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黄冈中学最新高考数学题型分析{含黄冈密卷}


1 高考数学分类讨论重点题型分析 复习目标: 1.掌握分类讨论必须遵循的原则 2.能够合理,正确地求解有关问题 命题分析: 分类讨论是一种重要的逻辑方法,也是一种常用的数学方法,这可以培养学生思维的条理性和概括性,以及认识问题的全面性和深 刻性,提高学生分析问题,解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点. 重点题型分析: 例 1 解关于 x

的不等式 ax -2≥2x-ax(a∈R)(黄冈,二模 理科) 2 解:原不等式可化为? ax +(a-2)x-2≥0, (1)a=0 时,x≤-1,即 x∈(-∞,-1]. (2)a?0 时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0 时, 不等式化为 ( x ?
2

2 )( x ? 1) ? 0 , a



?a ? 0 2 ? 当 ?2 ,即 a>0 时,不等式解为 ( ?? ,?1] ? [ ,?? ) . a ? ? ?1 ?a ?a ? 0 ? 当 ?2 ,此时 a 不存在. ? ?1 ? ?a 2 a<0 时,不等式化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 , a ?a ? 0 2 ? 当 ?2 ,即-2<a<0 时,不等式解为 [ ,?1] a ? ? ?1 ?a ?a ? 0 2 ? 当 ?2 ,即 a<-2 时,不等式解为 [ ?1, ] . a ? ? ?1 ?a ?a ? 0 ? 当 ?2 ,即 a=-2 时,不等式解为 x=-1. ? ? ?1 ?a
2 ,?? ) . a

综上: a=0 时,x∈(-∞,-1). a>0 时,x∈ ( ?? ,?1] ? [

2 ,?1] . a 2 a<-2 时,x∈ [ ?1, ] . a
-2<a<0 时,x∈ [ a=-2 时,x∈{x|x=-1}. 评述:通过上面三个例题的分析与解答,可以概括出分类讨论问题的基本原则为: 0 1 :能不分则不分; 0 2 :若不分则无法确定任何一个结果; 0 3 :若分的话,则按谁碍事就分谁.

例 2.解关于 x 的不等式

ax +2ax+1>0(a?R) 1

2

解:此题应按 a 是否为 0 来分类. (1)当 a=0 时,不等式为 1>0, 解集为 R. (2)a?0 时分为 a>0 与 a<0 两类 ①?

?a ? 0 ?a ? 0 ? ?? 2 ?? ? a ? 1 时,方程 ax +2ax+1=0 有两根 ??0 ?4a ? 4a ? 0 ?a(a ? 1) ? 0 ? ? ?a ? 0
2

a(a ? 1) ? 2a ? 4a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? a . x1, 2 ? ? ? ?1 ? 2a a a a(a ? 1) a(a ? 1) 则原不等式的解为 (??,?1 ? ) ? (?1 ? ,??) . a a ? ?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 ②? ?? 2 ?? ? 0 ? a ? 1 时, ?4a ? 4a ? 0 ?0 ? a ? 1 ?? ? 0 ?
方程 ax +2ax+1=0 没有实根,此时为开口向上的抛物线,则不等式的解为(-?,+?). ③
2

?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?? 2 ?? ? a ? 1 时, ? ?4a ? 4a ? 0 ?a ? 0或a ? 1 ?? ? 0 ?
2

方程 ax +2ax+1=0 只有一根为 x=-1,则原不等式的解为(-?,-1)∪(-1,+?). ④?

?a ? 0 ?a ? 0 ? ?? 2 ?? ? a ? 0 时, ?4a ? 4a ? 0 ?a ? 0或a ? 1 ?? ? 0 ? ?a ? 0
2

方程 ax +2ax+1=0 有两根, x1, 2

?

? 2a ? a(a ? 1) a(a ? 1) ? ?1 ? 2a a

此时,抛物线的开口向下的抛物线,故原不等式的解为:

(?1 ?

a(a ? 1) a(a ? 1) ,?1 ? ). a a ? ?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 ?? 2 ?? ? a?? ⑤? ?4a ? 4a ? 0 ?0 ? a ? 1 ?? ? 0 ? a(a ? 1) a(a ? 1) ) ? (?1 ? ,??) . a a

综上: 当 0≤a<1 时,解集为(-?,+?). 当 a>1 时,解集为 (??,?1 ?

当 a=1 时,解集为(-?,-1)∪(-1,+?). 当 a<0 时,解集为 (?1 ?

a(a ? 1) a(a ? 1) ,?1 ? ). a a
? a 3 ? (a ? a 2 ) x (a ? R) (黄冈,二模
2

例 3. .解关于 x 的不等式: x

2

理科)

解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a )<0 (下面按两个根的大小关系分类) 2 2 2 (1)当 a>a ?a -a<0 即 0<a<1 时,不等式的解为 x?(a , a). 2 2 2 (2)当 a<a ?a -a>0 即 a<0 或 a>1 时,不等式的解为:x?(a, a ) 2 2 2 2 (3)当 a=a ?a -a=0 即 a=0 或 a=1 时,不等式为 x <0 或(x-1) <0 不等式的解为 x??. 2 综上,当 0<a<1 时,x?(a , a) 2 当 a<0 或 a>1 时,x?(a,a ) 当 a=0 或 a=1 时,x??. 评述:抓住分类的转折点,此题分解因式后,之所以不能马上写出解集,主要是不知两根谁大谁小,那么就按两个根之间的大小关 系来分类. 2 2 例 4.已知函数 f(x)=cos x+asinx-a +2a+5.有最大值 2,求实数 a 的取值. 解:f(x)=1-sin x+asinx-a +2a+5 ?
2 2

a 3 ?(sin x ? ) 2 ? a 2 ? 2a ? 6. 2 4

令 sinx=t,

t∈[-1,1].

2

a 3 f (t ) ? ?(t ? ) 2 ? a 2 ? 2a ? 6 (t∈[-1,1]). 2 4 a ? 1 即 a>2 时,t=1, ymax ? ?a 3 ? 3a ? 5 ? 2 (1)当 2 3 ? 21 3 ? 21 解方程得: a ? (舍). 或a ? 2 2 a a 3 ? 1 时,即-2≤a≤2 时, t ? , y max ? ? a 2 ? 2a ? 6 ? 2 , (2)当 ? 1 ? 2 2 4 4 解方程为: a ? ? 或 a=4(舍). 3 a (3)当 ? ?1 即 a<-2 时, t=-1 时,y =-a +a+5=2 2 1 ? 13 ? 1 ? 13 即 a -a-3=0 ∴ a ? , ∵ a<-2, ∴ a ? 全都舍去. 2 2 3 ? 21 4 综上,当 a ? 或a ? ? 时,能使函数 f(x)的最大值为 2. 2 3

2 max 2

例 5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 是其前 n 项和,证明: 证明:(1)当 q=1 时,Sn=na1 从而
2 S n ? S n?2 ? S n?1

log0.5 S n ? log0.5 S n ? 2 ? log0.5 S n ?1 . 2 ? na1 ? (n ? 2)a1 ? (n ? 1) 2 a12 ? ?a12 ? 0

a1 (1 ? q n ) (2)当 q≠1 时, S n ? , 1? q

从而

2 2 a1 (1 ? q n )(1 ? q n?2 ) ? a1 (1 ? q n?1 ) 2 2 2 S n ? S n?2 ? S n?1 ? ? ?a1 q n ? 0. 2

(1 ? q)

由(1) (2)得: S n ∵ 函数

? S n?2 ? S

2 n?1 .

x y ? log0.5 为单调递减函数.∴

log0.5 S n ? log0.5 S n ? 2 ? log0.5 S n ?1 . 2

例 6.设一双曲线的两条渐近线方程为 2x-y+1=0, 2x+y-5=0,求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程,不能确定其焦点位置,所以应分两种情况求解. 解: (1) 当双曲线的焦点在直线 y=3 时, 双曲线的方程可改为

( x ? 1) 2 ( y ? 3) 2 b ? ? 1 ,一条渐近线的斜率为 ? 2 , ∴ 2 a a b

b=2.



e?

c b2 ? a2 5a 2 ? ? ? 5. a a 5
a 5 ? 2 ,此时 e ? . b 2

(2)当双曲线的焦点在直线 x=1 时,仿(1)知双曲线的一条渐近线的斜率为

综上(1) (2)可知,双曲线的离心率等于

5或

5 . 2

评述:例 5,例 6,的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的,而例 1-4 是对于含有参数的问题而对参数的允许 值进行的全面讨论.
a (1? x ) ?1 x ?2

例 7.解关于 x 的不等式 解:原不等式

5

? 1 .(黄冈 2010,二模

理科)

?5 ? 50 a(1 ? x) (1 ? a) x ? a ? 2 ? ?1 ? 0 ? ? 0 ? ( x ? 2)[(1 ? a) x ? (2 ? a)] ? 0 x?2 x?2
3

a (1? x ) ?1 x?2

?1 ? a ? 0 ?1 ? a ? 0 ?1 ? a ? 0 ? ? ? (1)? 或(2)? 或(3)? 2?a 2?a )?0 )?0 ?( x ? 2)(1 ? 2) ? 0 ?( x ? 2)(x ? ?( x ? 2)(x ? 1? a 1? a ? ?
由(1) a=1 时,x-2>0, 即 x∈(2,+∞). 由(2)a<1 时,

2?a ? 0 ,下面分为三种情况. 1? a

?a ? 1 ?a ? 1 2?a ? ). ① ?2 ? a 即 a<1 时,解为 ( 2, ?? 1? a ?2 ?a ? 0 ?1 ? a ? ?a ? 1 ?a ? 1 ? ② ?2 ? a ?? ? a ? 0 时,解为?. ?2 ?a ? 0 ? ?1 ? a ?a ? 1 ?a ? 1 2?a ? ,2) . ③ ?2 ? a ? ? 即 0<a<1 时,原不等式解为: ( 1? a ?2 ?a ? 0 ? ?1 ? a 2?a 由(3)a>1 时, 的符号不确定,也分为 3 种情况. 1? a ?a ? 1 ?a ? 1 ? ① ?2 ? a ? a 不存在. ?? ? 2 ?a ? 0 ? ?1 ? a ?a ? 1 ?a ? 1 2?a ? ) ? (2,?? ) . ② ?2 ? a ?? ? 当 a>1 时,原不等式的解为: (?? , 1? a ? 2 ?a ? 0 ? ?1 ? a
综上: a=1 时,x∈(2,+∞). a<1 时,x∈ ( 2, a=0 时,x??.

2?a ) 1? a

2?a ,2) 1? a 2?a ) ? (2,?? ) . a>1 时,x∈ ( ?? , 1? a
0<a<1 时,x∈ ( 评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 0 1 :明确讨论的对象,确定对象的全体; 0 2 :确定分类标准,正确分类,不重不漏; 0 3 :逐步进行讨论,获得结段性结记; 0 4 :归纳总结,综合结记. 课后练习:

? 8x ? 3) ? 2 2.解不等式 | log 1 x | ? | log1 (3 ? x) |? 1
1.解不等式 logx (5x
2
2

3

ax ? 5 ? 0 的解集为 M. 3.已知关于 x 的不等式 2 x ?a
(1)当 a=4 时,求集合 M: (2)若 3?M,求实数 a 的取值范围. 2 4.在 x0y 平面上给定曲线 y =2x, 设点 A 坐标为(a,0), a?R,求曲线上点到点 A 距离的最小值 d,并写成 d=f(a)的函数表达式.

4

参考答案:

1 3 3 , )( , ?) ? ? 2 5 2 3 9 2. [ , ] 4 4 5 ( 2)( , 2) 3. (1) M 为 ? ?, ? 4 5 (2) a ? ( ?? , ) ? (9,?? ) 3 ? 2a ? 1 当a ? 1时 ? 4. d ? f (a ) ? ? . ?| a | 当a ? 1时 ?
1.( 2 高三数学函数重点题型分析 复习重点:函数问题专题,主要帮助学生整理函数基本知识,解决函数问题的基本方法体系,函数问题中的易错点,并提高学生 灵活解决综合函数问题的能力。 复习难点:树立数形结合的思想,函数方程的思想解决有关问题。 主要内容: (一)基本问题 1.定义域 2.对应法则 3.值域 4.图象问题 5.单调性 6.奇偶性(对称性) 7.周期性 8.反函数 9.函数值比大小 10.分段函数 11. 函数方程及不等式 (二)基本问题中的易错点及基本方法 1.集合与映射 <1>认清集合中的代表元素 <2>有关集合运算中,辨清:子集,真子集,非空真子集的区别。还应注意空集的情形,验算端点。 2.关于定义域 <1>复合函数的定义域,限制条件要找全。 <2>应用问题实际意义。 <3>求值域,研究函数性质(周期性,单调性,奇偶性)时要首先考察定义域。 <4>方程,不等式问题先确定定义域。 3.关于对应法则 注:<1>分段函数,不同区间上对应法则不同 <2>联系函数性质求解析式 4.值域问题 基本方法:<1>化为基本函数——换元(新元范围) 。化为二次函数,三角函数,??并结合函数单调性,结合函数图象,求值域。 <2>均值不等式:——形如和,积,及

f ( x) ?

x b ? a x

形式。注意识别及应用条件。

<3>几何背景:——解析几何如斜率,曲线间位置关系等等。 易错点:<1>考察定义域 <2>均值不等式使用条件 5.函数的奇偶性,单调性,周期性。 关注问题:<1>判定时,先考察定义域。 <2>用定义证明单调性时,最好是证哪个区间上的单调性,在哪个区间上任取x1及x2。 <3>求复合函数单调区间问题,内、外层函数单调区间及定义域,有时需分类讨论。 <4>由周期性及奇偶性(对称性)求函数解析式。 <5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称,求出函数周期。 6.比大小问题 基本方法:<1>粗分。如以“0”“1”“-1”等为分界点。 , , <2>搭桥 <3>结合单调性,数形结合 <4>比差、比商 <5>利用函数图象的凸凹性。 7.函数的图象 <1>基本函数图象 <2>图象变换 ①平移 ②对称(取绝对值) ③放缩 易错点:复合变换时,有两种变换顺序不能交换。如下: <I>取绝对值(对称)与平移 5

例:由

y ? x 图象,经过如何变换可得下列函数图象?

<1>

y ? | x | ?1

<2>

y ? | x ?1 |

分析:<1>

x ? x ?1 x ?| x| y ? x ?? ? ?? y ? x ? 1 ?? ? ? y ? | x | ?1. ? 平移 对称
x ?| x| x ? x ?1 y ? x ?? ? ? y ? | x | ?? ? ?? y ? | x ? 1 |. ? 对称

<2> 评述:要由

y ? x 得到 y ? | x | ?1 只能按上述顺序变换,两顺序不能交换。

<II>平移与关于y=x对称变换 -1 例:y=f(x+3)的反函数与y=f (x+3)是否相同? 分析:① y
x , y )? y , x ? f ( x ) ?x ? x ?3? y ? f ( x ? 3) ?(? ?( ?) ? f ( x ? 3) 的反函数。 ?? ? 平移 对称



( x, y ) ? ( y , x ) x? x ?3 y ? f ( x) ?? ? ? ? ?? y ? f ?1 ( x) ?? ? ? ? f ?1 ( x ? 3). ? ? 对称 平移

∴两个函数不是同一个函数(也可以用具体函数去验证。 ) (三)重点题型例题:

x f ( x) ? (1 ? tgx ? tg ) ? sin x 的奇偶性及周期性。 2 ? ?x ? x ? 2k? ? ? ? 2 ? k? ? 2 ? ? ?? 分析:<1>定义域: ? ? (k ? Z ) ? x ? k? ? ? ? x ? k? ? 2 ? ? 2 ?
例1.判断函数 ∴ f(x)定义域关于原点对称,如图: 又

f ( x) ? (1 ? tgx ?

1 ? cos x ) sin x ? tgx sin x

∴ f(-x)=-f(x), ∴ f(x)周期?的奇函数。 评述:研究性质时关注定义域。 例2.<1>设f(x)定义在R上的偶函数,且

f ( x ? 3) ? ?

1 ,又当x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,求f(113.5)的值。 f ( x)

<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。 解:<1>∵



1 f ( x) 1 f ( x ? 6) ? ? ? f ( x) , f ( x ? 3) f ( x ? 3) ? ?

∴ f(x)周期T=6,

∴ f(113.5)=f(6?19-0.5)=f(-0.5). 当x∈(-1,0)时,x+3∈(2,3). ∵ x∈(2,3)时,f(x)=f(-x)=2x. ∴ f(x+3)=-2(x+3). ∴

f ( x) ? ?



1 1 ? f ( x ? 3) 2( x ? 3) 1 1 1 f (? ) ? ? . 1 2 5 2 ? (? ? 3) 2

,

<2>(法1) (从解析式入手) ∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1), ∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2. ∵ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. 6

∴ f(x)=3-x, x∈(1,2). 小结:由奇偶性结合周期性,将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。 (法2) (图象) f(x)=f(x+2) 如图:x∈(0,1), f(x)=x+1. x∈(-1,0)→f(x)=-x+1. x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x. 注:从图象入手也可解决,且较直观。 2 例3.<1>若x∈(1,2)时,不等式(x-1) <logax恒成立,求a的取值范围。 2 <2>已知二次函数f(x)=x +ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t),且在闭区间Z[m,0]上有最大值5,最小值1,求m的取值范围。 2 分析:<1>设 y1=(x-1) , y2=logax x∈(1,2),即x∈(1,2)时,曲线y1在y2的下方,如图: ∴ a=2时,x∈(1,2)也成立,∴a∈(1,2]. 小结:①数形结合 ②变化的观点 ③注意边界点,a=2,x取不到2, ∴仍成立。 <2>∵f(t)=f(-4-t), ∴ f(-2+t)=f(-2-t) 2 ∴ f(x)图象关于x=-2对称, ∴ a=4, ∴ f(x)=x +4x+5. 2 ∴ f(x)=(x+2) +1, 动区间:[m,0], ∵ x∈[m,0], [f(x)]max=5, [f(x)]min=1, ∴ m∈[-4,0]. 小结:函数问题,充分利用数形结合的思想,并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题,定函数动区间 及动函数和定区间,但两类问题若涉及函数最值,必然要考虑函数的单调区间,而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位 置。以发展的眼光看,还可解决一类动直线定曲线相关问题。 例4.已知函数

f ( x) ? log a

x?5 , (a ? 0且a ? 1). (黄冈2011,二模 x?5

理科)

(I)判定f(x)在x∈(-∞,-5)上的单调性,并证明。 (II)设g(x)=1+loga(x-3),若方程f(x)=g(x)有实根,求a的取值范围。 分析:(I)任取x1<x2<-5, 则:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? loga

x1 ? 5 x ?5 ( x ? 5)(x2 ? 5) ? loga 2 ? loga 1 , x1 ? 5 x2 ? 5 ( x1 ? 5)(x2 ? 5)

∵ (x1-5)(x2+5)-(x1+5)(x2-5)=10(x1-x2)<0 又 (x1-5)(x2+5)>0 且(x1+5)(x2-5)>0

0?

