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2012年高考试题分类考点43 直线与圆锥曲线的位置关系


考点 43
一、选择题

直线与圆锥曲线的位置关系

2 1. (2012· 安徽高考理科· T9) 过抛物线 y ? 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B

? 两点, O 为坐标原点,若 AF ? 3 ,则△ AOB 的面积为(
2 ( A) 2 3 2 (C ) 2


( D) 2 2

( B)

2

【解题指南】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) ,根据抛物线的定义知 3 ? 2 ? 3cos ? ,同理可以 得
BF ? 2 ? BF cos(? ?? )

,解出

BF

,代入公式

S?

1 ? OF ? AB ? sin ? 2 .

l: 【解析】选 C .设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ,则点 A 到准线 l:x ? ?1 的距离为 3

得:



?AOB

1 1 3 2 2 3 2 S ? ? OF ? AB ? sin ? ? ?1? (3 ? ) ? ? 2 2 2 3 2 . 的面积为

二、填空题
2 2.(2012·安徽高考文科·T14)过抛物线 y ? 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于

A, B 两点,若 | AF |? 3 ,则 | BF | =______.

【解题指南】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) ,根据抛物线的定义知 3 ? 2 ? 3cos ? ,同理可以 得 BF ? 2 ? BF cos(? ?? ) ,解出 BF . 【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) , BF ? m ,则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 , 得
3 【答案】 2

三、解答题

-1-

x2 y 2 + 2 =1 2 (a >b>0) 的左、右顶点分别为 A, 3.(2012·天津高考理科·T19)设椭圆 a b

B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点, O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ? ,求椭圆的离心率; (Ⅱ)若 |AP|=|OA| ,证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k|> 3 .
2 2 x0 y0 + 2 = 1(1) 2 (x (a a 【解析】 (Ⅰ)设点 P 的坐标为 0 ,y0) ,由题意得 a b ,由 A - ,0),B( ,0),

1 2



k AP =

y0 y 1 , kBP = 0 k AP .k BP = 2 2 2 x0 + a x0 - a ,由 2 ,可得 x0 = a - 2 y0 ,代入(1)并整理得

由于



于是

e2 ?

a 2 ? b2 1 2 ? ?e? 2 a 2 ,所以椭圆的离心率 2

? b2 1 2 ? ?e? 2 a 2 2 .
( (Ⅱ)方法一:依题意,直线 OP 的方程为 y = kx ,设点 P 的坐标为 x0,y0) ,由条

? y0 ? kx0 , ? 2 2 ? x0 y0 a 2b 2 2 ? 2 ? 1, x0 = 2 2 2 , (2) ? 2 k a + b (2) 件得 ? a b 消去 y0 并整理得 ,
2 2 2 2 A(,0), y 0 = 0 , ( 由|AP|=|OA|, A(-a-a,0),0 y= kxkx0 , 得 x0 + a) + k x0 = a , 及

( 整理得 1+k )x0 +2ax0 =0 ,
2 2

而 x0≠0,于是
? a ? b ? 0,?

a ( k 2)=4k 2 ( )2 + 4 1+ 2 b 代入(2)整理得 ,

方法二:依题意,直线 OP 的方程为 y = kx ,可设点 P 的坐标为
2 2 x0 k 2 x0 x2 k 2 x2 + 2 =1 ? 0 ? 20 ? 1 2 2 b a 在椭圆上,有 a ,? a ? b ? 0, kx0 ? 0 , a ,即

由点 P

2 ( k 2)x02 < a2 (3),由|AP|=|OA|, A(-a,0), 得 x0 + a)2 + k 2 x0 = a2 ,整理得 1+ ,(3) ( 2 ( k 2)x0 +2ax0 =0 , 1+

-2-

? x0 ? 0,? x0 ?

于是

?2a 1? k 2

,代入(3)得

2 | 解得 k ? 3,? k |? 3 .

