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山东省滕州市第二中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


2015 山东省滕州市第二中学第一学期高三期中考试 数学(理)试题 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域作答. 1. (2015?洛阳一模)集合 A={1,2,3,4,5},B={1,2,3}C={z|z=xy,

x∈A 且 y∈B},则集合 C 中的元素个数为( ) A.3, B.11, C.8, D.12 2. (2014?温州模拟)直线 x? 3 y?1=0 的倾斜角α =( A.30°, B.60°, C.120°, D.150° 3. (2014?通州区二模)直线 x=t(t>0)与函数 f(x)=x2+1,g(x)=lnx 的图 象分别交于 A、B 两点,当|AB|最小时,t 值是( A.1 B.
2 2



) D.
3 3

C.

1 2

? f ? x ? 1? , x ? 4 ? 4.已知 f ? x ? ? ? ? 1 ? x ,则 f ? log2 3? =( ? ? ? ,x ? 4 ? ?2?


1 4 1 2

A.

1 24

B.

1 12

C.

D.

5.若方程 ln x ? x ? 5 ? 0 在区间 (a , b) (a, b ? Z ,且 b ? a ? 1) 上有一实根,则 a 的 值为( A. 5 ) B. 4 C. 3 D. 2

6.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0. | ? |? 函数表达式为( )

?
2

, x ? R) 的部分图象如图所示,则

A. y ? 2 sin(

?
3

x?

?
6

) ?1

B. y ? 2 sin(

?
6

x?

?
3

) ?1

-1-

C. y ? 2 sin(

?
3

x?

?
6

) ?1

D. y ? 2 sin(

?
6

x?

?
6

) ?1

7.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 n ?1? 2 ? ?? (2n ? 1) ” (n ? N ? ) 时, 从“ n ? k 到 n ? k ? 1 ”时,左边应添乘的式子是( A. 2k ? 1 B. 2(2k ? 1) C.
2k ? 1 k ?1

) D. 2

1 a 8.若正数 x , y 满足 x ? y ? 1 ,且 ? ? 4 对任意 x , y ? (0,1) 恒成立,则 a 的取 x y

值范围是( A. (0 , 4]

) B. [4 , ??) C. (0 , 1] D. [1 , ??)

9.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) 成立,
1 且 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 , 设 a ? f ( 0 ) ,b ? f ( ) ,c? f ( 3) , 则 a, b, c 三 者 的 大 小 关 系 是 2



) A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. c ? b ? a

10.对于函数 f ( x) 与 g ( x) 和区间 D ,如果存在 x0 ? D ,使 | f ( x0 ) ? g ( x0 ) |? 1 ,则称

x0 是函数 f ( x) 与 g ( x) 在区间 D 上的“友好点”.现给出 4 组函数:
① f ( x) ? x2 , g ( x) ? 2 x ? 3 ;
1 ③ f ( x) ? e ? x , g ( x ) ? ? ; x

② f ( x) ? x , g ( x ) ? x ? 2 ;
1 ④ f ( x) ? ln x , g ( x ) ? x ? ; 2

其中在区间 (0 , ??) 上存在“友好点”的有( A.①② D.③④

) C . ①④

B.②③

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题分必做题和选做题. (一)必做题:共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. 11.函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在 ?0,3? 上的最小值分别是
? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 12.若实数 x , y 满足 ? x ? 4, 则 z ? x ? y 的最大值为 ? y ? 5. ?
-2-





13.在等差数列 {an } 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 S11 ?



14.已知函数 f ( x) ? ex ? x2 的导函数为 f / ( x) , y ? f ( x) 与 y ? f / ( x) 在同一直角坐 标系下的部分图象如图所示,若方程 f / ( x) ? f (a) ? 0 在 x ? (??, a] 上有两解,则 实数 a 的取值范围是 .

(二)选做题:本题设有三个选考题,请考生任选 2 题作答,并在答题卡的相应 位置填写答案,如果多做,则按所做的前两题计分,满分 8 分.

