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人教版高中数学必修5第三章不等式3(附答案)


高中数学必修(5)不等式专题检测
第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1.若 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. a ? c ? b ? c C. B. ac ? bc D. (a ? b)

c ? 0
2





c2 ?0 a?b

2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中,不能成立的是


1 3



1 1 A. ? a b
2

1 1 ? B. a?b a

C. a ? b

1 3

D. a ? b

2 3

2 3

3.若关于 x 的不等式 x ? 4 x ? m 对任意 x ? [0,1] 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A. m ? ?3 B. m ? ?3 C. ? 3 ? m ? 0 2 2 4.已知实数 x,y 满足 x +y =1,则(1-xy)(1+xy)有 D. m ? ?3或m ? 0 (





1 和最大值 1 2 1 3 C.最小值 和最大值 2 4
A.最小值 5.设 x > 0, y > 0, a ? A.a >b
2

B.最小值

3 和最大值 1 4

D.最小值 1

x? y x y ? , b? , a 与 b 的大小关系 1? x ? y 1? x 1? y
B.a <b C.a ? b D.a ? b





6. 若关于 x 的不等式 2 x ? 8x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4 内有解, 则实数 a 的取值范围是 ( A. a ? ?4 B. a ? ?4 C. a ? ?12 D. a ? ?12 ( D. 1 ?| a |?



7.若 x ? (0, ) 时总有 loga2 ?1 (1 ? 2x) ? 0, 则实数 a 的取值范围是 A. | a |? 1 B. | a |?

1 2



2

C. | a |?

2

2

8.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间 以速度 n 行走;有一半路程乙以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,如果 m ? n,甲 乙两人谁先到达指定地点 ( ) A.甲 B.乙 C.甲乙同时到达 D.无法判断
-1-

9.设 4

x, y, z 满足约束条件组 4

?x ? y ? z ? 1 ?3 y ? z ? 2 ? ,求 4 u ? 2 x ? 6 y ? 4 z 的最大值和最 ? ?0 ? x ? 1 ?0 ? y ? 1 ?
C.6,4 D.1,0

小值(

) B.4,2

A.8,3

10. f(x)是奇函数, 设 对任意的实数 x、 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),且当x ? 0时, f ( x) ? 0, y, 则 f(x)在区间[a,b]上 A.有最大值 f (a) C.有最大值 f ( ( B.有最小值 f (a) D.有最小值 f ( )

a?b ) 2

a?b ) 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 11.已知 4

?1 ? a ? b ? 2 ,求 4 t ? 4a ? 2b 的取值范围 ? ?2 ? a ? b ? 4
x? 1 2



12.已知 0 ? x ? 2,函数y ? 4 13.函数 f ( x) ?

? 3 ? 2 x?2 ? 7的最大值是 , 最小值是m, 则M ? m ? M




x2 ? x ? 1 的值域为 x2 ? 1

14.要挖一个面积为 432m2 的矩形鱼池,周围两侧分别留出宽分别为 3m,4m 的堤堰,要想 使占地总面积最小,此时鱼池的长 、宽 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12 分)已知 a, b 都是正数,并且 a ? b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2

-2-

16. (12 分)设 a>0, b>0,且 a + b = 1,求证: (a ?

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? . a b 2

17. (12 分)设 x ? R 且 x ?
2

?

y2 ? 1 ,求 x 1 ? y 2 的最大值. 2

18. (12 分)已知 4

?ABC 的三边长 4

a, b, c 满足 4 b ? c ? 2a ,4

c ? a ? 2b ,求 4

b 的取值范围. a

-3-

19. (14 分)一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有 4 5cm 铁芯上的铜线最节省.

2

的面积,问应如何设计十字型宽 x 及长 y ,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在

20. (14 分)设集合 A ? {x | x ? 5x ? 4 ? 0}, B ? {x | x ? 2ax ? (a ? 2) ? 0},
2 2

若 A? B ?

,求实数 a 的取值范围.

