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2015专题三:三角函数(含11-14高考题)


2015 三角函数复习专题
一、考纲解读 1.了解任意角的概念 ,了解弧度制的概念, 能进行弧度与角度的互化 ; 理解任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切)的定义. ? 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ?? , ? ? ? 的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同 2 sin x ? tan x . 角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, cos x

3.能画出 y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数 在区间[0,2 ? ]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间 ? ? (- , )内的单调性. 2 2 4.了解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的物理意义;能画出 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象,了解 A, ? , ? 对函数 图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式 ;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正 弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;能运 用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要 求记忆). 二、考点分析 从近几年高考试题来看, 对三角函数的考查: 一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公 式的应用,一般占两个小题;二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、 y ? A sin(? x ? ? ) 的性 质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.
三、核心知识点归纳: 1.三角函数公式

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
1

终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90 , k ? ?

?

?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

?
? 终边所落在的区域. n
l . r

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方 n
*

起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.

6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? 8、若扇形的圆心角为 ?

?
180

,1 ? ?

? 180 ? ? ? 57.3 . ? ? ?
1 1
2

, S ? lr ? ? r ??为弧度制? ,半径为 r 则 l ? r ? , 2 2



9、 设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? , 它与原点的距离是 r r ? 则 sin ? ?

?

x2 ? y 2 ? 0 ,

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin
2
2 2 ? ? cos2 ? ? 1 ;1 ? tan ? ? sec ? ;

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ? tan ? ? ?

. (3) tan ? ? cot ? ? 1 ; cos ? ? sec ? ? 1 ; sin ? ? csc ? ? 1 13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限. y P T v O M A x

? 5? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? ?? ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
口诀:奇变偶不变,符号看象限.诱导公式中常如此变形。
2

A+B A B C π C A+B=π-C,2A+2B=2π-2C, + + = 等,于是可得 sin(A+B)=sin C,cos =sin 2 2 2 2 2 2 重要公式 ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos ⑶ tan 2? ?
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ( cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) . 2 2

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

公式的变形:

tan? ? tan? ? tan( ? ? ? ) ? ?1 ? tan? tan? ? ,

cos

?
2

??

1 ? cos? ? 1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ; tan ? ? ? ? 2 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?
? . ?

辅助角公式

? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

sin ? ?

2 tan

?
2 , cos? ?
2

1 ? tan2 1 ? tan
2

? ?
2 , tan? ? 2

2 tan

?
2 万能公式其实是二倍角公式的另外一种变形:
2

1 ? tan

?

2

1 ? tan

?

2

14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ?

的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的 图 象 ; 再 将 函 数 y ? sin ? x 的 图 象 上 所 有 点 向 左 ( 右 ) 平 移

? 个单位长度,得到函数 ?

3

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横
坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?
; 当 x ? x2 时 , 取 得 最 大 值 为 ymax , 则

函 数 y ? ? sin?? x ? ? ? ? B , 当 x ? x1 时 , 取 得 最 小 值 为 ymin

??

1 ? ym a x ? y 2

min

? , ? ? ? ymax ? ymin ? ,
y ? sin x

1 2

? ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2

★★★2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域

??1,1?


??1,1?
? k ? ??
当 x ? 2k?

R

x ? 2 k? ?

?
2

? k ??? 时,
既无最大值也无最小值

时, 最值 当x

ymax ? 1 ;
? 2 k? ?

ymax ? 1 ;
当x

?
2

? 2 k? ? ?

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周期性 奇偶性

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数 在 上

2?
奇函数

?
奇函数



? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

?2k? ? ? ,2k? ?? k ???
是 增 函 数 ; 在 在 ? k?

单调性

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.
4

? ?

?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 对称性 对称轴

? k? ,0?? k ???
?
2

对称中心

对称中心

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

x ? k? ?

?k ? ??

对称轴 x ? k?

? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

★★3.正、余弦定理:在 ?ABC 中有: ①正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C
a ? ?sin A ? 2 R ? b ? ?sin B ? 2R ? c ? ?sin C ? 2 R ?

? a ? 2 R sin A ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

?

注意变形应用

②面积公式: S ?ABC ?

1 1 1 abs sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

1 S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径) 2

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 2 2 2 ③余弦定理: ? ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ?

?

? b2 ? c2? a 2 A? ?c o s 2bc ? a2 ? c 2? b 2 ? B? ?c o s 2ac ? ? a2 ? b 2? c 2 C? ?c o s 2ab ?

