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肇庆市2015届高中毕业班第一次统一检测(理数)


肇庆市中小学教学质量评估 2015 届高中毕业班第一次统一检测题 数 学(理科)

本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区)、姓名、 试室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B

铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需 要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区 域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3
2

球的表面积公式 S ? 4?R ,其中 R 为球的半径.

?? ?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式 b 线性回归方程 y

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?x , ? ? y ?b , a

? x)

2

其中 x , y 表示样本均值.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 M={1,3,5},则 CU M ? A.? B.{1,3,5} C.{2,4,6} D.{1,2,3,4,5,6}

2 2.设条件 p: a ? 0 ;条件 q: a ? a ? 0 ,那么 p 是 q 的

A.充分条件 C.充要条件 3.

B.必要条件 D.非充分非必要条件

1 ? 3i ? 1? i
A. 1 ? 2i B. ? 1 ? 2i C. 1 ? 2 i D. ? 1 ? 2i

4. 设 a, b, c 是非零向量, 已知命题 p: 若 a ? b ? 0 ,b ? c ? 0 , 则a?c ? 0 ; 命题 q: 若 a // b ,

b // c ,则 a // c . 则下列命题中真命题是
A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q)
1

D. p ? (?q)

开始 5.执行如图所示的程序框图输出的结果是 A.55 C.78 B.65 D.89 z=x+y x=1,y=1

6.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图 是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,则该几何 体的外接球的表面积为 A. 12 3? B. 12? C. 4 3? D. 3? 俯视图 正视图 侧视图

z?50? 是 x=y

否 输出 z

结束 y=z

7.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求 这 3 张卡片不能是同一种颜色,且绿色卡片至多 1 张. 不同取法的种数为 A.484 B.472 C.252 D.232 8.设 a ,b 为非零向量,| b |? 2 | a | ,两组向量 x1 , x 2 , x3 , x4 和 y1 , y 2 , y3 , y 4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排 列 而 成 . 若 x1 ? y1 ? x2 ? y 2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y 4 所 有 可 能 取 值 中 的 最 小 值 为

4 | a |2 ,则 a 与 b 的夹角为
A.

2? 3

B.

? 2

C.

? 3

D.

? 6

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.已知 a ? (1,2) , b ? (4, k ) ,若 a ? b ,则 k ?
2

▲ .

10.若复数 (a ? 3a ? 2) ? (a ? 2)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 ▲ . 11. ( x ? 2) 的展开式中 x 的系数为 ▲ .
6
2

12.不等式 | x ? 2 | ? | x ? 1 |? 5 为 ▲ . 13.若 a ? 0 , b ? 0 ,且

1 1 ? ? ab ,则 a 3 ? b 3 的最小值为 ▲ . a b
P

B C

14.(几何证明选讲)如图,点 P 为圆 O 的弦 AB 上的一点, 连接 PO,过点 P 作 PC?OP,且 PC 交圆 O 于 C. 若 AP=4,
A

O

PC=2,则 PB= ▲

.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

(1)求小李这 5 天的平均投篮命中率; (2)用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率.

16.(本小题满分 12 分) 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AB=2,C 是⊙O 上一点,且 AC=BC, PA ?

6,

PC ? 2 2 , PB ? 10 ,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点.
(1)求证:EF//平面 ABC; (2)求证:EF?平面 PAC; (3)求 PC 与平面 ABC 所成角的大小.

