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向量法在立体几何中的应用——云南省开远市第四中学 董秋理


向 量 法 在 立 体 几 何 中 的 应 用
摘 要
立体几何一直是高中数学的一个难点, 难点之一就是由空间图形向平面图形的转化, 这对 空间想象能力的要求很高。不少学生不会解答立体几何题,都是因为不能实现“空间问题”向 “平面问题”的转化。 而解决这个难题的最好工具就是空间向量。向量融数、形于一体,具 有代数形式和几何形式“双重身份”,具有线性运算、数量积

,既有有向线段表达式,又有坐 标表达式,是解决立体几何问题的一种重要工具,向量本身的这些特点决定了它与立体几何、 解析几何、三角函数等内容的自然融合,是知识的“交汇点”。空间向量为立体几何中夹角与 距离的求解提供了通法,有很强的规律性、实用性和优越性。而向量法的难点在于根据已知条 件建立空间直角坐标系, 求出空间点的坐标以及平面法向量的坐标。 因此本文先举例说明空间 点的坐标求法以及平面法向量的坐标的求法, 再通过一些例题体现向量法在求空间距离、 空间 角等方面的应用,力求使学生体会向量解法的优越性,熟练地进行空间基向量的选取、能合理 地建立空间直角坐标系, 熟练求解空间点坐标及平面法向量的坐标, 从而轻松求解立体几何题。

关键词:向量法

立体几何

应用

作者: 单位、地址: 邮编: 联系电话:

董 秋 理 云南省开远市第四中学 661600 13769369707

作者简介:董秋理,男,汉族,1971 年 8 月出生于云南省曲靖地区富源县。1996 年 7
月毕业于云南大学数学系师范本科班, 获得理学学士学位。 毕业至今一直在开远市第四中学担 任数学教学工作和班主任工作,现在职称为中学一级教师。2004 年、2007 年、2008 年三年的 年终考核均为优秀,2004 年 8 月被授予“云南省优秀教师”称号,2008 年 9 月被评为“开远 市优秀教师” 。现已有多篇论文在省级以上刊物发表。

1

向 量 法 在 立 体 几 何 中 的 应 用
云南省开远市第四中学 董秋理
立体几何一直是高中数学的一个难点, 难点之一就是由空间图形向平面图形的转化, 这对 空间想象能力的要求很高。不少学生不会解答立体几何题,都是因为不能实现“空间问题”向 “平面问题”的转化。 而解决这个难题的最好工具就是空间向量。向量融数、形于一体,具 有代数形式和几何形式“双重身份”,具有线性运算、数量积,既有有向线段表达式,又有坐 标表达式,是解决立体几何问题的一种重要工具,向量本身的这些特点决定了它与立体几何、 解析几何、三角函数等内容的自然融合,是知识的“交汇点”。空间向量为立体几何中夹角与 距离的求解提供了通法,有很强的规律性、实用性和优越性。而向量法的难点在于根据已知条 件建立空间直角坐标系, 求出空间点的坐标以及平面法向量的坐标。 因此本文先举例说明空间 点的坐标求法以及平面法向量的坐标的求法, 再通过一些例题体现向量法在求空间距离、 空间 角等方面的应用,力求使学生体会向量解法的优越性,熟练地进行空间基向量的选取、能合理 地建立空间直角坐标系, 熟练求解空间点的坐标及平面法向量的坐标, 从而轻松求解立体几何 题。 一、空间点的坐标的求法:

yoz 坐标平面的距离加上“ ? ”号或“ ? ” 号, 纵坐标等于该点到 xoz 坐标平面的距离加上 “? ” 号或 “?” 号, 竖坐标等于该点到 xoy
1、 “点面距离”法:一个点的横坐标等于该点到 坐标平面的距离加上“ ? ”号或“ ? ”号。 例 1、在棱长为 1 的正方体

