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2014高考数学(理科专用)名师指导历炼题型4-2


1.(交汇新)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底 面 ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k >0).

(1)求证:CD⊥平面 ADD1A1; 6 (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为7,求 k 的值; (3)现将与四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 形状和大小完

全相同的两个 四棱柱拼接成一个新的四棱柱.规定:若拼接成的新四棱柱形状和大 小完全相同, 则视为同一种拼接方案. 问: 共有几种不同的拼接方案? 在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 f(k),写出 f(k) 的解析式(直接写出答案,不必说明理由).

2.(角度新)如图,AB 为圆 O 的直径,点 E,F 在圆 O 上,且 AB∥EF, 矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直, 且 AB =2,AD=EF=1.

(1)求证:AF⊥平面 CBF; (2)设 FC 的中点为 M,求证:OM∥平面 DAF; (3)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为 VF-ABCD,VF-CBE,求 VF-ABCD∶VF-CBE.

[历

炼]

1.命题意图:本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置 关系、柱体的概念及表面积等基础知识,考查空间想象能力、推理论 证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、分类与整合思想、化归

与转化思想.

解析:(1)证明:取 CD 的中点 E,连接 BE. ∵ AB∥DE,AB=DE=3k, ∴ 四边形 ABED 为平行四边形, ∴ BE∥AD 且 BE=AD=4k. 在△BCE 中,∵ BE=4k,CE=3k,BC=5k, ∴ BE2+CE2=BC2, ∴ ∠BEC=90° ,即 BE⊥CD. 又 BE∥AD, ∴ CD⊥AD. ∵ AA1⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴ AA1⊥CD.又 AA1∩AD=A, ∴ CD⊥平面 ADD1A1. → → → (2)以 D 为原点,DA,DC,DD1的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正 方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1), → → → 所以AC=(-4k,6k,0),AB1=(0,3k,1),AA1=(0,0,1).

→ ? ?AC· n=0, 设平面 AB1C 的法向量 n=(x,y,z),则由? → ? ?AB1· n=0,

? ?-4kx+6ky=0, 得? 取 y=2, 得 n=(3,2,-6k). ?3ky+z=0. ?

设 AA1 与平面 AB1C 所成角为 θ,则

? → ? → n? ? AA1· sin θ=|cos〈AA1,n〉|= → = ? ? ?|AA1||n|?
解得 k=1,故所求 k 的值为 1. (3)共有 4 种不同的方案. 5 2 ? 72 k + 26 k , 0 < k ≤ ? 18, f(k)=? 5 2 ? 36 k + 36 k , k > ? 18.

6k 6 =7, 2 36k +13

2.解析:(1)证明:∵ 平面 ABCD⊥平面 ABEF,CB⊥AB, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, ∴ CB⊥平面 ABEF. ∵ AF?平面 ABEF,∴ AF⊥CB. 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AF⊥BF,

∵ CB∩BF=B,∴ AF⊥平面 CBF. (2)证明:设 DF 的中点为 N,连接 AN,MN, 1 则 MN 綊2CD. 1 又 AO 綊2CD,则 MN 綊 AO, 所以四边形 MNAO 为平行四边形, ∴ OM∥AN. 又 AN?平面 DAF,OM?平面 DAF, ∴ OM∥平面 DAF. (3)过点 F 作 FG⊥AB 于 G, ∵ 平面 ABCD⊥平面 ABEF, ∴ FG⊥平面 ABCD, 1 2 ∴ VF-ABCD=3SABCD· FG=3FG. ∵ CB⊥平面 ABEF, 1 11 1 ∴ VF-CBE=VC-BFE=3S△BFE· CB=3· EF · FG · CB = 2 6FG, ∴ VF-ABCD∶VF-CBE=4∶1.


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