( x1 ? 5)(x2 ? 5) ? 1, ( x1 ? 5)(x2 ? 5)
x?5 ? 1 ? log a ( x ? 3) 。 x?5

∴ 当a>1时,f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增, 当0<a<1时,f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)单调递减。 (II)若f(x)=g(x)有实根,即: log a

?x ?5 ?0 ? ∴ ?x ? 5 ? x ? 5. ?x ? 3 ? 0 ? x?5 ? a ( x ? 3) 有大于5的实根。 ∴ 即方程: x?5 x?5 ( x ? 5) ? (法1) a ? ( x ? 3)(x ? 5) ( x ? 5 ? 2)(x ? 5 ? 10)

(∵ x>5)

?

x ?5 ? ( x ? 5) ? 12( x ? 5) ? 20
2

1 ( x ? 5) ? 20 ? 12 ( x ? 5)

?

1 12 ? 2 20

?

3? 5 16

3? 5 ]. 16 x?5 ? a ( x ? 3) (1)有大于5的实根, (法2) (实根分布) x?5


a ? (0,

方程(1)化为:ax +(2a-1)x-15a+5=0. 2 ∵ a>0, ∴Δ=64a -24a+1≥0. 7

2

①有一根大于5

?? ? 5 ??. ? ? f (5) ? 0
3? 5 ]. 16

? ?? ? 0 ? ②两根均大于 ? f (5) ? 0 ?1 ? 2a ? ?5 ? 2a

? a ? (0,

小结:实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时,具体步骤为:①二次函数图象开 口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中,也可以用韦达定理解决。 小结: 函数部分是高考考察重点内容,应当对其予以充分的重视,并配备必要例题,理顺基本方法体系。 练习: 已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有 <1>用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数。 2 <2>若f(x)≤t -2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围。 参考答案: (2)|t|≥2或t=0.

f ( m) ? f ( n ) ? 0。 m?n

3 高考数学排列与组合重点题型分析 授课内容:复习排列与组合 考试内容:两个原理;排列、排列数公式;组合、组合数公式。 考试要求:1)掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2)理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式,并能用它们解决一些简单的问题。 试题安排:一般情况下,排列组合为一道以选择或填空题的形式出现的应用题。有时还另有一道排列、组合与其他内容的综合题 (大都与集合、立体几何、不等式证明等相综合) 。 重点:两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点:不重不漏。 知识要点及典型例题分析: 1.加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念,推导排列数及组合数公式;分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据;完成 一件事共有多少种不同方法,这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例 1.书架上放有 3 本不同的数学书,5 本不同的语文书,6 本不同的英语书。 (1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法? (2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法? (3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法。 解: (1)由于从书架上任取一本书,就可以完成这件事,故应分类,由于有 3 种书,则分为 3 类然后依据加法原理,得到的取法 种数是:3+5+6=14 种。 (2)由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各 1 本,需要分成 3 个步骤完成,据乘法原理,得到不同的取法种数是:3 ×5×6=90(种) 。 (3)由于从书架上任取不同科目的书两本,可以有 3 类情况(数语各 1 本,数英各 1 本,语英各 1 本)而在每一类情况中又 需分 2 个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是:3×5+3×6+5×6=63(种) 。 例 2.已知两个集合 A={1,2,3},B={a,b,c,d},从 A 到 B 建立映射,问可建立多少个不同的映射? 分析:首先应明确本题中的“这件事是指映射,何谓映射?即对 A 中的每一个元素,在 B 中都有唯一的元素与之对应。 ” 因 A 中有 3 个元素,则必须将这 3 个元素都在 B 中找到家,这件事才完成。因此,应分 3 个步骤,当这三个步骤全进行完, 一个映射就被建立了,据乘法原理,共可建立不同的映射数目为:5×5×5=53(种) 。 2.排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式,一是连乘积的形式,这种形式主要用于计算;二是阶乘的形式,这种形式主要用于化简 与证明。 连乘积的形式 阶乘形式 Pn =n(n-1)(n-2)??(n-m+1) =
m

Cn

m

n! (n ? m)! n(n ? 1)(n ? 2) ??(n ? m ? 1) n! ? = m(m ? 1) ??3 ? 2 ? 1 m!(n ? m)!
m m-1 m

例 3.求证:Pn +mPn =Pn+1

8

证明:左边=

n! n! ?m (n ? m)! (n ? m ? 1)! (n ? m ? 1)n!? m ? n! ? (n ? m ? 1)! (n ? 1)! ? [(n ? 1) ? m]!

? Pnm 1 ? 右边 ?
∴ 等式成立。 评述:这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质。 n!(n+1)=(n+1)!.可使变形过程得以简化。 例 4.解方程 P z ?1 2
4

? 140Px3 .(黄冈,二模

理科)

解:原方程可化为:

?

?2x ? 1 ? 4 ?x ? 3 ? ? ?x ? N ?(2x ? 1)2x (2x ? 1)(2x ? 2) ? 140x ( x ? 1)(x ? 2) ?
?x ? 3 ? ?x ? N ?(2 x ? 1)(2 x ? 1) ? 35( x ? 2) ?
?x ? 3 ? ?x ? N ?4 x 2 ? 35x ? 69 ? 0 ?
解得 x=3.

?

?

评述:解由排列数与组合数形式给出的方程时,在脱掉排列数与组合数的符号时,要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与 被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。 3.排列与组合的应用题 历届高考数学试题中,排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件;或是限定元素的选择,或是限定 元素的位置,这些应用问题的内容和情景是多种多样的而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有:一般方法和特殊方法两 种。 一般方法有:直接法和间接法 (1)在直接法中又分为两类,若问题可分为互斥各类,据加法原理,可用分类法;若问题考虑先后次序,据乘法原理,可用 占位法。 (2)间接法一般用于当问题的反面简单明了,据 A∪ A =I 且 A∩ A =?的原理,采用排除的方法来获得问题的解决。 特殊方法: (1)特元特位:优先考虑有特殊要求的元素或位置后,再去考虑其它元素或位置。 (2)捆绑法:某些元素必须在一起的排列,用“捆绑法” ,紧密结合粘成小组,组内外分别排列。 (3)插空法:某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法” ,不需分离的站好实位,在空位上进行排列。 (4)其它方法。 例 5.7 人排成一行,分别求出符合下列要求的不同排法的种数。 (1)甲排中间; (2)甲不排两端; (3)甲,乙相邻; (4)甲在乙的左边(不要求相邻)(5)甲,乙,丙连排; ; (6)甲,乙,丙两两不相邻。 解: (1)甲排中间属“特元特位” ,优先安置,只有一种站法,其余 6 人任意排列,故共有:1× P6 =720 种不同排法。 (2)甲不排两端,亦属于“特元特位”问题,优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有 P 种,其余 6 人可任意排列 5 有 P6 种,故共有 P · P6 =3600 种不同排法。 5 (3)甲、乙相邻,属于“捆绑法” ,将甲、乙合为一个“元素” ,连同其余 5 人共 6 个元素任意排列,再由甲、乙组内排列, 故共有 P6 · P2 =1400 种不同的排法。 (4)甲在乙的左边。考虑在 7 人排成一行形成的所有排列 P7 中: “甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的,在 不要求相邻时,各占所有排列的一半,故甲在乙的左边的不同排法共有
7 6 1 6 1 6

6

2

1 7 P =2520 种。 2 7

(5)甲、乙、丙连排,亦属于某些元素必须在一起的排列,利用“捆绑法” ,先将甲、乙、丙合为一个“元素” ,连同其余 4 9

人共 5 个“元素”任意排列,现由甲、乙、丙交换位置,故共有 P5 · P3 =720 种不同排法。 (6)甲、乙、丙两两不相邻,属于某些元素必须不在一起的分离排列,用“插空法” ,先将甲、乙、丙外的 4 人排成一行, 形成左、右及每两人之间的五个“空” 。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空” ,故共有 P4 · P5 =1440 种不同的排法。 例 6.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成无重复数字的五位数,分别求出下列各类数的个数: (1)奇数; (2)5 的倍数; (3)比 20300 大的数; (4)不含数字 0,且 1,2 不相邻的数。 解: (1)奇数:要得到一个 5 位数的奇数,分成 3 步,第一步考虑个位必须是奇数,从 1,3,5 中选出一个数排列个位的位置上 有 P 种;第二步考虑首位不能是 0,从余下的不是 0 的 4 个数字中任选一个排在首位上有 P4 种;第三步:从余下的 4 个数字中任选 3 3 个排在中间的 3 个 数的位置上,由乘法原理共有 P 3
1

5

3

4

3

1

1

。 P41 P43 =388(个)

(2)5 的倍数:按 0 作不作个位来分类 第一类:0 作个位,则有 P5 =120。 第二类:0 不作个位即 5 作个位,则 P4 则共有这样的数为: P5 + P4
4

4

1

P43 =96。

1

。 P43 =216(个)
4

(3)比 20300 大的数的五位数可分为三类: 第一类:3xxxx, 4xxxx, 5xxxx 有 3 P5 个; 第二类:21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的 4 P4 个; 第三类:203xx, 204xx, 205xx, 有 3 P3 个,因此,比 20300 大的五位数共有: 3 P5 +4 P4 +3 P3 =474(个) 。 (4)不含数字 0 且 1,2 不相邻的数:分两步完成,第一步将 3,4,5 三个数字排成一行;第二步将 1 和 2 插入四个“空” 中的两个位置,故共有 P 3
3
4 2

3

3

2

? P44 =72 个不含数字 0,且 1 和 2 不相邻的五位数。
1 1

例 7.直线与圆相离,直线上六点 A1,A2,A3,A4,A5,A6,圆上四点 B1,B2,B3,B4,任两点连成直线,问所得直线最多几条?最少 几条? 解:所得直线最多时,即为任意三点都不共线可分为三类:第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为 C 6 C 4 =24;第 二类为圆上任取两点所得的直线条数为 C 4 =6;第三类为已知直线为 1 条,则直线最多的条数为 N1= C 6 C 4 + C 4 +1=31(条) 。 所得直线最少时,即重合的直线最多,用排除法减去重合的字数较为方便,而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线,排 除重复,便是直线最少条数: N2=N1-2 C 4 =31-12=19(条) 。 4 三角函数定义与三角变换题型分析 内容:三角函数的定义与三角变换 重点:任意角的三角函数定义 难点:三角变换公式的应用 内容安排说明及分析: 本部分内容分为两大块,一块是三角的基础与预备知识,另一块是三角变换公式及其应用。把三角变换公式提到三角函数图象与 性质之前来复习,其目的是突出“工具提前”的原则。即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具,也是进一步研 究三角函数的图象和性质的重要工具。 由于本部分内容的基础性与工具性, 这是高中数学的重要内容之一, 因此, 最近几年的高考试题中占有一定的比例, 约占 13%左右。 有试题多为选择题,有时也有解答题,难度多为容易题与中等题。 知识要点及典型例题分析: 一、三角函数的定义 1.角的概念 (1)角的定义及正角,负角与零角 (2)象限角与轴上角的表达 (3)终边相同的角 (4)角度制 (5)弧度制 2.任意角的三角函数定义 任意角的 6 个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。借助直角坐标系这个工具,把角放进直角坐标系中完成的。由 任意角的三角函数定义直接可以得到: (1)三角函数的定义域 (2)三角函数值在四个象限中的符号 (3)同角三角函数的关系 (4)单位圆中的三角函数线:要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。 3.诱导公式 10
2 2
1 1

2

总共 9 组共 36 个公式,记忆口决为“奇变偶不变,符号看象限” ,并弄清口决中的字词含义,并根据结构总结使用功能。 “奇变”是指所涉及的轴上角为

? 2

的奇数倍时(包括 4 组:

? 2

??,

3? 2

??)函数名称变为原来函数的余函数;其主要功能在于:

当需要改变函数名称时,比如:由于“和差化积”公式都是同名函数的和差。使用时,对于不同名的函数先化为同名函数,又如:复 数化三角形式,有时也需要改变函数名称,如:sin?-icos?=cos( “偶不变”是指所涉及的轴上角为

? 2

3? 2

+?)+isin(

3? 2

+?)。

的偶数倍时(包括 5 组:2k?+?, ???, 2?-?, -?), 函数名称不变,其主要功能在于:求

任意角的三角函数值,化简及某些证明问题。 二、典型例题分析: 例 1. (1)已知-

? 2

<?<?<

? 2

, 求?+?与?-?的范围。(黄冈,二模 理科)

(2)已知?的终边在第二象限,确定?-?所在象限。 解: (1)∵-

? 2

<?<?<

? 2

,

∴-?<?+?<?,-?<?-?<0.

(2)有两种思路:其一是先把?的终边关于 x 轴对称放到-?的终边(在第三象限) ,再将-?的终边按逆时方向旋转?放到?-?的终 边即-?的终边的反向延长线,此时?-?的终边也在第二象限。 思路 2:是先把?的终边(第二象限)按顺时针方向旋转?,得到?+(-?)(第四象限) ,再将它关于 x 轴对称得到-(?-?)=?-?的终 边,此时也在第一象限。

k? k? ? , k?Z}, B={x|x= + , k?Z}, 则 A _____B。 4 2 4 k? ? (2k ? 1)? ? 解:由 B 中的 x= + = 可视为 的奇数倍所构成的集合。 2 4 4 4 k? ? 而 A 中的 x= 是 的所有奇数倍,因此 A?B。 4 4
例 2.若 A={x|x= 例 3.设 0<?<2?, 问 5?与角?终边相同,求?。 解:由已知 5?=2k?+?, k?Z, 有?= ∵ 0<?<2?, ∴k=1 时,?= 例 4.若

3 3? ;k=2 时,?=?;k=3 时,?= 2 2

k? 2

, .

1 ? cos ? =ctg?-csc?,求?取值范围。 1 ? cos ? 1 cos ? cos ? ? 1 解:先看一看右边=ctg?-csc?= = ,这样就决定了左边的变形方向。 sin ? sin? sin?

(1 ? cos? ) 2 1 ? cos ? (1 ? cos ? ) 2 = = , 1 ? cos ? sin 2 ? 1 ? cos2 ?


?cos ? ? 1 ? 0 ?cos ? ? 1 (1 ? cos ? ) 2 cos ? ? 1 = , ∴ ? ?? ??无解, 2 sin? sin ? ?sin ? ? 0 ?sin ? ? 0
2 ? , <?<?. 3 2
3

∴ 不存在这样的?使所给等式成立。 例 5.已知 sin(?-?)-cos(?+?)= 求: (1)sin?-cos?的值

(2)sin (

? 2

+?)+cos (

3

? 2

+?)的值

解: (1)由已知,得 sin?+cos?= ∴ 2sin?cos?=∵

2 2 ,平方得:1+2sin?cos?= , 3 9

? 2

7 , 9

<?<?,

∴ sin?-cos?=

(sin? ? cos? ) 2

=

1 ? 2 sin ? cos ? =

4 . 3
11

(2)sin (

3

=(cos?-sin?)(cos ?+sin?cos?+sin ?)
2 2

? 2

+?)+cos (

3

? 2

+?)=cos ?-sin ?
3 3

4 7 (1) 3 18 22 =. 27
=例 6.已知 sin(?-?)=2cos(?-2?),求下列三角函数的值: (1)

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 3? ? 3 sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) 2 2

(2)1+cos2?-

5 sin2?. 2

解:由已知:-sin?=2cos?,有 tg?=-2, 则

? sin? ? 5 cos ? ? tg? ? 5 7 = =- 。 ? 3 cos ? ? sin? ? 3 ? tg? 5 5 2 (2)1+cos ?- sin2? 2 5 5 2 sin ? ? 2 cos 2 ? ? sin 2? tg 2? ? 2 ? ? 2tg? 2 2 = = sin 2 ? ? cos 2 ? tg 2? ? 1
(1)原式=

(?2) 2 ? 2 ? 5(?2) 16 = . 5 (?2) 2 ? 1 a sin? ? b cos ? 评述:对于形如 为关于 sin?与 cos?的一次分式齐次式,处理的方法,就是将分子与分母同除以 cos?,即可化 c sin? ? d cos ? 5 2 2 2 为只含 tg?的式子。而对于 1+cos ?- sin2?属于关于 sin?与 cos?的二次齐次式。即 sin ?+2cos ?-5sin?cos?. 此时若能将分母的 2
= “1”用 sin ?+cos ?表示的话,这样就构成了关于 sin?与 cos?的二次分式齐次式,分子分母同除以 cos ?即可化为只含有 tg?的分式 形式。
2 2 2

25 ? x 2 +logsinx(2sinx-1)的定义域。(黄冈,二模 理科) ? ?25 ? x 2 ? 0 ?? 5 ? x ? 5 ? ? ? 5? ? ?sin x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 解:使函数有意义的不等式为: ? ? ?2k? ? 6 6 ? ?sin x ? 1 ? ? ?2 sin x ? 1 ? 0 ? ? x ? 2k? ? 2 (k ? Z ) ?
例 7.求函数 y= 将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来,然后,取公共部分,由于 x?[-5,5],故下面的不等式的范围只取落入[-5,5]之 内的值,即

∴因此函数的定义域为:

3? 3? 7? ? ? ? 5? )∪(,)∪( , )∪( , )。 2 2 6 6 2 2 6 sec ? ? tg? ? 1 1 ? sin? 例 8.求证: = . sec ? ? tg? ? 1 cos ?
[-5,证法一(左边化弦后再证等价命题)

1 sin ? ? ?1 1 ? sin? ? cos ? cos ? cos ? 左边= = 1 sin ? ? ? 1 1 ? sin? ? cos ? cos ? cos ?