D1 A1

z C1 B1

ABCD ? A1B1C1D1 中,求点 A 、
C 、 D1 的坐标。
解:建立空间直角坐标系,如图 1,点

A到


yoz 坐标平面的距离为1 ,且位
D A x B C y
图1

x 轴正向,故其横坐标1 ;点 A 到其

它两坐标平面的距离为 0 ,故纵坐标、 竖坐标均为 0 ,所以点 A 的坐标为

A(1, 0, 0) 。同理可求得其它两点的坐
标分别为 C (0,1, 0) , D1 (0,0,1) 。

A

2、向量分解法:要求一个点的坐标,先由原点为起点,该点为终点连一个向量,然后将 这个向量向三个坐标轴方向分解, 在各坐标轴上的分向量终点所对应的分坐标即为该点的分坐 标。
2

如例 1,要求 B1 点的坐标,以原点 D 为起点, B1 为终点的向量在三坐标轴上的分向量分 别为 DA 、 DC 、 DD1 ,所以 B1 点的坐标为 B1 (1,1,1) 。 二、平面法向量的坐标的求法: 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量,推导平面法向量的方法如下: 在给定的空间直角坐标系中,设平面 ? 的法向量 n ? ( x, y,1) [或 n ? ( x,1, z) ,或

n ? (1, y, z) ],在平面 ? 内任找两个不共线的两向量 a, b 。由 n ? ? ,得 n ? a ? 0 且
n ? b ? 0 ,由此得到关于 x, y 的方程组,解此方程组即可得到 n 。如例 2 中求平面 ACD1 的法
向量。但是有时候并不能确定该设哪一个分坐标为 1 ,如果设得不合理,就会出现矛盾,这种 情况是因为所求的法向量在某个坐标平面内或者平行某个坐标平面。 所以一般情况还是先不赋 予某个分坐标的值,待列出方程组后再根据实际需要赋值,而且不一定非得赋予 1,其它数值 也可以,只不过赋予 1 运算简便,但一般不赋予 0 ,以免出现 0 而矛盾。 例 2、在例 1 的条件下,求平面 ACD1 的法向量和平面 A 1 ABB 1 的法向量。 解:设平面 ACD1 的法向量为 m ? (1, y1, z1 ) ,平面 A 1 ABB 1 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

? ? z1 ? 1 ?m ? AD1 ? 0 即? 解得 AD1 ? (?1,0,1) , AC ? (?1,1,0) , 由 ? y ? 1 m ? AC ? 0 ? 1 ? ?

? ?1 ? z1 ? 0 故 ? ? ?1 ? y1 ? 0

? ? y2 ? 0 ?n ? AB ? 0 即? ,令 x2 ? 1 ,则 m ? (1,1,1) . AB ? (0,1,0) , AA1 ? (0,0,1) ,由 ? z ? 0 n ? AA ? 0 ? 2 ? ? 1

n ? (1, 0, 0).
平面 A 这里用解方程组的方法 1 ABB 1 的法向量也可以从图中找一个垂直于该平面的向量, 或得,只是为了举例说明求法向量的通法。另外,若设 n ? ( x2 ,1, z2 ) 则出现矛盾,故一般在列 出方程组后根据实际需要再赋值。 三、空间向量在求解立体几何题中的应用举例: (一)空间向量在求空间距离中的应用: 1、点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离: 基本原理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,点 A 是平面 ? 外一定点,点 B 是 ? 内任意一 点,则点 A 到平面 ? 的距离为

d?

AB ? n n

A

.

n
C

直线与平面的距离、平面与平面的距离均 可以转化为点到平面的距离求解。当求直线与
3

?

B

平面的距离时, A , B 两点分别表示直线上的任意一点和平面上的任意一点, n 表示平面的 法向量。 例 3、 在例 1 中,求点 A 1 到平面 ACD 1 的距离。 解:由例 2 的解答知,平面 ACD1 的法向量 m ? (1,1,1) ,又 AA 1 到平 1 ? (0,0,1) ,设点 A 面 ACD1 的距离为 d , 则d ?

