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高一数学竞赛培训讲座之函数的基本性质


函数的基本性质 基础知识: 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等 等,在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧妙利用函数及其图象的相关性质,可 以使得问题得到简化,从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质,这里不再赘述,请大家参阅高中数学教材及竞赛教材:陕西师范大 学出版社 例题: 1. 已知 f(x)=8+2x-x2 ,如果

g(x)=f(2-x2 ),那么 g(x)( A.在区间(-2,0)上单调递增 C.在(-1,0)上单调递增 ) 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》 、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. B.在(0,2)上单调递增 D.在(0,1)上单调递增 提示:可用图像,但是用特殊值较好一些.选 C 2. 设 f(x)是 R 上的奇函数, 且 f(x+3)=-f(x), 当 0≤x≤ A.-1 B.0 C.1 3 时, f(x)=x, 则 f(2003)=( 2 ) D.2003 解:f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x) ∴ f(x)的周期为 6 f(2003)=f(6×335-1)=f(-1)=-f⑴=-1 选A 3. 定义在实数集上的函数 f(x), 对一切实数 x 都有 f(x+1)=f(2-x)成立, 若 f(x)=0 仅有 101 个不同的实数根,那么所有实数根的和为( A.150 B. 303 2 ) C.152 D. 305 2 3 2 提示:由已知,函数 f(x)的图象有对称轴 x= 于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称. 1 即有一个根就是 3 3 ,其余 100 个根可分为 50 对,每一对的两根关于 x= 对称 2 2 3 利用中点坐标公式,这 100 个根的和等于 ×100=150 2 所有 101 个根的和为 4. 3 303 ×101= .选 B 2 2 实数 x,y 满足 x2 =2xsin(xy)-1,则 x1998 +6sin5 y=______________. 解:如果 x、y 不是某些特殊值,则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程,可以采用配方法 (x-sin(xy))2 +cos2 (xy)=0 ∴ x=sin(xy) 且 cos(xy)=0 ∴ x=sin(xy)=±1 ∴ siny=1 原式=7 5. 4 2 已知 x= 19 ? 99 是方程 x +bx +c=0 的根,b,c 为整数,则 b+c=__________. xsin(xy)=1 解:(逆向思考:什么样的方程有这样的根?) 由已知变形得 x- 19 ? 99 ∴ x2 -2 19 x+19=99 即 x2 -80=2 19 x 再平方得 x4 -160x2 +6400=76x2 即 x4 -236x2 +6400=0 ∴ b=-236,c=6400 b+c=6164 6. 已知 f(x)=ax +bx+c(a>0),f(x)=0 有实数根,且 f(x)=1 在(0,1)内有两个实数根, 求证:a>4. 证法一:由已知条件可得 △=b2 -4ac≥0 f⑴=a+b+c>1 2 2 ① ② f(0)=c>1 0<- 2 ③ ④ b <1 2a b ≥4ac b>1-a-c c>1 b<0(∵ a>0) 于是-b≥2 ac 所以 a+c-1>-b≥2 ac ∴ ( a ? c )2 >1 ∴ a ? c >1 于是 a ? c +1>2 ∴ a>4 证法二:设 f(x)的两个根为 x

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