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2014 不等式的解法


高三数学复习一

不等式的解法:

学案 1. 一元一次不等式: 知识梳理:

一次函数 y=ax+b(a≠0)

? a ? 0? 的图象

一元一次方程 ax+b=0(a≠0)的 根(函数 y=ax+b 的零点) 一元一次不 等式的解集

ax+b>0

(a>0) ax+b<0(a>0)

思考:若 ax+b>0 的解为 ?x | x ? 1?,你能得到什么结论?

题组 1、基础练习:解不等式 (1).-2x>1 (2) 1 ?

1 x?5 2

(3) x –b<0

(4)x -a -1>0

(5)ax-1>0(a≠0)

(6)ax>b(a≠0)

总结:解一次含参不等式若 x 的系数中包含字母时,须 题组 2.一元一次不等式和一次函数 1.(1)直线 L1:y=k1x+b 与直线 L2:y=k2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于 x 的不等式

k1x+b>k2x 的解为( )

A.x>-1

B.x<-1

C.x<-2

D.无法确定
1

(2)不等式 ax-1>0 的解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 2 ? ,画出对应函数的草图并求 a 的值

变式 1:不等式 ax ? a 2 ? 2 ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1?,画出对应函数的草图并求实数 a 的值。

变式 2:不等式 ax+2a-3>0,当-1<x<1 时恒成立 ,求实数 a 的取值范围。

特别提示:一元一次不等式,一元一次方程,一次函数密切联系,数形结合的思想是解决本 类问题的关键。

作业: 1. 若函数 y ? (1 ? 2m) x ? b 在 R 上是减函数,则 m 的取值范围是(


) .

1 (A) ( ,?? ) 2

1 (B) (?? , ) 2

1 (C) (? ,?? ) 2

1 ( D) (?? ,? ) 2

2. 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 , a ? R .求函数 f ( x ) 的单调区间。 x

2

学案 2 . 一元二次不等式 练习(背面)画出下列函数的图像,并根据图像回答:当 x 取何值时 y>0、y<0、y=0? (1) y ? x2 ? 3x ? 2 1、知识梳理 (2) y ? x2 ? x ? 2

(1)在二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0)中,令 y=0,可得到一元二次方程 “=”改为“>” 或“<”便得到一元二次不等式 因此可结合函数 y= ax2+bx+c (a≠0)的图象与 x 轴的交点,求得一元二次不等式的解集.
(2)二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 其顶点式为
判别式 ? 二 次
2

,若将

(a ? 0) 对称轴

,顶点坐标是 .

;双根式为

(3)二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:

? b 2 ? 4ac
函 数

??0

??0

??0

y ? ax ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
一元二次方程 ax
2

? bx

? c ? 0 ? a ? 0? 的根( 函
数的零点)

一元二次不 等式的解集

? a ? 0? ? a ? 0?

ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0

题组 1、解一元二次不等式: (1) x ? 8
2

(2)、 ? x ? x ? 6 ? 0
2

(3)、 2x ? 3x ? 2 ? 0
2

(4)、-2x2 +4x-5<0

(5) 、 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

2 (6) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .

总结:一元二次不等式的解法步骤:

作业(1) ? x2 ? 3x ? 10 ? 0 ;

(2) 3x 2 ? 6 x ? 2 ? 0

(3) x ? 12
2

3

学案 3 一元二次不等式的应用 题组 1:基础练习
2

一元二次二次函数、二次不等式、二次方程

1、 若 f(x)= x ? bx ? c 与 x 轴无公共点, 不等式 x ? bx ? c >0 的解集是
2

; 不等式 x ? bx ? c ? 0
2

的解集是
2


2

2、 若 f(x)=- x ? bx ? c 与 x 轴无公共点, 不等式 ? x ? bx ? c ? 0 的解集是 的解集是 ;

; 不等式 ? x ? bx ? c <0
2

题组 2. 已知不等式的解集,求参数的取值范围 1:已知关于 x 的不等式 x2 ? mx ? n ? 0 的解集是 {x | ?5 ? x ? 1} ,求实数 m, n 之值.

2.已知不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 4} ,求不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集.

变式训练:(1)已知一元二次不等式 (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 R ,求 m 的取值范围;

(2)若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? mx ? 1 是 R 上的单调递增函数,则实数 m 的取值范围;

(3) 若函数f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? mx ? 1是 R 上的单调递增函数,则实数 m 的取值范围;

(4) 若函数f ( x) ? x ? ax ? x ? 6在(0,1) 内单调递减 , 则实数a的取值范围 ;
3 2

4

变式训练:若函数 y ?

x 2 ? 2kx ? k 中自变量 x 的取值范围是一切实数,求 k 的取值范围.