AA1 ? n n

?

3 1 3 .所以, 点A 。 ? 1 到平面 ACD 1 的距离为 3 3 1? 3

例题 4、在棱长为 2 的正方体 AC 中, G 为 AA 1 的中点,求 BD 与面 GB1 D1 的距离。 解:以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, z 则 D1 (0,0, 2) , B1 (2, 2, 2) , G (2, 0,1) , B(2, 2,0) ,故

D1B1 ? (2, 2,0) , D1G ? (2,0, ?1) , BB1 ? (0,0, 2) .
由于 BD ∥ B1D1 ,且 BD ? 面 GB1D1 ,故 A1

D1 B1

C1

BD ∥ 面 GB1D1 ,于是 BD 与面 GB1 D1 的距离
等于 B 到面 GB1 D1 的距离。设 n ? ( x, y, z) 为 平面 GB1 D1 的法向量,则 G A x D B C y

? ?n ? D1 B1 ? 0 ?2 x ? 2 y ? 0 既? , ? ? ?n ? D1G ? 0 ?2 x ? z ? 0

令 x ? 1 得 n ? (1, ?1, 2) .所以 BD 与面 GB1 D1 的距离为 d ?

BB1 ? n n

?

4 2 6 . ? 3 6

例题 5、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,求面 AB1C 与面 A1C1 D 的距离。 解:以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(1, 0, 0) , A1 (1,0,1) , C1 (0,1,1) , DA 1 ? (1,0,1) , AA 1 ? (0,0,1) DC1 ? (0,1,1) 设

n ? ( x, y, z) 为平面 AC 1 1 D 的一个法向量,则
?n ? DA1 ? 0 ?x ? z ? 0 ? 即 ? ,令 x ? 1 得 n ? (1,1, ?1) . ? A1 y ? z ? 0 n ? DC ? 0 ? ? ? 1

z

D1 B1

C1

AB1 ∥ DC1,B1C ∥ A1D, AB1

B1C ? B,
D A B C

? 面AB1C ∥面AC DC1 ? 面AC , A1D ? 面AC , 1 1D 1 1D 1 1D .

DC1

A1D ? D, AB1 ? 面AB1C,B1C ? 面AB1C,

y

?面 AB1C 与面 A1C1 D 的距离等于点 A 到面 A1C1 D

的距离.所以面 AB1C 与面 A1C1 D 的距离为

x

4

d?

AA1 ? n n

?

?1 3 . ? 3 3

2、求异面直线间的距离: 如图,已知 a , b 为两异面直线, CD 为 a , b 的公垂线段, a A C

A, B 分别为 a , b 上的任意两点, n 是公垂线 CD 的方向向量,
则 AB ? AC ? CD ? DB

AB ? n ? AC ? CD ? DB

?

?

n
?n

? AC ? n ? CD ? n ? DB ? n ? CD ? n

b

B

D

? AB ? n ? CD ? n ? CD ? n
即异面直线 a , b 间的距离是 d ?

? CD ?
AB ? n n

AB ? n n



.这个公式和上边的类似,这里的 n 是两异面直线间

的公垂线的方向向量,而 A, B 分别为两异面直线上的任意两点。这样,这个公式和上边的公 式可以统一为一个。 例 6、在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 z C1 A1 F A x C E 。又 A(2, 0, 0) , B1 (0, 2, 4) , B1

AA1 ? 4, AC ? BC ? 2, ?ACB ? 90? , E 为 AB 的中点,
求异面直线 EC 与 AB1 的距离. 解:以 C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 设 n ? ( x, y, z) 为异面直线 EC 与 AB1 的公垂线的 方向向量,则 ? G

