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2014届高考数学一轮复习 第6章《等差数列及其前n项和》名师首选学案 新人教A版


学案 28

等差数列及其前 n 项和

导学目标: 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.了 解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差 数列的有关知识解决相应的问题. 自主梳理 1.等差数列的有关定义 (1)一般地, 如果一个数列从第____项起, 每一项与它的

前一项的____等于同一个常数, * 那么这个数列就叫做 等差数列.符号表示为____________ (n∈N ,d 为常数). (2)数列 a , A , b 成等差数列的充要条件是____________,其中 A 叫做 a , b 的 ____________. 2.等差数列的有关公式 * (1)通项公式:an=____________,an=am+__________ (m,n∈N ). (2)前 n 项和公式:Sn=______________=________________. 3.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 2? 2 ? 数列{an}是等差数列的充要条件是其前 n 项和公式 Sn=____________. 4.等差数列的性质 * (1)若 m+n=p+q (m,n,p,q∈N ),则有________________,特别地,当 m+n=2p 时,________________. (2)等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. (3)等差数列的单调性: 若公差 d>0, 则数列为________; d<0, 若 则数列为__________; 若 d=0,则数列为____________. 自我检测 1. 已知等差数列{an}中, 5+a9-a7=10, Sn=a1+a2+…+an, S13 的值为________. a 记 则 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=4,则公差 d=________. 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S9=72,则 a2+a4+a9=________. 4.若等差数列{an}的前 5 项之和 S5=25,且 a2=3,则 a7=________. a5 5 S9 5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 =________. a3 9 S5 探究点一 等差数列的基本量运算 例 1 等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10=30,a20=50, (1)求通项 an; (2)若 Sn=242,求 n.

d? d ? Sn= n2+?a1- ?n.

变式迁移 1 设等差数列{an}的公差为 d (d≠0),它的前 10 项和 S10=110,且 a1,a2, a4 成等比数列,求公差 d 和通项公式 an.

探究点二 等差数列的判定 例 2 3 1 1 * 已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N ),数列{bn}满足 bn= 5 an-1 an-1
1

(n∈N ). (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大值和最小值,并说明理由.

*

变式迁移 2 已知数列{an}中,a1=5 且 an=2an-1+2 -1(n≥2 且 n∈N ). (1)求 a2,a3 的值. an+λ (2)是否存在实数 λ ,使得数列{ n }为等差数列?若存在,求 出 λ 的值;若不存 2 在,说明理由.

n

*

探究点三 等差数列性质的应用 例 3 若一个等差数列的前 5 项之和为 34, 最后 5 项之和为 146, 且所有项的和为 360, 求这个数列的项数.

变式迁移 3 已知数列{an}是等差数列. (1)前四项和为 21,末四项和为 67,且前 n 项和为 286,求 n; (2)若 Sn=20,S2n=38,求 S3n; (3)若项数为奇数,且奇数项和为 44,偶数项和为 33,求数列的中间项和项数.

探究点四 等差数列的综合应用 * 例 4 已知数列{an}满足 2an+1=an+an+2 (n∈N ),它的前 n 项和为 Sn,且 a3=10,S6= 1 72.若 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2

变式迁移 4 在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项和为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取最小值时 n 的值. (2)求 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.

1.等差数列的判断方法有: (1)定义法:an+1-an=d (d 是常数)?{an}是等差数列. * (2)中项公式:2an+1=an+an+2 (n∈N )?{an}是等差数列.

2

(3)通项公式:an=pn+q (p,q 为常数)?{an}是等差数列 . 2 (4)前 n 项和公式:Sn=An +Bn(A、B 为常数)?{an}是等差数列. 2.对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前 n 项和公式,在两个公式中共 五个量 a1、d、n、an、Sn,已知其中三个量可求出剩 余的量,而 a 与 d 是最基本的,它可以 确定等差数列的通项公式和前 n 项和公式. 3.要注 意等差数列通项公式和前 n 项和公式的灵活应用,如 an=am+(n-m)d,S2n-1 =(2n-1)an 等. 4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为①a,a+d,a+2d;②a-d,a,a +d;③a-d,a+d,a+3d 等可视具体情况而定. 课后练习 (满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则 a5=______. 2.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=________. 3.已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是________. 1 4.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9- a11 的值为________. 3 5.等差数列{an}的前 n 项和满足 S20=S40,下列结论中正确的序号是________. ①S30 是 Sn 中的最大值; ②S30 是 Sn 中的最小值; ③S30=0; ④S60=0. 6.设 Sn 为等差数列{ an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9 =________. 2 7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-am=0,S2m-1=38,则 m=________. 8.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列{an}的前 9 项和 S9 =________. 二、解答题(共 42 分) 2 9.(12 分)设{an}是一个公差为 d (d≠0)的等差数列,它的前 10 项和 S10=110,且 a2= a1a4. (1)证明:a1=d; (2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式.