12

要证

1 ? sin? ? cos ? 1 ? sin? = 1 ? sin? ? cos ? cos ?

只需证:(1+sin?+cos?)cos?=(1-sin?+cos?)(1+sin?) 2 左边=cos?+sin?cos?+cos ? 2 2 右边=1-sin ?+cos?+cos?sin?=cos ?+cos?+sin?cos? ∵左边=右边,∴原等式成立。 或证等价命题:

1 ? sin? ? cos ? 1 ? sin? 1 ? sin? ? cos ? cos ?

=0

证法二(利用化“1”的技巧) 左边=

=

?sec? ? tg? ?(1 ? sec? ? tg? ) =sec?+tg?= 1 ? sin? =右边。
sec? ? tg? ? 1
cos ?

sec ? ? tg? ? (sec 2 ? ? tg 2? ) sec ? ? tg? ? 1

证法三(利用同角关系及比例的性质) 2 2 由公式 sec ?-tg ?=1 ?(sec?-tg?)(sec?+tg?)=1 ?

sec? ? tg? 1

=

1 . sec ? ? tg?

由等比定理有:

sec ? ? tg? ? 1 1 ? sin? =sec?+tg?= . 1 ? sec ? ? tg? cos ?

证法四(利用三角函数定义) 证 sec?=

r , x

tg?=

y x

, sin?=

y r

, cos?=

x . r

然后代入所证等式的两边,再证是等价命题。 其证明过程同学自己尝试一下。 评述:证明三角恒等式的实质,就是逐步消除等号两边结构差异的过程,而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外,还 需要有下列等式的性质: (1)若 A=B,B=C 则 A=C(传递性) (2)A=B?A-B=0

A =1 (B?0) B A C (4) = ? AD=BC (BD?0) B D
(3)A=B? (5)比例:一些性质,如等比定理: 若

an an a1 ? a 2 ? ? ? a n a1 a 2 a1 a 2 = =??= ,则 = = =??= 。 b1 b2 bn bn b1 ? b2 ? ? ? bn b1 b2

1.如果?是第二象限角,则

? 所在的象限是( 2

) C、第二象限 D、第二或第四象限

A、第一象限 B、第一或第三象限 2.在下列表示中正确的是( ) A、终边在 y 轴上的角的集合是{?|?=2k?+

? 2

, k?Z}

B、终边在 y=x 的直线上的角的集合是{?|?=k?+ C、与(-

? 3

)的终边相同的角的集合是{?|?=k?-

? 4 ?
3

, k?Z} , k?Z}

D、终边在 y=-x 的直线上的角的集合是{?|?=2k?3.若?<?<

? 4

, k?Z}

3 ?, 2

则2

log2 sin ?

等于(

) D、-csc?

A、sin(?-?) 4.函数 y=2sin(

B、-sin?

C、cos(?-?)

x ? ? 2 6

)在[?,2?]上的最小值是( )

13

A、2 B、1 C、-1 D、-2 5.已知函数 y=cos(sinx),下列结论中正确的是( ) A、它的定义域是[-1,1] B、它是奇函数; C、它的值域是[0, 1] D、它是周期为?的函数 6.设 0<x<

? 4

,下列关系中正确的是(



A、sin(sinx)<sinx<sin(tgx) C、sin(tgx)<sinx<sin(sinx) 7.若 sin

B、sin(sinx)<sin(tgx)<sinx D、sinx<sin(tgx)<sin(sinx) 2?],终边在( )

? 3 ? 4 = ,cos =- ,则??[0, 2 5 2 5

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 8.如果一弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长是( A、sin



1 2

B、

? 6

C、

1 1 sin 2

D、2sin

1 2

9.化简三角函数式 tg( A、tg

? 7

10.设??(0, A、A>B

2k ? 1 6 ?+ ?) (k?Z), 结果是( ) 7 2 ? 6? ? B、ctg C、ctg D、-tg 7 7 7 ? ? sin ? tg? ), A ? ?cos? ? , B ? ?sec? ? 的大小是( 2
C、A<B D、A≤B



B、A≥B

答案:

B

B D

C D

A D

C

B C

5 正、余弦函数的有界性之解题作用 正、余弦函存在着有界性,即 大大简化解题过程。 例 1.若实数 x 满足 log2 解:原方程可化为 sin ?

sin x ? 1, cos x ? 1,在一些数学问题中灵活地加以运用,沟通三角函数与数值间的关系,能

x ? 2 sin ? ? 3 ,求 x ? 2 ? x ? 32 的值。(黄冈,二模
3 ? log2 x , 2 3 ? log2 x ? 1, 2

理科)

?

因为 ? 1 ?

sin ? ? 1 ,所以 ? 1 ?

所以 1 ? log2 所以

x ? 5 ,所以 2 ? x ? 32

x ? 2 ? x ? 32 ? x ? 2 ? 32 ? x ? 30 。

例 2.在 ?ABC 中, cos

? A ? B? ? sin? A ? B? ? 2 ,试判定三角形的形状。

14

解:因为 cos 所以 cos 而??

? A ? B? ? 1 , sin? A ? B? ? 1 ,又 cos? A ? B? ? sin? A ? B? ? 2 ,

? A ? B? ? 1 , sin? A ? B? ? 1

? A? B ? ? ,0 ? A? B ? ? , ? 于是 A ? B ? 0 , A ? B ? 2 ? 所以, A ? B ? 。故 ?ABC 为等腰直角三角形。 4 A C 3 2 A?C ? sin 2 ? sin 2 ? 例 3.已知四边形 ABCD 中的角 A 、 C 满足 cos 3 3 2 4 求证: B ? D ? ?
证明:由已知条件有 cos
2

A?C 1? 2A ? 1 ? 2C ? 3 ? ?1 ? cos ? ? ?1 ? cos ?? 3 2? 3 ? 2? 3 ? 4

所以 cos

2

A?C A?C 1 ? A?C ? cos ? ?0 ? ? ? cos 3 3 4 ? 3 ?

由于 cos

A?C A?C A?C 1 ? 1 。从而 cos 2 ? cos ? ?0 3 3 3 4
2 2

A?C 1? A?C 1? ? ? 所以 ? cos ? ? ? 0 ,但 ? cos ? ? ? 0, 3 2? 3 2? ? ?
A?C 1 A?C 1 ? ? 0 , cos ? 。 3 2 3 2 所以 A ? C ? ? ,故 B ? D ? ? 。
所以 cos 例 4.已知函数

f ?x ? ? ax ? b , 2a 2 ? 6b 2 ? 3 ,求证:对于任意 x ? ?? 1,1?,有 f ?x? ? 2 。
2
2

? 2 ? ? 证明:因为 2a ? 6b ? 3 ,所以 ? ? 3a? ? ? ?
2

? 2b?

2

? 1。



2 a ? sin ? , 2b ? cos? ,则 a ? 3
f ?x ? ? 3 1 sin ?x ? cos ? ? 2 2

2 1 sin ? , b ? cos? 3 2

所以

? 3x 2 ? 1 1 ? sin ?? ? ? ??? ? arctg ? ? ? 2 3x ? ?

从而

f ?x ? ?

3x 2 ? 1 3x 2 ? 1 sin?? ? ? ? ? 2 2
3 x ?1
2



x ? 1 ,故 f ? x ? ?

2

?

4 ? 2 2
3

例 5.证明: 1 ? 证明:设

sin ? ?

cos ? ? 2 4 。
3

sin ? ?

cos ? ? k ,则只须证明 1 ? k ? 2 4 。
15

因为 k

2

? sin ? ? cos? ? 2 sin ? cos? ?
? 1 ? sin 2? ? 2 sin 2?

? sin ? ? cos? ?

2

? 2 sin 2?

因为 0 ? 从而 1 ?

sin 2? ? 1,所以 1 ? k 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ,
3

k ? 2 4 。故 1 ?

sin ? ?

cos ? ? 2 4 。

3

例 6.复数 z 1 , z 2 , z 3 的幅角分别为 ? 、 ? 、 ? , z1 时, cos

? 1 , z 2 ? k , z3 ? 2 ? k ,且 z1 ? z 2 ? z3 ? 0 ,问 k 为何值

?? ? ? ?分别取得最大值和最小值,并求出最大值和最小值。
? cos? ? i sin ? , z 2 ? k ?cos ? ? i sin ? ? , z3 ? ?2 ? k ??cos? ? i sin ? ? ,

解;因为 z1 因为 z1 所以

? z 2 ? z3 ? 0 ,

?cos? ? k cos ? ? ?2 ? k ?cos? ? ? i?sin ? ? k sin ? ? ?2 ? k ?sin ? ? ? 0 。
? ?k cos ? ? ?2 ? k ?cos?
2 2

因而 cos?

, sin ?

? ?k sin ? ? ?2 ? k ?sin ?



两式平方相加得 1 ? k 由题设知 k 所以 cos

? ?k ? 2? ? 2k ?k ? 2?cos?? ? ? ?

? 0,k ? 2,
2 2

3 ??(*) ?? ? ? ? ? ?k ? 2? ? k ? 1 ? 1 ? 2 2k ?k ? 2? 2?k ? 1? ? 2
2?k ? 1? ? 2
2

因为

cos?? ? ? ? ? 1 ,所以 ? 2 ?
1 3 ?k? 。 2 2

3

?0,

解之得

由(*)知,当 k 又由(*)及

? 1 时, ?cos ?? ? ? ??min ? ?

1 。 2

1 3 1 3 ? k ? 知,当 k ? 、 2 2 2 2

时,

?cos?? ? ? ??min ? ?1。

例 7.设 a 为无理数,求证:函数 证明:假设

f ?x ? ? cos x ? cosax 不可能是周期函数。

f ?x ? 是周期函数,则存在常数 T ? 0 ,使对于任意的 x ,

cos?x ? T ? ? cosa?x ? T ? ? ? cos x ? cosax 都成立。
令x 因为

? 0 得, cos T ? cos aT ? ? cos 0 ? cos 0 ? 2

cosT ? 1 , cos aT ? 1,所以 cos T ? cos aT ? 1
? 2 K? , aT ? 2L? ?K , L为整数?

从而 T

16

所以 a

?

aT L ? T K



此时 K , L 为整数,则

L K

为有理数,但 a 为无理数,这是不可能的,故命题成立。

1. (2010 年全国)在(0,2?)内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( ) 。

? ? ? 5? , ) 内,sinx>cosx,在 [ , ? ] 内 sinx>cosx;在 (? , ) 内,sinx>cosx;综上,∴ 4 2 2 4 0 0 2. (2011 年黄冈) tg 300 ? ctg 405 的值为( ) 。
解:在 ( B、 1? 3 3 0 解: tg 300 ? ctg 405
0

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? 5? ) C、 ( , 4 4
A、 (

? ?

B、 ( D、 (

?
4

,?)

?
4

,? ) ? (

5? 3? , ) 4 2

应选 C。

A、 1?

C、 ? 1?

3

D、 ? 1?

3

? tg (3600 ? 600 ) ? ctg (3600 ? 450 ) ? ?tg 600 ? ctg 450 ? ? 3 ?1
∴ 应选 B。 3.(黄冈,二模 理科)已知点 P(sin?-cos?,tg?)在第一象限,则在[0,2?]内?的取值范围是( )

5? ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? )?( , ) C、 ( , 2 4 4 2 ?sin ? ? cos? ? 0 ? 解:由题设,有 ?tg? ? 0 ?0 ? ? ? 2? ?
A、 (

? 3?
,

) ? (? ,

B、 (

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? ? 4? ,? ) D、 ( , ) ? ( 4 2 3

? ?

?sin ? ? cos? ? ?? ? 3? ?? ? (0, 2 ) ? (? , 2 ) ?

在[0,2?)的范围内,在同一坐标系中作出 y=sinx 和 y=cosx 的图像,可在?? ( ∴?? (

? 5?
4 , 4

) 时,sin?>cos?。

? ?

5? , ) ? (? , ) 4 2 4
) 。

应选 B。 4. (1998 年全国)sin600?的值是( A、

1 2

B、 ?

1 2

C、

3 2

D、 ?

3 2

解:sin600?=sin(360?+240?)=sin240? =sin(180?+60?)=-sin60? =? ∴应选 D。 6 高考数学数列重点题型分析 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 一、等差数列与等比数列 例 1.A={递增等比数列的公比},B={递减等比数列的公比},求 A∩B. 解:设 q∈A,则可知 q>0(否则数列为摆动数列) . 17

3 2

由 an+1-an=a1·q -a1·q =a1·q (q-1)>0,得 当 a1>0 时,那么 q>1;当 a1<0 时,则 0<q<1. 从而可知 A={q | 0<q<1 或 q>1}.
n n-1 n-1

n

n-1

n-1

若 q∈A,同样可知 q>0.由 an+1-an=a1·q -a1·q =a1·q 当 a1>0 时,那么 0<q<1;当 a1<0 时,则 q>1. 亦可知 B={q | 0<q<1 或 q>1}. 故知 A∩B={q | 0<q<1 或 q>1}.

(q-1)<0,得

说明:貌似无法求解的问题,通过数列的基本量,很快就找到了问题的突破口! 例 2.求数列 1,(1+2),(1+2+2 ),??,(1+2+2 +??+2 ),??前 n 项的和. 分析:要求得数列的和,当务之急是要求得数列的通项,并从中发现一定规律.而通项又是一等比数列的和.设数列的通项为 an, 则 an=1+2+2 +??+2 =
2 3 2 n-1 2 2 n-1

1·(1-2 ) n =2 -1.从而该数列前 n 项的和 1-2
n

n

Sn=(2-1)+(2 -1)+(2 -1)+?+(2 -1) =(2+2 +2 +?+2 )-n=
2 3 n

2·(1-2 ) n+1 -n=2 -n-2. 1-2

n

说明:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n

?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n a ? an q 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) ? 1 (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
3、
n 1 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1

4、 S n

n 1 ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1

5、

n 1 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1

常用的数列求和方法有:利用常用求和公式求和;错位相减法求和;反序相加法求和;分组法求和;裂项法求和;合并法求和; 利用数列的通项求和等等。 1 例 3.已知等差数列{an}的公差 d= ,S100=145.设 S 奇=a1+a3+a5+??+a99,S'=a3+a6+a9+??+a99,求 S 奇、S' . 2 解:依题意,可得 S 奇+S 偶=145, 即 S 奇+(S 奇+50d)=145, 又由 S100=145,得 即 2 S 奇+25=145, 解得,S 奇=120.

(a1+a100)100 =145,故得 a1+a100=2.9 2

S'=a3+a6+a9+??+a99 = (a3+a99)33 (a2+a100)33 (0.5+a1+a100)33 (0.5+2.9)33 = = = =1.7·33=56.1. 2 2 2 2

说明:整体思想是求解数列问题的有效手段! 例 4.在数列{an}中,a1=b(b≠0),前 n 项和 Sn 构成公比为 q 的等比数列。 (1)求证:数列{an}不是等比数列; (2)设 bn=a1S1+a2S2+?+anSn,|q|<1,求 lim bn。
n??

18

解: (1)证明:由已知 S1=a1=b ∵{Sn}成等比数列,且公比为 q。 ∴Sn=bq ,∴Sn-1=b·q (n≥2)。 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=bq -bq =b·(q-1)·q an+1 b(q-1)·q 故当 q≠1 时, = n-2 =q, an b(q-1)·q 而 a2 b(q-1) = =q-1≠q,∴{an}不是等比数列。 a1 b
n-1 n-1 n-2 n-2 n-1 n-2

当 q=1,n≥2 时,an=0,所以{an}也不是等比数列。 综上所述,{an}不是等比数列。 (2)∵|q|<1,由(1)知 n≥2,a2,a3,a4,?,an 构成公比为 q 的等比数列,∴a2S2,a3S3,?,anSn 是公比为 q 的等比数列。 ∴bn=b +a2S2·(1+q +q +?+q ∵S2=bq,a2=S2-S1=bq-b ∴a2S2=b q(q-1) ∴bn=b +b q(q-1)· ∵|q|<1 ∴ lim q
n??
2n-2 2 2 2 2 2 4 2n-4 2

)

1-q 2 1-q

2n-2

=0
2

1 b 2 2 ∴ lim bn=b +b q(q-1)· 2 = 1-q 1+q n?? 说明: 1+q +q +?+q
2 4 2n-4

的最后一项及这个式子的项数很容易求错,故解此类题时要细心检验。数列的极限与数列前 n 项和

以及其他任何有限多个项无关,它取决于 n→∞时,数列变化的趋势。

二、数列应用题 例 5. (2001 年全国理)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业. 根据规划,本年度 1 投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后 5 1 的旅游业收入每年会比上年增加 。(Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元. 写出 an,bn 的表达式 4 (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解:第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入 800×(1- 1 n-1 第 n 年投入 800×(1- ) 万元 5 1 1 n-1 4 n 所以总投入 an=800+800(1- )+??+800×(1- ) =4000[1-( ) ] 5 5 5 1 同理:第 1 年收入 400 万元,第 2 年收入 400×(1+ )万元,??, 4 1 n-1 第 n 年收入 400×(1+ ) 万元 4 1 5 )万元??, 5 4

bn=400+400×(1+ )+??+400×(1+ )n-1=1600×[( )n-1]
5 n 4 n (2)∴bn-an>0,1600[( ) -1]-4000×[1-( ) ]>0 4 5 19

1 4

1 4

5 4

4 n 5 n 化简得,5×( ) +2×( ) -7>0 ? 5 4 4 n 2 4 n 2 2 设 x=( ) ,5x -7x+2>0 ? ∴x< ,x>1(舍)? 即( ) < ,n≥5.? 5 5 5 5 说明:本题主要考查建立函数关系式,数列求和,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用 题重点在过好三关:(1)事理关:阅读理解,知道命题所表达的内容;(2)文理关:将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言,用 数学关系式表述事件;(3)数理关:由题意建立相关的数学模型,将实际问题数学化,并解答这一数学模型,得出符合实际意义的解答。 例 6.某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到 2001 年底全县的绿化率已达 30%。从 2002 年开始,每年将出现这样的 局面,即原有沙漠面积的 16%将被绿化,与此同时,由于各种原因,原有绿化面积的 4%又被沙化。 (1)设全县面积为 1,2001 年底绿化面积为 a1= 4 4 求证 an+1= + an 25 5 (2)至少需要多少年(年取整数,lg2=0.3010)的努力,才能使全县的绿化率达到 60%? (1)证明:由已知可得 an 确定后,an+1 表示如下:an+1= an(1-4%)+(1-an)16% 4 4 即 an+1=80% an +16%= an + 5 25 4 4 (2)解:由 an+1= an+ 可得: 5 25 4 4 4 4 2 4 4 n 4 an+1- = (an- )=( ) (an-1- )=?=( ) (a1- ) 5 5 5 5 5 5 5 1 4 n 4 3 1 4 n 4 3 1 4 n-1 故有 an+1=- ( ) + ,若 an+1≥ ,则有- ( ) + ≥ 即 ≥( ) 2 5 5 5 2 5 5 5 2 5 两边同时取对数可得-lg2≥(n-1)(2lg2-lg5)=(n-1)(3lg2-1) lg2 故 n≥ +1>4,故使得上式成立的最小 n∈N+为 5, 1-3lg2 故最少需要经过 5 年的努力,才能使全县的绿化率达到 60%. 3 ,经过 n 年绿化总面积为 an+1 10

三、归纳、猜想与证明 例 7.已知数列{ an}满足 Sn+an= 且 bn=an-an-1-1(n≥2). (1)试猜想数列{ an}的通项公式,并证明你的结论; 解: (1)∵Sn+an= ∴a1= 1 1 2 (n +3n-2),S1=a1,∴2a1= (1+3×1-2)=1, 2 2 ∴a2= 7 1 =2- 2 4 2 1 2 (n +3n-2),数列{ bn}满足 b1=a1, 2

1 1 1 1 2 =1- .当 n=2 时,有 +2a2= (2 +3×2-2)=4, 2 2 2 2 1 n 2

猜想,得数列{ an}的通项公式为 an=n-

(2)若 cn=b1+b2+?+bn,求 lim c n 的值.
n? ?