4.(2012·天津高考文科·T19)已知椭圆 椭圆上. (Ⅰ)求椭圆的离心率;

x2 y 2 5 2 + 2 =1 (a >b>0) ,点 P( a, a) 在 2 a b 5 2

(Ⅱ)设 A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点,若点 Q 在椭圆上且满足 |AQ|=|AO| , 求直线 OQ 的斜率的值. 【解题指南】利用椭圆的几何性质、两点间的距离公式等知识综合求解. 【解析】 (Ⅰ)因为点 P(
2

b2 5 a2 a2 5 2 = + 2 =1 a, a) 在椭圆上,故 5a 2 2b ,可得 a 2 8 ,于是 5 2

a 2 ? b2 b2 3 6 . e ? ? 1 ? 2 ? , 所以椭圆的离心率e ? 2 a a 8 4

(Ⅱ)设直线 OQ 的斜率为 k,则其方程为 y = kx ,设点 Q 的坐标为 x0,y0) ,由条 (
? y0 ? kx0 , a 2b 2 ? 2 2 2 , (1) 件得 ? x0 y0 消去 y0 并整理得 x0 = 2 2 2 (1), k a +b ? 2 ? 2 ? 1, b ?a
2 2 由|AQ|=|AO|, A(-a,0)及y0 ? kx0 , 得 x0 + a)2 + k 2 x0 = a2 ,整理得 1+k 2)x0 +2ax0 =0 , ( (

? x0 ? 0,? x0 ?

?2a 1? k 2

2 ( ,代入(1)整理得 1+k 2)=4k 2 ?( )2 ? 4 ,

a b

由(Ⅰ)知

32 a2 8 ( k 2)= k 2 + 4 ,即 5k 4 ? 22k 2 -15=0,故k 2 ? 5 ,所以直线 OQ 1+ 2 = 2 5 b 5 ,故

的斜率 k ? ? 5 .

5.(2012·福建高考理科·T19)
x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 如图,椭圆 E: a b 的左焦点为 F1,
-3-

右焦点为 F2,离心率 8.

e?

1 2 .过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为

(Ⅰ) 求椭圆 E 的方程. (Ⅱ) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x ? 4 相交 于点 Q. 试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M, 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】方法一: (Ⅰ)因为 | AB | ? | AF2 | ? | BF2 |? 8 , 即 | AF1 | ? | FB1 | ? | AF2 | ? | BF2 |? 8 , 又 | AF1 | ? | AF2 |?| BF1 | ? | BF2 |? 2a , 所以 4a ? 8 , a ? 2 . 又因为
e? 1 c 1 ? 2 ,即 a 2 ,所以 c ? 1 ,

2 2 所以 b ? a ? c ? 3 ,

x2 y 2 ? ?1 故椭圆 E 的方程为 4 3 .

(Ⅱ)由

2 2 2 得 (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 .

因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P( x0 , y0 ) , 所以 m ? 0 且 ? ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 即 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ?12) ? 0 ,化简得 4k ? m ? 3 ? 0 .(*)

此时,

x0 ?

?4km 4k 3 4k 3 ?? y0 ? kx0 ? m ? P(? , ) 2 4k ? 3 m, m ,所以 m m .



得 Q(4, 4k ? m) .
-4-

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性可知,点 M 必在 x 轴上.
???? ???? ? M ( x1 ,0) ,则 MP ? MQ ? 0 对满足(*)式的 m,k 恒成立. 设
???? 4k 3 ???? ? MP ? (? ? x1 , ) MQ ? (4 ? x1, 4k ? m) , m m , 因为 16k 4kx1 12k ???? ???? ? ? ? ? 4 x1 ? x12 ? ?3? 0 m m 由 MP ? MQ ? 0 得 m , (4 x1 ? 4) k ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? 0 m .(**)

整理,得

由于(**)式对满足(*)式的 m,k 恒成立,所以 解得 x1 ? 1 . 故存在定点 M (1,0) ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. 方法二: (Ⅰ)同方法一.

(Ⅱ)由

2 2 2 得 (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 .

因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P( x0 , y0 ) , 所以 m ? 0 且 ? ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 即 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ?12) ? 0 ,化简得 4k ? m ? 3 ? 0 (*) ,

此时,

x0 ?

?4km 4k 3 4k 3 ?? y0 ? kx0 ? m ? P(? , ) 2 4k ? 3 m, m ,所以 m m .