10.(14 分)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 * (2)令 bn= 2 (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1

11.(16 分)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an- 1=0(n≥2). 1 (1)证明数列{ }是等差数列;

an

(2)求数列{an}的通项; 1 (3)若 λ an+ ≥λ 对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数 λ 的取值范围.

an+1

3

答案

自主梳理

1.(1)二 差 an+1-an=d (2)A= 2 . (1)a1 + (n - 1)d (n - m)d

a+b
2

等差中项

4.(1)am+an=ap+aq am+an=2ap 自我检测 1.130 2.2 3? a1+a3? 解析 ∵S3= =6,a3=4, 2 ∴a1=0,a3-a1=2d.∴d=2. 3.24 9? a1+a9? 解析 ∵S9=72= , 2 ∴a1+a9=16.∵a1+a9=2a5,∴a5=8. ∴a2+a4+a9=a1+a5+a9=3a5=24. 4.13 ? a2+a4? ·5 ? 3+a4? ·5 解析 由 S5= ? 25= ? a4=7,所以 7=3+2d? d=2,所以 2 2 a7=a4+3d=7+3×2=13. 5.1 9? a1+a9? 2 S9 9 2a5 9 5 解析 = = · = · =1. S5 5? a1+a5? 5 2a3 5 9 2 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)等差数列{an}中,a1 和 d 是两个基本量,用它们可以表示数列中的 任何一项,利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式,列方程组解 a1 和 d,是解决等差数列 问题的常用方法;(2)由 a1,d,n,an,Sn 这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用 恰当的公式,利用方程组观点求解. 解 (1)由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, ?a1+9d=30, ?a1=12, ? ? 得方程组? 解得? ? ? ?a1+19d=50, ?d=2. 所以 an=2n+10. n? n-1? (2)由 Sn=na1+ d,Sn=242. 2 n? n-1? 得 12n+ ×2=242.解得 n=11 或 n=-22(舍去). 2 变式迁移 1 解 由题意,知

? a1+an? 2 2 (3)递增数列 递减数列 常数列 (2)na1 +

n? n-1?

d

n

3.An + Bn

2

?S10=10a1+10×9d=110, ? 2 ? 2 ?? a1+d? =a1·? a1+3d? , ?

?2a1+9d=22, ? 即? 2 ? ?a1d=d .

∵d≠0,∴a1=d.解得 a1=d=2,∴an=2n. 例 2 解题导引 1.等差数列的判定通常有两种方法:
4

第一种是利用定义,即 an-an-1=d(常数)(n≥2),第二种是利用等差中项,即 2an=an +1+an-1 (n≥2). 2.解选择、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断. (1)通项法:若数列{an}的通项公式为 n 的一次函数,即 an=An+B,则{an}是等差数列. 2 (2)前 n 项和法:若数列{an}的前 n 项和 Sn 是 Sn=An +Bn 的形式(A,B 是常数),则{an} 为等差数列. 3.若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可. 1 1 1 1 解 (1)∵an=2- (n≥2, ∈N ), n= n * b , ∴当 n≥2 时, n-bn-1= b - an-1 an-1 an-1 an-1-1 1 1 an-1 1 1 5 = - = - =1.又 b1= =- . 1 ? an-1-1 an-1-1 an-1-1 a1-1 2 ?2- ? ?-1

?

an-1?

5 ∴数列{bn}是以- 为首项,以 1 为公差的等差数列. 2 7 1 (2)由(1)知,bn=n- ,则 an=1+ 2 bn 2 2 =1+ ,设函数 f(x)=1+ , 2n-7 2x-7 7? ?7 ? ? 易知 f(x)在区间?-∞, ?和? ,+∞?内为减函数. 2? ?2 ? ? ∴当 n=3 时,an 取得最小值-1; 当 n=4 时,an 取得最大值 3. 2 变式迁移 2 解 (1)∵a1=5,∴a2=2a1+2 -1=13, a3=2a2+23-1=33. an+λ (2)假设存在实数 λ ,使得数列{ n }为等差数列. 2 an+λ 设 bn= n ,由{bn}为等差数列,则有 2b2=b1+b3. 2 a2+λ a1+λ a3+λ 13+λ 5+λ 33+λ ∴2× 2 = + 3 .∴ = + , 2 2 2 2 2 8 解得 λ =-1.此时,b1=2. an+1-1 an-1 事实上,bn+1-bn= n+1 - n 2 2 1 1 n+1 = n+1[(an+1-2an)+1]= n+1[(2 -1)+1]=1. 2 2 an+λ 综上可知,存在实数 λ =-1,使得数列{ n }为首项为 2、公差为 1 的等差数列. 2 例 3 解题导引 本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质: m+n=p+q (m, , 若 n * p,q∈N ),则 am+an=ap+aq,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷,应注意 n-1 运用;也可用整体思想(把 a1+ d 看作整体). 2 解 方法一 设此等差数列为{an}共 n 项, 依题意有 a1+a2+a3+a4+a5=34,① an+an-1+an-2+an-3+an-4=146.② 根据等差数列性质,得 a5+an-4=a4+an-3=a3+an-2=a2+an-1=a1+an. 将①②两式相加,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)+(a5+an-4)=5(a1+ an)=180, ∴a1+an=36.