B

y

? ?n ? CE ? 0 ? ?n ? AB1 ? 0

?x ? y ? 0 E (1,1, 0) , CE ? (1,1,0) , AB1 ? (?2,2,4) , CA ? (2,0,0) ,故 ? , ??2 x ? 2 y ? 4 z ? 0
令 x ? 1 得 n ? (1, ?1,1) .所以异面直线 EC 与 AB1 的距离为 d ? (二)空间向量在证明垂直、平行中的应用: 要证明两直线垂直, 只需证明这两条直线所对应的方向向量的数量积为 0 ; 要证明直线垂 直平面, 只需证明这条直线所对应的方向向量与平面内不共线的两向量的数量积均为 0 ; 要证 明两平面垂直, 只需证明一个平面内的一个向量垂直另一平面, 或者证明两个平面的法向量的
5

CA ? n n

?

2 2 3 . ? 3 3

数量积为 0 .要证明直线与平面平行,只需证明这条直线所对应的方向向量平行平面内的一个 向量, 或者证明这条直线所对应的方向向量垂直于平面的一个法向量; 要证明平面与平面平行, 只需证明这两个平面所对应的法向量平行,或者证明一个平面的法向量垂直另一个平面。 例 7、如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD,AD=PD,E,F 分别 CD、 PB 的中点。求证:EF ? 平面 PAB。 证明:建立空间直角坐标系如图,设 AD ? PD ? 1 , x C F E z P

D

B A AB ? 2a ( a ? 0 ) ,则 E (a,0,0), C (2a, 0, 0) , y 图 5 1 1 A(0,1, 0) , B(2a,1, 0) , P(0, 0,1) , F ( a, , ) . 2 2 1 1 1 1 得 EF ? (0, , ) ,PB ? (2a,1, ?1) ,AB ? (2a,0,0) , 由 EF ? AB ? (0, , ) ? (2a, 0, 0) ? 0 , 2 2 2 2 得 EF ? AB ,即 EF ? AB .同理 EF ? PB ,又 AB

PB ? B ,所以, EF ? 平面 PAB .

例 8、如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 A1 B 上的点, F 是 AC 上的点,

A1E ? 2EB , CF ? 2 AF ,求证: EF // 平面 A1 B1CD .
证明:建立空间直角坐标系如图,设 z D1 C1

DA ? DC ? DD1 ? 3 ,则由 A1E ? 2EB 知 E (3, 2,1) ,
由 CF ? 2 AF 知 F (2,1, 0) ,故 EF ? (?1, ?1, ?1) . 设 n ? ( x, y, z) 为平面 A 1B 1CD 一个的法向量,则 A1

B1

? ?n ? DC ? 0 .又 A ? 1 (3,0,3) , C (0,3, 0) , ? ?n ? DA1 ? 0

D F A x

E B

C

y

DA1 ? (3,0,3) DC ? (0,3,0) ,
所以 ? 又

?3x ? 3 y ? 0 ,令 x ? 1 得 n ? (1,0, ?1) . EF ? n ? ?1 ? 0 ? 1 ? 0, ? EF ? n . ?3 y ? 0
A

EF ? 面A1B1CD, ?EF ??面A1B1CD .
(三)空间向量在求空间角中的应用: 1、求异面直线所成的角:利用两异面直线方向向量所夹

n
C

?
6

B

锐角或直角求异面直线所成角,注意是锐角, cos ?

?

a ?b a?b



2、求直线与平面所成的角: 设 AB 是平面 ? 的斜线, AC 是平面 ? 的垂线, AB 与平面 ? 所成的角 ?ABC ? ? ,向量 AB 与 n 的夹角 ?BAC ? ? 如图,则 sin ? ? cos ? ?

AB ? n AB ? n



例 9、在例 1 中,求直线 AA1 与平面 ACD1 所成的角。 解析:由例 1 知, n ? (1,1,1) , AA 1 ? (0,0,1) ,

? sin ? ?

AA1 ? n AA1 ? n

?