得 Q(4, 4k ? m) ,假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性可

知,点 M 必在 x 轴上.取 k ? 0 , m ? 3 ,此时 P(0, 3) , Q(4, 3) ,以 PQ 为直径的
M 圆为 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 , x 轴于 M1 (1,0) , 2 (3,0) , 交 取
2 2

k ??

1 3 P (1, ) m 2, ?2, 2 , 此时

Q(4, 0) ,以 PQ

5 3 45 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 4 16 ,交 x 轴于点 为直径的圆为
-5-

所以若符合条件的点 M 存在,则 M 的坐标必为 (1, 0) . 以下证明 M (1,0) 就是满足条件的点: 因为 M 的坐标是 (1, 0) ,
???? 4k 3 ???? ? MP ? (? ? 1, ) MQ ? (3, 4k ? m) , m m , 所以

???? ???? ? MP ? MQ ? 0 12k ? 3 ? 12k ? 3 ? 0 , ? 从而 m m ???? ???? ? 故恒有 MP ? MQ ,即存在定点 M (1,0) ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.

6.(2012·山东高考理科·T 21)在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线
C : x2 ? 2 py( p 0) ? 的焦点,M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点, M , F , O 过
3 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 4 .

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ) 若点 M 的横坐标为 2 , 直线
l : y ? kx ? 1 4 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B ,

1 2 2 ?k?2 AB ? DE l 与圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当 2 时, 的最小值.

【解题指南】 (1)考查对抛物线定义的理解以及三角形的外接圆圆心在三边的 垂直平分线上.(2)考查直线与圆锥曲线相切时切线斜率与导数的关系,利用 斜率与导数相等即可求得. (3) 利用直线与抛物线相交时的弦长公式可求出 利用圆心到直线的距离、弦长的一半和半径构成直角三角形可求得 数求
AB ? DE
2 2

AB

2

,

DE

2

,利用导

的最小值.
2

? p? ? 0, ? 【解析】 (Ⅰ)由 F 是抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点,点 F 坐标为 ? 2 ? ,抛物线

-6-

的准线为 y= ? , M , F , O 三点的圆的圆心为 Q , 过 则圆心 Q 在线段 OF 的垂直平分 线 y= 上,所以
p 4
2 所以 p=1,故抛物线 C 的方程为 x ? 2 y .

p 2

? 1? ?x0 , y0 ? ,焦点 F 坐标为 ? 0, 2 ? , ? ? (Ⅱ)若存在这样的点 M,设点 M 的坐标为

y ? x0 y0 ? k MO ? 0 ? , ? x0 ,所以 MO 的垂 所以 MO 的中点 ? 2 2 ? ,圆心 Q 在 MO 的垂直平分线上,

直平分线方程为

圆心 Q 在线段 OF 的垂直平分线

y?

1 4 上解得

点 Q 坐标为

直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M , 抛物线
k MQ

y?

x2 ? 2 的导数为 y? ? x ,过点 M 的切线斜率为 y x ? x0 ? x0 .
y0?

1 4 ? ? x0 ? ? 1 y0 ? ? ? y0 ? 4 ? 2 ? x ? ?? 0? x0 ? ? ? ? x0 2? ? 2 ? ? ? ? ,整理得 2 y0 ? y0 ?1 ? 0 ,
1 2

解得: y0 ? 1 或 y 0 ? ? (舍去) 所以 x0 ? 2 ,所以点 M 的坐标为 ? 2,1?.
?5 2 1? ? ? ? 8 ,4? ? ?, (Ⅲ)由(Ⅱ)知点 M 的横坐标为 2 ,圆心 Q

? 5 2 ? ? 1 ? 2 27 ? R ?? ? 8 ? ? ? 4 ? ? 32 ? ? ? ? 半径 ,
2

2

?5 2 1? 1 ? ? l : y ? kx ? ? 8 ,4? ? 到直线 4 的距离为 圆心 Q ?
-7-

联立
2

消去 y 可得:

x 2 ? 2kx ?

