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双曲线几何性质练习题


双曲线几何性质练习题
一填空题
1 椭圆,双曲线和抛物线的离心率都用 e 表示: e ? ; 时,表示抛物线 当 2 为 3 离心率是 e ?
c a ?

.当

时表示椭圆,当

时表示双曲线 ,准线到中心的距离

双曲线

x a

r />2 2

?

y b

2 2

? 1 的准线方程是


c a
2 2

?

1?

b a

2 2

( e ? 1 )e 越大, 开口越

;e 越小, 开口越



4 等轴双曲线的离心率是

。渐近线方程是 ,焦点到两准线的距离是 , 。
?

5 双曲线的焦点到渐近线的距离是的 设 F1, F 2 分别是双曲线
x a
2 2

6

?

y b

2 2

? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 ? F1 A F 2 ? 9 0

求点 A 的坐标的方法是什么?点 A 的纵坐标是多少? 若 AF 2 垂直 X 轴,则 A 点坐标是: 7 8 二 双曲线 9 x ? 4 y ? 3 6 的渐近线的方程是:
2 2

。若是椭圆,点 A 的坐标是:

双曲线 9 y ? 1 6 x ? 1 4 4 的渐近线方程是: 选择题
2 2

1.以椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程(
2



25

16 x ?
2

A. C.

y

2

?1
2

B. D.
x2 4 ? y
2

x
2

2

?
? y

y
2

2

? 1或
?1或 y

x
2

2

?
? x
2

y

2

?1
?1

16 x ?

48 y ?1

16
x

48

9

27

9

27
2

25

75

16

48

2. (07 四川高考)如果双曲线 的距离是 A.
4 3
2 2

=1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴


6

) B.
2 3 6

C. 2

6

D. 2 (

3

3. 双曲线 8 kx ? ky ? 8 的一个焦点为 (0, 3) ,则 k 的值为 A. ? 1 B. ? 1 C. 2 D. ? 2


?
2

4.过双曲线的一个焦点 F 2 作垂直于实轴的弦 P Q , F 1 是另一焦点,若∠ PF 1 Q ? 则双曲线的离心率 e 等于( A. 2 ? 1
x



) C. 2 ? 1
2

B. 2
2

D. 2 ? 2 )

5.焦点为 ( 0 , 6 ) ,且与双曲线

? y ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是(

2
1

A.

x

2

?

y

2

?1

12

24

B.
x
2

y
2

2

?
?

x

2

?1
y
2

12

24
b ?k
2

C.

y

2

?
x a

x
2 2

2

?1
? y b
2 2

24

12

D.

x

2

?

y

2

?1

24

12

6.若 0 ? k ? a ,双曲线

a ?k

? 1 与双曲线

? 1有 (



A.相同的虚轴 B.相同的实轴 C.相同的渐近线 7.双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为 A.
3 2

D. 相同的焦点 ( B ) D.
3

B.3
x a
2 2

C.
? y b
2 2

4 3

8. (07 高考)设 F1, F 2 分别是双曲线

? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,

使 ? F1 A F 2 ? 9 0 ? 且 A F1 ? 3 A F 2 ,则双曲线的离心率为( A. 三
5 2



B.

10 2

C.

15 2

D. 5

解答题
2 2

1 求双曲线 9 x ? 4 y ? 3 6 的实轴长、虚轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程.

2 求双曲线 9 y ? 1 6 x ? 1 4 4 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
2 2

3 双曲线与椭圆

x

2

?

y

2

? 1 有相同焦点,且经过点 ( 1 5 , 4 ) ,求其方程.

27

36

4.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 1 0 ,求双曲线的方程.

2

5.设 F1 , F 2 是双曲线 求 ? F1 P F 2 的面积.

x

2

?

y

2

9

16

? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ? F1 P F 2 ? 6 0 ,
0

6 已知点 P 是等轴双曲线 x ? y ? k ( k ? 0 ) 上的一点,求证:
2 2

(1)此双曲线的离心率是 2 ,渐近线方程是 y ? ? x ; (2)点 P 到它两个焦点的距离的积等于 P 到双曲线中心 O 的距离的平方.

7

点 A 位于双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 上, F1 , F 2 是它的两个焦点,求 ? AF 1 F 2 的重心 G 的

轨迹方程.

3

8

直线 y ? x ? 1 与双曲线

x

2

?

y

2

? 1 相交于 A , B 两点,则 A B ?



2

3

9

求下列双曲线的标准方程: (1)离心率为
2

5 4

,虚半轴长为2;
2

(2)与椭圆 x ? 5 y ? 5 共焦点且一条渐近线方程为 y ?

3x ? 0 .

10

过双曲线

x

2

?

y

2

3

6

? 1 的右焦点 F 2

,倾斜角为 30 ? 的直线交双曲线于 A 、 B 两点,求 AB 。

4

解:由双曲线的方程得,两焦点分别为: F1 ( ? 3 , 0 ) , F 2 ( 3 , 0 ) 因为直线 AB 的倾斜角为 30 ? ,且直线经过右焦点 F 2 ( 3 , 0 ) , 所以,直线 AB 的方程为 y ?
? 3 ( x ? 3) ?y ? ? 3 由? 2 2 ? x ? y ?1 ? 3 6 ?
3 3 ( x ? 3)



消去 y ,得 5 x 2 ? 6 x ? 27 ? 0 解这个方程得: x1 ? ? 3 , x 2 ?

9 5

将 x 1 , x 2 的值代入①,得 y 1 ? ? 2 3 , y 2 ? ?

2 3 5 9 5 ,? 2 3 5 )

于是, A 、 B 两点的坐标分别为 ( ? 3 , ? 2 3 ) , (

所以, AB = ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 = ( ? 3 ? ) 2 ? ( ? 2 3 ?
5

9

2 3 5

)

2

=

16 5

3

5


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