1 7 当 n=3 时,有 + +3a3=8, 2 4 用数学归纳法证明如下:

∴a3=

23 1 =3-. 3 8 2

1 1 ①当 n=1 时,a1=1- = ,等式成立. 2 2 ②假设 n=k 时,等式 ak=k- 1 k 成立,那么 2 20

(k+1) +3(k+1)-2 k +3k-2 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk=[ -ak+1]-[ -ak], 2 2 .∴2 ak+1=k+2+ak, 2 ak+1=k+2+(k- ∴ak+1=(k+1)- 1 k ), 2

2

2

1 k+1 ,即当 n=k+1 时,等式也成立. 2 1 n 成立. 2

综上①、②知,对一切自然数 n 都有 an=n-

1 1 1 1 (2)∵b1=a1= ,bn=an-an-1-1=[n- n ]-[(n-1)- n-1 ]-1= n . 2 2 2 2 1 n ∴cn=b1+b2+?+bn=1-( ) , 2 1 n ∴ lim c n = lim [1-( ) ]=1. 2 n? ? n??

例 8.已知数列{an}满足 a1=2,对于任意的 n∈N,都有 an>0,且(n+1) an +an an+1-n an+1 =0.又知数列{bn}满足:bn=2 + 1..?? (Ⅰ)求数列{an}的通项 an 以及它的前 n 项和 Sn;? (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Tn;? (Ⅲ)猜想 Sn 和 Tn 的大小关系,并说明理由. 解:(n+1) an +an an+1-n an+1 =0.是关于 an 和 an+1 的二次齐次式,故可利用求根公式得到 an 与 an+1 的更为明显的关系式,从而 求出 an . (Ⅰ)∵an>0(n∈N),且(n+1) an +an an+1-n an+1 =0, an 2 an ∴ (n+1)( ) +( )-n=0. an+1 an+1 ∴ an an n =-1 或 = . an+1 an+1 n+1 an n = . an+1 n+1
2 2 2 2

2

2

n-1

∵an>0(n∈N),∴

an an an-1 an-2 a3 a2 n n-1 n-2 3 2 ∴ = · · ·??· · = · · ·?· · =n. a1 an-1 an-2 an-3 a2 a1 n-1 n-2 n-3 2 1 又 a1=2,所以,an=2n. ∴Sn=a1+a2+a3+??+an=2(1+2+3??+n)=n +n. (Ⅱ)∵bn=2 +1,? ∴Tn=b1+b2+b3 +??+bn=2 +2 +2 +??+2 +n=2 +n-1 (Ⅲ) Tn-Sn=2 -n -1.? 当 n=1 时,T1-S1 =0,∴T1=S1; 当 n=2 时,T2-S2=-1,?∴T2<S2; 当 n=3 时,T3-S3=-2,?∴T3<S3; 当 n=4 时,T4-S4=-1,?∴T4<S4;
n 2 0 1 2 n-1 n n-1 2

21

当 n=5 时,T5-S5=6,?∴T5>S5; 当 n=6 时,T6-S6=27,,?∴T6>S6; 猜想:当 n≥5 时,Tn>Sn.即 2 >n +1.下用数学归纳法证明:? 1° 当 n=5 时,前面已验证成立; 2° 假设 n=k(k≥5)时命题成立,即 2 >k +1.成立, 那么当 n=k+1 时, 2k+1=2·2 >2(k +1)=k +k +2≥k +5k+2>k +2k+2=(k+1) +1. 即 n=k+1(k≥5)时命题也成立. 由以上 1°、2°可知,当 n≥5 时,有 Tn>Sn.; 综上可知:当 n=1 时,T1=S1;当 2≤n<5 时,Tn<Sn.,当 n≥5 时,有 Tn>Sn.. 说明:注意到 2 的增长速度大于 n +1 的增长速度,所以,在观察与归纳的过程中,不能因为从 n=1 到 n=4 都有 Tn≤Sn.就得出 Tn≤Sn.的结论,而应该坚信:必存在 n ,使得 2 >n +1,从而使得观察的过程继续下去.
n 2 n 2 k 2 2 2 2 2 2 k 2 n 2

例 9. 已知函数 f(x)= x -3,(x≤-3) (1)求 f(x)的反函数 f (x); (2)记 a1=1,an= -f (an-1)(n≥2),请写出 a2,a3,a4 的值并猜测想 an 的表达式.再用数学归纳法证明. 解:(1)设 y=f(x)=
-1 2 -1 -1

2

x -3,(x≤- 3 ),由 y =x -3(x≤- 3 ),x= - y +3
2 2 2 2

即 f (x)= - x +3 (x≥0). (2)由 a1=1 且 an= -f (an-1)(n≥2 的整数),a2= -f (a1)= -( - a1 +3 = 4 , a3= 3+4= 7 ,a4= 3+7= 10 . 依不完全归纳可以猜想到:an= 3n-2 下面用数学归纳法予以证明: 当 n=1 时,a1= 3×1-2 =1 命题成立 假设 n=k(1≤k≤n)时,命题成立:即 ak= 3k-2 那么当 n=k+1 时,ak+1=-f (ak) = ak +3 = (3k-2)+3 = 3(k+1)-2 综上所述,可知对一切自然数 n 均有 an= 3n-2 成立.
2 -1 -1 -1 2

(n 自然数)

例 10. 已知数列{an}中,a7=4,an+1=

3an+4 , . 7-an

(Ⅰ)是否存在自然数 m,使得当 n≥m 时,an<2;当 n<m 时,an>2? (Ⅱ)是否存在自然数 p,使得当 n≥p 时,总有 an-1+an+1 <an? 2 22

解: (Ⅰ)首先考虑能否化简已知条件 an+1= 找规律.不难得到: a8=

3an+4 ,但事实上这一条路走不通,于是,我们转而考虑通过计算一些 ak 的值来寻 7-an

16 4 4 ,a9=12,a10=-8,a11=- ,a12=0,a13= , 3 3 7

可以看出:a8,a9 均大于 2,从 a10 到 a13 均小于 2,但能否由此断定当 n>13 时,也有 an<2?这就引导我们去思考这样一个问题: 若 an<2,能否得出 an+1<2? 为此,我们考查 an+1-2 与 an-2 的关系,易得 an+1-2= 3an+4 5(an-2) -2 = . 7-an 7-an

可以看出:当 an<2 时,必有 an+1<2.于是,我们可以确定:当 n≥10 时,必有 an<2. 为了解决问题(Ⅰ) ,我们还需验证当 n=1,2,??,9 时,是否均有 an>2. 方法之一是一一验证.即通过已知条件解出:an= 而得出结论. 另外,得益于上述解法,我们也可以考虑这样的问题:“若 an+1>2,能否得出 an>2”? 由 an-2= 7an+1-4 5(an+1-2) -2= 不难得知:上述结论是正确的. an+1+3 an+1+3 7an+1-4 .由此,我们可以从 a7 出发,计算出这个数列的第 6 项到第 1 项,从 an+1+3

所以,存在 m=10,使得当 n≥m 时,an<2;当 n<m 时,an>2. (Ⅱ)问题等价于:是否存在自然数 p,使得当 n≥p 时,总有 an-1-an+1-2 an<0. 2(an+1-2) 由(Ⅰ)可得:an-1-an+1-2 an= . (7-an+1)(3+an) 我们已经知道:当 n≥10 时,an<2,于是(an<2) <0, (7-an)<0,所以,我们只需考虑:是否存在不小于 10 的自然数 p,使 得当 n≥p 时,总有 an>-3? 观察前面计算的结果,可以看出:a10<-3 ,a11,a12,a13 均大于-3,可以猜想:p=11 即可满足条件. 这样的猜想是否正确?我们只需考查 an+1+3 与 an+3 的关系: 3an+4 25 由 an+1+3= +3= 可知:上述结论正确. 7-an 7-an 另外,如果我们注意到从 a11 到 a13,数列的项呈递增的趋势,则也可以考虑 an+1-an. 3an+4 (an-2) 由 an+1-an -an = >0,从而得出结论. 7-an 7-an 说明:(1)归纳、猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的,并非无源之水、无本之木.(2)上述分析的过程如果用数 学归纳法写出,则相当简洁,但同时也掩盖了思维的过程.
2 3 3

四、由递推公式探求数列问题 3 例 11.设 An 为数列{an}的前 n 项的和,An= (an-1),数列{bn}的通项公式为 bn=4n+3。 2 23

(1)求数列{an}的通项公式; (2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列{dn},证明数列{dn}的通项公式为 dn=3
2n+1

; Tn
4

(3)设数列{dn}的第 n 项是数列{bn}中的第 r 项,Br 为数列{bn}的前 r 项的和,Dn 为数列{dn}的前 n 项和,Tn=Br-Dn,求 lim 3 3 解: (1)由 An= (an-1),可知 An+1= (an+1-1) 2 2 3 an+1 ∴An+1-An= (an+1-an)=an+1,即 =3 2 an 3 而 a1=A1= (a1-1),得 a1=3 2 所以数列{an}是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列,数列{an}的通项公式为 an=3 。 (2)∵3
2n+1 n

n ? ? an



=3·3 =3·(4-1) =3×(4 +C 2n·4 =4m+3
2n 1

2n

2n 2n-1 2n

2n-1

(-1)+?+C2n

·4·(-1)+(-1) )

∴3

2n+1

∈{bn}
2n 2n 2n-1 2n-1 2n

而数 3 =(4-1)
2n 1

=4 +C2n ·4 =(4k+1) ∴3 ?{bn}
2n

· (-1)+?+C2n

·4·(-1)+(-1)

而数列{an}={3 ∴ dn=3 (3)由 3 ∵Br= Dn=
2n+1

2n+1

}∪{3 }

2n

2n+1

=4·r+3,可知 r=

3

2n+1

-3 4
2n+1 2n+1

r(7+4r+3) 3 -3 3 +7 =r(2r+5)= · 2 4 2

27 27 n n ·(1-9 )= (9 -1) 1-9 8 9
2n+1

∴Tn=Br-Dn=

+4·3 8

2n+1

-21



27 n (9 -1) 8

9 15 3 4n 2n = ·3 - ·3 + 8 8 4 又∵(an) =3 ∴ lim Tn
n ? ? an
4 4 4n

9 = 8

例 12. 已知函数 f(x)=x+ x -a (a>0) (1)求 f(x)的反函数 f (x)及其定义域;(黄冈,一模 理科) ?a1=3a (2)数列{an}满足? -1 ?an+1=f (an) 设 bn= an-a 7 ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,试比较 Sn 与 的大小,并证明你的结论。 an+a 8
2 2 -1

2

2

解: (1)给 y-x= x -a 两边平方,整理得
2 2 2 2

x=

y +a 2y

2

2

y +a y -a (y+a)(y-a) ∵y-x=y- = = ≥0 2y 2y 2y ∴y≥a 或-a≤y<0

24

故 f (x)=

-1

x +a ,其定域为[-a,0)∪[a,+∞) 2x
-1

2

2

(2)∵an+1=f (an)= ∴bn+1=

an +a 2an

2

2

an+1-a an-a 2 2 =?=( ) =bn an+1+a an+a a1-a 3a-a 1 = = a1+a 3a+a 2
22

(可两边取对数求解)

又 a1=3a,b1=

∴bn=(bn-1) =(bn-2) =?=(b1)
2 n ?1

2

=(bn-3)

23

1 2 n ?1 =( ) 2

∴Sn=b1+b2+?+bn 1 1 2 1 22 1 23 1 24 1 2 n ?1 1 n = +( ) +( ) +[( ) +( ) +?+( ) ]=1-( ) 2 2 2 2 2 2 2 由此可知,当 n<3 时,Sn< 7 7 7 ,当 n=3 时,Sn= ,当 n>3 时,Sn> . 8 8 8

1 2 3 n-1 n-1 n-1 又∵2 =(1+1) =1+Cn-1+Cn-1+Cn-1+??+Cn-1 1 2 n-1 则当 n≥4 时,2 >1+Cn-1+Cn-1 =1+(n-1)+ (n-1)(n-2) >n+1 2

1 2 n ?1 1 n+1 ∴( ) <( ) 2 2 1 1 2 1 22 1 23 1 24 1 2 n ?1 1 n ∴Sn= +( ) +( ) +[( ) +( ) +?+( ) ]=1-( ) 2 2 2 2 2 2 2 由此可知,当 n≥4 时,Sn> 当 n=3 时,Sn= 7 . 8

1 1 2 1 22 1 1 1 13 7 +( ) +( ) = + + = < . 2 2 2 2 4 16 16 8 7 . 8
-1

故知当 n≤3 时,Sn<

说明:本题是一道数列与函数的综合题。首先应准确地求出 f (x)及其定义域。搞清定义域是解题成功的一半。根据函数 f(x)解 π 3π -1 析式的特点,也可以利用三角代换 x=asecθ,θ∈[0, )∪[π, ) ,求函数 f(x)的值域,即 f (x)的定义域。 2 2 例 13.已知数列{an}中,a1=4,an+1= 4an-2 Ban+C ,是否存在这样的数列{bn},bn= ,其中 A、B、C 为实常数,使得{bn}是等比 an+1 an+A

数列而不是等差数列?证明你的结论,并求{an}的取值范围。 解:假设这样的{bn}存在,则应有 4an-2 4B+C C-2B B· +C an+ an+1 4+A 4+A Ban+1+C bn+1= = = an+1+A 4an-2 A-2 +A an+ an+1 4+A 又 bn= Ban+C an+A

存在 q≠0,q≠1,q 为常数,使 bn+1=qbn,对 n∈N 都成立,于是比较两边的分子和分母,有 25

? ? ?

A-2 =A 4+A 4B+C =Bq 4+A C-2B =Cq 4+A

(1) (2) (3)

由(1)可解得 A=-1 或-2,由(2)(3)可解得 B=-C 或 C=-2B。 、 ?A=-1 1°若? 代入(2)知 q=1(B、C 不能为 0,否则 bn=0,不合题意要求)舍去。 ?B=-C 2 ?A=-1 2°若? 代入(2)得 q= 3 ?C=-2B 3 ?A=-2 3°当? 时,q= 2 ?B=-C ?A=-2 4°当? 时,q=1(舍去) ?C=-2B 2 3 故现只取 A=-1,B=1,C=-2,q= (不必考虑 q= 时的情况,因为只证存在性) 。 3 2 得 bn= an-2 an-1

所以满足题设条件的数列存在。 对于{an}的取值范围,我们可以这样解. 4an-2 ∵an+1-an= -an an+1 =- (an-2)(an-1) ,a1=4>2,故 a2<a1。 (an+1)

如果能证明所有的 an 都大于 2,便可用数学归纳法证明{an}是单调递减的。事实上 ∵an+1-2= 4an-2 2(an-2) -2= an+1 an+1

由上式,我们也可用数学归纳法由 a1>2,得 an>2,所以{an}单调递减。且因为 an>2,所以 an-2= 2(an-2) 2 < (an-1-2) an+1 3

2 2 2 n-1 <( ) (an-2-2)<?<( ) (a1-2) 3 3 ∴ lim an=2,故 an∈(2,4 ] 。
n??