在三角形中,大角对大边,大边对大角;即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 三、例题集锦: 考点一:三角函数的概念 1.如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, P、Q 是 单 位 圆 上 的 两 点 , O 是 坐 标 原 点 , ?A O P?
Y Q

?
6


O A

P X

?AOQ ? ? , ? ? ?0, ? ? .
s? ? (1)若 Q ( , ) , 求 c o ?
3 4 5 5

? ?

??

(2)设函数 ? 的值; 6?

f ?? ? ? OP ? OQ ,求 f ?? ? 的值域.

π 3 2. (2014· 天津卷) 已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos2x+ ,x∈R. 4 ? 3? (1)求 f(x)的最小正周期;
5

π π (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?

考点二:三角函数的图象和性质 3.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? ) 部分图象如图所示. (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ,求函数 g ( x) 在区间 x ? [0, ] 上的最大值和最小值.

? 2

? 2

y
1
?? 3

o
?1

? 6

x

考点三、四、五:同角三角函数的关系、 诱导公 4.已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

式、三角恒等变换

?
6

) ? cos 2 x .(1)若 f (? ) ? 1 ,求 sin ? ? cos ? 的值;

(2)求函数 f ( x) 的单调增区间.(3)求函数的对称轴方程和对称中心

5.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2cos 求 f ( ) 的值; (Ⅱ)当

2

,相邻两条对称轴之间的距离等于 ? x ( x ? R,? ? 0 )

? . (Ⅰ) 2

? 4

? ?? x ? ?0, ? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值及相应的 x 值. ? 2?

6、已知函数 f ( x) ? 2sin x ? sin(

? ? x) ? 2sin 2 x ? 1 ( x ? R) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f (

π π x0 2 x0 ? ( ? , ) ,求 cos 2 x0 的值. )? , 4 4 2 3

7、 (本小题共 13 分)已知 sin( A ?

π π π 7 2 )? , A?( , ) . 4 2 4 10

6

(Ⅰ)求 cos A 的值;

(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

考点六:解三角形
8.已知△ ABC 中, 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设向量 m ? (cos A, cos 2 A) , n ? ( ? 小值时, tan( A ?

?
4

12 , 1) ,求当 m ? n 取最 5

2

) 值.

0

0

9.已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? sin x cos x ?

3 ?x ? R ? . 2
7 0 3 1

? ? (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)若 x ? (0, ) ,求 f ( x) 的最大值; (Ⅲ)在 ?ABC 中,若 A ? B , 4 2
6

f ( A) ? f ( B ) ?

BC 1 ,求 的值. AB 2

10、在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 分,且满足 (Ⅱ)若 a ? 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值.

2c ? b cos B ? . (Ⅰ)求角 A 的大小; a cos A

11、在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? 的形状

3 x x x 3 sin cos ? cos 2 ,当 f ( B ) 取最大值 时,判断△ ABC 2 2 2 2

12、. 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 tan B ? (Ⅰ)求 tan A ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

1 1 , tan C ? ,且 c ? 1 . 2 3

13 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,且 4sin (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值.
7

2

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2

1 14. [2014· 全国卷] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan A= ,求 B. 3

三角函数最值问题类型归纳 1.y=asinx+bcosx 型的函数 特点是含有正余弦函数,并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。

应用课本中现成的公式即可:y=

sin(x+φ ),其中 tanφ =



例 1.当-

≤x≤

时,函数 f(x)=sinx+

cosx 的(



A、最大值是 1,最小值是-1 C、最大值是 2,最小值是-2

B、最大值是 1,最小值是D、最大值是 2,最小值是-1

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x 型的函数 例 2.求 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最小值,并求出 y 取最小值时的 x 的集合。 3.y=asin2x+bcosx+c 型的函数 例 3.求函数 y=cos2x-2asinx-a(a 为常数)的最大值 M。

4.y=

型的函数

例 4.求函数 y=

的最大值和最小值。

5.y=sinxcos2x 型的函数。

例 5.若 x∈ (0,π),求函数 y=(1+cosx)· sin

的最大值。

6.含有 sinx 与 cosx 的和与积型的函数式。 例 6.求 y=2sinxcosx+sinx+cosx 的最大值。

2012-2014 年三角函数高考题
8

(12 年) 9、已知 w>0,函数 f ( x) ? sin( ?x ? (A) [ , ]

1 5 2 4

(B) [ , ]

1 3 2 4

? ) 在 ( , ? ) 单调递减,则 ? 的取值范围是 2 4 1 (C) ( 0, ] (D) (0,2] 2

?