1 ?0 2 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2)


5 1 ? k 2 ? t ? [ ,5] 4 , 令

于是,

AB ? DE ? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2) ?
2 2

27 ? 2k 2 2t ? 25 25 1 ? t (4t ? 2) ? ? 4t 2 ? 2t ? ? 2 8(1 ? k ) 8t 8t 4 ,



g (t ) ? 4t 2 ? 2t ?

25 1 25 ? g ?(t ) ? 8t ? 2 ? 2 8t 4 , 8t ,

5 25 t ? [ ,5] g ?(t ) ? 8t ? 2 ? 2 ? 0 4 时, 8t 当 ,

5 1 t ? ,k ? 2时 即当 4
k?

g (t ) min ? 4 ?

25 5 25 1 13 ? 2? ? ? ? 16 4 8? 5 4 2 4 .

故当

1 13 2 2 ( AB ? DE ) min ? 2 时, 2 .
M:
3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2

7.(2012·山东高考文科·T21)如图,椭圆



直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点
P, Q, l

与矩形 ABCD

| PQ | S , T .求 | ST | 的最大值 有两个不同的交点

-8-

及取得最大值时 m 的值. 【解题指南】 考查对椭圆的几何性质的理解, (1) 矩形 ABCD 面积为 8, 2a 2 即 ? 由离心率为
3 2
b8 ?



可求得椭圆的标准方程; (2)可联立直线与椭圆方程,用 m 表示

出 PQ 的距离, 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S , T 的距离也用含 m 的代数式表示, 再讨论求最大值. 【解析】(I)
e? c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? a 2 a2 4

…… ①

矩形 ABCD 面积为 8,即 2a ? 2b ? 8 …… ② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M
x2 ? y2 ? 1 4 的标准方程是 .

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 ? (II) ? y ? x ? m, ,

8 4m2 ? 4 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? 5 5 , 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则

由 ? ? 64m

2

? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .

当 l 过 A 点时, m ? 1 ,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ?
5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2,2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,

| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 | ST | 5 (3 ? m)2 5 t t



| PQ | 1 3 4 5 2 ? t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 5 | ST | t ? m ? 3 ,由此知当 t 4 ,即 3 3 5 其中 时, 取得最大值 .

②由对称性,可知若 1 ? m ?

5 ,则当

m?

| PQ | 5 2 5 | ST | 3 时, 取得最大值 5 .

-9-

| PQ | 2 ? 5 ? m2 | ST | 5 ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 ,



| PQ | 2 5 | ST | 取得最大值 5 由此知,当 m ? 0 时, .

综上可知,当

m??

5 3和

0

| PQ | 2 5 | ST | 取得最大值 5 时, .

8.(2012·浙江高考理科·T21)如图,椭圆

C:

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 ,

其左焦点到点P(2,1)的距离为 10 ,不过原点O的直线 l 与C相交于A, B两点,且线段AB被直线OP平分.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程. 【解题指南】本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系,同时考查解 析几何的基本思想方法与综合解题能力.
2 【解析】 (Ⅰ)左焦点 (?c, 0) 到点P(2,1)的距离为 (2 ? c) ? 1 ? 10 ,解得 c ? 1 ,

x2 y 2 1 ? ?1 2 又离心率为 2 ,可得 a ? 4 ,则 b2=3,所以椭圆 C 的方程为 4 3 .

( Ⅱ ) 由 题 意 可 知 , 直 线 l 不 垂 直 于 x 轴 , 故 可 设 直 线 l : y ? kx ? m , 交 点
A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,



2 2 2 消去 y 并整理得 (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 ,

- 10 -



x1 ? x2 ? ?

8km 4k 2 ? 3 , ?

4km 3m 2 2 ∴ AB 的中点为 P( 4k ? 3 , 4k ? 3 ) ,

而直线 OP : y ? 1 x ,可得
2

3m 2km 3 3 = ? 2 ,解得 k ? ? ,即直线 l : y ? ? x ? m , 2 4k ? 3 4k ? 3 2 2

2 2 9 13 64k 2 m2 ? 4(4 2 64k 2 ac 9 b2 ? 4ac2 -4x 13 b ? 4m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) k ? 3)(4m ?12) (x1 +x 2? ? ?1x 2 ? ? AB ) 1 ? 2? AB ? 1 ? ? 4 a 4k 2 ? 3 4 a 2 42 ? 3 k

=

2 13 ?