? 1 ?2 ? ?1 0 ? ?1 15. (1) (选修 4-2:矩阵与变换)设矩阵 A= ? ? ,则 ( AB) ? ,B= ? ?0 1 ? ? 3 ?1?
= . (2) (选修 4-4:极坐标与参数方程)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极 点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 的极坐标方程为

??

?

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? ? R) , 曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) . 若直线 l 与曲线 C 4 y ? 2 sin ? ?


交于 A, B 两点,则 AB =

(3) ( 选 修 4-5 : 不 等 式 选 讲 ) 函 数 y ? x ? 1 ? 5 ? x 的 最 大 值 等 于 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或 演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg( x2 ? 2x ? 3) 的定义域为集合 A , 函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值 域为集合 B (1)求集合 A , B ;

-3-

(2)若 B (CR A) ? ? ,求实数 a 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c , 则 sin
C 6 ; ? 2 4

(1)求 sin C ; (2)若 c ? 2 , sin B ? 2 sin A ,求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 , 数列 {bn} 是首项为 a1 , 公差为 d (d ? 0) 的等差数列,且 b1 , b3 , b9 成等比数列. (1)求数列 {an} 与 {bn} 的通项公式; (2)若 cn ?
2 (n ? N * )) , 求数列 {cn} 的前 n 项和 Tn . (n ? 1)bn
3x 3x x ? x ? ,sin ), b ? (cos( ? ), ? sin( ? )) ; 4 4 4 3 4 3

19. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos 令 f ( x) ? (a ? b)2 ,

(1)求 f ( x) 解析式及单调递增区间; (2)若 x ? [?
, ] ,求函数 f ( x) 的最大值和最小值; 6 6 5 ? (3)若 f ( x) = ,求 sin( x ? ) 的值. 2 6

? 5?

20. (本小题满分 12 分)如图,某小区有一边长为 2 (单位:百米)的正方形地块
OABC , 其中 OAE 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的

直路 l (宽度不计) ,切点为 M ,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点, 以 线 段 OC 所 在 直 线 为 x 轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 若 池 边 AE 满 足 函 数
2 4 的图象,且点 M 到边 OA 距离为 t ( ? t ? ) . y ? ?x2 ?2( 0 ? x ? 2 ) 3 3 2 (1)当 t ? 时,求直路 l 所在的直线方程; 3

(2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大 值是多少?

-4-

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? ax ? x2 . (1)若 x ? 1 为函数 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (2)讨论 f ( x) 在定义域上的单调性; (3)证明:对任意正整数 n , ln(n ? 1) ? 2 ?
3 4 n ?1 ? 2 ??? 2 . 2 2 3 n

2015 山东省滕州市第二中学第一学期高三期中考试 数学(理)试题参考答案 一、选择题: (共 10 小题,每小题 5 分, 满分 50 分) BCBAC ABDCD

二、填空题: (共 5 小题,每小题4分,满分 24 分) 11. ? 15 ; 12. 9 ; 13. 88 ; 14. a ? 2

? 7 ?2 ? 15. (1) ? ? ? 3 ?1 ?

(2) 14

(3) 2 2

14. (解法一)设 g ( x) ? f / ( x) ? f (a) ? ex ? 2x ? (ea ? a2 ) 令 g / ( x) ? ex ? 2 >0,则 x ? ln2 ,所以 g ( x) 在 (??,ln 2) 单调递增,在 (ln 2, ??) 单调 递减

