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河南省部分名校2013--2014学年度下学期期中考试高二数学文科数学试题 扫描版含答案


河南省部分名校 2013—2014 学年度下学期期中考试 高二数学(文科)试题· 答案 (1)C (7)B (13)1 (15)2 (2)A (8)D (3)A (9)D (4)D (10)B (14)7 (16) (5)A (11)B (6)C (12)B

2 4

?a5 ? a1 ? 4d ? 6 ? (17)解:

(Ⅰ)该等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d .由 a5 ? 6 , S6 ? 18 可得 ? , 6?5 S6 ? 6a1 ? d ? 18 ? ? 2
解得 ?

?a1 ? ?2 ,则 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 4 .……………(5 分) ?d ? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? an ? 3n ? (2n ? 4) ? 3n ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 则 Tn ? b1 ? b2 ?

? bn ? ?2 ? 31 ? 0 ? 32 ? 2 ? 33 ?

? (2n ? 4) ? 3n ,①

3Tn ? ?2 ? 32 ? 0 ? 33 ? 2 ? 34 ?

? (2n ? 4) ? 3n?1 ,② ? 3n ) ? (2n ? 4) ? 3n?1

①-②得 ?2Tn ? ?2 ? 31 ? 2(32 ? 33 ? 34 ?

? ?6 ? 2 ?

32 (1 ? 3n ?1 ) ? (2n ? 4) ? 3n ?1 1? 3

1 . ?? 15 ?( n 2 ? 5 )?n?3

所以 Tn ?

(2n ? 5) ? 3n ?1 ? 15 (n ? N*). ……………………………………………………(12 分) 2
x ? 0.15,? x ? 300. ………………………………………(3 分) 2000

(18)解: (Ⅰ)由题意得

? y ? z ? 2000 ? 200 ? 300 ? 635 ? 615 ? 250 ,…………………………………………(5 分)
依题意,设应在肥胖学生中抽取 m 人,则有

m 40 ? ,解得 m ? 5 ,故应在肥胖学生中抽取 5 250 2000

人.………………………………………………………………………………………(6 分) (Ⅱ)设“肥胖学生中男生不少于女生”为事件 A.

120 ,故满足条件的有(120,130) 由(Ⅰ)知 y ? z ? 250, 又y… , (121,129) , (122,128) , 120 , z…

(123,127) , (124,126) , (125,125) , (126,124) , (127,123) , (128,122) , (129,121) , (130,120) ,共 11 组,其中满足 y? z 的有 6 组,所以 P ( A) ? 率为

6 ,即肥胖学生中男生不少于女生的概 11

6 .……………………………………………………………………(12 分) 11

(19)解: (Ⅰ)在△ABD 中,由余弦定理可得

BD ? AD2 ? AB2 ? 2 AD ? AB cos ?DAB ? 3 ,
2 2 2 所以 AD ? BD ? AB ,所以 ?ADB ? 90? ,即 AD ? BD .………………………………(3 分)

又四边形 ABCD 为平行四边形,所以 BC ? BD . 又 D1 D ? 底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,所以 D1D ? BC .…………………………… (4 分) 又 D1D I BD ? D , 所以 BC ? 平面 BDD1B1 . ……………………………………………(5 分) 又 BC ? 平面 A1 BCD1 ,所以平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1B1 .………………………………(6 分) (Ⅱ)解法一:如图,连接 BD1 .由(Ⅰ)知 DD1 ? BD ? 3, 易得 BD1 ? 6 .

因为 BC ? 平面 BDD1B1 ,所以 BC ? BD1 , 所以 S A1BCD1 ? 2 ?

1 ? BC ? BD1 ? 6. ………………………………………………………(8 分) 2

取 BD1 的中点 M ,连接 DM ,则 DM ? BD1 ,且 DM ?

6 . 2

又平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1B1 ,平面 A1BCD1 I 平面 BDD1B1 ? BD1 , 所以 DM ? 平面 A1 BCD1 ,…………………………………………………………………(11 分) 所以四棱锥 D ? A1BCD1 的体积为 V ?

1 ? S A BCD ? DM ? 1. ……………………………(12 分) 3 1 1

解法二: 如图,连接 BD1 .四棱锥 D ? A1BCD1 的体积 V ? VD? A1BD1 ? VD?BCD1 ,…………(8 分)

而三棱锥 D ? A1BD1 与三棱锥 D ? BCD1 的底面积和高均相等,………………………(10 分) 所以 V ? VD ? A1BD1 ? VD ? BCD1 ? 2VD ? BCD1 ? 2 ? ? S△BCD ? DD1 ? 1. ………………………(12 分) (20)解: (Ⅰ)由题意可得 a ? 2, b ? c, 又 a2 ? b2 ? c2 ,?b2 ? 2, ∴椭圆的方程为

1 3

y 2 x2 ? ? 1 .………………………………………………………………(4 分) 4 2

(Ⅱ) 直线 l 的斜率为 2 ,∴可设直线 l 的方程为 y ? 将y?

2x ? m ,

2 x ? m 代入椭圆的方程并化简得 4 x2 ? 2 2mx ? m2 ? 4 ? 0 ,
2 2

16 m﹣) 4 > 0 ,可得 m2 < 8 . 由 Δ ? 8m﹣( (*) 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,
2 m2 ? 4 则 x1 ? x2 ? ? . m, x1 x2 ? 2 4
2 2 ?| PQ |? [ 1? ( 2 )] [ (x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ?

