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第三章 空间向量与立体几何测试卷与答案


第三章 空间向量与立体几何测试卷与答案

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若 A,B,C,D 为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是( → → → → ①AB+2BC+2CD+DC; → → → → → ②2AB+2BC+3CD+3DA+AC; → → → ③AB+C

A+BD; → → → → ④AB-CB+CD+AD. A.①② C.②④ 解析: B.②③ D.①④ → → → → → → → → → ①中,原式=AB+2BD+DC=AB+BD+BD+DC=AD+BC,不符合题意; )

→ → → → → → → → ②中,原式=2(AB+BC+CD+DA)+(AC+CD+DA)=0;③中,原式=CD,不符合题意; → → → → ④中,原式=(AB-AD)+(CD-CB)=0.故选 C. 答案: C 2.已知向量 a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线 l1,l2 的方向向量,若 l1∥l2,则( A.x=6,y=15 C.x=3,y=15 15 B.x=3,y= 2 15 D.x=6,y= 2 )

3 x y 15 解析: ∵l1∥l2,∴a∥b,则 = = ,∴x=6,y= . 2 4 5 2 答案: D 3.在下列四个命题中,真命题为( )

A.已知三向量 a,b,c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一地写成 p=xa+yb+zc B.若 a,b,c 三向量两两不共线,则空间任意一个向量 p 总可以写成 p=xa+yb+zc C.若 a,b,c 不共面,则空间任意一个向量 p 总可以唯一地写成 p=xa+yb+zc D.若 a,b,c 三向量两两不共线,则 xa+yb+zc=0 的充要条件是 x=y=z=0 解析: 对于空间作为基底的三向量 a,b,c 必须要有限制,即不共面,故 C 正确. 答案: C → 4.若两点 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x 的值等于( )

A.19 8 C. 7 → 解析: AB=(1-x,2x-3,-3x+3), → 则|AB|= ?1-x?2+?2x-3?2+?-3x+3?2 = 14x2-32x+19 = 8?2 5 14? ?x-7? +7.

8 B.- 7 19 D. 14

8 → 故当 x= 时,|AB|取最小值. 7 答案: C → → 5.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AB与AC的夹角为( A.30° C.60° B.45° D.90° )

→ → → → → → 解析: AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0),|AB|=3 2,|AC|= 2,AB· AC=3, → → AB· AC 1 → → ∴cos〈AB,AC〉= = , → → 2 |AB||AC| → → ∴〈AB,AC〉=60° . 答案: C 1? → ? 1 ? → 6.已知向量AM=? ?0,1,2?,AN=?-1,2,1?,则平面 AMN 的一个法向量是( A.(-3,-2,4) C.(-3,-2,-4) B.(3,2,-4) D.(-3,2,-4) )

解析: 设平面 AMN 的法向量 n=(x,y,z), → ? ?y=-2, AM=0, ?n· 则? 即? 3 → ? AN=0, ?n· ?x=4z, 令 z=4,则 n=(3,-2,4),由于(-3,2,-4)=-(3,-2,4),可知选项 D 符合. 答案: D → → 7.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3,且 a 分别与AB,AC垂 直,则向量 a 为( A.(1,1,1) C.(-1,-1,-1) ) B.(-1,-1,-1)或(1,1,1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1) z

→ → 解析: 设 a=(x,y,z),AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2), x +y +z =3, ? ? 则?-2x-y+3z=0, ? ?x-3y+2z=0, 答案: B 8.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC,AD → → 的中点,则AE· AF的值为( A. 3 2 a 4 ) 1 B. a2 2 D.a2
2 2 2

解得 a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).

1 C. a2 4 → 1 → → 解析: 如下图,AE= (AB+AC), 2

→ 1→ AF= AD, 2 → → 1 → → → → AE· AF= (AB· AD+AC· AD) 4 1 1 = (a2cos 60° +a2cos 60° )= a2. 4 4 答案: C 9. 已知三棱锥 S-ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC, SA=3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( A. C. 3 4 7 4 B. 5 4 )

3 D. 4

解析: 建系如图,则 S(0,0,3),A(0,0,0),B( 3,1,0),C(0,2,0).

→ → → ∴AB=( 3,1,0),SB=( 3,1,-3),SC=(0,2,-3).

设面 SBC 的法向量为 n=(x,y,z). → ? SB= 3x+y-3z=0, ?n· 则? → ?n· SC=2y-3z=0. ? 令 y=3,则 z=2,x= 3,∴n=( 3,3,2). → |n· AB| 3+3 3 设 AB 与面 SBC 所成的角为 θ,则 sin θ= = = . → 4×2 4 |n||AB| 答案: D 10. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 若∠BAC=90° , AB=AC=AA1, 则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( A.90° C.45° ) B.60° D.30°

解析: 建系如图,设 AB=1,则 B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(0,1,1),A(0,0,0).