P F E A O C B

17.(本小题满分 14 分) 某商店根据以往某种玩具的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)估计日销售量的众数; (2)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的 日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低 于 50 个的概率; (3)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低 于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列, 期望 E(X)及方差 D(X).
50 100 150 200 250 日销 售量/个 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 频率 组距

3

18.(本小题满分 14 分) 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整新产品生产方案,准备每周(按 40 个 工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 120 台,且冰箱至少生产 20 台. 已知生产这些家电 产品每台所需工时和每台产值如下表: 家电名称 工 时 空调器 彩电 冰箱

1 2
4

1 3
3

1 4
2

产值/千元

问每周应生产空调器、 彩电、 冰箱各多少台, 才能使产值最高?最高产值是多少? (以 千元为单位)

19.(本小题满分 14 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1 A ?底面 ABCD,且 A1 A ? 4 . 梯形 ABCD 的 面积为 6,且 AD//BC,AD=2BC,CD=2. 平面 A1 DCE 与 B1 B 交于点 E. (1)证明:EC// A1 D ; (2)求三棱锥 C ? A1 AB 的体积; (3)求二面角 A1 ? DC ? A 的大小.
A E D B C A1 B1 C1 D1

20.(本小题满分 14 分) 设 a 为常数,且 a ? 1 . (1)解关于 x 的不等式 (a ? a ? 1) x ? 1;
2

(2)解关于 x 的不等式组 ?

?2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 . 0 ? x ? 1 ?

4

数学(理科)参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 A 6 D 7 B 8 C

二、填空题 9.-2 三、解答题 15.(本小题满分 12 分) 10.1 11.240 12.[-2,3] 13. 4 2 14.1

0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 . (4 分) 5 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 3 (小时) (2)小李这 5 天打篮球的平均时间 x ? (5 分) 5
证明:(1)小李这 5 天的平均投篮命中率为 y ?

?? b

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )
i

? (x
i ?1

?

? x)2

(?2) ? (?0.1) ? (?1) ? 0 ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.1 ? 2 ? (?0.1) ? 0.01 (?2) 2 ? (?1) 2 ? 0 2 ? 12 ? 2 2

(7 分)

?x ? 0.5 ? 0.01? 3 ? 0.47 ? ? y ?b a ?x ? a ? ?b ? ? 0.01x ? 0.47 所以 y

(9 分) (10 分)

? ? 0.53 ,故预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 0.53. (12 分) 当 x=6 时, y

16.(本小题满分 12 分) 证明:(1)在?PBC 中,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点,所以 EF//BC. (1 分) 又 BC?平面 ABC,EF?平面 ABC,所以 EF//平面 ABC. (2)因为 AB 是⊙O 的直径,所以 BC?AC. 在 Rt?ABC 中,AB=2,AC=BC,所以 AC ? BC ? 因为在?PCB 中, PB ? 10 , PC ? 2 2 , BC ? 所以 PB ? PC ? BC ,所以 BC?PC.
2 2 2

(3 分) (4 分)

P F E A O C B

2.
2,

(5 分)

(6 分) (7 分)
5

又 PC∩AC=C,所以 BC?平面 PAC.

由(1)知 EF//BC,所以 EF?平面 PAC.

(8 分) (9 分)

(3)解:由(2)知 BC?平面 PAC,PA?平面 PAC,所以 PA?BC. 因为在?PAC 中, PC ? 2 2 , PA ?
2 2 2

6 , AC ? 2 ,
(10 分)

所以 PC ? PA ? AC ,所以 PA?AC. 又 AC∩BC=C,所以 PA?平面 ABC. 所以?PCA 为 PC 与平面 ABC 所成角. 在 Rt PAC 中, tan ?PAC ? 为

(11 分)

? . 3

PA ? ? 3 ,所以?PCA= ,即 PC 与平面 ABC 所成角的大小 AC 3
(12 分)

17.(本小题满分 14 分) 解:(1)依据日销售量的频率分布直方图可得众数为

100 ? 150 ? 125 . (3 分) 2

(2)记事件 A1:“日销售量不低于 100 个”, 事件 A2:“日销售量低于 50 个”,事件 B:“在 未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”. 则 P( A1 ) ? (0.006? 0.004? 0.002) ? 50 ? 0.6 , (4 分) (5 分) (7 分)