17、已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, a cosC ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。 (Ⅰ)求 A(Ⅱ)若 a ? 2 , △ ABC 的面积为 3 ,求 b , c 。 (13年) 15、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______ 17、(本小题满分12分) 如图,在△ ABC中,∠ ABC=90° ,AB= 3 ,BC=1,P为△ ABC内一点,∠ BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠ APB=150° ,求 tan∠ PBA P A B C

1+sin β π π (14 年)8.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设 α∈?0, ?,β∈?0, ?,且 tan α = ,则( 2? 2? ? ? cos β π A.3α -β= 2 B.3α +β= π π C.2α -β= 2 2 π D.2α +β = 2 8.C

)

16.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)· (sin A -sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________.16. 3 1.如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, P、Q 是 单位圆上的两点, O 是坐标原点, ?AOP ? (1)若 Q ( , ) ,求 cos? ? ? ★★单位圆中的三角函数定义 解: (Ⅰ)由已知可得 cos ? ?

?
6

, ?AOQ ? ? , ? ? ?0, ? ? .

3 4 5 5

? ?

??

(2)设函数 f ?? ? ? OP ? OQ ,求 f ?? ? 的值域. ? 的值; 6?

3 4 , sin ? ? ?????2 分 5 5

Y Q P X O A

?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? cos? cos ? sin ? sin ???3 分 6? 6 6 ?
3 3 4 1 ? ? ? 5 2 5 2 ????4 分 3 3?4 ? 10 ?
(Ⅱ) f

?? ? ? OP ? OQ

? ?? ? ? ? cos ,sin ? ? ? cos ? ,sin ? ? ???6 分 6 6? ?
9

?

3 1 cos? ? sin ? ??????7 分 2 2

?? ? ? sin ? ? ? ? ??????8 分 3? ?
? ?[0, ? ) ?? ?
?

?

? 4? ? [ , ) ???9 分 3 3 3

3 ?? ? ? sin ? ? ? ? ? 1 ????12 分 2 3? ?

? 3 ? ? ? f ?? ?的值域是 ? ? 2 ,1? ????????????13 分 ? ?
π 3 2.[2014· 天津卷] 已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos2x+ ,x∈R. 4 ? 3? (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4? 解:(1)由已知,有 3 1 3 f(x)=cos x·? sin x+ cos x?- 3cos2x+ 4 2 ?2 ? 1 3 3 = sin x·cos x- cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π 1 = sin?2x- ?, 2 ? 3? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π (2) 因 为 f(x) 在 区 间 ?- ,- ? 上 是 减 函 数 , 在 区 间 12? ? 4 π π 1 1 1 =- ,f?- ?=- ,f? ?= , 4 ? 12? 2 ?4? 4 π π 1 1 所以函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 , 最小值为- . 4 2 ? 4 4?

y
1

?-π ,π ?上是增函数,f?-π ? ? 12 4 ? ? 4?
?? 3

o
?1

? 6

x

3.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? ) 部分图象如图所

? 2

示. (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析

式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ,求函数 g ( x) 在区间 x ? [0, ] 上的最大值和最小值. 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1 , 所以 T ? ? .

? 2

T 2? ? ? ? ? ? , 2 3 6 2

??2 分
10

所以 ? ? 2 . 当x ?

? ? 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 6 6 ? ? ,所以 ? ? . 2 6
??5 分

因为 | ? |?

所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ? sin(2 x ?

? ). 6

???6 分

?
6

) ? cos 2 x ? sin 2 x cos
??10 分

? ? ? cos 2 x sin ? cos 2 x 6 6

?

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 6 2 2 ? ? ? 5? ,所以 ? ? 2 x ? ? . 2 6 6 6

因为 0 ? x ? 当 2x ? 当 2x ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, g ( x) 有最大值,最大值为1 ; 3 6 2 1 ? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 有最小值,最小值为 ? .??13 分 2 6 6

T 2? 1 ? 相邻平衡点(最值点)横坐标的差等; | ? |? ; ? ? ? ymax ? ymin ? ;φ ----代点法 2 T 2
4 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? cos 2 x .(1)若 f (? ) ? 1 ,求 sin ? ? cos ? 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调增区

间.(3)求函数的对称轴方程和对称中心 解: (1) f ( x) ? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

?