→ → ∴BA1=(-1,0,1),AC1=(0,1,1). → → BA1· AC1 → → ∴cos〈BA1,AC1〉= → → |BA1||AC1| = 1 1 = . 2· 2 2

→ → ∴〈BA1,AC1〉=60° ,即异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 60° . 答案: B 11.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所 成的锐二面角的余弦值为( 1 A. 2 C. 3 3 ) 2 B. 3 D. 2 2

解析: 建立如图所示的坐标系,设正方体的棱长为 1,

1 → → 1,1, ?. 则DA1=(1,0,1),DE=? 2? ? 设平面 A1DE 的法向量 n1=(x,y,z), x+z=0, → ? ? DA1=0, ?n1· ? 则? ∴? z → ? ? DE=0, ?n1· ?x+y+2=0. x=-z, ? ? 解得? z 令 z=1, y= . ? 2 ? 1 ? ∴n1=? ?-1,2,1?. 平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1), ∴cos〈n1,n2〉= 1 2 = . 3 1 1+ +1· 1 4

答案: B 12. 如图, 在空间直角坐标系中, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 ABC1D1 的距离为( )

1 A. 2 C. 2 2

B. D.

2 4 3 2

1 1 ? → 解析: 连接 A1D, 则 O? C1(0, 1,1). 易知平面 ABC1D1 的一个法向量 n=DA1 ?2,2,1?, =(1,0,1),与之同向的单位向量为 n0=? 2 2? , ,0, 2 2 ? ?

2 → ∴d=|C1O· n0|= . 4 答案: B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.如图所示,在几何体 A-BCD 中,AB⊥面 BCD,BC⊥CD,且 AB=BC=1,CD= 2,点 E 为 CD 中点,则 AE 的长为________.

→ → → → 解析: AE=AB+BC+CE, → → → ∵|AB|=|BC|=1=|CE|, → → → → → → 且AB· BC=AB· CE=BC· CE=0. → → → → → 又∵AE2=(AB+BC+CE)2,∴AE2=3,∴AE 的长为 3. 答案: 3

14.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 夹角的正弦值是________. 解析: 如图,以 DA,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正 → 方体的棱长为 1,则 A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),易证AC1是平面 A1BD 的一个法向量.

→ → AC1=(-1,1,1),BC1=(-1,0,1). 1+1 6 → → cos〈AC1,BC1〉= = . 3× 2 3 所以 BC1 与平面 A1BD 夹角的正弦值为 答案: 6 3 6 . 3

15. 已知 a=(2, -1,3), b=(-1,4, -2), c=(7,5, λ), 若 a, b, c 共面, 则 λ=________. 解析: 由已知可发现 a 与 b 不共线,由共面向量定理可知,要使 a,b,c 共面,则必 存在实数 x,y,使得 c=xa+yb,

2x-y=7 ? ? 即?-x+4y=5 ? ?3x-2y=λ

? ? 17 ,解得?y= 7 ? ?λ=65 7

33 x= 7

.

答案:

65 7

16.如图,在空间四边形 ABCD 中,AC 和 BD 为对角线,G 为△ABC 的重心,E 是 BD → → → → 上一点,BE=3ED,以{AB,AC,AD}为基底,则GE=________.

→ → → 解析: GE=AE-AG → → 2 → → 1→ 1 → → =AD+DE- AM=AD+ DB- (AB+AC) 3 4 3 → 1→ 1 → 1→ 1 → =AD+ AB- AD- AB- AC 4 4 3 3 1 → 1→ 3→ =- AB- AC+ AD. 12 3 4 1 → 1→ 3→ 答案: - AB- AC+ AD 12 3 4 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) → 17. (本小题满分 12 分)四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形, PO⊥平面 OABC, 设OA=a, → → → → → → OC=b,OP=c,E,F 分别是 PC 和 PB 的中点,用 a,b,c 表示BF,BE,AE,EF.

→ 1→ 1 → → 解析: BF= BP= (BO+OP) 2 2 1 1 1 1 = (c-b-a)=- a- b+ c. 2 2 2 2

1→ → → → BE=BC+CE=-a+ CP 2 1 → → =-a+ (CO+OP) 2 1 1 =-a- b+ c. 2 2 → → → AE=AP+PE → → 1 → → =AO+OP+ (PO+OC) 2 1 =-a+c+ (-c+b) 2 1 1 =-a+ b+ c. 2 2 → 1→ 1→ 1 EF= CB= OA= a. 2 2 2 18.(本小题满分 12 分)如图,在空间直角坐标系中,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是 以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,在线段 AA1 上 是否存在点 F,使 CF⊥平面 B1DF,若存在,求出 AF;若不存在,说明理由.

