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正弦定理、余弦定理以及解三角课件(非常好)


正弦定理、余弦定理以及解三角课件
一、两角和与差的三角函数 1、两角和与差的三角函数公式
sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ? cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

2、注意公式的逆向或变形应用
1 ? tan? ?? ? 1 ? tan? ?? ? ? tan? ? ? ?, ? tan? ? ? ?. 1 ? tan? ?4 ? 1 ? tan? ?4 ? 例如: tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan? tan ? ?

二、倍角、半角的三角函数 1、二倍角公式:
sin 2? ? 2 sin ? cos? ; cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ; 2 tan? tan 2? ? 1 ? tan2 ?

2、半角公式:
sin

?
2

??

1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ; cos ? ? ; tan ? ? ? ? 2 2 2 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

三、三角变换 1、角的变换:在三角化简、求值、证明中,表达式中往往出现较多 的相异角,可根据角与角之间的和、差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换,沟通条件与结论中角的联系,是问题获解,要熟悉几 对角的变形,如: 15? ? 45? ? 30? ? 60? ? 45? 等。 2、函数名称的变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数, 如在三角函数中正弦、 余弦是基础, 通常化切为弦, 变异名为同名等。

四、正弦定理及其应用 1、正弦定理 在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,即
a b c ? ? ? 2 R( R为?ABC 外接圆半径)。 sin A sin B sin C

2、正弦定理常见变形
a sin A b sin B c sin C ? , ? , ? ; b sin B c sin C a sin A a : b : c ? sin A : sin B : sin C ; a b c a?b?c ? ? ? (1) sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C (2)三角形面积公式: 1 1 1 1 abc S ? ? 底 * 高 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin b ? ( R为?ABC的外接圆半径) 2 2 2 2 4R

3、正弦定理的应用 (1)已知两角和一边,求其他两边和另一角; (2)已知两边和其中一边的对边,求另一边和其他两角 五、余弦定理及其应用 1、余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与他们 的夹角的余弦的积的两倍,即 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,同理对其它角进 行推理。 2、余弦定理的应用 (1)已知三边,求三角; (2)已知两边及夹角,求第三边和其他两角。 六、解三角形

1、已知一边和两角(设为 b,A,B),解三角形的步骤
(1)C ? 180? ? ( A ? B); b sin A ; sin B b sin C (3)由正弦定理得 ? c . sin B (2)由正弦定理得 ? a

2、已知两边及其夹角(设为 a,b,C),解三角形的步骤 (1)有余弦定理的 c ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ; (2)有余弦定理求边 a,b 中较小边所对的锐角; (3)利用内角和定理求第三角。 3、已知两边及一边的对角(设为 a、b、A) ,解三角形的步骤 (1)先判定解的情况; (2)由正弦定理得 sin B ?
b sin A , 求B; a

(3)有内角和定理的 C 的度数 (4)有正弦定理或余弦定理求边 c。 4、已知三边 a、b、c,解三角形的步骤 (1)有余弦定理求最大边所对的角; 有正弦定理求其余两个锐角。



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