作业 1、 判断下列结论是否正确( ) 2 (1) 不等式 x2≥4 的解集是{x| x≥±2}; (2)不等式 x -9<0 的解集为{x| x< 3} (3)不等式(x-1)2<2 的解集是 {x 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2} ; (4)设 x1,x2 为方程 ax +bx+c=0 的两个实数跟,且 x1<x2,则不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x x1
2
2

? x ? x2 }

2.方程 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ? 0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( ) 1 1 1 1 A. m ? ? B. m ? ? C. m ? D. m ? ? 且m ? 0 4 4 4 4 3. 下列各一元二次不等式中,解集为空集的是( ) 2 A.(x+3)(x-1)>0 B.(x+4)(x-1)<0 C.x -2x+3<0

D.2x -3x-2>0

2

?1 ? 2x ? ?7, 4. 不等式组 ? 的解集为( ?( x ? 1)( x ? 2) ? 4 A. (-∞,-2]∪[3,4) C. (4,+∞)

) B. (-∞,-2]∪(4,+∞) D. (-∞,-2]∪(4,+∞) )

5. 若 0<a<1,则不等式 ( x ? a)( x ? ) ? 0 的解是( A. a ? x ?

1 a

1 a
2

B.

1 ?x?a a
2

C. x ? 或x ? a

1 a

D. x ? a或x ?

1 a

6、函数 f(x)= 2x +x-3+log3(3+2x-x )的定义域为________.
? 1? 2 7、若不等式 ax +bx-2<0 的解集为?x|-2<x< ?,则 ab=( 4? ?

).

2 8.不等式 x ? 3x ? a ? 0 的解集是 x x ? ?2, 或x ? ?1 ,则实数 a 的值为

?

?

.2

1 1? 9. 若不等式ax2 ? 2 x ? c ? 0的解集是? ?x ? ? x ? ?, a ? ? ? ??, c ? ? ? ? ? ; 2? ? 3

5

学案 4 2014 文 简单的含绝对值不等式和分式不等式的解法 一、绝对值不等式 1.

x 的代数意义

;几何意义

2. 若 x1,x2 对应于轴上两点 A,B,则| x1-x2 |的几何意义: 3. |x|=a 的几何意义: 4.绝对值不等式基本形: |x|<a ? , |x|>a ? ;

推广:|ax+b|<c ?



|ax+b|>c

?


|f(x)|<g(x) ? 基础练习: : .1.口答: x ? 2

, |f(x)|>g(x) ?

x ?2

x ?2

x ? ?2

x ? ?2

2.解下列不等式 |x|>x

x ?3 ?2

3? x ?2

3? x ? x

二、分式不等式: 分式不等式的等价变形:

f ( x) >0 ? g ( x)

;

f ( x) ≥0 ? g ( x)



解下列分式不等式: (1)

x?3 ?0 x?2

(2)

x?3 ?0 x?2

(3)

x?3 ?1 x?2

(4)

1 ?1 x

作业:1. x ? 2

2.

x ?1 ? 2

3.

x?3 ?1 x?2
6

4.

x 2 ? 3x ? 2 ? 0( x ? ?2) x?2

专题:含参数的一元二次不等式 思考:解不等式 ax ? bx ? c ? 0 应考虑那些问题?
2

例题 : 解下列关于 x 的不等式 2 (1) x +(a+1)x+a>0

(2)x -2x+1-a ≥0.

2

2

(2) ax ? 3ax ? 2a ? 0.
2

(3) ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

(4) x ? ax ? 1 ? 0.
2

变式 1) x 2 ? x ? a ? 0

变式2)

ax2 ? x ? 1 ? 0.

总 结 : 二 次 含 参 不 等 式 , 大 致 分 三 类 ① 若 二 次 项 x2 系 数 a 中 含 参 , 则 作业: 须 .②若不等式可因式分解,但对应方程的根 x1,x2 中含有参数,则 7 须 ;③若不等式不能因式分解,而 ? 中含参,则 须 ;

作业:一 : 解下列关于 x 的不等式: (1) ? x2 ? 3x ? 10 ? 0 (2) 3x 2 ? 6 x ? 2 ? 0
(3) x ? 12
2

(4) ax ? 1 ? 0

(5) x2-(3+a)x+3a>0.

(6) x 2 ? ax ? 1 ? a ? 0.

(7)12x2-ax>a2

(7) (1-ax)2<1.

2 (8) x ? 3a ? 0

(9) ax2 ? ax ? x ? 1 ? 0.

8

二: 1.不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是 R,则有(
2



A a ? 0, b2 ? 4ac ? 0 C a ? 0, b2 ? 4ac ? 0
2

B a ? 0, b2 ? 4ac ? 0 D a ? 0, b2 ? 4ac ? 0

2.关于 x 的不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? ?

? 1 1? , ? ,则 a ? b 等于______________. ? 2 3?

? 1? 2 3、若不等式 ax +bx-2<0 的解集为?x|-2<x< ?,则 ab=( 4 ? ?

).

4.不等式 ax +2ax+1< 0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围为________.

2

9

专题:不等式中的恒成立问题 例 1.已知 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 , (1)如果对一切 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x ?[?3,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

例 2.已知不等式 ax +4x+a>1-2x 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2

2

练习 : 已知 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? 6 x, 当x ? [?1,2]时, f ( x) ? m恒成立,求实数 m的取值范围。 3 2

选作:已知 f(x)=x -2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围. 总结:f(x) >恒成立 ? f(x) <0 恒成立 ? . .
10

2

2 如解不等式 ax ? bx ? c ? 0 ,当 a ? 0, b ? 0 时,解一元一次不等式,当 a ? 0 时,不等式是一元二次不等

式,求解要从 a 的正负、根的判别式、及在 ? ? 0 的情况下两根大小这三个方面考虑。

11


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