说明:存在性问题的解法常是假设存在经过推理、运算或是求出结论得出存在或是得出矛盾证明不存在。本题的{an}的范围还可 用前半部分的结论来求。解法如下: b1= a1-2 2 2 n = ,故 bn=( ) a1-1 3 3 1 2 n 1-( ) 3 +1 ∴ an-2 2 n =( ) an+1 3

∴an=

由此易得 an∈(2,4 ] 。 例 14. (1)设数列{cn},其中 cn=2 +3 ,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数 p。 (2)设数列{an}、{bn}是公比不相等的两个 等比数列,cn=an+bn,证明:{cn}不是等比数列。 证明: (1)∵{cn+1-pcn}是等比数列,故有 (cn+1-pcn) =(cn+2-pcn+1)·(cn-pcn-1) 26
2 n n

将 cn=2 +3 代入上式,得: [2 +3 -p(2 +3 )] =[2 +3 -p(2 +3 )]·[2 +3 -p(2 +3 1 n n 整理得: (2-p)(3-p)·2 ·3 =0 6 解之得:p=2 或 p=3。 (2)设{an},{bn}的公比分别为 p,q,p≠q,cn=an+bn。 为证{Cn}不是等比数列,只要证明 c2 ≠c1·c3 事实上: c2 =(a1p+b1q) =a1 p +b1 q +2a1b1pq c1c3=(a1+b1)(a1p +b1q ) =a1 p ++b1 q +a1b1(p +q ) ∵p≠q,∴p +q >2pq,又 a1,b1 不为零,∴c2 ≠c1·c3,故{cn}不是等比数列。 说明: 本题是 2000 年全国高考数学试题。其证法很多,建议读者从不同的角度审视此题。我们可以得出更一般的结论;
n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n+1 n+1 n n 2 n+2 n+2 n+1 n+1 n n n-1 n-1

n

n

)]

推论 1:设数列{cn},cn=a +b 且 a≠b,则数列{cn+1-pcn}为等比数列的充要条件是 p=a 或 p=b。 推论 2:设{an}、{bn}是两个等比数列,则数列{an+bn}为等比数列的充要条件是,数列{an},{bn}的公比相等。 推论 3:公比为 a、b 的等比数列{an},{bn},且 a≠b,s、t 为不全为零的实数,cn=san+tbn 为等比数列的充要条件是 st=0。

例 15.数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an n∈N(黄冈,三模 理科) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 sn; (3)设 bn= 1 m ( n∈N),Tn=b1+b2+?+bn( n∈N),是否存在最大的整数 m,使得对任意 n∈N,均有 Tn> 成立?若 n(12-an) 32

存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。 解: (1)由 an+2=2an+1-an? an+2-an+1=an+1-an,可知{an}成等差数列,d= -∴an=10-2n (2)由 an=10-2n≥0 得 n≤5 ∴当 n≤5 时,Sn=-n +9n 当 n>5 时,Sn=n -9n+40 ?-n +9n 1≤n≤5 故 Sn=? 2 ?n -9n+40 n>5 (3)bn=
2 2 2

a4-a1 =-2 4-1

(n∈N)

1 1 1 1 1 = = ( - ) n(12-an) n(2n+2) 2 n n+1

∴Tn= b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n = [(1- )+( - )+( - )+??+( - )]= (1- )= 2 2 2 3 3 4 n-1 n 2 n+1 2(n+1) > n-1 >Tn-1>Tn-2>??>T1. 2n m m 1 总成立,需 <T1= 恒成立,即 m<8, (m∈Z) 。故适合条件的 m 的最大值为 7. 32 32 4

∴要使 Tn>

7 高考数学数列专项训练{黄冈题库} 一.选择题: 1.lgx,lgy,lgz 成等差数列是 x,y,z 成等比数列的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

27

2.(文)在等比数列

?an ? 中,则 a7 · a11 =6, a4 ? a14 ? 5 ,则
B.

a20 a10

=( )

A. (理)若

2 3

3 2

C.

2 3



3 2

D. ?

2 3 或? 3 2
)

?an ? 是等比数列,其中 a3 , a7 是方程 2x2 ? 3kx ? 5 ? 0 的两根,且 (a3 ? a7 )2 ? 4a2a8 ?1 ,则 k 的值为(
2 11 3
B.

A. ? 3.数列

2 11 3

C. ?

2 11 3

D.

8 3
)

?an ? 满足 an < an ?1 , an ? n 2 ? ?n ,则实数 ? 的取值范围是(
B. ? <0
2 2

A. ? >0

C. ? =0
n?1

D. ? >-3 )的前 n 项和为 Sn ,则 Sn 等于( )
n?1

4.设数列 1,(1+2),(1+2+ 2 )?(1+2+ 2 +?+ 2 A. 2
n

B. 2 -n

n

C. 2

-n )

D. 2

n?1

-n-2

5.某工厂月生产总值平均增长率为 p,则年平均增长率为( A.12P 6.在数列 A.5 B.

p12

C. (1 ?

p)12 ?1

D. (1 ?

p)12
)

?an ? 中,已知 a1 ? 1 , a2 ? 5 , an?2 ? an?1 ? an (n ? N? ) ,则 a2006 等于(
B.4 C.-1 D.-4

7.(理)给出一系列碳氢化合物的分子式: C6 H 6 , C10 H8 , C14 H10 ?,则该系列化合物的分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近 于( ) A.95% (文)若数列 B.96% C.97% D.98% )

?xn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 loga (sn ?1) ? n ,则数列 ?xn ? (
B.只能是递减的等差数列 D.可能是常数列

A.只能是递增的等比数列 C.只能是递减的等比数列 8.已知 1 是 a 与 b 的等比中项,又是 A.1 或- ? 9.若方程 x A.4 10.等比数列 A.第 6 项
2
2 2

1 a



1 2

B.1 或-

1 3

1 a?b 的等差中项,则 2 的值为( b a ? b2 1 1 C.1 或 D.1 或 3 2

)

? 5x ? m ? 0 与 x 2 ? 10 x ? n ? 0 的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为 1 的等比数列,则 m:n 的值为(
B.2 C.

)

1 2

D.

1 4
)

?an ? 的首项为 2?5 ,其前 11 项的几何平均数为 2 5 ,若在这前 11 项中抽取一项后的几何平均数为 2 5 ,则抽出的是(
B. 第 7 项 C. 第 9 项 D. 第 11 项 形 ( ) 的

11.如图所示,在杨辉三角中,斜线 AB 上方箭头所示的数组成的一个锯齿 列:1,2,3,3,6,4,10,?,记这个数列的前 n 项的和为 S(n),则 S(16)等于 A.128 B.144 C.155 D.164



12. (理) 在等比数列

?an ? 中, a1 ? sec? ( ? 为锐角),且前 n 项和 Sn 满

足 lim S n
n ??

?

1 a1

,那么

28

? 的取值范围是( ?
A.(0,

) B.(0,

6

)

? ) 4

C.(0,

? ) 3

D.(0,

? ) 2

( 文 ) 根 据 调 查 , 预 测 某 家 电 商 品 从 年 初 开 始 的 n 个 月 内 累 积 的 需 求 量 Sn ( 万 件 ) 近 似 的 满 足

Sn ?

n ? 21n ? n2 ? 5? ? n ? 1,2,3,?,12? ,按此预测,在本年度需求量超过 1.5 万件的月份是( 90
B.6 月和 7 月 C.7 月和 8 月 D.8 月和 9 月



A.5 月和 6 月 二.填空题: 13.已知 lg x ? lg x
2

? ... ? lg x10 ? 110 ,则 lg x ? lg 2 x ? ?? ? lg10 x =_____________

14. 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N * ). 关于数列 ? an ? 有下列三个命题: (1)若 ? an ? 既是等差数列又是等比数列,则 an (2)若 S n (3)若 S n

? an?1

(n ? N*) ;

? a n 2 ? b n ? a 、 ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列; b
n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列.

这些命题中,真命题的序号是 15.已知等差数列有一性质:若 数列有性质:若 _______的数列

.

?an? 是等差数列.则通项为 bn ?

a1 ? a2 ? ...an n

的数列

?bn ? 也是等差数列,类似上述命题,相应的等比

?an? 是等比数列 (an ? 0) ,则通项为 bn =______ ?bn ? 也是等比数列
? 1 ,a 2 ,a3 ,?法则如下:如果 an ? 2 为自然数且未写出过,则写 an ?1 ? an ? 2 ,否则就写 an ?1 ? an ? 3 ,

16.依次写出数 a1 那么 a 6

?

三.解答题: 17.设数列{a n}的前 n 项和为 S n,已知 an=5S n-3 (n∈N+) bn}是{a n}的奇数项构成的数列,求数列{bn} 的通项公式. ,{

18.数列

?an ? 满足条件 a1 ? 1, an ? an?1 ? ? 1 ? ? ?
? 3?
(2)求 a1

n ?1

(n ? 2,3,?)

(1)求 a n ;

? a2 ? a3 ? ? ? an .

19.已知数列 (1)求数列

?an ? 是等差数列,其前项和为 sn , a3 ? 7, s4 ? 24 。

?an ? 的通项公式
? 1 (S2 p ? S2q ) 2

(2)设 p,q 是正整数,且 p ? q,证明 S p ? q

29

20.用分期付款方式购买家用电器一件,价格为 1150 元,购买当天先付 150 元,以后每月这一天都交付 50 元,并加付欠款的利息, 月利率为 1%,若交付 150 元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部货款付清后,买这 件家电实际花了多少钱?

21. 已知数列

公比 设数列 数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 , q ? ?1 且 q ? 0 的等比数列, ?bn ? 的通项 bn ? an?1 ? kan?2 (n ? N ? ) , {an } ,

{b n } 的前 n 项之和分别为 Sn , Tn ,如果存在常数 k,使得对所有的适合条件的两个数列,均有 Tn ? kSn 对一切 n ? N ? 都成立,试
求实数 k 的取值范围。

22.已知

f

(x)在

? ?1,1? 上有定义, f ( 2 ) ? 1 ,且满足 x, y ? (?1,1) 时有

1

? x? y ? 2 xn 1 f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? ,对数列 {an } 满足 x1 ? , xn?1 ? 2 2 1 ? xn ? 1 ? xy ?
(1)证明: (2)求

f

(x)在(-1,1)上为奇函数;

f ( xn ) 的表达式;
?

(3)是否存在自然数 m,使得对于任意 n ? N ,有 值.

1 1 1 m?8 ? ? ?? ? ? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 4

成立?若存在,求出 m 的最小

参考答案 一. 选择题: 1.A 2.C(C) 3.D 二,填空题: 13. 2046 15.
n

4.D 5.C

6.A. 7.B(A) 8.B

9.D 10.A

11.D

12.B(C)

14.(1)(2)(3) 、 、 16. 6

a1a2 ...an

三.解答题: 17.由 an=5S n-3(n∈N+)?(1);知 a1=

3 4

,且 an+1=5S n+1-3 (n∈N+) ?(2);

(2)-(1)得:an+1-an=5an+1,移项得-an=4an+1, an+1= -

1 an, 4
an=

因为 a1?0,所以 an?0,得

a n ?1 1 ? ? ,所以{an}为等比数列, an 4
3 4
为首项,

3 1 ? (? ) n ?1 ; 4 4

a 1,a 3,?,a 2 n-1,?构成以
∴{bn} 的通项公式为 bn =

1 为公比的等比数列; 16

3 4

· (

1 n ) 16

-1



30

18.(1) a n

n n 1 ? a1 ? ? (a k ? ak ?1 ) ? 1 ? ? ( ) k ?1 k ?2 k ?2 3

1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 3 1 1 3 ? 1? 3 ? ? ( ) n?1 1 2 2 3 1? 3 1 1 ? ( )n 3 1 3 ? 3 n ? 3 ? 3 ? (1) n (2) a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ? , 1 2 2 2 4 4 3 1? 3
19.(1)设等差数列

?an ? 的公差为 d, 依题意得
解得 ?

? a1 ? 2d ? 7 ? ? 4?3 ?4a1 ? 2 d ? 24 ?


?a1 ? 3 ?d ? 2

?an ? 的通项公式为 ?an ? = 2n ? 1
(2)证明∵ an ∵ 2S p ? q

? 2n ? 1∴ S n ?

n(a1 ? an ) ? n 2 ? 2n 2

? ( S 2 p ? S 2 q ) ? 2 ?( p ? q ) 2 ? 2( p ? q ) ? ? (4 p 2 ? 4 p) ? (4q 2 ? 4q) ? ?
= ?2( p ? q)
2



p?q
?

∴ 2S p?q

? (S2 p ? S2q ) ? 0

∴ S p?q

1 (S2 p ? S2q ) 2

20.解:购买时付了 150 元,欠款 1000 元,每月付 50 元,分 20 次付完. 设每月付款顺次组成数列{an},则

a1=50+1000×0.01=60(元). a2=50+(1000-50)×0.01=(60-0.5)(元). a3=50+(1000-50×2)×0.01=(60-0.5×2)(元).
依此类推得

a10=60-0.5×9=55.5(元), an=60-0.5(n-1)(1≤n≤20).
∴付款数{an}组成等差数列,公差 d=-0.5,全部货款付清后付款总数为 S20+150=

20 (a +a 2
1

20

)+150

=(2a1+19d)×10+150 =(2×60-19×0.5)×10+150 =1255(元). 答:第十个月该交付 55.5 元,全部货款付清后,买这件家电实际花了 1255 元 21. ∵ bn

? an?1 ? kan?2 ? an q ? kq2an

31

∴ Tn

? qSn ? kq2 Sn

当 q=1 时 Sn

? na1 ? 0

当q

? 1 时, Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

∵q

? ?1 且 q ? 0

∴ Sn

?

a1 (1 ? q n ) ?0 1? q
即 qSn

∴ Tn

? kSn
2

? kq2 Sn ? kSn
?

对于 n ? N ? 恒成立

∴ k (1 ? q

)?q

即k

q 1 ? 2 1 1? q q? q

当 ?1 ? q ? 0 时, q ?

1 1 ? ?2 ;当 q ? 0 时 q ? ? 2 q q

∴ ?1 ? q

? 0时?

1 1 1 ? ? 2 q? 1 2 q

∴k

??

1 2

22.(1)∵ x. y ? (?1.1) 有

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) 1 ? xy

当x

? y 时,可得 f (o) ? 0
o? y ? 0 时 f (o ) ? f ( y ) ? f ( ) ? f (? y ) 1 ? oxy
f (? y) ? ? f ( y) ∴ f ( x) 在 (?1,1) 上为奇函数


当x



(1)

? 2 xn ? f ( xn?1 ) ? f ? ? 2 ? ? 1 ? xn ?
=

? x ? (? xn ) ? f? n ? ? 1 ? xn ? (? xn ) ?

f ? xn ? ? f (?xn ) ? 2 f ( xn )




f ( xn ? 1) ?2 f ( xn )

1 f ( x1 ) ? f ( ) ? 1 2



? f ( xn )? 为等比数列,其通项公式为
f ( xn ) ? f ( x1 ) ? 2n?1 ? 2n?1
32

(2)

假设存在自然数 m,则

1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? 1 ? ? 2 ? ... ? n?1 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 2 2 2
=2?

1 m ?8 ? ? 对于 n ? N 恒成立 n ?1 2 4

16 ? 对于 n ? N 恒成立 2n ∴ m ? 16 且 m ? N ,即可
∴m

? 16 ?

8 高考数学知识点考点常见结论详解

一、集合 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。

集合元素的互异性:如:

A ? {x, xy, lg( xy)}, B{0, | x |, y} ,求 A ;
;正整数集 韦恩图 。 、 ;整数集 ;有理数集 、实数集 。

(2)集合与元素的关系用符号 ? , ? 表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集 (4)集合的表示法: 列举法 , 注意:区分集合中元素的形式: 如: A ? {x | y ? x 2 ? 2 x ? 1} , B ? { y | y ? x 2 ? 2 x ? 1 , C } 描述法 ,

? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ,

D ? {x | x ? x 2 ? 2x ? 1} , E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1, x ? Z , y ? Z} ,

y F ? {( x, y' ) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; G ? {z | y ? x 2 ? 2 x ? 1, z ? } x
(5)空集是指不含任何元素的集合。 {0} 、 ? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系) ( 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 注意:条件为

A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况。

如:

A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ? ,求 a 的取值。

二、集合间的关系及其运算 (1)符号“ ?, ? ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ; 符号“ ?, ? ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

(2)

A ? B ? {_________ __________ ; A ? B ? {_________ _} __________ ____};

CU A ? {_________ __________ _}
(3)对于任意集合

A, B ,则:

33



A ? B ___ B ? A ; A ? B ___ B ? A ; A ? B ___ A ? B ;



A? B ? A ?

; A? B

? A?

; ;

CU A ? B ? U ?
③ CU A ? CU B

; CU A ? B ;

?? ?

?

? CU ( A ? B) ;
;若 n 为奇数,则 n

(4)①若 n 为偶数,则 n

? ?


? ?

; ;若 n 被 3 除余 2,则

②若 n 被 3 除余 0,则 n

;若 n 被 3 除余 1,则 n

n?
三、集合中元素的个数的计算: (1)若集合 个数是 (2)

A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的
。 ;

A ? B 中元素的个数的计算公式为: Card ( A ? B) ?

(3)韦恩图的运用: 四、

A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} ,
若 若 若 若 ;则 ;则 ;则 ;则

p 是 q 的充分非必要条件 ? A _____B ; p 是 q 的必要非充分条件 ? A _____B ; p 是 q 的充要条件 ? A _____B ;

p 是 q 的既非充分又非必要条件 ? __________ _ ;


五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 注意: “若 ?p 如: sin ? “

? ?q ,则 p ? q ”在解题中的运用,
”是“ ?

? sin ?

? ? ”的

条件。

六、反证法:当证明“若

p ,则 q ”感到困难时,改证它的等价命题“若 ?q 则 ?p ”成立,

步骤:1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确。 矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”“不是”“至少”“至多”“唯一”等字眼时。 、 、 、 、 正面词语 否定 正面词语 否定 至少有一个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两个 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个

二、函数 一、映射与函数: (1)映射的概念: (2)一一映射: (3)函数的概念: 如: 若

A ? {1,2,3,4} ,B ? {a, b, c} ; A 到 B 的映射有 问:

个,B 到

A 的映射有

个;A 到 B 的函数有

个,

34



A ? {1,2,3} ,则 A 到 B 的一一映射有

个。 个。 。 (两点必须同时具备)

函数

y ? ? (x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为
, , ;②

二、函数的三要素: 相同函数的判断方法:① (1)函数解析式的求法:

①定义法(拼凑) :②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ①

y?

f ( x) ,则 g ( x)

; ②

y ? 2n f ( x) (n ? N * ) 则
y ? log f ( x) g ( x) ,则





y ? [ f ( x)]0 ,则



④如:



⑤含参问题的定义域要分类讨论; 如:已知函数

y ? f (x) 的定义域是 [0,1] ,求 ? ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义域。

⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。如:已知扇形的周长为 20,半径 为 r ,扇形面积为 S ,则 S (3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: ②逆求法(反求法) :通过反解,用

? f (r ) ?

