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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


§ 7.3

二元一次不等式(组)与简单的线性规 划问题

1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C = 0 某 一 侧 所 有 点 组 成 的 ______________. 我 们 把 直 线 画 成 虚 线 以 表 示 区 域 ________

__边界直线.当我们在坐标系中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域 时,此区域应________边界直线,则把边界直线画成________. (2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By +C 所得到实数的符号都________, 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,0), y 由 Ax0+By0+C 的________即可判断 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 哪一侧 的平面区域. 2.线性规划相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 3.应用 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解. 意义 由变量 x,y 组成的一次不等式 由 x,y 的________不等式(或方程)组成的不等式组 欲求__________或__________的函数 关于 x,y 的________解析式 满足__________________的解 所有__________组成的集合 使目标函数取得________或__________的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的__________ 或__________问题

(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. [难点正本 疑点清源] 1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时, 经常采用“直线定界, 特殊点定域”的方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把 直线画成实线. (2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点 代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线 的另一侧.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时,常选点(1,0)或者 (0,1)作为测试点. 2.线性规划是数形结合的体现 (1)线性规划实质上是“数形结合”数学思想方法在一个方面的体现,将最值问题借 助图形直观、简便地寻找出来,是一种较快地求最值的方法. (2)在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取值范围,不可将范围盲目扩大.

1.若点(1,3)和(-4,-2)在直线 2x+y+m=0 的两侧,则 m 的取值范围是__________. 2.如图所示的平面区域(阴影部分)满足 不等式____________. 3.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成. 请木工需付工资每人 50 元,请瓦工需付工资 每人 40 元,现有工人工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,则请工人的约束 条件是________________. 4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式 组是____________.
?3x-y≤0, ? 5.(2011· 上海)若变量 x,y 满足条件? ? ?x-3y+5≥0,

则 z=x+y 的最大值为________.

题型一 二元一次不等式(组)表示平面区域

例1

?x-y+5≥0 ? 画出不等式组?x+y≥0 ?x≤3 ?

表示的平面区域,并回答下列问题:

(1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 探究提高 本题主要考查不等式表示的平面区域、 数列求和及不等式的应用等基础知 识,考查了数形结合的方法和逻辑推理能力. (1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集,因而是各 个不等式所表示的平面区域的公共部分. (2)在封闭区域内找整点数目时,若数目较小时,可画网格逐一数出;若数目较大, 则可分 x=m 逐条分段统计.

?y-2x≤0, ? 满足条件?x+2y+3>0, ?5x+3y-5<0 ?
A.3 B.4 C.5 题型二 求目标函数的最值问题

的区域中共有整点的个数为

(

)

D.6

例2

?7x-5y-23≤0 ? 已知 x,y 满足条件?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ?

,求 4x-3y 的最大值和最小值.

探究提高 处取得.

(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得, 也可能在边界

(2)求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在 y 轴上的截距或其相反数. (2011· 福建)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域

?x+y≥2, ? ?x≤1, ?y≤2 ?
A.[-1,0] C.[0,2]

→ → 上的一个动点,则OA· 的取值范围是 OM

(

)

B.[0,1] D.[-1,2]

题型三 线性规划的简单应用 例3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐,已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳

水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的 碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的 营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.

如果一个单位的午餐、 晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元, 那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 探究提高 解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出

线性约束条件和目标函数;(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答. 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告 总费用不超过 9 万元.甲、 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟. 假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间, 才能使公司的收 益最大,最大收益是多少万元?

16.利用几何意义求解非线性 目标函数的最值问题

?x-4y+3≤0 ? 试题:(12 分)变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ?
y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围;



(3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. 审题视角 (x,y)是可行域内的点.(1)z= y-0 可以理解为点(x,y)与点(0,0)连线的斜 x-0

率.(2)x2+y2 可以理解为点(x,y)与点(0,0)连线距离的平方.(3)x2+y2+6x-4y+13=(x +3)2+(y-2)2 可以理解为点(x,y)与(-3,2)的距离的平方.结合图形确定最值. 规范解答

?x-4y+3≤0 ? 解 由约束条件?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ?
可行域如图所示.
?x=1 ? 由? , ? ?3x+5y-25=0

,作出(x,y)的

22 解得 A?1, 5 ?. ? ?
?x=1 ? 由? ,解得 C(1,1). ? ?x-4y+3=0

?x-4y+3=0 ? 由? ,解得 B(5,2). ? ?3x+5y-25=0

[4 分]

y y-0 (1)∵z= = . x x-0 ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. 2 观察图形可知 zmin=kOB= . 5 [6 分]

(2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行 域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. ∴2≤z≤29. [9 分]

(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 的几何意义是可行域上的点到点(-3,2) 的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中, dmin=1-(-3)=4,dmax= ?-3-5?2+?2-2?2=8. ∴16≤z≤64. 批阅笔记 [12 分]

(1)本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函数的最值的求法.