1 ? cos 2 x ...3 分(只写对一个公式给 2 分) 2

?

3 1 sin 2 x ? 2 2 3 3

....5 分

由 f (? ) ? 1 ,可得 sin 2? ?

......7 分

所以 sin ? ? cos ? ?

1 sin 2? 2

......8 分

?

3 6

.......9 分

(2)当 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
2

? 2k? , k ? Z ,换元法

..11

即 x ? [?

?
4

? k? ,

?
4

? k? ], k ? Z 时, f ( x) 单调递增.

所以,函数 f ( x) 的单调增区间是 [?

?
4
2

? k? ,

?
4

? k? ], k ? Z

... 13 分

5.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2cos

?x
11

( x ? R,? ? 0 ) ,相邻两条对称轴之间的距离等于

?
2

. (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)当

? 4

? ?? x ? ?0, ? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值及相应的 x 值. ? 2?
解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2? x ? cos 2? x ? 1 ? 因为

? 2 sin(2? x ? ) ? 1 . ? 意义 4

??4 分 ??6 分 ???7 分

T ? ? ,所以 T ? ? , ? ? 1 . 2 2 ? ? 所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 .所以 f ( ) ? 0 4 4 ? (Ⅱ) f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4
当 x ? ?0, 所以 当 2 x ?

? ?

? ? 3? ?? ? ? 2 x ? ? 时, , 4 4 4 2? ?

无范围讨论扣分

?? ? ? ? ,即 x ? 时, f ( x)max ? 2 ?1 , ?10 分 8 4 2 ? ? 当 2 x ? ? ? ,即 x ? 0 时, f ( x)min ? ?2 . ???13 分 4 4 ? 2 6、已知函数 f ( x) ? 2sin x ? sin( ? x) ? 2sin x ? 1 ( x ? R) . 2
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f (

π π x0 2 x0 ? ( ? , ) ,求 cos 2 x0 的值. )? , 4 4 2 3
??????????????1 分 ??????????????2 分 和差角公式逆用 ??????3 分

解: f ( x) ? 2sin x ? cos x ? 2sin 2 x ?1

? sin 2 x ? cos 2 x

π ? 2 sin(2 x ? ) . 4
(Ⅰ)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ?

2π ? π. ??????????????5 分 2 π π π 令 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ( k ? Z) , ??????????????6 分 2 4 2 3π π 3π π ≤ x ≤ kπ ? . ≤ 2 x ≤ 2kπ ? . 所以 2kπ ? 即 kπ ? 8 8 4 4 3π π , kπ ? ] (k ? Z) . ?????8 分 所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ kπ ? 8 8

(Ⅱ)解法一:由已知得 f ( 两边平方,得 1 ? sin 2 x0 ?

x0 2 ) ? sin x0 ? cos x0 ? 2 3 ,
2 9
同角关系式

???????9 分

所以 sin 2 x0 ? ?
12

7 ????11 分 9

因为 x0 ? ( ?

π π ? π , ) ,所以 2 x0 ? ( ? , ) . 4 4 2 2

所以 cos 2 x0 ? 1 ? (? ) ?
2

7 9

4 2 . 9

??????????????13 分

解法二:因为 x0 ? ( ?

π π π π , ) ,所以 x0 ? ? (0, ) . 4 4 4 2

??????????9 分

又因为 f (

x0 x π π 2 ) ? 2 sin(2 ? 0 ? ) ? 2 sin( x0 ? ) ? 2 2 4 4 3 ,
π 1 )? . 4 3
??????????????10 分

得 sin( x0 ?

所以 cos( x0 ? ) ? 1 ? ( ) ?
2

π 4

1 3

2 2 . 3

??????????????11 分

所以, cos 2 x0 ? sin(2 x0 ?

?

π π π ) ? sin[2( x0 ? )] ? 2sin( x0 ? ) cos( x0 ? ) 2 4 4 4
诱导公式的运用

1 2 2 4 2 . ? 2? ? ? 3 3 9

7、 (本小题共 13 分)已知 sin( A ? (Ⅰ)求 cos A 的值;

π π π 7 2 , A?( , ) . )? 4 2 4 10

(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

解: (Ⅰ)因为

π π π 7 2 ? A ? ,且 sin( A ? ) ? , 4 2 4 10 π π 3π π 2 ? A? ? , cos( A ? ) ? ? . 2 4 4 4 10

所以

角的变换因为 cos A ? cos[( A ? ) ? ] ? cos( A ? ) cos

π 4

π 4

π 4

π π π ? sin( A ? )sin 4 4 4
???6 分

??