P( A2 ) ? 0.003? 50 ? 0.15 ,
P( B) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.15? 2 ? 0.108.
(3)X 的可能取值为 0,1,2,3.
0 P( X ? 0) ? C3 (1 ? 0.6) 3 ? 0.064, 1 P( X ? 1) ? C3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6) 2 ? 0.288 , 2 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 ? (1 ? 0.6) ? 0.432, 3 P( X ? 3) ? C3 ? 0.63 ? 0.216,

(8 分) (9 分) (10 分) (11 分)

分布列为 X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 (12 分) (14 分)
6

因为 X?B(3,0.6),所以期望 E ( X ) ? 3 ? 0.6 ? 1.8 , 方差 D( X ) ? 3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? 0.72 .

18.(本小题满分 14 分) 解:设每周生产空调器 x 台、彩电 y 台,则生产冰箱 120? x ? y 台,产值为 z 千元, 则依题意得 z ? 4 x ? 3 y ? 2(120 ? x ? y) ? 2 x ? y ? 240 , (4 分)

1 1 ?1 ? 2 x ? 3 y ? 4 (120 ? x ? y ) ? 40, ?3x ? y ? 120, ? x ? y ? 100, ? ? ? 且 x,y 满足 ?120 ? x ? y ? 20, 即? ? x ? 0, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0. ? ? y ? 0.
可行域如图所示. 解方程组 ? (10 分)
100

(8 分)

y 120 M y =100- x

?3x ? y ? 120, ? x ? 10, 得? 即 M(10,90). ? x ? y ? 100, ? y ? 90.
(11 分)

让目标函数表示的直线 2 x ? y ? 240 ? z 在可行域上平移,
O

y =120-3 x 40 100 x

可得 z ? 2 x ? y ? 240在 M(10,90)处取得最大值,且

z max ? 2 ?10 ? 90 ? 240 ? 350(千元).

(13 分)

答:每周应生产空调器 10 台,彩电 90 台,冰箱 20 台,才能使产值最高,最高产值是 350 千元. 19.(本小题满分 14 分) (1)证明:因为 BE // AA 1 , AA 1 ? 平面AA 1D ,
D1 B1 C1

(14 分)

A1

BE ? 平面AA1 D ,所以 BE // 平面AA1 D .
因为 BC // AD , AD ? 平面AA 1D ,

(1 分)

BC ? 平面AA1 D ,所以 BC // 平面AA1 D .
又 BE ? BC ? B , BE ? 平面BCE ,

(2 分)

A

E D B C

BC ? 平面BCE ,所以 平面BCE // 平面ADA 1 . (3 分)
又 平面A1 DCE ? 平面BCE ? EC , 平面A1 DCE ? 平面A1 AD ? A1 D , 所以 EC// A1 D . (4 分)

7

(2)解:因为 S 梯形ABCD ? 6 ,BC//AD,AD=2BC,所以 S ?ABC ?

1 1 S ?ACD ? S 梯形ABCD ? 2 . 2 3
(6 分)

所以 VC ? A1 AB ? V A1 ? ABC ?

1 1 8 A1 AS ?ABC ? ? 4 ? 2 ? . 3 3 3

(8 分) (9 分)

(3)解法一:如图,在 ?ADC 中,作 AF ? CD 于 F,连接 A1 F . 因为 A1 A ?底面 ABCD, CD ? 底面ABCD , 所以 CD ? A1 A . 又 A1 A ? AF ? A ,所以 CD ? 面A1 AF . 又 A1 F ? 面A1 AF ,所以 CD ? A1 F . 所以 ?A1 FA 为二面角 A1 ? DC ? A 的平面角. 由(2)得 S ?ACD ? (10 分) (11 分)

A1 B1 C1

D1

A

E D F B C

2S 2 S 梯形ABCD ? 4 ,所以 AF ? ?ACD ? 4 . 3 CD A1 A ? 1, AF

(12 分)

所以 t an ?A1 FA ? 所以 ?A1 FA ?