12k 2 ? 3m2 ? 9 13 36 ? 3m2 ? 4k 2 ? 3 6 .

8 ? 2m 3 d? l: y ?? x?m 13 , 2 而点P(2,1)到直线 的距离为

∴△ABP 的面积为 S=
3 (12 ? m2 )(4 ? m)2 6 = .

其中 m? (?2 3,0) ? (0, 2 3) .
2 2 令 f (m) ? (12 ? m )(4 ? m) , m? (?2 3,0) ? (0, 2 3) ,

2 则 f ?(m) ? 4(m ? 2m ? 6)(4 ? m) ? 4(m ?1 ? 7)(m ?1 ? 7)(4 ? m) ,

所以当且仅当 m ? 1 ? 7 时, f (m) 取得最大值,即 S 取得最大值, 此时直线 l : 3x ? 2 y ? 2 7 ? 2 ? 0 . 9.(2012·浙江高考文科·T22)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, ) 到抛物线 C:y2=2px(P>0)的准线的距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点,A, B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分.
5 4 1 2

- 11 -

(1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值.
1 5 2 【解析】 (1)点 P(1, 2 )到抛物线 C:y =2px(p>0)的准线的距离为 4 ,可 x?? 1 4, p? 1 2.

得准线方程为

所以抛物线 C:y =x,

2

点 M(t,1)是 C 上的点,所以 t ? 1 . (2)设动点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点为 Q(m, m) . 由 得 ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? x1 ? x2 .

易知直线 AB 的斜率存在,设为 k. 故 2km ? 1 . ∴直线 AB 的方程为
y?m ? 1 ( x ? m) 2m ,

2 即 x ? 2my ? 2m ? m ? 0 .


y 2 ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 .

消去 x ,整理得

2 2 所以 ? ? 4m ? 4m ? 0 , y1 ? y2 ? 2m , y1 ? y2 ? 2m ? m ,

- 12 -

从而

AB ? 1 ?

1 ? y1 ? y2 ? 1 ? 4m2 ? 4m ? 4m2 . 2 k
d? 1 ? 2m ? 2m 2 1 ? 4m 2 .

设点 P 到直线 AB 的距离为 d 设 ?ABP 的面积为 S,则
S?

,则

1 AB ? d ? 1 ? 2m ? 2m2 2

m ? m2

.

2 由 ? ? 4m ? 4m ? 0 可得 0 ? m ? 1 .



u ? m ? m2 , 0 ? u ?

1 2 2 ,则 S ? u(1 ? 2u ) . 1 2 2 ,则 S ?(u) ? 1 ? 6u .

2 设 S (u ) ? u(1 ? 2u )

,0 ? u ?

由 S ?(u ) ? 0 ,得 所以

u?

6 1 ? (0, ) 6 2 , 6 6 )? 6 9 .

S (u ) max ? S (

6 故 ?ABP 的面积的最大值为 9 .

10.(2012·北京高考理科·T19)已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R). (1) 若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2) 设 m=4, 曲线 C 与 y 轴的交点为 A, (点 A 位于点 B 的上方) 直线 y=kx+4 B , 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G, N 三点共线. 【解题指南】 (1)化为椭圆标准方程,再列式求范围; (2)三点共线可转化为
k AG ? k AN ,联立直线与曲线 C 的方程后,把韦达定理代入证明即可.
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 【解析】 (1)曲线 C: 8 8 5?m m?2

- 13 -

? ?5 ? m ? 0, ? 7 则 ?m ? 2 ? 0, 解得 ? m ? 5 . 2 ? 8 8 ? ? , ?5 ? m m ? 2

(2)曲线 C: x2 ? 2 y 2 ? 8 ,与 y 轴交点 A(0,2) ,B(0,-2) ,设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) , 由?
? y ? kx ? 4,
2 2

? x ? 2 y ? 8,

消 y 得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 16kx ? 24 ? 0 ,
6 6 . 或k ? 2 2

? y=kx+4 与椭圆有两个交点,?? ? 64k 2 ? 96 ? 0 ,解得 k ? ?