5

36n = =360,得 n=20. 2 2 所以该等差数列有 20 项. 方法二 设此等差数列共有 n 项,首项为 a1,公差为 d, 5×4 则 S5=5a1+ d=34,① 2 n? n-1? d ? n-5? ? n-6? Sn - Sn -5 =[ + na1]-[(n -5)a1 + d]=5a1 +(5n -15)d = 2 2 146.② ①②两式相加可得 10a1+5(n-1)d=180, n-1 ∴a1+ d=18, 2 n-1 ? n? n-1? ? d =360, 代入 Sn=na1+ d=n?a1+ 2 ? 2 ? ? 得 18n=360,∴n=20.所以该数列的项数为 20 项. 变式迁移 3 解 (1)依题意,知 a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, ∴a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88. 88 n? a1+an? ∴a1+an= =22.∵Sn= =286,∴n=26. 4 2 (2)∵Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列, ∴S3n=3(S2n-Sn)=54. * (3)设项数为 2n-1 (n∈N ),则奇数项有 n 项,偶数项有 n-1 项,中间项为 an,则 S ? a1+a2n-1? ·n =n·an=44, 奇= 2 ? a2+a2n-2? ·? n-1? n 4 S 偶= =(n-1)·an=33,∴ = . 2 n-1 3 ∴n=4,an=11. ∴数列的中间项为 11,项数为 7. 例 4 解题导引 若{an}是等差数列,求前 n 项和的最值时, ? ?an≥0 (1)若 a1>0,d<0,且满足? ,前 n 项和 Sn 最大; ?an+1≤0 ? 由 Sn= (2)若 a1<0,d>0,且满足?
? ?an≤0 ? ?an+1≥0

n? a1+an?

,前 n 项和 Sn 最小;

(3)除上面方法外,还可将{an}的前 n 项和的最值问题看作 Sn 关于 n 的二次函数最值问 * 题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意 n∈N . 解 方法一 ∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列. 设{an}的首项为 a1,公差为 d,由 a3=10,S6=72, ?a1+2d=10 ?a1=2 ? ? 得? ,∴? . ? ? ?6a1+15d=72 ?d=4 1 ∴an=4n-2.则 bn= an-30=2n-31. 2
?2n-31≤0, ? 29 31 解? 得 ≤n ≤ . 2 2 ? ?2? n+1? -31≥0, * ∵n∈N ,∴n=15.∴{bn}前 15 项为负值. ∴S15 最小. 可知 b1=-29,d=2, 15×? -29+2×15-31? ∴S15= =-225. 2 6

方法二 同方法一求出 bn=2n-31. n? -29+2n-31? 2 2 ∵Sn= =n -30n=(n-15) -225, 2 ∴当 n=15 时,Sn 有最小值,且最小值为-225. 变式迁移 4 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, ∵a16+a17+a18=3a17=-36, a17-a9 ∴a17=-12,∴d= =3, 17-9 ∴an=a9+(n-9)·d=3n-63,an+1=3n-60, ? ?an=3n-63≤0 令? ,得 20≤n≤21, ? ?an+1=3n-60≥0 ∴S20=S21=-630,∴n=20 或 21 时,Sn 最小且最小值为-630. (2)由(1)知前 20 项小于零,第 21 项等于 0,以后各项均为正数.当 n≤21 时,Tn=- 3 123 Sn=- n2+ n. 2 2 3 2 123 当 n> 21 时,Tn=Sn-2S21= n - n+1 260. 2 2 3 ? ?-2n +123n ? 2 综上,T =? 3 123 ?2n - 2 n+1 260 ?
2

n≤21,n∈N*?
. ?

n

2

n>21,n∈N ?