3 16 ? 2m 2 .………………………(7 分) 2

又点 O 到 PQ 的距离为 d ?

m 3



? S△OPQ

m2 (16 ? 2m2 ) 1 1 2m2 ? (16 ? 2m2 ) ? ? | PQ | ?d ? ? ? ? 2 ,……(11 分) 2 4 2 4 2

2 2 当且仅当 2m ? 16 ? 2m ,即 m ? ?2 时取等号,且满足(*)式.

? △OPQ 面积的最大值为 2 .………………………………………………………(12 分)
2 2 (21)解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? ( x ? a)(3x ? a) ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a 或 x ?

a . 3

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 ? a ? x ? 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ? ?a,

a a ;由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a 或 x ? , 3 3

? ?

a? ?a ? ? ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ? , ?? ? . 3? ?3 ?
a a ? x ? ? a ;由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ?a , 3 3

(2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得

此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ?

a? ?a ? ? , ?a ? ,单调递增区间为 ? ??, ? 和 (?a, ??) . 3? ?3 ? ?
? ? a? ?a ? ? ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ? , ?? ? ; 3? ?3 ?

综上:当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ? ?a,

当 a ? 0 时 , f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 ?

a? ?a ? ? , ?a ? , 单 调 递 增 区 间 为 ? ??, ? 和 3? ?3 ? ?

(?a, ??) .……………………………………………………………………………………(6 分)
(Ⅱ)依题意,对任意 x ? (0, ??) ,不等式 2x ln x≤f ?( x) ? a2 ? 1 恒成立,

3 1 x? 在 (0, ??) 上恒成立, 2 2x 3x 1 1 3 1 ( x ? 1)(3 x ? 1) ? . 设 h( x ) ? ln x ? ,则 h?( x) ? ? ? 2 ? ? 2 2x x 2 2x 2x2 1 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ? (舍去) ,当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 , 3
2 即 2 x ln x≤3x ? 2ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立,可得 a≥ ln x ?

当 x 变化时, h?( x ) , h( x) 的变化情况如下表:

x
h?( x)
h( x )

(0,1) + 单调递增

1 0 -2

(1,+∞) 单调递减

∴当 x ? 1 时, h( x) 取得最大值, h( x)max ? ?2,? a…? 2 . ∴ a 的取值范围是 [?2, ??) .………………………………………………………………(12 分) (22)解: (Ⅰ)因为 AC ? OB ,所以 ?AGB ? 90?. 又 AD 是圆 O 的直径,所以 ?DCA ? 90? . 又因为 ?BAG ? ?ADC , 所以 Rt△AGB∽Rt△DCA ,所以

BA AG ? . AD DC

又因为 OG ? AC ,所以 GC ? AG , 所以

BA GC ? ,即 BA ? DC ? GC ? AD .………………………………………………(5 分) AD DC

(Ⅱ)因为 AC ? 12 ,所以 AG ? 6 . 因为 AB ? 10 ,所以 BG ?

AB2 ? AG2 ? 8 .

由(Ⅰ)知: Rt△AGB ∽Rt△DCA ,所以 所以 AD ? 15 ,即圆的直径为 2 r ? 15 .

AB BG ? , AD AC

又因为 AB ? BM ? ? BM ? 2r ? ,即 BM 2 ? 15BM ? 100 ? 0 ,
2

解得 BM ? 5 .………………………………………………………………………………(10 分) (23)解: (Ⅰ)由 ?

? x ? sin ? , ? ? ?0, 2π ? 得 x2 ? y ? 1, x ?[?1,1] .………………(4 分) 2 ? y ? cos ?
π? ? ? ? 2 得曲线 D 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 . 4?

(Ⅱ)由 ? sin ? ? ?

? ?

由?

?x ? y ? 2 ? 0
2 ?x ? y ? 1

2 得 x ? x ? 3 ? 0,

解得 x ?

1 ? 13 ? [?1,1] ,故曲线 C 与曲线 D 无公共点.………………………………(10 分) 2

(24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,原不等式变为 2 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? 2, ① 若 x≥4 ,则 3 x ? 10 ? 2 , x ? 4 ,? 无解. ② 若 3 ? x ? 4 ,则 x ? 2 ? 2, 即 x ? 4 ,? 3 ? x ? 4 . ③ 若 x≤3 ,则 10 ? 3 x ? 2 ,即 x ? 综上,原不等式的解集为 {x |

8 8 ,? ? x? 3 . 3 3

8 ? x ? 4}3 .…………………………………………………(5 分) 3

(Ⅱ)设 f ( x) ? 2 | x ? 3 | ? | x ? 4 |,

? 3x ? 10, x≥4 ? 则 f ( x) ? ? x ? 2,3 ? x ? 4 , 易知 f ( x) 在 ( ??,3) 上为减函数,在 (3, ??) 上为增函数,? f ( x)… f (3) ? 1 . ?10 ? 3x, x≤3 ?
? 2a ? 1, a ? 1 ?1 ? .即 a 的取值范围是 ? , ?? ? ……………………………………………(10 分) 2 ?2 ?


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