-5-

?e a ? 2a ? e a ? a 2 ? 0 ? ? ? (1) ? g (a) ? 0 ? ? 要使满足题意,则 ? g (ln 2) ? 0 ? ?2 ? 2ln 2 ? e a ? a 2 ? 0 ? ?(2) ?ln 2 ? a ? ? ?ln 2 ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)
由(1) , (3)可知 a ? 2 设 h(a) ? 2 ? 2ln 2 ? ea ? a2 , h/ (a) ? ?ea ? 2a ? 0 在 a ? 2 恒成立 所以 h(a) ? 2 ? 2ln 2 ? ea ? a2 在 [2, ??) 上单调递减, 所以 h(a) ? h(2) ? 6 ? 2ln 2 ? e2 ? 0 所以(2)对任意的 a ? R 都成立 综上所述 a ? 2 . (解法二) f / ( x) ? f (a) ? 0 在 x ? (??, a] 上有两解 ? 函数 y1 ? f / ( x)与y2 ? f (a) 有两交点

y1 ? f / ( x), x ? (??, a] ---表示右端点位置变化的函数
y2 ? f (a) --------表示与 x 轴平行的一组直线,它的高低与 f ( a ) 的值有关
所以 a 一定在 y1 ? f / ( x), x ? (??, a] 的极值点右侧,同时 y2 ? f (a) ? g (a)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或 演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解: (1)集合 A : x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 解得: A ? {x | x ? ?1或 x ? 3} 集合 B: g ( x) 图象单调递增, ?a ? g ( x) ? 4 ? a ,则 B ? {y | ?a ? y ? 4? a} 分 (2) CR A ? {x | ?1 ? x ? 3} ,由 B (CR A) ? ? ,结合数轴, 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 ,
-6-

.8

解得 a ? ?3 或 a ? 5 . 17. (本题满分 12 分) 解:由已知: (1)? sin

13 分

C 6 C 6 1 ,? cosC ? 1 ? 2 sin 2 ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? ? 2 4 2 4 4

1 15 又? 0 ? C ? ? ,? sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4
(2)? sin B ? 2 sin A ,? 由正弦定理得 b ? 2a , 由余弦定理,得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ,得 a ? 1 ,从而 b ? 2 .
S ?ABC ? 1 1 15 15 ab sin C ? ? 1 ? 2 ? ? 2 2 4 4

. .?.5 分

. .?.13

分 18. (本题满分 13 分)解: (1)当 n ? 2 ,时 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2n ? 2n 又 a1 ? S1 ? 22 ? 2 ? 2 ? 21 ,也满足上式,所以数列 {an} 的通项公式为 an ? 2n

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b2 , b9 成等比数列,


(2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 8d )

解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 2 . .?.7 分

所以数列 {bn} 的通项公式为 bn ? 2n (2)解: cn ?
2 1 ? (n ? 1)bn n(n ? 1)
1 1 1 ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 ?

数列 {cn} 的前 n 项和 Tn ?
1 1 1 ? 1? ? ? ? 2 2 3 ?

1 n ? (n ? 1)

1 1 1 n ? ? 1? ? n n ?1 n ?1 n ?1

. .?.13 分

19.解:
f ( x ) ? ( a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b ? 1 ? 2[cos ? 2 ? 2cos( x ?
2 2

?
3

3x x ? 3x x ? cos( ? ) ? sin sin( ? )] ? 1 4 4 3 4 4 3

?2 分

)

当 2k? ? ? ? x ?

?
3

? 2k? , k ? 2 ,即: 2k? ?

4? ? ? ? ? 2k? ? , k ? Z 时, f ( x ) 单调递 3 3

-7-

增,
? f ( x ) 增区间为: 2k? ? ?

? ?

4 ?? ? ,2k? ? ? ,k ? Z 3 3?
3
2

?5 分

? 5? ? ? 7? ? 3 (Ⅱ)由 x ?[? , ], 得 x ? ?[ , ] , ?1 ? cos( x ? ) ?
6 6 3 ? 2? 当 x ? ? 时 f ( x)max ? 2 ? 3, 当 x ? 时, f ( x ) min ? 0 6 3 6 6

?9 分

? 5 ? 1 (3) f ( x) ? 2 ? 2 cos( x ? ) ? ? cos( x ? ) ? , 3 2 3 4 ? ? ? 1 所以 sin( x ? ) ? ? sin( ? x) ? ? cos( x ? ) ? ? 。 6 6 3 4
20.解: (1)∵ y ? ? x2 ? 2 ,∴ y? ? ?2 x ,

?12 分

过点 M (t , ?t 2 ? 2) 的切线的斜率为 ? 2t ,所以过点 M 的切线方程为

y ? (t 2 ? 2) ? ?2t ( x ? t ) ,即 y ? ?2tx ? t 2 ? 2 当 t ?