;定义域为



f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式;

y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围;常用来解,型如:

y?

ax ? b , x ? ( m, n ) ; cx ? d

④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如:

y ? x?

k (k ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x

⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域:①

y?

a ? bx (a ? 0, b ? 0, a ? b, x ? [?1,1]) (2 种方法) ; a ? bx

x2 ? x ? 3 x2 ? x ? 3 , x ? (??,0) (2 种方法) y ? , x ? (??,0) (2 种方法) ②y? ;③ ; x x ?1
三、函数的性质: 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。 应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较 f(x) 与 f(-x)的关系。f(x) -f(-x)=0 ? f(x) =f(-x) f(x)+f(-x)=0 ? f(x) =-f(-x) 判别方法:定义法, 图像法

? f(x)为偶函数;

? f(x)为奇函数。

,复合函数法 35

应用:把函数值进行转化求解。 周期性:定义:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期。 其他:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x-a),则 2a 为函数 f(x)的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换:函数图像变换: (重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律: (注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考) 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 平移得到函数y=f(2x+4)的图象。 注意: (ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过 (ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量 a (m,n)平移的意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称

y=f(x)→y=-f(x) ,关于x轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称。 (注意:它是一个偶函数) 伸缩变换:y=f(x)→y=f(ω x), y=f(x)→y=Af(ω x+φ )具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论:若 f(a-x)=f(a+x),则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称; 如:

y ? f (x) 的图象如图,作出下列函数图象:
(2) y ? ? f (x) ; y ? f (? x) ;

(1) (3) (5) (7)

y

y=f(x)

(4) y ?| f ( x) | ; y ? f (| x |) ; (6) y ? f ( x ? 1) ; y ? f (2 x) ;

O (2,0) (0,-1 )

x

(8) y ? ? f (? x) ; y ? f ( x) ? 1 ;

(9)

y ? f ?1 ( x) 。

五、反函数: (1)定义: (2)函数存在反函数的条件: (3)互为反函数的定义域与值域的关系: (4)求反函数的步骤:①将 ; ;
?1

y ? f (x) 看成关于 x 的方程,解出 x ? f

( y) ,若有两解,要注意解的选择;②将 x, y 互换,得

。 y ? f ?1 ( x) ;③写出反函数的定义域(即 y ? f (x) 的值域) (5)互为反函数的图象间的关系: (6)原函数与反函数具有相同的单调性; (7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一定不存在反函数。 如:求下列函数的反函数: 七、常用的初等函数: (1)一元一次函数: (2)一元二次函数: ;

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3( x ? 0) ; f ( x) ?

2x ; f ( x) ? log 2 x ? 2( x ? 0) x ?1 2x ?1

y ? ax ? b(a ? 0) ,当 a ? 0 时,是增函数;当 a ? 0 时,是减函数;

36

一般式: 两点式:

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;对称轴方程是

;顶点为 ;与 x 轴的交点为 ;顶点为 ;

; ;

y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ;对称轴方程是
y ? a( x ? k ) 2 ? h ;对称轴方程是
? 0 时:
为增函数;

顶点式:

①一元二次函数的单调性: 当a 为减函数;当 a

? 0 时:

为增函数;

为减函数;

②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则

y ? a( x ? k ) 2 ? h 的形式,

a ? 0 时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a ? 0 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则

a ? 0 时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a ? 0 时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
有三个类型题型: (1)顶点固定,区间也固定。如:

y ? x 2 ? x ? 1, x ?[?1,1]

(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.

y ? x 2 ? x ? 1, x ? [a, a ? 1] f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x 2 ;则:

③二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 根的情况

x1 ? x2 ? k
在区间 ( k ,??) 上有两 根

x1 ? x2 ? k
在区间 ( ??, k ) 上有 两根

x1 ? k ? x2
在区间 ( k ,??) 或

等价命题

(??, k ) 上有一根

充要条件

注意:若在闭区间 [ m, n ] 讨论方程

f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上实根分布的情况,得出结果,在令

x ? n 和 x ? m 检查端点的情况。
(3)反比例函数:

y?

a c ( x ? 0) ? y ? a ? x x?b

(4)指数函数: 指数运算法则: 指数函数:y= a
x

y ? a x (a ? 0, a ? 1)
; ; 。

(a>o,a≠1),图象恒过点(0,1) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行

讨论,要能够画出函数图象的简图。

37

(5)对数函数: 指数运算法则:

y ? loga x(a ? 0, a ? 1)
; ; ;

对数函数:y= loga

x

(a>o,a≠1) 图象恒过点(1,0) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况进

行讨论,要能够画出函数图象的简图。 注意: (1)

y ? a x 与 y ? loga x 的图象关系是



(2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时转化为同底数的指数或对数,还要注意与 1 比较或与 0 比较。 (3)已知函数

f ( x) ? log 1 ( x 2 ? kx ? 2) 的定义域为 R ,求 k 的取值范围。
2

已知函数

f ( x) ? log 1 ( x 2 ? kx ? 2) 的值域为 R ,求 k 的取值范围。
2

六、

y ? x?

k (k ? 0) 的图象: x
;值域: ; 奇偶性: ; 单调性: 是增函数; 是减函数。

定义域: 七、补充内容:

抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型: ① ②

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 正比例函数 f ( x) ? kx(k ? 0) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; f (
x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2
; 数 ;







f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (

x1 ? x2 x ? x2 )? f ( 1 )? 2 2
三、导

1.求导法则: (c) =0 (x ) =nx
n / /

这里 c 是常数。即常数的导数值为0。
n-1

特别地:(x) =1

/

(x ) = (

-1

/

1 x

) =-x

/

-2

(f(x)±g(x)) = f (x)±g (x)

/

/

/

(k?f(x)) = k?f (x)

/

/

2.导数的几何物理意义: k=f (x0)表示过曲线 y=f(x)上的点 P(x0,f(x0))的切线的斜率。 V=s (t)
/ /

表示即时速度。a=v (t)

/

表示加速度。

3.导数的应用: ①求切线的斜率。 ②导数与函数的单调性的关系 ㈠

f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系。

3 f ?( x) ? 0 能推出 f (x) 为增函数, 但反之不一定。 如函数 f ( x) ? x 在 ( ??,??) 上单调递增, f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 但 ∴



f (x) 为增函数的充分不必要条件。
38



f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系。

若将

f ?( x) ? 0 的根作为分界点,因为规定 f ?( x) ? 0 ,即抠去了分界点,此时 f (x) 为增函数,就一定有 f ?( x) ? 0 。∴当

f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的充分必要条件。


f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系。

f (x) 为增函数,一定可以推出 f ?( x) ? 0 ,但反之不一定,因为 f ?( x) ? 0 ,即为 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 。当函数在某个
区间内恒有

f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数,函数不具有单调性。∴ f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用导数判断好函数的单调性。 因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇 到端点的讨论问题,要谨慎处理。 ㈣单调区间的求解过程, 已知

y ? f (x)

(1) 分析

y ? f (x) 的定义域;(2)求导数 y ? ? f ?(x)(3)解不等式 f ?( x) ? 0 ,

解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式

f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间。

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系, 才能准确无误地判断函数的单调性。 以下以增函数为例作简单的分析, 前提条件都是函数

y ? f (x) 在某个区间内可导。

③求极值、求最值。 注意:极值≠最值。函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和 f(a) 、f(b)中最小 的一个。 f (x0)=0 不能得到当 x=x0 时,函数有极值。 但是,当 x=x0 时,函数有极值 ? f (x0)=0
/ /

判断极值,还需结合函数的单调性说明。 4.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微) ; (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线) ; (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于 n 次多项式的导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一个方向,应引起注意。 四、不等式 一、不等式的基本性质: 注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: ①若 ab>0,则

1 1 ? a b

。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象) ,直接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 a, b 基本变形:① a

? 0 ,则

?b ?

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取等号) 2 a?b 2 ) ? ;( ; 2
39

②若 a, b ? R ,则 a 基本应用:①放缩,变形;

2

? b 2 ? 2ab ,

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2

②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。 当 ab ? 当a ?b ,当且仅当 p (常数) 时, 时, ; ;

? S (常数) ,当且仅当
9 1 ( x ? ) 的最小值 2 ? 4x 2
? 1 ,则

常用的方法为:拆、凑、平方; 如:①函数

y ? 4x ?



②若正数 x, y 满足 x ? 2 y 三、绝对值不等式: 四、常用的基本不等式: (1)设 a, b ? R ,则 a (2) | a |? (3) a
2

1 1 ? 的最小值 x y



?

?

?

注意:上述等号“=”成立的条件;

? 0, (a ? b) 2 ? 0 (当且仅当
时取等号) | a |? ;

时取等号) 时取等号)

a (当且仅当

?a (当且仅当


? b, ab ? 0 ?

1 1 1 1 ? ; ? ? a b a b

五、证明不等式常用方法: (1)比较法:作差比较:

A? B ? 0 ? A? B

作差比较的步骤: ⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 ⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证??只需证??,只需证?? (4)反证法:正难则反。 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有: ⑴添加或舍去一些项,如:

a2 ?1 ? a



n(n ? 1) ? n

⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如: log 3 ? lg 5 ?

lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; 2 n ? (n ? 1) n(n ? 1) ? 2 (

⑷利用常用结论: Ⅰ、

k ?1 ? k ?

1 k ?1 ? k

?

1 2 k



40

Ⅱ、

1 1 1 1 ? ? ? 2 k (k ? 1) k ? 1 k k



1 1 1 1 (程度大) ? ? ? 2 k (k ? 1) k k ? 1 k
; (程度小)

Ⅲ、

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 2 k k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1

(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。如: 已知 x 已知 x
2

? y 2 ? a 2 ,可设 x ? a cos? , y ? a sin ? ; ? y 2 ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin ? ( 0 ? r ? 1 );


2

已知

x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin ? a2 b2

x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 ,可设 x ? a sec? , y ? b tan? a b
六、不等式的解法: (1)一元一次不等式: Ⅰ、 ax ? b(a Ⅱ、 ax ? b(a



(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;

? 0) :⑴若 a ? 0 ,则

;⑵若 a ;⑵若 a

? 0 ,则




? 0) :⑴若 a ? 0 ,则

? 0 ,则

(2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对 ? 进行讨论: (5)绝对值不等式:若 a

? 0 ,则 | x |? a ?
x |:
;|

;|

x |? a ?




注意:(1).几何意义: |

x?m|:

(2)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有: ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;①若 a

?0

则 | a |?

;②若 a

?0则

| a |?

;③若 a

? 0 则 | a |?



(3).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。 (4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 (6)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; ⑴

f ( x) ?0? g ( x) f ( x) ?0? g ( x)

;⑵

f ( x) ?0? g ( x) f ( x) ?0? g ( x)





;⑷



(7)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这个不等式组的解集,在求交集中,通常把每 个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分。 (8)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论: 41

①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△) ,比较两 个根的大小,设根为 x1 , x 2 (或更多)但含参数,要分 x1

? x2 、 x1 ? x2 、 x1 ? x2 讨论。
五、数列

本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个问题: (1)等 差 、 等 比 数 列 的 证 明 须 用 定 义 证 明 , 值 得 注 意 的 是 , 若 给 出 一 个 数 列 的 前

n

项和

Sn

,则其通项为

S1 (n ? 1), ? 若 a1 ? S1 满足 a1 ? S 2 ? S1 , 则通项公式可写成 an ? S n ? S n?1 . an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2, n ? N ).
(2)数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式及其性质熟练地进行计算,是高考命题重点考 查的内容. (3)解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标. ①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 n 的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 S n

?

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 及 S n ? na1 (q ? 1) ;已知 S n 求 an 时,也要进行分类; 1? q

③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整 体思想求解. (4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法来解决.解 答此类应用题是数学能力的综合运用,决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念: 1、 数列的定义及表示方法: 2、 数列的项与项数: 3、 有穷数列与无穷数列: 4、 递增(减) 、摆动、循环数列: 5、 数列{an}的通项公式 an: 6、 数列的前 n 项和公式 Sn: 7、 等差数列、公差 d、等差数列的结构: 8、 等比数列、公比 q、等比数列的结构: 二、基本公式: 9、一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:an= ? 10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d 式;当 d=0 时,an 是一个常数。 11、等差数列的前 n 项和公式:Sn= na1

?

S1 (n ? 1)
(其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项) 当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次

?S n ? S n?1 (n ? 2)

an=ak+(n-k)d

?

n( n ? 1) d 2

Sn=

n( a1 ? a n ) 2

Sn= na n

?

n( n ? 1) d 2
42

当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0;当 d=0 时(a1≠0) n=na1 是关于 n 的正比例式。 ,S 12、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k (是关于 n 的正比例式);

(其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项,an≠0) 13、等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=n a1 当 q≠1 时,Sn=

a1 (1 ? q n ) 1? q

Sn=

a1 ? a n q 1? q

三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等差数列。 15、等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am 16、等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am

? an ? a p ? aq ? an ? a p ? aq

17、等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an ? bn}、 ?

? an ? ? 1 ? ? 、 ? ? 仍为等比数列。 ? b n ? ? bn ?

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 24、{an}为等差数列,则
an

(为什么?)

?c ? (c>0)是等比数列。

25、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0 且 c ? 1) 是等差数列。 26. 在等差数列

?an ? 中:
S 偶 ? S 奇 ? nd

(1)若项数为 2 n ,则

S偶 S奇 S奇 S偶 ?

?

a n ?1 an

(2)若数为 2n ? 1 则, S奇

? S偶 ? an?1

n ?1 , S 2 n?1 ? an?1 ? (2n ? 1) n

27. 在等比数列

?an ? 中:
S偶 S奇 ?q

(1)

若项数为 2 n ,则

(2)若数为 2n ? 1 则,

S 奇 ? a1 S偶

?q

四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和:如 an=2n+3n 29、错位相减法求和:如 an=(2n-1)2n

43

30、裂项法求和:如 an=1/n(n+1) 32、求数列{an}的最大、最小项的方法:

31、倒序相加法求和:如 an= nC100

n



an+1

?? 0 ? -a =?? ? ? 0 ?? 0 ?
n

如 an= -2n2+29n-3



?? 1 a n ?1 ? ? ? ?? 1 an ?? 1 ?

(an>0) 如 an=

9 n ( n ? 1) 10n
n n ? 156
2

③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 33、在等差数列

?an ? 中,有关 S

n

的最值问题——常用邻项变号法求解:

(1)当

>0,d<0 时,满足

的项数 m 使得

取最大值.

(2)当 <0,d>0 时,满足 的项数 m 使得 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 六、平面向量 1.基本概念:

取最小值。

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2. 加法与减法的代数运算: (1)

A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? An?1 An ? A1 An



(2)若 a=( x1 , y1 ),b=( x 2 ,

y 2 )则 a ? b=( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。 以向量

AB = a 、 AD = b 为邻边作平行四边形 ABCD,则两条对角线的向量 AC = a + b , BD = b - a , DB = a - b

且有︱ a ︱-︱ b ︱≤︱ a

? b ︱≤︱ a ︱+︱ b ︱.
a +( b +c)=( a + b )+c
(结合律);

向量加法有如下规律: a + b = b + a (交换律);

a +0= a

a +(- a )=0.

3.实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量。 (1)︱ ?

a ︱=︱ ? ︱?︱ a ︱; a 与 a 的方向相同;当 ? <0 时, ? a 与 a 的方向相反;当 ? =0 时, ? a =0.

(2) 当 ? >0 时, ?

(3)若 a =( x1 , y1 ) ,则 ? ? a =( ?x1 , ?y1 ) . 两个向量共线的充要条件:

44

(1) 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ? ,使得 b= ? (2) 若 a =( x1 , y1 ),b=( x 2 , 平面向量基本定理:

a.

y 2 )则 a ∥b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 ? 1 , ? 2 ,使得 a = ? 1 e1+ 4.P 分有向线段 P P2 所成的比: 1 设 P1、P2 是直线 l 上两个点,点 P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点,则存在一个实数 ? 使 P P = ? 1 段 P P2 所成的比。 1 当点 P 在线段 P P2 上时, ? >0;当点 P 在线段 P P2 或 P2 P 的延长线上时, ? <0; 1 1 1

?2 e .
2

P P2

, ? 叫做点 P 分有向线

分点坐标公式:若 P P = ? 1

P P2

; P , P, P2 的坐标分别为( x1 , y1 ),( x 1

,y

),( x 2 ,

y2

? x ? x11? ?x2 ?? ? y ? y1 ? ?y2 ) ;则 ? 1? ?

(? ≠

-1) 中点坐标公式: , 5. 向量的数量积: (1) .向量的夹角:

? x ? x1 ? x 2 ? y ? y1 2 y 2 ? 2 ?



已知两个非零向量 a 与 b,作 OA = a , (2) .两个向量的数量积:

OB =b,则∠AOB= ?

(0

0

? ? ? 1800 )叫做向量 a 与 b 的夹角。

已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 ? ,则 a ?b=︱ a ︱?︱b︱cos ? . 其中︱b︱cos ? 称为向量 b 在 a 方向上的投影. (3) .向量的数量积的性质: 若 a =( x1 , y1 ),b=( x 2 ,

y 2 )则 e? a = a ?e=︱ a ︱cos ?

(e 为单位向量);
2 2

a ⊥b ? a ?b=0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ( a ,b 为非零向量);︱ a ︱= a ? a ? x1 ? y1
cos ? =

;

a?b a?b

=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2



(4) .向量的数量积的运算律:

a ?b=b? a ;( ? a )?b= ? ( a ?b)= a ?( ?
6.主要思想与方法:

b);( a +b)?c= a ?c+b?c.

