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空间几何体的表面积与体积


柱体、锥体、台体的表面积与体积 大纲 :
表面积相关公式 体积公式 柱体、锥体、台体表面积体积公式,球体的表面积体积公式:

几何体

棱柱

S全 ? S侧 ? 2S底, 其中S侧 ? l侧棱长 ? 直截面周长 c
S全 ? S侧 ? S底
S全 ? S侧 ? S上底 ? S下底

>
V ? S底 ? 高 h

棱锥

1 V ? S底 ? 高 h 3
1 V ? (S '? S ' S ? S )h 3

棱台

圆柱

S全 ? 2? r 2 ? 2? rh
(r:底面半径,h:高)

V ? ? r 2h
1 V ? ? r 2h 3
1 V ? ? (r '2 ? r ' r ? r 2 )h 3

圆锥

S全 ? ? r 2 ? ? rl
(r:底面半径,l:母线长)

S全 ? ? (r '2 ? r 2 ? r ' l ? rl )
圆台 (r:下底半径,r’:上底半径,l:母 线长)

球体

S球面 ? 4? R2

4 V球 ? ? R3 3

第一部分:柱,锥,台体的表面积计算公式
教学要求:了解柱、锥、台的表面积计算公式;能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题. 教学重点:运用公式解决问题. 教学难点:理解计算公式的由来. 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:正方体、长方体的侧面展开图?→ 正方体、长方体的表面积计算公式? 2. 讨论:圆柱、圆锥的侧面展开图? → 圆柱的侧面积公式?圆锥的侧面积公式? 二、讲授新课: 1. 教学表面积计算公式的推导: ① 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和)

② 练习:求各面都是边长为 10 的等边三角形的正四面体 S-ABC 的表面积. 一个三棱柱的底面是正三角形,边长为 4,侧棱与底面垂直,侧棱长 10,求其表面积. ② 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表) 圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长, 宽 是 圆 柱 的 高 ( 母 线 ), S 圆柱侧 =2 ? rl , 其中为 r 圆柱底面半径, l 为母线长。 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线, 弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形 中心角为 ? ? ? 3600 ,S 圆锥侧 = ? rl , S 圆锥表 = ? r (r ? l ) , 其中为 r 圆锥底面半径, l 为母线长。 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长, 外弧长等于圆台下底周长,侧面展开图扇环中心角 为? ?

S 圆柱表 =2 ? r (r ? l ) ,

r l

R?r ? 3600 ,S 圆台侧 = ? (r ? R )l , l S 圆台表 = ? (r 2 ? rl ? Rl ? R2 ) .

④ 练习:一个圆台,上、下底面半径分别为 10、20,母线与底面的夹角为 60°,求圆台的表面积. (变式: 求切割之前的圆锥的表面积) 2. 教学表面积公式的实际应用: 例:一圆台形花盆,盘口直径 20cm,盘底直径 15cm,底部渗水圆孔直径 1.5cm,盘壁长 15cm.. 为美化外表而 涂油漆,若每平方米用 100 毫升油漆,涂 200 个这样的花盘要多少油漆?

②练习:粉碎机的上料斗是正四棱台性,它的上、下底面边长分别为 80mm、440mm,高是 200mm, 计算制造这 样一个下料斗所需铁板的面积.

课外练习
1. 已知底面为正方形,侧棱长均是边长为 5 的正三角形的四棱锥 S-ABCD,求其表面积. 2. 圆台的上下两个底面半径为 10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为 1:1,求截面的 半径. (变式:r、R;比为 p:q)

3. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,求这个圆锥的表面积.

*4. 圆锥的底面半径为 2cm,高为 4cm,求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.

5. 面积为 2 的菱形,绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少?

第二部分:柱锥台的体积计算公式:
① 讨论:等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系?

② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式? →给出柱体体积计算公式: V柱 ? Sh (S 为底面面积,h 为柱体的高)→ V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h

③ 讨论:等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系? 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系? ④ 根据圆锥的体积公式公式,推测锥体的体积计算公式? →给出锥体的体积计算公式: V锥 ? Sh

1 3

S 为底面面积,h 为高)

⑤ 讨论:台体的上底面积 S’,下底面积 S,高 h,由此如何计算切割前的锥体的高? → 如何计算台体的体积? ⑥ 给出台体的体积公式: V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h

1 3

(S, S 分别上、下底面积,h 为高)

'

→ V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h (r、R 分别为圆台上底、下底半径) ⑦ 比较与发现:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大为与下底相同时,台成 为柱。因此只要分别令 S’=S 和 S’=0 便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统 一为台体的体积公式

1 3

1 3

讨论:侧面积公式是否也正确? 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一? 例题: 例 1. 出示例:一堆铁制六角螺帽,共重 11.6kg, 底面六边形边长 12mm,内空直径 10mm,高 10mm,估算这堆 螺帽多少个?(铁的密度 7.8g/cm3) 讨论:六角螺帽的几何结构特征? → 如何求其体积? → 利用哪些数量关系求个数? → 列式计算 → 小结:体积计算公式

② 练习:将若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形容器中,量得水面高度为 6cm;若将这些水倒入轴截面是 正三角形的倒圆锥形容器中,求水面的高度.

3. 小结:柱锥台的体积公式及相关关系;公式实际运用.

课外练习
1. 把三棱锥的高分成三等分,过这些分点且平行于三棱锥底面的平面,把三棱锥分成三部分,求这三部分自上 而下的体积之比

2. 已知圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,它的轴截面的面积为 4,求圆锥的体积.

*3. 高为 12cm 的圆台,它的中截面面积为 225π cm ,体积为 2800cm ,求它的侧面积。

2

3

4. 仓库一角有谷一堆,呈 1/4 圆锥形,量得底面弧长 2.8m,母线长 2.2m,这堆谷多重?720kg/m3

第三部分:球的表面积和体积
1. 提问:柱、锥、台的体积计算公式?圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式? 2. 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,求圆锥分成的三部分的侧面积之比、三部分的体积 之比.

: 球的表面积及体积计算公式: ① 讨论:大小变化的球,其体积、表面积与谁有关? ② 给出公式: V 球 = ? R3 ; S 球面 =4 ? R2.

4 3

(R 为球的半径)

→讨论:公式的特点;球面是否可展开为一个平面图形? (证明的基本思想是: “分割→求体积和→求极限→求得结果” ,以后的学习中再证明球的公式)

例题:圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求球的体积与圆柱体积之比;证明球的表面积等于圆柱的侧面积.

讨论:圆柱与球的位置关系?(相切) → 几何量之间的关系(设球半径 R,则…) 变式:球的内切圆柱的体积 练习:一个气球的半径扩大 2 倍,那么它的表面积、体积分别扩大多少倍? 2. 体积公式的实际应用: 例 1:一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5.0cm,求它的内径. (钢密度 7.9g/cm3) 讨论:如何求空心钢球的体积? → 列式计算 → 小结:体积应用问题.

例 2 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放入一个半径为 R 的球,并注入水,使水面 与球正好相切,然后将球取出,求此时容器中水的深度.

例 3 探究阿基米德的科学发现:图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表 示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中,球的体积是圆柱体积的 球的表面积也是圆柱全面积的

2 , 3

2 . 3

课外练习
1. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 6cm,求这个球的表面积和体积。

2. 如果球的体积是 V 球,它的外切圆柱的体积是 V 圆柱,外切等边圆锥的体积是 V 圆锥,求这三个几何体体积之比. A 3. 如图, 求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体 的表面积和体积。 2 D

4

B *4.一个正方体的内切球的体积为 V,求正方体的棱长。 若球与正方体的各棱相切,则正方体的棱长是多少?

5

C

5. 求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比.

6. 已知球的一个截面的面积为 9π ,且此截面到球心的距离为 4, 求此球的表面积和体积.


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