(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标函数赋于一定的几何意 义. (3)本题错误率较高.出错原因是,很多学生无从入手,缺乏数形结合的应用意识,不 知道从其几何意义入手解题.

方法与技巧 1.平面区域的画法:二元一次不等式的标准化与半平面的对应性.对于 A>0 的直线 l:Ax +By+C=0, Ax+By+C>0 对应直线 l 右侧的平面; Ax+By+C<0 对应直线 l 左侧的 平面. 由一组直线围成的区域形状常见的有:三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域 等. 2.转化:求二元一次函数 z=ax+by (ab≠0)的最值,将函数 z=ax+by 转化为直线的斜 a z z 截式:y=- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值. b b b 3.实数最优解一定在顶点或边界取得; 经过区域内整数最优解的直线距实数最优解最近. 4.线性规划应用题建模的思路:一般以“资源——产品——收益”为主线;设元时将产 品数量设为 x、y,将收益多少设为 z,资源数量为常数 a、b、c 等.这样 z 与 x、y 之

间的关系就是目标函数;而 x、y 与 a、b、c 等之间的关系就是约束条件. 失误与防范 1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. z z 2.在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时,要注意:当 b>0 时,截距 取最大 b b z z 值时,z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距 取最大值 b b z 时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值. b

§ 7.3

二元一次不等式(组)与简单的线性规 划问题
(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组

一、选择题 1.设 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示的平面区域(不含边界的 阴影部分)是 ( )

?x+y≤1, ? 2.(2011· 安徽)设变量 x,y 满足?x-y≤1, ?x≥0, ?
A.1,-1 C.1,-2

则 x+2y 的最大值和最小值分别为(

)

B.2,-2 D.2,-1

?x-y+2≥0, ? 3.设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0, ?x+y-8≤0, ?
值分别为 A.3,-11

则目标函数 z=3x-4y 的最大值和最小

( B.-3,-11

)

C.11,-3

D.11,3

?x+2y-5≥0, ? 4.(2011· 浙江)若实数 x,y 满足不等式组?2x+y-7≥0, ?x≥0,y≥0, ?
A.13 二、填空题 B.15 C.20

则 3x+4y 的最小值是(

)

D.28

5.(2011· 陕西)如图,点(x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动,那么 2x-y 的最小值 为________.

6.(2010· 辽宁)已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是________.(答案 用区间表示) 7.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生 产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每 吨乙产品可获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获得的最大利润是________万元. 三、解答题 8.制订投资计划时, 不仅要考虑可能获得的盈利, 而且要考虑可能出现的亏损.某投资人 打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万 元,才能使可能的盈利最大? B 组 专项能力提升题组 一、选择题

?y≥x, ? 1.(2011· 湖南)设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?
则 m 的取值范围为 A.(1,1+ 2) C.(1,3)

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,

( B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞)

)

?x+2y-19≥0, ? 2.设二元一次不等式组?x-y+8≥0, ?2x+y-14≤0 ?

所表示的平面区域为 M,使函数 y=ax (a>0,

a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 A.[1,3] C.[2,9] B.[2, 10] D.[ 10,9]

(

)

?x≥1, ? 3.设不等式组?x-2y+3≥0, ?y≥x ?

所表示的平面区域是 Ω1,平面区域 Ω2 与 Ω1 关于直线

3x-4y-9=0 对称.对于 Ω1 中的任意点 A 与 Ω2 中的任意点 B, |AB|的最小值等于( 28 A. 5 二、填空题 B.4 12 C. 5 D.2

)

?x+2y-3≤0 ? 4.已知变量 x, 满足约束条件?x+3y-3≥0 y ?y-1≤0 ?

, 若目标函数 z=ax+y (其中 a>0)仅在点

(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为__________.
? ?3≤2x+y≤9, 5.(2011· 课标全国)若变量 x,y 满足约束条件? 则 z=x+2y 的最小值为 ?6≤x-y≤9, ?

________. 6.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b.若 x,y 满足不等式|x|+|y|≤1,则 z 的 取值范围为__________. 三、解答题 7.画出 2x-3<y≤3 表示的区域,并求出所有正整数解.

?x-y+1≤0, ? 8.实数 x、y 满足?x>0, ?y≤2. ?
y (1)若 z= ,求 z 的最大值和最小值,并求 z 的取值范围; x (2)若 z=x2+y2,求 z 的最大值与最小值,并求 z 的取值范围.

答案
要点梳理 1.(1)平面区域 不包括 包括 实线 (2)相同 符号 2.一次 最大值 最小值 一次 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值

最小值 基础自测 1.-5<m<10 2.x+y-1>0

?50x+40y≤2 000 ? * 3.?x∈N ?y∈N* ?
5. 5 2

?x≤0 ? 4.?0≤y≤1 ?2x-y+2≥0 ?