本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正 确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具, 它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点。 45

七、立体几何 1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图。 ....... 2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念; 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些? ④直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影,范围是{0 .90 } ⑤三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如:证 明异面直线垂直,确定二面角的平面角,确定点到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系:平行、相交, (垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直,一般是依据性质定理,可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ ? (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法: ①定义法,一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形; ②垂线、斜线、射影法,一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个直角三角形。 ③射影面积法,一般是二面交的两个面只有一个公共点,两个面的交线不容易找到时用此法。 5.棱柱 (1)掌握棱柱的定义、分类,理解直棱柱、正棱柱的性质。 (2)掌握长方体的对角线的性质。 (3)平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别,以及它们的特有性质。 (4)S 侧=各侧面的面积和。思考:对于特殊的棱柱,又如何计算? (5)V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算? 6.棱锥 1. 棱锥的定义、正棱锥的定义(底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心) 2. 相关计算:S 侧=各侧面的面积和 7.球的相关概念:S 球=4π R
2 0 0

?直接法 ?体积法

,V=
3

1 Sh 3

V 球=

4 3

πR

球面距离的概念

8.正多面体:掌握定义和正多面体的种数(是哪几个?) 。 掌握欧拉公式:V+F-E=2 主要思想与方法: 1.计算问题: (1)空间角的计算步骤:一作、二证、三算 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 (2)空间距离 范围:0°<θ ≤90° 方法:①平移法;②补形法. 范围:0°≤θ ≤90° 方法:关键是作垂线,找射影. 其中:V 顶点数 E 棱数 F 面数 9.会用反证法证明简单的命题。如两直线异面。

方法:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法. 注:二面角的计算也可利用射影面积公式 S′=Scosθ 来计算 (1)两点之间的距离. (2)点到直线的距离. (5)两条异面直线间的距离. ( 3)点到平面的距离. (6)平面的平行直线与平面之间的距离. 46

(4)两条平行线间的距离

(7)两个平行平面之间的距离. 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系, 有些可以相互转化, 如两条 平行线的距离可转化为求点到直线的距离,平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离. 在七种距离中,求点到平面的距离是重点,求两条异面直线间的距离是难点. 求点到平面的距离:(1)直接法,即直接由点作垂线,求垂线段的长.(2)转移法,转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法. 求异面直线的距离:(1)定义法,即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法,依据是两条异面直线的距离是 分别在两条异面直线上两点间距离中最小的. 2.平面图形的翻折,要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化,翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变 .. 3.在解答立体几何的有关问题时,应注意使用转化的思想: ①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决. ②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法. ③补法把不规则的图形转化成规则图形,把复杂图形转化成简单图形. ④利用三棱锥体积的自等性,将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高. ⑤平行转化

⑥垂直转化

八、平面解析几何 (一)直线与圆知识要点 1.直线的倾斜角与斜率 k=tgα ,直线的倾斜角α 一定存在,范围是[0,π ],但斜率不一定存在。牢记下列图像。 斜率的求法:依据直线方程 意义。 3.两条直线的位置关系,能够说出平行和垂直的条件。会判断两条 相等还有可能重合) 4.两条直线的交角:区别到角和夹角两个不同概念。 5.点到直线的距离公式。 6.会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。 7.曲线与方程的概念,会由几何条件列出曲线方程。 8.圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r 圆的一般方程:x +y +Dx+Ey+F=0 圆的参数方程: ?
2 2 2 2 2

依据倾斜角

依据两点的坐标

2.直线方程的几种形式,能根据条件,合理的写出直线的方程;能

K

够根据方程,说出几何

O


π α

直线的位置关系。 (斜率

注意表示圆的条件。

? x ? a ? r cos? ? y ? b ? r sin ?

掌握圆的几何性质,会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。 圆锥曲线方程 (二) 、圆锥曲线 1. 椭圆及其标准方程

47

?第一定义、第二定义 ? 哪个轴上) ?标准方程(注意焦点在 ? (a ,焦半径) ?椭圆的简单几何性质:、b、c、e的几何意义,准线方程 ?椭圆的参数方程 ? a cos? , y ? b sin ? ,当点P在椭圆上时, x ? ?   可用参数方程设 点的坐标,把问题转化 为三角函数问题。 ?
2.双曲线及其标准方程:

注意与椭圆相类比) ?第一定义、第二定义( ? 哪个轴上) ?标准方程(注意焦点在 ?双曲线的简单几何性质(a、b、c、e的几何意义,准线方程 : ,焦半径,渐近线 ) ?
3.抛物线及其标准方程:

中的灵活应用 ?定义,以及定义在解题 ?   (抛物线上的点到 焦点的距离问题经常转 化为到准线的距离。) ? ? 哪个轴上,开口方向, 的几何意义)四种形式 p ?标准方程(注意焦点在 ?抛物线的简单几何性质(焦点坐标,准线方程, : 与焦点有关的结论 ) ?
直线与圆锥曲线:
程的解的情况。 ?位置关系,经常抓为方 ? 决 ?弦长。运用韦达定理解 ?面积。注意合理分析 ?

注意点: (1)注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解 (2)要学会变形使用两点间距离公式

d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

,当已知直线

l

的斜率

k

时,公式变形为

d ? 1 ? k 2 x 2 ? x1



d ? 1?

1 y 2 ? y1 k2

;当已知直线的倾斜角 ? 时,还可以得到

d ? x2 ? x1 ? sec?



d ? y2 ? y1 ? csc?
(3)灵活使用定比分点公式,可以简化运算. (4)会在任何条件下求出直线方程. (5)注重运用数形结合思想研究平面图形的性质 解析几何中的一些常用结论: 1. 直线的倾斜角α 的范围是[0,π ) 2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系:当倾斜角是锐角是,斜率 k 随着倾斜角α 的增大而增大。当α 是钝角时,k 与α 同增减。 3. 截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。 4. 两直线:L1 A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1⊥L2 ? A1A2+B1B2=0

5. 两直线的到角公式:L1 到 L2 的角为θ ,tanθ =

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

夹角为θ ,tanθ =|

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

|

注意夹角和到角的区别

6. 点到直线的距离公式,两平行直线间距离的求法。 7. 有关对称的一些结论 ① 点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称点分别是 (a,-b)(-a,b)(-a,-b)(b,a) , , , 48

② ③ ④

如何求点(a,b)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点 直线 Ax+By+C=0 关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称的直线方程分别是什么,关于点(a,b)对称的直线方程有时什么? 如何处理与光的入射与反射问题?

8.曲线 f(x,y)=0 关于下列点和线对称的曲线方程为: (1)点(a.b) (2)x轴 (3)y轴 (4)原点 (5)直线 y=x (6)直线 y=-x (7)直线 x=a 9.点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。 点 P(x0,y0),圆的方程:(x-a) +(y-b) =r . 如果(x0-a) +(y0-b) >r 如果 如果
2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2

? 点 P(x ,y )在圆外; (x -a) +(y -b) <r ? 点 P(x ,y )在圆内; (x -a) +(y -b) =r ? 点 P(x ,y )在圆上。
2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2

10.圆上一点的切线方程:点 P(x0,y0)在圆 x +y =r 上,那么过点 P 的切线方程为:x0x+y0y=r . 11.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线。 12.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题。d >r ? 相离 d=r ? 相切 d<r ? 相交 d=r+R ? 两圆相外切 d=|R-r| ? 两圆相内切 d=0,两圆同心。 13.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为 d,两圆的半径分别为 r,R d>r+R ? 两圆相离 |R-r|<d<r+R ? 两圆相交 d<|R-r| ? 两圆内含
2 2 2 2

14.两圆相交弦所在直线方程的求法: 圆 C1 的方程为:x +y +D1x+E1y+C1=0. 圆 C2 的方程为:x +y +D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 15.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。

16.焦半径公式:在椭圆

x2 y2 ? a2 b2

=1中,F1、F2分别左右焦点,P(x0,y0)是椭圆是一点,则:(1)|PF1|=a+ex0

|PF2|=a-ex0

(2)三角形 PF1F2的面积如何计算 17.圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。 18.直线 y=kx+b 和圆锥曲线 f(x,y)=0 交于两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) 则弦长 P1P2=

1? k 2 | x1 ? x2 |

19.双曲线的渐近线的求法(注意焦点的位置)已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。 20.抛物线中与焦点有关的一些结论: (要记忆) 解题思路与方法: 高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有 4 个题目外, 就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解 析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线 的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题: (1)在解答有关圆锥曲线问题时,首先要考虑圆锥曲线焦点的位置,对于抛物线还应同时注意开口方向,这是减少或避免错误的一个 关键. (2)在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时,可以利用方程组消元后得到二次方程,用判别式进行判断.但对 直线与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线的渐近线平行时,不能使用判别式,为避免繁琐运算并准确判断特殊情况,此时要 49

注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线,通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常 用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍. (3)求圆锥曲线方程通常使用待定系数法,若能据条件发现符合圆锥曲线定义时,则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥 曲线的焦点、准线有关问题,也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m >0,n>0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. (4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时,一般需使用正余弦定理、和 分比定理及圆锥曲线定义. (5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用. (6)求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一,它是各种知识的综合运用,具有较大的灵活性,求动点轨迹方程的实质是将“曲线” 化成“方程” ,将“形”化成“数” ,使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有:直接法、定义 法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等,解题时,注意求轨迹的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围. (7)参数方程,请大家熟练掌握公式,后用化归的思想转化到普通方程即可求解. 九、排列组合与二项式定理 1. 计数原理 ①加法原理:N=n1+n2+n3+?+nM 2. 排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)?(n-m+1)= (分类) ②乘法原理:N=n1·2·3· M (分步) n n ?n

n! (n ? m)!

Ann =n!

Cnm =

n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) n! ? m! (n ? m)!m!
-m

Cnm= Cnn

Cnm+Cnm 1= Cn+1m+1



k?k!=(k+1)!-k!

3. 排列组合混合题的解题原则:先选后排,先分再排 排列组合题的主要解题方法:优先法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. 以位置为主考虑,即先满足特 殊位置的要求,再考虑其他位置. 捆绑法(集团元素法,把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑) 插空法(解决相间问题) 间接法和去杂法等等

在求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是: ①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想. 4. 二项式定理: ①(a+b) =Cn a +Cn a
n n 0 x 1 n-1 1 1 n

b + Cn a b + Cn a b +?+ Cn a
2 2 n r r n n n r n-r r m

2 n-2 2

3

n-3 3

r n-r r

b +?+ Cn

n-1

ab

n-1

+ Cn b

n n

特别地:(1+x) =1+C x+C x +?+Cn x +?+C x ②通项为第 r+1 项: Tr+1= Cn a ③主要性质和主要结论:对称性 Cn =Cn
0 1 2 n-m

b 作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

最大二项式系数在中间。 (要注意 n 为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项) 所有二项式系数的和:Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +?+Cn +?+Cn =2
3 4 r n n

50

奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和 Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +?=Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +?=2 的应用。 6.二项式定理的应用:解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 十、概率统计 1.必然事件 P(A)=1,不可能事件 P(A)=0,随机事件的定义 0<P(A)<1。
0 2 4 6 8 1 3 5 7 9 n -1

5.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数,指定项的系数等,指运算结果的系数)的区别,在求某几项的系数的和时注意赋值法

2.等可能事件的概率: (古典概率)P(A)=

m n

理解这里 m、n的意义。

互斥事件(A、B 互斥,即事件 A、B 不可能同时发生,这时 P(A?B)=0)P(A+B)=P(A)+ P(B) 对立事件(A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一个发生。这时 P(A?B)=0)P(A)+ P(B)=1 独立事件: (事件 A、B 的发生相互独立,互不影响)P(A?B)=P(A) ? P(B) 独立重复事件(贝努里概型) (K) k k k Pn =Cn p (1-p) 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 k 次的概率。 ....... 特殊:令 k=0 P 为在一次独立重复试验中事件 A 发生的概率。 (0) 0 0 n n 得:在 n 次独立重复试验中,事件 A 没有发生的概率为 Pn =Cn p (1-p) =(1-p) ........
(n) n n 0 n

令 k=n 得:在 n 次独立重复试验中,事件 A 全部发生的概率为 Pn =Cn p (1-p) =p ........ 3.统计 总体、个体、样本、 ,样本个体、样本容量的定义; 抽样方法:1 简单随机抽样:包括随机数表法,标签法;2 系统抽样 样本平均数: x ? 3 分层抽样。

1 1 n ( x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ) ? ? xi n n i ?1

样本方差:S =

2

1 n

[(x1-

x )2+(x2- x )2+ (x3- x )2+?+(xn- x )2]
作用:估计总体的稳定程度

样本标准差:s=

S2

理解频率直方图的意义,会用样本估计总体的期望值和方差,用样本频率估计总体分布。 9 既准又快中档题训练 ---{黄冈题库} 一、选择题 1.设 a、b ? R
?

, 2a ? b ? 1, 则 2 ab ? 4a2 ? b2 有





A.最大值

1 4

B.最小值

1 4

C.最大值 2 ? 1 2

D.最小值 ?

5 4
2

2. 某校有 6 间不同的电脑室,每天晚上至少开放 2 间,欲求不同安排方案的种数,现有四位同学分别给出下列四个结果:① C6 ;②
3 4 5 6 C6 ? 2C6 ? C6 ? C6 ;③ 26 ? 7 ;④ A62 .其中正确的结论是(



A.仅有①

B.仅有②

C.②和③

D.仅有③

3. 将函数 y=2x 的图像按向量 以是(0,6) ;③

? 平移后得到函数 y=2x+6 的图像,给出以下四个命题:① ? 的坐标可以是(-3.0) ? 的坐标可 ;②

a

a

a

? 的坐标可以是(-3,0)或(0,6) ? 的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是( ) ;④ a a
51

A.1

B.2

C.3

D.4

4.

?x ?1 ? a 2 不等式组 ? ,有解,则实数 a 的取值范围是( ) ?x ? 4 ? 2a A. (-1,3) B. (-3,1) C. (-∞,1) ? (3,+∞)

D. (-∞,-3) ? (1,+∞)

5. 设 a>0,

)处切线的倾斜角的取值范围为[0, f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,曲线 y=f(x)在点 P( x 0 ,f( x 0 ) ) C. [ 0 , |

π 4

],则 P 到曲线 y

=f(x)对称轴距离的取值范围为( A. [0 ,

1 ] a

B. [ 0 ,

1 ] 2a

b |] 2a

D. [ 0 , |

b ?1 |] 2a


6. 已知

f (x) 奇函数且对任意正实数 x1 , x 2 ( x1 ≠ x 2 )恒有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 则一定正确的是( x1 ? x2
D. f (?3) ? f (?5)

A. f (3) ? f (?5) B. f (?3) ? f (?5)

C. f (?5) ? f (3)

7. 将半径为 R 的球加热,若球的半径增加 ?R ,则球的体积增加 ?V

?(



4 3 A. πR ?R 3

B. 4πR

2

?R

C. 4 πR

2

D. 4 πR?R

8. 等边△ABC 的边长为 a, 将它沿平行于 BC 的线段 PQ 折起, 使平面 APQ⊥平面 BPQC, 若折叠后 AB 的长为 d, d 的最小值为 则 ( )

A.

3 a 4

B.

5 a 4

C.

3a 4

D.

10 a 4


9.

sin 4 ? cos4 ? ? 锐角 ? 、 ? 满足 cos2 ? sin 2 ?
A. ?

=1,则下列结论中正确的是(

?? ?

π 2

B. ?

?? ?

π 2

C. ?

?? ?

π 2

D. ?

?? ?

π 2


10. 若将向量 a=(2,1)转绕原点按逆时针方向旋转

π 得到向量 b,则向量 b 的坐标为( 4
C. (?

A. (?

2 2

,?

3 2 ) 2

B. (

2 2



3 2 ) 2

3 2 2



2 ) 2

D. (

3 2 2 ,? ) 2 2


11. 若直线 mx+ny=4 和⊙O∶ x A.至多一个 B.2 个

2

? y 2 ? 4 没有交点,则过(m,n)的直线与椭圆
C.1 个 D.0 个

x2 y2 ? ? 1 的交点个数( 9 4

2 2 12. 在 椭 圆 x ? y ? 1 上 有 一 点 P , F1 、 F2 是 椭 圆 的 左 右 焦 点 , △ F1PF2 为 直 角 三 角 形 , 则 这 样 的 点 P 有 2 2

a

b

A.4个或6个或8个

B.4 个

C.6 个

D.8 个

13. 对于任意正整数 n,定义“n 的双阶乘 n!!”如下: 当 n 是偶数时,n!!=n?(n-2)?(n-4)??6?4?2; 当 n 是奇数时,n!!=n?(n-2)?(n-4)??5?3?1 现在有如下四个命题:①(2003!!)?(2002!!)=2003!;②2002!!=2 ③2002!!的个位数是 0; 其中正确的命题有( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个 ④2003!!的个位数是 5.
1001

?1001!;

14. 甲、乙两工厂元月份的产值相等,甲工厂每月增加的产值相同,乙工厂的产值的月增长率相同,而7月份甲乙两工厂的产值又相

52

等,则4月份时,甲乙两工厂的产值高的工厂是 A.甲工厂 15. 若 log2
a





B.乙工厂

C.一样

D.无法确定 )

x1 ? loga x2 ? log( a?1) x3 ? 0(0 ? a ? 1) ,则 x1 , x 2 , x3 的大小关系是(
? x2 ? x1
) . B.4.8 米 C.5.米 D.5.2 米
2003 k ?0

A. x3

B. x2

? x1 ? x3

C. x2

? x3 ? x1

D. x1

? x3 ? x2

16. 现用铁丝做一个面积为 1 平方米、形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的铁丝各一根供选择,其中最合理(即够用,浪费 最少)的一根是( A.4.6 米 17. 定义

?a
k ?i

n

k

k ? ai ? ai ?1 ? ai ? 2 ? ? ? an ,其中 i, n ? N? ,且 i ≤ n .若 f ( x) ? ? (?1)k C2003 (3 ? x)k ? ? ai x 2003?i 则 ? ak 的 i ?0

2003

2003 k ?1

值为 A.2

( B.0

) C.-1
2

D.-2 )

18. 设实数 m、n、x、y 满足 m A. a ? b 2 B.

? n 2 ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a、b 为正的常数,则 my ? ny 的最大值是(
C. 2 ab a?b
2 2 D. a ? b

a ?b

2


19. 给出平面区域如图所示,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值为( A.

3 5

B.

1 4

C.4

D.

5 3


20.

已 知 等 比 数 列

{an }

满 足 :

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 3


2 2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值是(

A.9

B.4

C.2

D.

1 4


21. 已知正二十面体的各面都是正三角形,那么它的顶点数为( A.30 B.12 C.32 ) C. D.10 22. 如果 A、B 是互斥事件,那么(

A.A+B 是必然事件 B. A ? B 是必然事件

A 与B

一定不互斥

D.A 与 B 可能互斥,也可能不互斥

23. 某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下表: 表1 市场供给量 单价 (元/kg) 供给量 (1000kg) 表2 市场需求量 单价 (元/kg) 需求量 (1000kg) 50 60 65 70 ) 75 80 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2 50 60 70 75 80 90 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( A.(2.3,2.6)内 二、填空题 B. (2.4,2.6)内 C. (2.6,2.8)内

D. (2.8,2.9)内

53

1.设直线 2x ? 2.函数

y ? 4 3 ? 0 与抛物线

y 2 ? 2 3x 交于P、Q两点,O为坐标原点,则 ?POQ ?



f ? x ? 对于任何 x ? R ? ,恒有 f ? x1x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 若 f ?8? ? 3, 则 f
种不同的分组方法.

? 2?=



3.把 11 个学生分成两组,每组至少 1 人,有

4. 设 {an } 是公比为 q 的等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 {S n } 是等差数列,则 q=_______.

