考查了配方法,训练了基本不等式在解题中的应用, 是基础题. 10. (5 分) (2015 春?麻城市校级期中)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c, 若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简求得 sinA 的值 进而求得 A,判断出三角形的形状 解答: 解:∵bcosC+ccosB=asinA, 2 ∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin A, ∵sinA≠0, ∴sinA=1,A= ,

故三角形为直角三角形, 故选:C. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角 的正弦,属于基本知识的考查. 11. (5 分) (2013?浙江模拟)若关于 x 的不等式 x +ax﹣2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为( ) A. B. C. (1,+∞) D.
2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: 结合不等式 x +ax﹣2>0 所对应的二次函数的图象,列式求出不等式 x +ax﹣2>0 在 区间[1,5]上无解的 a 的范围,由补集思想得到有解的实数 a 的范围.

解答: 解:令函数 f(x)=x +ax﹣2, 2 若关于 x 的不等式 x +ax﹣2>0 在区间[1,5]上无解, 则 ,即
2

2

,解得



所以使的关于 x 的不等式 x +ax﹣2>0 在区间[1,5]上有解的 a 的范围是(

,+∞) .

故选 A. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,考查了数学转化思想方法,训练了补集思想在解 题中的应用,解答的关键是对“三个二次”的结合,是中档题. 12. (5 分)已知 f(x)=bx+1 为 x 的一次函数,b 为不等于 1 的常数,且 g(n) = ,设 an=g(n)﹣g(n﹣1) (n∈N ) ,则数列{an}是( A. 等差数列 B. 等比数列 C. 递增数列 D. 递减数列 考点: 等比关系的确定. 专题: 计算题. 分析: 根据 g(n)的通项公式可求得 g(1) ,g(2) ,g(3)直至 g(n) ,进而可求 a1,a2, a3,┉,an 进而发现数列{an}是等比数列 解答: 解:已知 f(x)=bx+1 为 x 的一次函数,b 为不等于 1 的常数,且 g(n)=
2 *




3 2 n 2

则 g(1)=b+1,g(2)=b +b+1,g(3)=b +b +b+1,┉,g(n)=b +┉+b +b+1. 2 3 n a1=b,a2=b ,a3=b ,┉,an=b 故数列{an}是等比数列 点评: 本题主要考查等比关系的确定.属基础题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)已知向量 ,则向量 的夹角为 .

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两个向量的数量积的定义和两个向量的数量积公式可得 cos< 求得向量 的夹角. ,∴| |= >, ,| |=2, >= ,由此

解答: 解:∵向量 ∴ =2+0=2= ×2×cos<

∴cos< ∴< 故答案为

>= >= . ,



点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义和两个向量的数量积公式,根据三角函数的值 求角,属于中档题. 14. (5 分)已知不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 {a|a<﹣4 或 a >4} . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 由一元二次不等式和一元二次方程的关系知,只需满足相应的一元二次方程有两个不 同的根即可 解答: 解:∵不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集 2 ∴一元二次方程 x +ax+4=0 有两个不同的根 2 ∴△=a ﹣16>0 ∴a<﹣4 或 a>4 故答案为:{a|a<﹣4 或 a>4} 点评: 本题考查一元二次不等式的解法.注意问题的等价转化.属简单题 15. (5 分) (2015 春?麻城市校级期中)已知数列{an}中,a1=1,a2=2+3,a3=4+5+6, a4=7+8+9+10,…,则 a10= 505 . 考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 根据前四项的特点推出第九项有九个数组成, 求出在第十项之前一共出现整数的个数, 即可确定第十项中的各项,再利用等差数列的前 n 项和公式求出. 解答: 解:由题意知,a1=1,a2=2+3,a3=4+5+6,a4=7+8+9+10,…, ∴a1 中有一个数字,a2 中有两个数字,…,a9 中有九个数字,且是连续的正整数, ∴前九项一共有 1+2+3+…+9= ∴a10=46+47+48+…+55= =45 个数字, =505,
2 2

故答案为:505. 点评: 本题考查了归纳推理,以及等差数列的前 n 项和公式的应用,难点在于发现其中的规 律,考查观察、分析、归纳能力. 16. (5 分)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处,之后它继续沿 正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处,且与它 相距 8 n mile.此船的航速是 32 n mile/h.

考点: 专题: 分析: BS=8 解答: 可得:

解三角形的实际应用. 计算题. 由题意及图形在△ ABS 中,已知∠BAS=30°,∠ASB=45°,又已知三角形 ABS 中边 ,先求出边 AB 的长,再利用物理知识解出. 解:因为在△ ABS 中,已知∠BAS=30°,∠ASB=45°,且边 BS=8 ,利用正弦定理 ? ?AB=16,

又因为从 A 到 S 匀速航行时间为半个小时,所以速度应为:

(mile/h) .

故答案为:32. 点评: 此题考查了学生的物理知识速度= 等与不相邻的两内角和. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知向量 =(sinθ,cosθ﹣2sinθ) , =(1,2) . (1)若 (2)若 ,求 tanθ 的值; ,求 θ 的值. ,还考查了正弦定理求解三角形及三角形外角

考点: 平面向量的坐标运算. 分析: (1)根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题. (2)由| |=| |化简得 sin2θ+cos2θ=﹣1,再由 θ∈(0,π)可解出 θ 的值. 解答: 解: (1)∵ ∥ ∴2sinθ=cosθ﹣2sinθ 即 4sinθ=cosθ ∴tanθ= (2)由| |=| |

∴sin θ+(cosθ﹣2sinθ) =5 2 即 1﹣2sin2θ+4sin θ=5 化简得 sin2θ+cos2θ=﹣1 故有 sin(2θ+ )=﹣ ∈( = π , π)

2

2

又∵θ∈(0,π)∴2θ+ ∴2θ+ ∴θ= = π 或 2θ+ 或 θ= π

点评: 本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算.向量和三角函数 的综合题是高考的热点问题,每年必考.

18. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期: (Ⅱ)求 f(x)在区间



上的最大值和最小值.

考点: 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的余弦函数;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后,利用正弦函数 的性质求得函数的最小正周期. (Ⅱ)利用 x 的范围确定 2x+ 值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ =4cosx( = = sin2x+2cos x﹣1 sin2x+cos2x ) ,
2

的范围,进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小

, )﹣1

=2sin(2x+

所以函数的最小正周期为 π; (Ⅱ)∵﹣ ∴﹣ ≤2x+ = =﹣ ≤x≤ ≤ , , 时,f(x)取最大值 2, 时,f(x)取得最小值﹣1.

∴当 2x+ 当 2x+

,即 x=

时,即 x=﹣

点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值.解题的关键是对函数 解析式的化简整理. 19. (12 分) (2015 春?麻城市校级期中)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩, 投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入﹣总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面 积(单位:亩)应该分别是多少? 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据条件,设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,建立目标函数 和约束条件,根据线性规划的知识求最优解即可. 解答: 解:设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元, 则目标函数为 z=(0.55×4x﹣1.2x)+(0.3×6y﹣0.9y)=x+0.9y.

线性约束条件为





,作出不等式组

表示的可行域,

易求得点 A(0,50) ,B(30,20) ,C(0,45) . 平移直线 z=x+0.9y,可知当直线 z=x+0.9y 经过点 B(30,20) ,即 x=30,y=20 时,z 取得最 大值,且 Zmax=48(万元) . 故黄瓜和韭菜的种植面积应该分别是 30 亩、20 亩时,利润最大

点评: 本题主要考查生活中的优化问题,利用条件建立二元二次不等式组,利用线性规划的 知识进行求解是解决本题的关键.

20. (12 分) (2015 春?麻城市校级期中)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边, 且 a= c+bcosC. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=5,b= ,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由条件利用正弦定理、诱导公式求得 cosB 的值,可得 B 的值. (2)由条件利用余弦定理求得 ac=13,可得△ ABC 的面积 ac?sinB 的值. 解答: 解: (1)由 ,可得 2sinA=sinC+2sinBcosC,

∵A=π﹣(B+C) ,∴2sin(B+C)=sinC+2sinBcosC,即 sinC(2cosB﹣1)=0. ∵0<C<π,∴sinC≠0,∴
2 2 2




2

(2)由余弦定理:b =a +c ﹣2accosB,有 13=(a+c) ﹣3ac,∴ac=4, 故 .

点评: 本题主要考查诱导公式、正弦定理和余弦定理的应用,属于中档题. 21. (12 分) (2014 秋?江西月考)已知等比数列{an}满足 2a1+a3=3a2,且 a3+2 是 a2,a4 的等 差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=an+log2 ,Sn=b1+b2+…bn,求使 Sn﹣2
n+1

+47<0 成立的正整数 n 的最小值.

考点: 等差数列与等比数列的综合;等比数列的通项公式;数列与不等式的综合. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,根据 2a1+a3=3a2,且 a3+2 是 a2,a4 的 等差中项,建立方程组,从而可求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 式,即可求得使 =2 ﹣n,求出 Sn=b1+b2+…bn,再利用 成立的正整数 n 的最小值.
n

,建立不等

解答: 解: (Ⅰ)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, 依题意,∵2a1+a3=3a2,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项 ∴ 由 ①得 q ﹣3q+2=0,解得 q=1 或 q=2. 当 q=1 时,不合题意舍; n 当 q=2 时,代入(2)得 a1=2,所以 an=2 .….…(6 分)
2

(Ⅱ)

=2 ﹣n.….…(7 分)
2 n n+1

n

所以 Sn=b1+b2+…bn=(2+2 ++2 )﹣(1+2+…+n)=2 因为
2

﹣2﹣
n+1

﹣ n ….…(10 分)

2

,所以 2

n+1

﹣2﹣

﹣ n ﹣2

2

+47<0,

即 n +n﹣90>0,解得 n>9 或 n<﹣10.….…(12 分) 故使 成立的正整数 n 的最小值为 10.…. (13 分)

点评: 本题考查等比数列的通项,考查数列的通项与求和,考查解不等式,解题的关键是确 定数列的通项与和,属于中档题. 22. (10 分) (2015 春?麻城市校级期中)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f (x)+2x>0 的解集为(1,3) . (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,结合不等式的解集,利用待定系数法进 行求解即可求 f(x)的解析式; (2)根据二次函数的性质进行求解. 解答: 解(1)依题意可设 f(x)+2x=a(x﹣1) (x﹣3)…(2 分) 即 a(x﹣1) (x﹣3)>0 的解集为(1,3) ∴a<0…(3 分)f(x)=ax ﹣2(2a+1)x+3a 又方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根, 2 ∴ax ﹣2(2a+1)+9a=0 有两相等实根 2 2 ∴△=4(2a+1) ﹣36a =0 ∴ (a=1 舍去)…(5 分) …(6 分)
2

(2) ∵a<0 2 ∴a +4a+1>0

>0…(8 分)

故 …(10 分) 点评: 本题主要考查一元二次函数解析式的求解,利用待定系数法是解决本题的关键.


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