题型分类· 深度剖析 例1 解 (1)不等式 x-y+5≥0 表示直线

x-y+5=0 上及右下方的点的集合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.

?x-y+5≥0 ? 所以,不等式组?x+y≥0 ?x≤3 ?
表示的平面区域如图所示. 5 结合图中可行域得 x∈?-2,3?, ? ? y∈[-3,8]. (2)由图形及不等式组知
? ?-x≤y≤x+5, ? ? ?-2≤x≤3,且x∈Z.

当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). 变式训练 1 B

例2

?7x-5y-23≤0 ? 解 不等式组?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ?

表示的区域如图所示.

可观察出 4x-3y 在 A 点取到最大值,在 B 点取到最小值. 解方程组
? ? ?7x-5y-23=0 ?x=-1 ? ,得? , ?4x+y+10=0 ?y=-6 ? ?

则 A(-1,-6).
?x+7y-11=0 ?x=-3 ? ? 解方程组? ,得? . ? ? ?4x+y+10=0 ?y=2

则 B(-3,2),因此 4x-3y 的最大值和最小值分别为 14,-18. 变式训练 2 C 例3 解 设需要预计满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费

用 为 z 元 , 则 依 题 意 , 得 z = 2.5x + 4y , 且 x , y

?x≥0,y≥0, ?12x+8y≥64, 满足? 6x+6y≥42, ?6x+10y≥54, ?



?x≥0,y≥0, ?3x+2y≥16, ?x+y≥7, ?3x+5y≥27. ?
作出可行域如图,则 z 在可行域的四个顶点 A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分 别是

zA=2.5×9+4×0=22.5, zB=2.5×4+4×3=22,

zC=2.5×2+4×5=25, zD=2.5×0+4×8=32. 比较之,zB 最小,因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可 满足要求. 变式训练 3 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟, 总收益为 z 元,由题意得

?x+y≤300, ? ?500x+200y≤90 000, ?x≥0,y≥0. ?
目标函数为 z=3 000x+2 000y.

?x+y≤300, ? 二元一次不等式组等价于?5x+2y≤900, ?x≥0,y≥0. ?
域, 即可行域,如图: 作直线 l: 3 000x+2 000y=0, 即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.
?x+y=300, ? 联立? ? ?5x+2y=900.

作出二元一次不等式组所表示的平面区

解得 x=100,y=200. ∴点 M 的坐标为(100,200), ∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元). 即该公司在甲电视台做 100 分钟广告, 在乙电视台做 200 分钟广告, 公司的收益最大, 最大收益是 70 万元. 课时规范训练 A组 1.A 2.B 3.A 4.A 5.1 6.(3,8) 7.27

8.解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知

?x+y≤10, ?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ?y≥0, ?
目标函数 z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域. 将 z=x+0.5y 变形为 y=-2x+2z,这是斜率为-2、随 z 变化的一组平行线,当直线 y=-2x+2z 经过可行域内的点 M 时,直线 y=-2x+2z 在 y 轴上的截距 2z 最大,z 也最大.这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.
?x+y=10, ? 解方程组? ? ?0.3x+0.1y=1.8,

得 x=4,y=6, 此时 z=4+0.5×6=7(万元). ∵7>0,∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值, 所以投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万 元的前提下,使可能的盈利最大. B组 1.A 2.C 1 3.B 4.?2,+∞? ? ?

5.-6 6.[-3,3]
?y>2x-3, ? 7.解 先将所给不等式转化为? ? ?y≤3.

而求正整数解则意味着 x,y 还有限制条件,

?y>2x-3 ? 即求?y≤3 ?x,y>0 ?

的整数解.

? ?y>2x-3 所给不等式等价于? ?y≤3. ?

依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1).

?y>2x-3, ? 对于 2x-3<y≤3 的正整数解,再画出?y≤3, ?x,y>0 ?
如图(2)所示:

表示的平面区域.

可知,在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组.

?x-y+1≤0, ? 8.解 由?x>0, ?y≤2 ?

作出可行域如图中阴影部分所示.

y (1)z= 表示可行域内任一点与坐标原点连 x y 线的斜率,因此 的取值范围为直线 OB 的 x 斜率到直线 OA 的斜率(OA 斜率不存在).
? ?x-y+1=0 而由? ,得 B(1,2), ?y=2 ?

2 则 kOB= =2. 1 ∴zmax 不存在,zmin=2, ∴z 的取值范围是[2,+∞). (2)z=x2+y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方. 因此 x2+y2 的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.
? ?x-y+1=0 由? ,得 A(0,1), ? ?x=0

∴|OA|2=( 02+12)2=1, |OB|2=( 12+22)2=5. ∴z 的最大值为 5,没有最小值. 故 z 的取值范围是(1,5].


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