解析: 假设存在 F 点,使 CF⊥平面 B1DF, 不妨设 AF=b,则 F( 2a,0,b), → → CF=( 2a,- 2a,b),B1F=( 2a,0,b-3a), 2 2 → B1D=? a, a,0?. 2 ?2 ? → → ∵CF· B1D=a2-a2+0=0, → → → → ∴CF⊥B1D恒成立.由B1F· CF=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a2=0,得 b=a 或 b=2a. ∴当 AF=a 或 AF=2a 时,CF⊥平面 B1DF. 19.(本小题满分 12 分)三棱柱 OAB-O1A1B1 中,平面 OBB1O1⊥平面 OAB,∠O1OB= 60° ,∠AOB=90° 且 OB=OO1=2,OA= 3.求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值.

解析: 以 O 为原点,分别以直线 OA,OB 为 x 轴、y 轴,过 O 点且与平面 AOB 垂直 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz, 则 O1(0,1, 3),A( 3,0,0),A1( 3,1, 3),B(0,2,0), → → A1B=(- 3,1,- 3),O1A=( 3,-1,- 3). 设 A1B 与 AO1 所成的角为 α,则 → → |A1B· O 1A | 1 cos α= = . 7 → → |A1B||O1A| 1 故异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为 . 7 20.(本小题满分 12 分)如图,在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,∠BAD=90° , AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.

(1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值. 解析: (1)证明:易知,AB,AD,AA1 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD, AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设 AB=t,则相关各点的坐标为 A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).

→ → → 从而B1D=(-t,3,-3),AC=(t,1,0),BD=(-t,3,0). → → 因为 AC⊥BD,所以AC· BD=-t2+3+0=0. 解得 t= 3或 t=- 3(舍去). → → 于是B1D=(- 3,3,-3),AC=( 3,1,0). → → → → 因为AC· B1D=-3+3+0=0,所以AC⊥B1D, 即 AC⊥B1D. → → → (2)由(1)知,AD1=(0,3,3),AC=( 3,1,0),B1C1=(0,1,0). 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量,

→ ? AC=0, ?n· ? 3x+y=0, 则? 即? → ?3y+3z=0. ? AD1=0, ?n· 令 x=1,则 n=(1,- 3, 3). 设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则 → ? n· B1C1 ? 3 21 → sin θ=|cos〈n,B1C1〉|=? = = . 7 → ? 7 |B1C1|? ?|n|· 即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 21 . 7

21. (本小题满分 12 分)在三棱锥 S-ABC 中, △ABC 是边长为 4 的正三角形, 平面 SAC ⊥平面 ABC,SA=SC=2 3,M,N 分别为 AB,SB 的中点. (1)证明:AC⊥SB; (2)求二面角 N-CM-B 的余弦值. 解析: (1)证明:取 AC 中点 O,连接 SO,BO,由于 SA=SC, ∴SO⊥AC.又∵△ABC 为正三角形, ∴BO⊥AC. 又∵BO∩SO=O,且 BO,SO 在平面 SBO 上,∴AC⊥平面 SBO,∴AC⊥SB. (2)∵平面 SAC⊥平面 ABC,SO⊥AC, ∴SO⊥平面 ABC,∴SO⊥OB. 以点 O 为原点, OA, OB, OS 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(2,0,0), B(0,2 3,0),S(0,0,2 2),C(-2,0,0).

∴M(1, 3,0),N(0, 3, 2), → → ∴MN=(-1,0, 2),MC=(-3,- 3,0). 设平面 MNC 的法向量为 n=(x,y,z), → ? MN=0, ?n· 则? → ? MC=0, ?n·

?-x+ 2z=0, 即? ?-3x- 3y=0,

?x= 2z, ∴? 取 z=1,得 n=( 2,- 6,1). ?y=- 3x.

→ 又OS=(0,0,2 2)是平面 BCM 的法向量,易知所求二面角 θ 为锐角, → |n· OS| 2 2 1 ∴cos θ= = = , → 3×2 2 3 |n||OS| 1 ∴二面角 N-CM-B 的余弦值为 . 3 22.(本小题满分 14 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中 点,AA1=AC=CB= 2 AB. 2

(1)求证:BC1∥平面 A1CD. (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值. 解析: (1)证明:连接 AC1,交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点.又 D 是 AB 的中点, 连接 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD,所以 BC1∥平面 A1CD. (2)由 AC=CB= 2 AB,得 AC⊥BC. 2

→ 以 C 为坐标原点,CA的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz. → → → 设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA1=(2,0,2).

设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量, → ? ? CD=0, ?n· ?x1+y1=0, 则? 即? ? → ?2x1+2z1=0. ? CA1=0, ?n· 可取 n=(1,-1,-1). → ? CE=0, ?m· 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,则? 可取 m=(2,1,-2). → ? CA1=0, ?m·

n· m 3 6 从而 cos〈n,m〉= = ,故 sin〈n,m〉= . |n||m| 3 3 即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 6 . 3


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