-4-

一、DBABB

ADACB 二、11. [5,10] ; 12.8; 13.
5 5 2 3 3 2 5 3 2

?1 3? ?2, ? ; ? 2?
5 2 3

14.长 24 米,宽为 18 米

三、15.证:(a + b ) ? (a b + a b ) = ( a ? a b ) + (b ? a b )

= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) ∵a, b 都是正数,∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a ? b,∴(a ? b)2 > 0
16.证:∵

∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0 即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2
∴ ab

ab ?

a?b 1 ? 2 2

?

1 4
2



1 ?4 ab
2

1 1? 1 1? ? ? ?a? ?b? ? ?1? ? ? 1 2 1 2 a b ? ? 2? a b? ∴ ( a ? ) ? (b ? ) ? 2? a b 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
a?b ? 1 ? ? ? 2 ?1? ? ?1? ? ab ? ? 2? ab ? ? 2? 1 ? 4 ? ? 25 ? ?2 ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2

17 . 解 : ∵

x?0



1 y x 1? y2 ? 2 ? x2 ( ? ) ? 2 2
∴x

2

1 y2 2[ x 2 ? ( ? )] 2 2 2



1 y2 y2 1 3 x2 ? ( ? ) ? (x2 ? ) ? ? 2 2 2 2 2
即 (x

1 3 3 2 1 ? y 2 ? 2( ? ) ? 2 2 4

1 ? y 2 ) max ?
x?

3 2 4
a ,4 b y? c ,则 4 a

18.解:解:设 4

-5-

?1 ? x ? y ? 2 ?x ? y ? 1 ? 2x ? , ? ? y ? x ?1 ? x ? 0, y ? 0 ?
作出平面区域(如右图) ,由图知:4

2 1 A( , ) ,4 3 3

3 1 C ( , ) ,∴4 2 2

2 3 ? x ? ,即 3 2

4

2 b 3 ? ? . 3 a 2

19.解:设

y ? x ? 2h, 由条件知:

4 5 ? x2 , x ? 4xh ? 4 5, 即 h ? 4x
2

设外接圆的半径为 R,即求 R 的最小值,

? 4 R 2 ? x 2 ? (2h ? x) 2 ? 2( x 2 ? 2hx ? 2h 2 ), ? 2 R 2 ? f ( x) ? x 2 ? ? 5? 4 5 ? x 2 80 ? 8 5 x 2 ? x 4 ? 4x 8x 2

5 2 10 25 x ? 2 (0 ? x ? 2 R ),? 2 R 2 ? 5 ? 2 ? 5 ? 5, 8 4 x 5 2 10 等号成立时, x ? 2 ? x ? 2, 8 x ∴当 x ? 2 时 R2 最小,即 R 最小,从而周长 l 最小,
此时 x ? 2cm, y ? 2h ? x ? 5 ? 1cm. 20.解? A ? {x | x ? 1或x ? 4},? A ? B ? 的意义是方程 x ? 2ax ? (a ? 2) ? 0 有解,
2

且至少有一解在区间 (??,?1) ? (4,??) 内,但直接求解情况比较多,如果考虑“补集” , 则解法较简单. 设全集 U ? {a | ? ? (2a) ? 4(a ? 2) ? 0} ? {a | a ? ?1或a ? 2}
2

且 P ? {a | 关于x的方程x ? 2ax ? (a ? 2) ? 0 的两根都在[1,4]内}
2

记 f ( x) ? x ? 2ax ? (a ? 2),
2

∴方程 f ( x) ? 0 的两根都在[1,4]内

-6-

?? ? 0 ? f (1) ? 0 ? ?? ? f ( 4) ? 0 ?1 ? a ? 4 ?

?a ? 1或a ? 2 ?3 ? a ? 0 ? ?? ?18 ? 7 a ? 0 ?1 ? a ? 4 ?

, 解得2 ? a ?

18 , 7

? P ? {a | 2 ? a ?

18 18 } ,∴所求实数 a 的取值范围是 CU P ? {a | a ? ?1或a ? } 7 7

-7-


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