2 2 14 时,则点 M ( , ) , 3 3 9

4 22 所以过点 M 的切线 l 的方程为 : y ? ? x ? . 3 9

. .?.4 分
t ,故切线 2

(2)由(1)切线方程为 y ? ?2tx ? t 2 ? 2 .令 y ? 2 ,得 x ?
t t 1 l 与线段 AB 的交点为 ( , 2) ;又令 y ? 0 ,得 x ? ? , 2 2 t

所以 x?(t ) ?

2 4 1 1 t2 ? 2 2 4 ? 2? ( ? t ? ) 当 ? t ? 时, x?(t ) ? 0 , 2 3 3 2 t 2t 3 3

2 4 所以函数 x(t ) 在区间 [ , ] 上单调递减; 3 3 17 t 1 11 t 1 ? ? ? ? 2 ,∴切线 l 与线段 OC 交点为 ( ? , 0) 所以 2 ? 12 2 t 6 2 t

则地块 OABC 在切线 l 的右上部分的区域为一直角梯形,设其面积为 f (t ) ,
1 t 1 t 1 2 4 1 ? f (t ) ? [(2 ? ? ) ? (2 ? )] ? 2 ? 4 ? (t ? )( ? t ? ) ∵ t ? ? 2 ,当且仅当 t ? 1 时 2 2 t 2 t 3 3 t

取等号

-8-

∴当 t ? 1 时, f (t ) 的最大值为 2 .则当点 M 到边 OA 距离为 100 m 时, 地块 OABC 在直路 l 不含游泳池那侧的面积取到最大,最大值为 20000 m 2 . 分 21. (本题满分 14 分)解: (1)因为 f ?( x) ? 令 f ?(1) ? 0 ,即
a ? a ? 2x , x ?1

14

a ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?4 ,经检验: 2

此时, x ? (0 , 1) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增; (1 , ??) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减,
f ( x) 在 x ? 1 处取极大值.满足题意.

. .?.4



a?2 ) a 2 (2) f ?( x) ? , ? a ? 2x ? x ?1 x ?1 a?2 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 ,或 x ? ? ,又 f ( x) 的定义域为 ( ?1 , ??) 2 a?2 ? ?1 ,即 a ? 0 时,若 x ? (?1 , 0) ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增;若 x ? (0 , ①当 ? 2 ?2 x( x ?
??) ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减;

②当 ?1 ? ? 减; 若 x ? (? 递减;

a?2 a?2 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 0 时,若 x ? (?1 , ? ) ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递 2 2

a?2 , 0) ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增;若 x ? (0 , ??) ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 2

a?2 ? 0 ,即 a ? ?2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( ?1 , ??) 内递减, 2 a?2 ? 0 ,即 a ? ?2 时,若 x ? (?1 , 0) ,则 f ?( x) ?0 , f ( x) 递减;若 x ? (0 , ④当 ? 2 a?2 ? ), 2 a?2 则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增;若 x ? (? , ??) ,则 f ?( x ) ? 0 , f ( x) 递减;?. 9 2

③当 ?


??) 上递减, (3) 由 (2) 知当 a ? 1 时,f ( x) 在 [0 , ∴ f ( x) ? f (0) , 即n (l ) 1 x? ? x ?x
1 1 1 1 i ?1 ∵ ? 0 ,∴ ln(1 ? ) ? ? 2 ? 2 , i ? 1 , 2 , 3 , i i i i i
-92



,n,

3 ∴ ln 2 ? ln ? 2

? ln

n ?1 3 ? 2? ? n 4
n ?1 n2

?

n ?1 , n2

3 ∴ ln(n ? 1) ? 2 ? ? 4

?

. .?.14



- 10 -


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