*

课后练习区 1.15 解析 在等差数列{an}中,a5+a6=a3+a8=22,∴a5=15. 2.28 解析 ∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,a4=4.∴a1+a2+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3 +a5)+a4=7a4=28. 3.5 解析 由 S3=S7 得 a4+a5+a6+a7=0, 即 a5+ a6=0,∴9d=-2a1=18,d=2. 1 2 ∴Sn=-9n+ n(n-1)×2=n -10n. 2 -10 ∴当 n=- =5 时,Sn 最小. 2×1 4.16 解析 a4+a6+a8+a10+a12=120.∴5a8=120.∴a8=24. 1 1 ∴a9- a11=a1+8d- (a1+10d) 3 3 2 2 = (a1+7d)= a8=16. 3 3 5.④ 59 解析 方法一 由 S20=S40,得 a1=- d, 2 60×59 ? 59 ? 60×59d=0. ∴S60=60a1+ d=60×?- d?+ 2 2 ? 2 ? 方法二 由 S20=S40,得 a21+a22+…+a40=0, 60? a1+a60? ∴a30+a31=0.∴S60= =30(a30+a31)=0. 2
7

6.15 3×2 解析 设等差数列公差为 d,则 S3=3a1+ d=3a1+3d=3,即 a1+d=1,① 2 6×5 S6=6a1+ d=6a1+15d=24, 2 即 2a1+5d=8.② 联立①②两式得 a1=-1,d=2, 故 a9=a1+8d=-1+8×2=15. 7.10 解析 由等差数列的性质可知 am-1+am+1=2am, 2 ∴2am-am=0, ∴am=0 或 am=2.又 S2m-1=(2m-1)am≠0, ∴am=2,由 2(2m-1)=38,得 m=10. 8.27 解析 ∵点(n,an)在定直线 l 上, ∴数列{an}为等差数列.∴an=a1+(n-1)·d. 将(5,3)代入,得 3=a1+4d=a5. 9 ∴S9= (a1+a9)=9a5=3×9=27. 2 2 2 9.(1)证明 ∵{an}是等差数列,∴a2=a1+d,a4=a1+3d,又 a2=a1a4,于是(a1+d) 2 2 2 =a1(a1+3d),即 a1+2a1d+d =a1+3a1d (d≠0).化简得 a1 =d.…………………………(6 分) 10×9 (2)解 由条件 S10=110 和 S10=10a1+ d,得到 10a1+45d=110.由(1)知,a1=d, 2 代入上式得 55d=110, 故 d=2,an=a1+(n-1)d=2n. * 因此,数列{an}的通项公式为 an=2n,n∈N .…………………………………………(12 分) 10.解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由于 a3=7,a5+a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2.…………………………………………………………………………(4 分) n? a1+an? 由于 an=a1+(n-1)d,Sn= , 2 所以 an=2n+1,Sn=n(n+2).…………………………………………………………(7 分) 2 (2)因为 an=2n+1,所以 an-1=4n(n+1), 1 ? 1 1?1 因此 bn= = ? - ?.………………………………………………………(9 4n? n+1? 4?n n+1? 分) 故 Tn=b1+b2+…+bn 1 1 ? 1? 1 1 1 = ?1- + - +…+ - 2 2 3 n n+1? 4? ? 1 ? 1? n = ?1- = . n+1? 4? n+1? 4? ? 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn= (14 分) 1 1 11.(1)证明 将 3anan-1+ an-an-1=0(n≥2)整理得 - =3(n≥2). 4?

n .………………………………………………… n+1?

an an-1

8

1 所以数列{ }为以 1 为首项, 为公差的等差数列. 3 …………………………………(4 分)

an

1 (2)解 由(1)可得 =1+3(n-1)=3n-2,

an

1 所以 an= .……………………………………………………………………………(8 3n-2 分) (3)解 若 λ an+ 即 1 ≥λ 对 n≥2 的整数恒成立,

an+1

λ +3n+1≥λ 对 n≥2 的整数恒成立. 3n-2 整 理 得 ? 3n+1? ? 3n-2? λ ≤ ………………………………………………………………(10 分) 3? n-1? ? 3n+1? ? 3n-2? 令 cn= 3? n-1? ? 3n+4? ? 3n+1? ? 3n+1? ? 3n-2? cn+1-cn= - 3n 3? n-1? ? 3n+1? ? 3n-4? = .……………………………………………………………………… 3n? n-1? (14 分) 因为 n≥2,所以 cn+1-cn>0, 28 即数列{cn}为单调递增数列,所以 c2 最小,c2= . 3 28 所以 λ 的取值范围为(-∞, ]. ………………………………………………………(16 3 分)

9


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