由韦达定理得 x1 ? x2 ? 直线 BM : y ?
k AG ? k AN ?

?16k 24 , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

y1 ? 2 3x x ? 2, G( 1 ,1) , x1 y1 ? 2

y1 ? 2 y2 ? 2 4kx1 x2 ? 6( x1 ? x2 ) ? ? ?3x1 x2 ?3x1 x2

96k 96k ? 2 2 ? 1 ? 2k 1 ? 2k ? 0 , ?3 x1 x2

? k AG ? k AN ,? A, G, N 三点共线.
x2 y2 2 2 11.(2012·北京高考文科·T19)已知椭圆 C: a + b =1(a>b>0)的一个顶
2 点为 A (2,0) ,离心率为 2 , 直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
10 (Ⅱ)当△AMN 的面积为 3 时,求 k 的值.

【解题指南】第(Ⅰ)问,利用椭圆中 a,b,c 与 e 的关系即可求出椭圆方程; 第(Ⅱ)问,△AMN 的面积等于 x 轴上下两个小三角形面积之和. 【解析】 (Ⅰ)
a ? 2, e ?

x2 y 2 c 2 ? ?1 ? , c ? 2, b ? 2 a 2 ,椭圆 C: 4 2 .
- 14 -

(Ⅱ)设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由

2 2 2 2 消 y 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 4 ? 0 ,

? 直线 y=k(x-1)过椭圆内点(1,0) ? ? ? 0 恒成立, ,
4k 2 2k 2 ? 4 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 , 由根与系数的关系得

1 1 S?AMN ? ?1? | y1 ? y2 |? ? | kx1 ? kx2 | 2 2 ? |k| | k | 16 ? 24k 2 10 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 2 2 2 1 ? 2k 3 .

即 7k 4 ? 2k 2 ?10 ? 0 5=0,解得 k ? ?1 . 12.(2012·湖南高考文科·T21)在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离
1 心率为 2 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C:x2+y2-4x+2=0 的圆心.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
1 (Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 2 的直线 l1,l2.当直线 l1,

l2 都与圆 C 相切时,求 P 的坐标.
2 2 2 2 【解析】 (Ⅰ)由 x ? y ? 4x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2) ? y ? 2 .故圆C的圆心为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), (2,0), 从而可设椭圆E的方程为 a 2 b 2 其焦距为 2c ,由题设知

x2 y 2 c c 1 1 c ? 2, ? ? 1. c ? 2, e ? e ? ,? a,?2c? 2c b 24, b 22 ? a 2 ? c 2 ? 12. ? ? a ? 4, ? ? a ? c 2 ? 12. a a 所以 2 2 故椭圆E的方程为 16 12

(Ⅱ)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) , l1 , l2 的斜率分别为 k1,k2.则 l1 , l2 的方程分别为
1 k1k 2 ? . 2 2 l1 : y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ), l2 : y ? y0 ? k2 ( x ? x0 ), 且 c 2 由 l1 与圆 C : ( x ? 2) ? y ? 2 相切得

2k1 ? y? 0 k12 ? 1

k1 x0 ? 2




- 15 -

同理可得

?( 2 x0 ? ?

2

2 ? ? k2 ) ? 2?

? 2 ( 0 2 y0 k2? 2 ?y0 x ? )

.

2

0

2 2 2 k1 , k2 是方程 ?(2 ? x0 ) ? 2 ? k ? 2(2 ? x0 ) y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是 ? ? 从而

? (2 ? x0 ) 2 ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ?? ? 8 ?(2 ? x0 ) ? y0 ? 2 ? ? 0, ? ? ?
k1k2 ?
2 y0 ? 2 1 ? 2 (2 ? x0 ) ? 2 2 .