5. 点 B1 、B2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a>b>0)的短轴端点,过右焦点 F 作 x 轴的垂线交于椭圆于点 P,若 | FB2 | 是 | OF | 、| B1B2 | a2 b2
| PF | ? ________. | OB2 |

的等比中项(O 为坐标原点) ,则

6. 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地面 m( km) ,远地点 B 距离地面 n(km) ,地球半径为

R(km) ,关于这个椭圆有以下四种说法:
①焦距长为 n ? m ;②短轴长为

(m ? R)(n ? R) ;③离心率 e ?

n?m m ? n ? 2R

;④若以 AB 方向为 x 轴正方向,F 为坐

标原点,则与 F 对应的准线方程为 x

??

?(m ? R)(n ? R) ,其中正确的序号为________. ( n ? m)

7. 如果一个四面体的三个面是直角三角形,那么其第四个面可能是: ①等边三角形;②等腰直角三角形;③锐角三角形;④锐角三角形;⑤直角三角形.那么结论正确的是________. (填上你认为正 确的序号) 8. 某工程的工序流程图如图所示, (工时单位:天) ,现已知工程总时数为 10 天,则工序 c 所需工时为__天. 三、解答题
2 2 1.设 F1、F2 分别为椭圆 C : x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两 2 2

个焦点.

a

b

(1) 若椭圆 C 上的点 焦点坐标;

3 A(1, ) 到 F1、 2 两点的距离之和等于 4, F 2

写出椭圆 C 的方程和

(2) 设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程; 已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为

x2 y 2 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线 2 ? 2 ? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明. a b
1

2.已知函数

x3 ? x f ( x) ? 5

?

1 3

1

x3 ? x , g ( x) ? 5

?

1 3

(1)证明

f (x) 是奇函数,并求 f (x) 的单调区间.

(2)分别计算

f (4) ? 5 f (2) g (2)和f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值,由此概括出涉及函数 f (x)

和 g (x) 的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明. 3.非负实数 x1、x2、x3、x4 满足:x1+x2+x3+x4=a(a 为定值,a>0) 54

(1)若 x1+x2≤1,证明: (2)求 . 已

1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1
的最小值,并说明何时取到最小值. , 数 列

1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 1 ? x4


4

f ( x) ? ( x ? 1)2 , g ( x) ? 4( x ? 1)

?an ?





a1 ? 2,(an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0 .
(1)用 a n 表示 (2)求证: (3)若 bn

an ?1 ;

?an ? 1? 是等比数列;

? 3 f (an ) ? g (an ?1 ) ,求 ?bn ? 的最大项和最小项.
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一条弦,A(-2,1)是 MN 的中点,以 A 为焦点,以椭圆 C1 的左准线 l 为相 a2 b2

5.如图,MN 是椭圆 C1:

应准线的双曲线 C2 与直线 MN 交于点 B(-4,-1) 。设曲线 C1、C2 的离心率分别为 e1、e2。 (1)试求 e1 的值,并用 a 表示双曲线 C2 的离心率 e2; (2)当 e1e2=1 时,求|MB|的值。 6.已知函数

f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) .

(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[ ?

π π , ] 上的图 2 2
分别是椭圆

像.

7.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 右支上一点 P 在 x 轴上方,A、B a2 b2

y P
C A 0 D B

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点,连结 AP 交椭圆于点 C,连结 PB 并延长交椭圆于 D,若△ACD a2 b2
与△PCD 的面积恰好相等. (1)求直线 PD 的斜率及直线 CD 的倾角; (2)当双曲线的离心率为何值时,CD 恰好过椭圆的右焦点? 8. 如图.已知斜三棱柱 ABC-

x

A1B1C1 的各棱长均为 2,侧棱 BB1 与底面 ABC 所成角为

π 3

,且侧面 ABB A 垂直于底面 ABC. 1 1

(1)求证:点 B1 在平面 ABC 上的射影为 AB 的中点; (2)求二面角 C-

AB1 -B 的大小;

(3)判断 B1C 与 C1 A 是否垂直,并证明你的结论. 9. 如图所示,以原点和 A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB,∠B=90°,求

AB 和点 B 的坐标.

10. 在平面直角坐标系中,已知平行四边形 ABCD,O 为原点,且 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,E 在 BA 上,且 BE∶EA 55

=1∶3,F 在 BD 上,且 BF∶FD=1∶4,用 a,b,c,d 分别表示 OE 、 OF 、 EF 、 EC ,并判断 E、F、C 三点是否共线. 11. △ABC 中, | BC |? a , |

AC |? b ,a,b 是方程 x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,且 2cos(A+B)=1.求:

(1)角 C 的度数; (2)AB 的长; (3) S ?ABC 12. 已知二次函数

f (x) 的二次项系数为负,对任意实数 x 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,问当 f (1 ? 2 x 2 ) 与 f (1 ? 2 x ? x 2 ) 满足

什么条件时才有-2<x<0? 题型示例答案 一、 选择题 1. C2. C3. D4. A5. B6. D7. B8. D9. D10. B11. B12.A13.D14.A15.C16. C17. D18. B19. A20. B21. B22. B23. C 二、 填空题 1. 90 2.
0

1 2

3. 1023 4. 1 5.

2 6. ①③④7. ①②③④⑤8. 4 2

三、解答题
2 2 1. (1)椭圆 C 的方程为 x ? y ? 1 ,焦点 F1(-1,0)、F2(1,0);

4

3

(2) ( x ?

1 2 4y b2 (3)定值为 k PM ? PN ? ) ? ?1 ; k 2 3 a2
1 ? 1 3 1

2

( ? x) 3 ? ( ? x) 2. (1)证明 函数定义域为 {x | x ? 0且x ? R},? f (? x) ? 5


x3 ? x ?? 5

?

1 3

? ? f ( x)

f (x) 为奇函数.
? ? 1 3 1 3 1 3 ( x1 ? x1 3 ) ? ( x 2 ? x 2 3 ) ? ( x13 ? x 2 ) 5 5 5 1 1 1 1 1 1

设 o ? x1 ? x 2 , 则f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

(1 ?

1 x x
1 3 1 1 3 2

) ? 0,? f ( x)在(0,??) 上是增函数,又 f (x ) 是奇函数.

∴ f (x) 在(-∞,0)上也是增函数. (2)解

f (4) ? 5 f (2) g (2) ? 0, f (9) ? 5 f (3) g (3) ? 0, 猜想: f ( x2 ) ? 5 f ( x) g ( x) ? 0
2 ? 2 2 3 1

x3 ? x ? f ( x ) ? 5 f ( x) g ( x) ? 5
3. 证: (1)? x1

x3 ? x ? 5? 5

?

1 3

1

x3 ? x ? 5

?

1 3

?

? ? 1 3 1 (x ? x 3 ) ? (x 3 ? x 3 ) ? 0 5 5

2

2

2

2

? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1,?1 ? x1 ? 0,1 ? x2 ? 0,1 ? x1 ? x2 ? 0

要证 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1, 只要让 ( 1 ? x1 ? 1 ? x2 ) 2 ? ( 1 ? x1 ? x2 ? 1) 2 即证: 2 ? x1

? x2 ? 2 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 1 ? x1 ? x2

只要证: x1 x2

?0

? x1 x2 ? 0 成立,故原不等式也成立。

解(2)从(1)的证明过程可知当 x1 ? 0, x2 ? 0, 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1成立

56

,等号当 x1

? 0或x2 ? 0 时取到.

? 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 1 ? x4 ?
1 ? x1 ? x 2 ? 1 ? 1 ? x3 ? 1 ? x 4 ? 1 ? x1 ? x 2 ? x3 ? 2 ? 1 ? x 4 ? 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x 4 ? 3 ? 1 ? a ? 3
等号当 x1

? x2 ? x3 ? 0, x4 ? a 取到。

4. 解: (1)因为 (an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0, g (an ) ? 4(an ? 1)

f (an ) ? (an ? 1)2 所以 (an ? 1)(3an ? 4an ?1 ? 1) ? 0 ,又 a1 ? 2 ,所以 an?1 ? 3 an ? 1
4

4

3 1 3 a ? ?1 (an ? 1) an ?1 ? 1 4 n 4 3 (2)因为 ? ?4 ? an ? 1 an ? 1 an ? 1 4
所以,

?an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 1 为首项,公比为

3 的等比数列. 4
3 4

(3)由(2)可知, a ? 1 ? ( 3 )n?1 , n 4 从而 bn ? 因

所以 an ? ( )n ?1 ? 1,

32 n ?1 ? 3n ? 4n ?1 3 3 ? 3 ? ( ) n ?1[( ) n ?1 ? 1] . 2n?2 4 4 4

3 3 1 3 3 y ? ( ) x 为减函数,所以 bn 中最大项为 b1=0. 又 bn= 3[( )n?1 ? ]2 ? ? ? , 4 4 2 4 4 3 n?1 1 3 n?1 1 而此时 n 不为整数才能有 ( ) ? ,所以只须考虑 ( ) 接近于 . 2 4 4 2 3 n?1 9 1 1 3 n?1 27 1 5 当 n=3 时, ( ) = 与 相差 ;当 n=4 时, ( ) = 与 相差 , 4 16 2 16 4 64 64 2 5 1 189 而 > ,所以 bn 中项 b3 ? ? . 64 16 256
5.解(1) [法一]由 A(-2,1) ,B(-4,-1)得直线 AB 即直线 MN 方程为 y=x+3,代入椭圆 C1 的方程并整理,得(a +b )x +6a x+9a -a b =0
2 2 2 2 2 2 2

(*)

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2),则

x1+x2=-

6a 2 a2 ? b2

∵A(-2,1)是弦 MN 的中点,∴x1+x2=-4,故由 ?

6a 2 ? ?4 得 a2=2b2, 2 2 a ?b

又 b =a -c ,∴a=

c 2 ? . a 2 a2 ∵A 为 C2 的焦点,且相应准线 l 方程为 x ? ? ,即 x ? ? 2a ,过 B 作 BB0⊥l 于 B0,则由双曲线定义知, c
2 2 2

2c ,从而椭圆离心率 e1=

2 2 2 e2= | BA | ? (?2 ? 4) ? (1 ? 1) ? 2 2 ? . | BB0 | | ?4 ? ( ? 2 a ) | | 2a ? 4 | | a ? 2 2 |

57

? x12 y12 ? ?1 ? 法二:设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2,且 ? a 2 b 2 ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ?a2 b2 ?
(i)-(ii)得

(i )


(ii)

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) a
2

?

( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) b2

?0,

∴ k MN

?

y1 ? y 2 2b 2 1?1 ? ? 2 ? k AB ? ? ?1 ,以下同法一。 x1 ? x 2 2?4 a

(2)由 e1 ?

2 2 ? 2 ,∴ a ? 3 2 或 2 。 , e1 e 2 ? 1 得 e2 ? 2 ,即 2 |a?2 2|
2

当 a ? 3 2 时,b =9,椭圆方程为 当a ?

x2 y2 ? ?1; 18 9

2 时,b2=1,代入(*)知Δ <0,不合题意,舍去;

(另法:此时 A(-2,1)在椭圆外,不可能为弦 MN 中点,舍去) ∴椭圆 C1 方程只能为
2

x2 y2 ? ?1。 18 9
2 2

以下法一:将 a =18,b =9,代入(*)得 x +4x=0,∴x1+x2=-4,x1x2=0,
2 ∴|MN|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? k AB )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? 1)[( ?4) 2 ? 0] ? 4 2 ,

又|AB|= (?2 ? 4) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 2 2 ∴|MB|=|MA|+|AB|=

1 |MN|+|AB|=2 2 ? 2 2 ? 4 2 . 2
x2 y2 ? ? 1 上,即 B 与 N 重合,从而|MB|=|MN|,故转化为求弦长|MN|即可。 18 9

以下法二:具体求出 M、N 点的坐标。 以下法三:先验证点 B(-4,-1)在椭圆

6. 解: (1) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos2x ? sin 2x

? 1 ? 2 (sin 2 x cos
所以函数

π π π ? cos 2 x sin ) ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ) 4 4 4

f (x) 的最小正周期为 π ,最大值为 1? 2 .

(2)由(1)知

x
y
故函数

?

3π 8
1

?

π 8

π 8
1

3π 8

5π 8
1

1? 2

1? 2

y ? f (x) 在区间 [?

π 2



π ] 上的图像是 2
A(?a,0) , B(a,0) ,

7. 解: (1)设 P( x0 , y0 ) , C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,又

58

? S ?ACD ? S ?PCD ,? C 为 AP 的中点,即 x1 ?

x0 ? a 2
2



y1 ?

y0 2



代入椭圆方程得:

2 x y ( x0 ? a) 2 y 0 ? 2 ? 4 ①; 又 02 ? 02 ? 1 ② 2 a b a b

2

2 ①+②得 ( x0 ? a) ? x0 ? 5 ,即 x0 2 2

a

,代入(2) ,并注意 y0 ? 0 ,得 y0 ? 3b . ? 2a ( x0 ? ?a 舍去)

? P(2a, 3b) ,从而 k PD ? k PB ?

y0 3b . ? x0 ? a a

? 直线 PD 方程为 y ?
? x1 ?

3b , ( x ? a) ,代入椭圆方程得: 2 x 2 ? 3ax ? a 2 ? 0 ,? x 2 ? a(x ? a舍去) a 2

x0 ? a a ,? x ? 1 2 2

? x2 ,即 CD ⊥ x 轴,?直线CD 倾角为 90°.
a 2 ? c 2 ? 3c ,

(2)当 CD 过椭圆右焦点时,有 a ? c , b ?
2

在双曲线中,半焦距 c? ?

a 2 ? b2

,半实轴 a ?

? a,


2 2 2 2 ? ? 双曲线离心率 e ? c ? a ? b ? 4c ? 3c ? 7

a?

a

2c

2

此时,CD 恰好过椭圆右焦点. 8. (1)如图,在平面 BA 内,过 B1 作 B1 D ⊥AB 于 D, 1 ∴ ∵ ∴ ∵ 侧面 BA ⊥平面 ABC, 1

B1D ⊥平面 ABC, ?B1 BA是 BB1 与平面 ABC 所成的角,∴ ?B1 BA=60°.
四边形

ABB A1 是菱形, 1





ABB1 为正三角形,

D 是 AB 的中点,即 B1 在平面 ABC 上的射影为 AB 的中点. △ABC 为正三角形,

(2)连结 CD,∵ 又∵ ∴ 平面

A1 B ⊥平面 ABC,平面 A1 B ? 平面 ABC=AB, A1 B ,在平面 A1 B 内,过 D 作 DE⊥ AB1 于 E,连结 CE,则 CE⊥ AB1 , AB1 -B
的平面角.在 Rt△CED 中, CD ? 2 sin 60
?

CD⊥平面



∠CED 为二面角 C-

? 3 ,连结 BA1 于

O,则 BO ?

3,

DE ?

1 3, BO ? 2 2



tan ?CED ?

CD ? 2 . ∴ 所求二面角 C- AB1 -B 的大小为 arctan2. DE
∵ ∴

(3)答: B1C ∴ CD⊥平面

? C1 A ,连结 BC1 ,

BB1CC1 是菱形



BC1 ? B1C

A1 B , B1D ? AB ,

B1C ⊥AB,

59



B1C ⊥平面 ABC1 ,



B1C ⊥ C1 A .
y ) , AB ? ( x ? 5 , y ? 2)


9. 设点 B 的坐标为(x,y) ,则 OB ? ( x , ∴

OB ? AB


x( x ? 5) ? y ? ( y ? 2) ? 0 ? x 2 ? y 2 ? 5x ? 2 y ? 0

又∵

| OB |?| AB |
? x1 ? 7 2



x 2 ? y 2 ? ( x ? 5)2 ? ( y ? 2)2 ? 10x ? 4 y ? 29
x2 ?



? 解①②得 ?

? ?y ? ? 3 ? 1 2 ?

? 或?

?

3 2 ? ?y ? 7 ? 2 2 ?

10.

3 7 3 7 ? 7 3 )或( , ) AB ? ( ? , ? ) 或 AB ? (? , ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ? b? a b? d 解:由 BE ? EA , BF ? FD ,可直接求得 3 ? 3b ? a , OF ? 4 ? 4b ? d . OE ? 3 4 1 1 4 5
∴ 点 B 的坐标为(

7 2

,?

1?

3

1?

4



EF ? OF ? OE ?

4 1 3 1 1 1 1 b? d ? b? a ? b? d ? a 5 5 4 4 20 5 4

EC ? OC ? OE ? c ?

3 1 1 b ? a ? ( 4c ? 3b ? a ) . 4 4 4

由平行四边形性质,知 d

?a ? c?b.
4 20

即d

? a ?c ?b

所以 EF ? 1 b ? 1 (a ? c ? b) ? 1 a ? 1 (4c ? 3b ? a )

20

5



EC ? 5EF ,从而 E、F、C 三点共线.
1 , C ? 120° 2

11. 解: (1) cos C ? cos[π ? ( A ? B )] ? ?cos( A ? B ) ? ? (2)∵ ∴ ∴ a,b 是 x 2 ? 2 2 x ? 2 ? 0 的两个根,

a ? b ? 2 3 , ab ? 2
1 | AB |2 ?| AC |2 ? | BC |2 ?2 | AC | ? | BC | cos C ? b 2 ? a 2 ? 2ab (? ) 2

? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? ab ? (2 3)2 ? 2 ? 10
(3) S ?ABC ? 1 absin C ? 1 ? 2 ? 3 ?



| AB |? 10

2

2

2

3 2


12. 解:由已知 y ? ?a( x ? 2) 2 又∵ ∴

? h , (a ? 0) .

f (x) 在(-∞, 2 ] 上单增,在(2,+∞)上单调.

1 ? 2 x 2 ? 1 , 1 ? 2x ? x 2 ? ?( x ?1)2 ? 2 ? 2 .
需讨论 1 ? 2 x 2 与 1 ? 2 x ? x 的大小.
2
2 2

由 1 ? 2 x ? x ? (1 ? 2 x ) ? x( x ? 2) 知 当 x( x ? 2) ? 0 ,即 ? 2 ? 故

x ? 0 时, 1 ? 2 x ? x 2 ? 1 ? 2 x 2 .

f (1 ? 2 x ? x 2 ) ? f (1 ? 2 x 2 ) 时,应有 ? 2 ? x ? 0
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