(13 分)

?
4

,即二面角 A1 ? DC ? A 的大小为

? . 4

(14 分)

解法二:如图,以 D 为坐标原点, DA, DD1 分别为 x 轴和 z 轴正方向建立空间直角坐标系. (9 分) 设 ?CDA ? ? ,BC=a,则 AD=2a.
z A1 B1 C1 D1

a ? 2a 2 ? 2 sin ? ? 6 ,所以 a ? .(10 分) 2 sin ? 4 ,0,4) , 所以 C (2 cos? ,2 sin ? ,0) , A1 ( sin ? 4 ,0,4) . (11 分) 所以 DC ? (2 cos? ,2 sin ? ,0) , DA1 ? ( sin ?
因为 S 梯形ABCD ? 设平面 A1 DC 的一个法向量 n ? ( x, y,1) ,

A x

E D F B C y

4 ? x?4?0 ? x ? ? sin ? ?DA1 ? n ? sin ? 由? ,得 ? ,所以 n ? (? sin ? , cos? ,1) .(12 分) y ? cos ? ? ?DC ? n ? 2 x cos? ? 2 y sin ? ? 0 ?
又平面 ABCD 的一个法向量 m ? (0,01 ),
8

(13 分)

所以 cos ? n, m ??

n?m | n || m |

?

2 ? ,所以二面角 A1 ? DC ? A 的大小为 . 2 4

(14 分)

20.(本小题满分 14 分) 解:(1)令 a ? a ? 1 ? 0 ,解得 a1 ?
2

1? 5 1? 5 ? 0 , a2 ? ? 1. 2 2

(1 分)

①当 a ?

1 1 1? 5 }; 时,解原不等式,得 x ? 2 ,即其解集为 {x | x ? 2 a ? a ?1 a ? a ?1 2
(2 分)

②当 a ?

1? 5 时,解原不等式,得无解,即其解集为? ; 2

(3 分)

③当

1 1 1? 5 }. ,即其解集为 {x | x ? 2 ? a ? 1 时,解原不等式,得 x ? 2 a ? a ?1 a ? a ?1 2
(4 分)

(2)依 2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 (*),令 2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 (**), 可得 ? ? 9(1 ? a) 2 ? 48a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) . ①当 (5 分)

1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时方程(**)无解,解不等式(*),得 x ? R ,故原不等式 3
(6 分)

组的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ; ②当 a ?

1 3(1 ? a ) ? 1 ,解不 时, ? ? 0 , 此时方程(**)有两个相等的实根 x1 ? x 2 ? 3 4
(7 分)

等式(*),得 x ? 1 ,故原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ;

③当 a ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 1 时,? ? 0 , 此时方程 (**) 有两个不等的实根 x3 ? , 3 4

x4 ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) ,且 x3 ? x 4 ,解不等式(*),得 x ? x3 或 x ? x4 . 4
(8 分)

x4 ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 3 ? 3a ? (1 ? 3a) 2 ? (8 ? 24a) 3 ? 3a ? 1 ? 3a ? ? ? 1, 4 4 4
(9 分)

9

x3 ?


3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 3 ? 3a ? ? 1, 4 4

(10 分)

x3 ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 3 ? 3a ? (3 ? 5a) 2 ? 16a 2 3 ? 3a ? (3 ? 5a) ? ? ? 2a , 4 4 4
(11 分)

所以当 a ? 0 ,可得 x3 ? 0 ;又当 x3 ? 0 ,可得 a ? 0 ,故 x3 ? 0 ? a ? 0 ,(12 分) 所以ⅰ)当 0 ? a ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 1 时,原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? }; 3 4
(13 分)

ⅱ)当 a ? 0 时,原不等式组的解集为? . 综上,当 a ? 0 时,原不等式组的解集为? ;当 0 ? a ?

(14 分)

1 时,原不等式组的解集为 3

{x | 0 ? x ?


3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 1 当 a ? 时, 原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ; }; 3 4

1 ? a ? 1 时,原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? 1} . 3

10


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