2 2 ? x0 y0 ? ? 1, ? ? 16 12 ? 2 18 ? y0 ? 2 ? 1 x0 ? . 2 ? (2 ? x0 )2 ? 2 2 x0 ? ?2, 5x0 ? 8x0 ? 36 ? 0. 5 由? 得 ,解得 或

由 x0 ? ?2 得 y0 ? ?3; 由

x0 ?

18 57 y0 ? ? , 5 得 5 它们均满足①式,故点P的坐标为

18 57 18 57 ( , ) ( ,? ) (?2,3) 或 (?2, ?3) 或 5 5 或 5 5 .

13.(2012·江苏高考·T19)
y A P F1 O F2 B x

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 0) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 a b 的左、 右焦点分别为 F1 (?c , ,

? 3? ?e, ? 2 ? e F2 (c , .已知点 (1 , ) 和 ? 0) ? ? 都在椭圆上,其中

e 为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程. (2) A, 是椭圆上位于 x 轴上方的两点, 设 B 且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P.

- 16 -

(i)若

AF1 ? BF2 ?

6 2

,求直线 AF1 的斜率;

(ii)求证: PF1 ? PF2 是定值. 【解析】 (1)由题设知,
12

a2 =b2 ? c2,e=

c e a ,由点 (1 , ) 在椭圆上,

得a

2

?

e2 b
2

?1?

1 a
2

?

c2 a b
2 2

=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1

,∴ c

2

=a 2 ? 1 .

? 3? ?e, ? ? ? 由点 ? 2 ? 在椭圆上,

? 3? ? 3? ? ? ? ? e2 ? 2 ? c2 ? 2 ? a2 ? 1 3 得 2 ? 2 ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ? 4 ? 4 ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 . a b a a

2

2

∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

0) 0) (2)由(1)得 F1 (?1, , F2 (1, ,又∵ AF1 ∥ BF2 ,

∴设 AF1 , BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 , A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 .
? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ? 2 ∴? m2 ? 2 my1 =x1 ? 1 ?

?

?

.

∴ 同理,

AF1 = ? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0? = ? my1 ?
2 2

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2 .①
2 1 2

BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2
AF1 ? BF2 ?

.②
2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 = 2 2 m ? 2 ,解 m ? 2 2

(i)由①②得,

得 m =2.

2

∵注意到 m > 0 ,∴ m=

2.

1 2 = ∴直线 AF1 的斜率为 m 2

.
PB BF2 ? PF1 AF1

(ii)证明:∵ AF1 ∥ BF2 ,∴

,即

BF PB ? PF1 BF2 ? AF1 PB ?1 ? 2 ?1? ? PF1 AF1 PF1 AF1

,

- 17 -



PF1 =

AF1 BF1 AF1 ? BF2

.
2 ,∴
PF1 = AF1 2 2 ? BF2 AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF1 ? BF2 ? 2 同理
PF2 = BF2 2 2 ? AF1 AF1 ? BF2

?

?

.

?

?

.



PF1 +PF2 =2 2 ?

2 3 = 2 2 2 .

∴ PF1 ? PF2 是定值. 14.(2012·福建高考文科·T21)如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E:
x2 ? 2 py ( p ? 0) 上.
A y

B

(Ⅰ)求抛物线 E 的方程;

O

x

(Ⅱ) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y ? ?1 相交于点 Q.证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点. 【解题指南】本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线 的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思 想、化归与转化思想、特殊与一般思想.
? 【解析】方法一: (Ⅰ)依题意, OB ? 8 3 , ?BOy ? 30 ,

? ? 设 B( x, y) ,则 x ? OB sin 30 ? 4 3 , y ? OB cos30 ? 12 .
2 2 因为点 B(4 3,12) 在 x ? 2 py 上,所以 (4 3) ? 2 p ?12 ,解得 p ? 2 .

2 故抛物线 E 的方程为 x ? 4 y .

- 18 -

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

y?

1 2 1 x y? ? x 4 , 2 ,

1 1 1 2 p( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 0 ,且 l 的方程为 y ? y0 ? 2 x0 ( x ? x0 ) ,即 y ? 2 x0 x ? 4 x0 . 设P

Q(



所以

x0 2 ? 4 , ?1) 2 x0 .