3 1 3 ,即 ? ? arcsin . ? 3 3 3

3、求二面角: 如图 3,设向量 n1 与 n2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中的两个半平面 ? , ? 的法向量,则向量

n1 与 n2 的夹角 ? n1, n2 ? 的大小就是所求二面角或其补
角的大小。 如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是 其补角呢?一是判断两个半平面的法向量方向:如果一个半平面 的法向量的方向是指向它所对应半平面的内侧,另一个半平面的法 图 3

n1 ?

n2

?

向量的方向是指向它所对应半平面的外侧,则向量 n1 与 n2 的夹角 ? n1, n2 ? 的大小就是所求 二面角的大小,若均指向内侧或者均指向外侧,则互补;二用半平面旋转法:把二面角的一个 半平面绕棱 l 按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时,若两个半平面的法向量的方向相 同,向量 n1 与 n2 的夹角 ? n1, n2 ? 的大小与所求二面角的大小相等,若方向相反,则互补。 例 9、在例 1 中,求二面角 D1 ? AC ? D 的大小。 解:由例 1 知,平面 ACD1 的法向量是 n1 ? (1,1,1) ,平面 DAC 的法向量是 n2 ? (0,0,1) , 设二面角 D1 ? AC ? D 的大小为 ? , 由两法向量的方向知两法向量的夹角大小所求二面角的大 小. 由 cos ? ?

3 n1 ? n2 (1,1,1) ? (0, 0,1) 3 ,得 ? ? arccos 。 ? ? 3 n1 ? n2 3 3
7

例 10、如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD ⊥ 底面

ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点.设 SD ? 2 DC ,求二面角 A ? EF ? D 的大小.
解:如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz .不妨设 A(1 , 0, 0) ,则 z S

? 1 ? ? 1 ? B(11 , ,, 0) C (0, 1,, 0) S (0, 0,, 2) E ?1,, 0 ?,F ? 0,, 1? . ? 2 ? ? 2 ? ?1 1 1? ? 1 1 1? EF 中点 M ? ,, ?, MD ? ? ? , ? , ? ?, EF ? (?1, 0,, 1) ?2 2 2? ? 2 2 2? 1 ? ? , MD EF ? 0,MD ⊥ EF 又 EA ? ? 0, ? , 0 ? , EA EF ? 0, 2 ? ?
EA ⊥ EF 所以向量 MD 和 EA 的夹角等于二面角 A ? EF ? D
的平面角. cos ? MD, EA ??

F G

M D C E B y

MD EA MD EA

?

3 . 3

A x

所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arccos

3 . 3

z D1 B1 C1

例 11、如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ? 4 , 点 E 在 CC1 上且 C1 E ? 3EC .求二面角 A1 ? DE ? B 的大小. A1 解:以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,

2,, 0) 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz .依题设, B(2,

C(0, 2,, 0) E(0, 2,, 1) A1 (2, 0, 4) . DE ? (0, 21) ,, DB ? (2, 2, 0) ,

E D A B C y

AC ? (?2, 2, ? 4), DA1 ? (2, 0, 4) .设向量 n ? ( x,y,z) 1
是平面 DA 1E 的法向量,则 n ? DE , n ? DA 1. 故 2 y ? z ? 0 , 2 x ? 4 z ? 0 .令 y ? 1 ,则 z ? ?2 , x ? 4 , x

n ? (4, 1, ? 2) . ? n, AC ? 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角, 1
cos ? n, A1C ?? n A1C n A1C ? 14 14 .所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arccos . 42 42

通过以上例题的向量解法,不难体会到,向量法的思维过程较简洁,规律性较强,解答比 较容易,但需要正确建立空间直角坐标系及正确确定点的坐标。所以,熟练掌握空间向量的解 题方法,对学生解答立体几何题十分有效。

本文参考书目: 《试题与研究》2005 年第 26 期 《用平面的法向量解高考立体几何试题》 作者:王宝红
8


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