1 ???? ???? ? y ? x 2 ( x ? 0) M (0, y1 ) ,令 MP ? MQ ? 0 对满足 0 4 0 0 设 的 x0 , y0 恒成立.

???? ? x 2 ?4 ???? MQ ? ( 0 , ?1 ? y1 ) MP ? ( x0 , y0 ? y1 ) , 2 x0 由 ,得



(*)
y0 ? 1 2 x0 ( x0 ? 0) 4 的 y0 恒成立,所以

由于(*)式对满足 解得 y1 ? 1 .

故以 PQ 为直径的圆恒过y轴上的定点 M (0,1) . 方法二: (Ⅰ)同方法一. (Ⅱ)由(Ⅰ)知
y? 1 2 1 x y? ? x 4 , 2 . y ? y0 ? 1 1 1 x0 ( x ? x0 ) y ? x0 x ? x0 2 2 2 4 ,即 .

p 设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 0 ,且 l 的方程为

Q(



所以

x0 2 ? 4 , ?1) 2 x0 .

2 2 取 x0 ? 2 ,此时 P(2,1) , Q(0, ?1) ,以 PQ 为直径的圆为 ( x ?1) ? y ? 2 ,交 y 轴于点

M1 (0,1) 或 M 2 (0, ?1) ;
3 1 3 125 1 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? p (1, ) Q ( ? , ?1) x0 ? 1 ,此时 P 4 , 2 4 8 64 ,交 y 取 ,以 PQ 为直径的圆为

- 19 -

轴于 M 3 (0,1) 或

7 M 4 (0, ? ) 4 .

故若满足条件的点 M 存在,只能是 M (0,1) . 以下证明点 M (0,1) 就是所要求的点.
???? ? x 2 ?4 ???? MQ ? ( 0 , ?2) MP ? ( x0 , y0 ?1) , 2 x0 因为 ,

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M . 15.(2012·安徽高考文科·T20)
x2 y2 2 2 如图, F1 , F2 分别是椭圆 C : a + b =1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, A 是椭圆 C 的

顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ?F1 A F2 =60°.
y A

F1

O F2 B

x

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值. 【解题指南】 (1)由
BF ? m 2

(2)根据椭圆的定义设

;则 BF1 ? 2a ? m ,由余弦定理求出 m ,结合三角形的面积公式即可求出

a,b 的值. 【解析】 (I) .
- 20 -

(Ⅱ)设 BF2 ? m (m>0),则 BF1 ? 2a ? m ,
? ?BF1F2 中, BF1 ? BF2 ? F1 F2 ? 2 BF2 ? F1 F2 ? cos120 , 在
2 2 2

16.(2012·安徽高考理科·T20)
x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 如图, F1 (?c,0), F2 (c,0) 分别是椭圆 a b 点 的左, 右焦点, 过点 F1 作 x? a2 c 于

x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P ,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线

点Q .

(I)如果点 Q 的坐标是 (4, 4) ,求此时椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.
x2 y 2 b2 ? 2 ? 1 y1 ? 2 a , 【解析】 (I)点 P(?c, y1 )( y1 ? 0) 代入 a b 得

b2 ?0 a2 4?0 ?4 PF2 ? QF2 ? a ? ? ?1 2 2 2 ?c ? c 4 ? c ①.又 c ②, c ? a ? b (a, b, c ? 0) ③.
x2 y 2 ? ?1 由①②③得: a ? 2, c ? 1, b ? 3 ,即椭圆 C 的方程为 4 3 ;

- 21 -

b2 b2 ?0 2a ? y ?0 c PF2 ? QF2 ? a ? 2 ? ?1 ? y2 ? 2a kPQ ? 2 a ? 2 2 a a ?c ? c a a Q ( , y2 ) ?c ?c c c (II)设 c ,则 ,且 ,
b2 x x y b 2 2 a2 ?? ? ?1? y ? b ? 2 x ? y a 2 b2 a b2 b2 ? 2 x2 a ,过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率
2 2 2

?

k ? y?

x ?? c

?

c ? kP Q a ,因此直线 PQ 与椭圆 C 相切,只有一个交点.

- 22 -


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