3 2 2 7 2 2 3 ? ? ? ? . 所以 cos A ? . 5 10 2 10 2 5
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ? 所以 f ( x) ? cos 2 x ?

4 . 5

5 sin A sin x 此结构转化为二次函数值域问题 2

1 3 ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 2 2

13

因为 sin x ?[?1,1] ,所以,当 sin x ?

3 1 时, f ( x ) 取最大值 ; 2 2

当 sin x ? ?1 时, f ( x ) 取最小值 ?3 . 所以函数 f ( x ) 的值域为 [ ?3, ] .

3 2

8.已知△ ABC 中, 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设向量 m ? (cos A, cos 2 A) , n ? ( ? 小值时, tan( A ?

?
4

12 , 1) ,求当 m ? n 取最 5

2

) 值.

0

0

解: (Ⅰ)因为 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B , 和差角公式逆用
7

所以 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin(? ? A) ? sin A . 因为 0 < A < p ,所以 sin A ? 0 .所以 cos B ? 因为 0 < B < p ,所以 B ? (Ⅱ)因为 m ? n ? ?

0

??? 3 分 ??? 5 分

3

?
3

1 . 2

1

6

.

????7 分

12 cos A ? cos 2 A , ??????? 8 分 5 12 3 2 43 2 所以 m ? n ? ? cos A ? 2 cos A ? 1 ? 2(cos A ? ) ? . ?10 分 5 5 25 3 所以当 cos A ? 时, m ? n 取得最小值. 5
此时 sin A ?

4 4 (0< A< p ) ,于是 tan A ? . 同角关系或三角函数定义??12 分 5 3

所以 tan( A ?

?
4

)?

tan A ? 1 1 ? . tan A ? 1 7

????? 13 分

9.已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? sin x cos x ?

3 ?x ? R ? . 2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)若 x ? (0,

? 4

?
2

) ,求 f ( x) 的最大值; (Ⅲ)在 ?ABC 中,若 A ? B ,

f ( A) ? f ( B ) ?

BC 1 ,求 的值. AB 2

解: (Ⅰ) f ( ) ?

?

4

3 sin 2

?
4

? sin

?
4

cos

?
4

?

3 1 ? . 2 2

4分

(Ⅱ) f ( x) ?

3 (1 ? cos2 x) 1 3 ? sin 2 x ? 2 2 2

?

? 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) . 3 2 2
14

?6 分

?0 ? x ?

?
2



??

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? . 3

?当 2 x ?

?
3

?

?
2

时,即 x ?

5? 时, f ( x) 的最大值为 1 .?8 分 12

(Ⅲ)? f ( x ) ? sin( 2 x ?

? ), 3 ? ? 5? ? 2x ? ? . 3 3 3

若 x 是三角形的内角,则 0 ? x ? ? ,∴ ? 令 f ( x) ?

1 ,得 2

? 1 ? ? ? 5? sin(2 x ? ) ? ? 2 x ? ? 或2 x ? ? ,此处两解 3 2 3 6 3 6
解得 x ?

? 7? 或x ? . 12 4

??10 分

由已知, A , B 是△ ABC 的内角, A ? B 且 f ( A) ? f ( B ) ?

1 , 2

? 7? ,B ? , 4 12 ? ∴C ? ? ? A ? B ? . 6
∴A?

?11 分

? 2 sin BC sin A 4 ? 2 ? 2. 又由正弦定理,得 ? ? 1 AB sin C sin ? 6 2
10、 (本小题共 13 分)

??13 分

在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 分,且满足 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值. 解: (Ⅰ)因为

2c ? b cos B ? . a cos A

2c ? b cos B ? , a cos A

所以 (2c ? b) ? cos A ? a ? cos B 由正弦定理,得 (2sin C ? sin B) ? cos A ? sin A ? cos B .边化角 整理得 2sin C ? cos A ? sin B ? cos A ? sin A ? cos B . 所以 2sin C ? cos A ? sin( A ? B) ? sin C . 在△ ABC 中, sin C ? 0 . 所以 cos A ? (Ⅱ)由余弦定理 cos A ?

1 ? , ?A ? . 2 3

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,a ? 2 5 . 2bc 2
15

所以 b ? c ? 20 ? bc ? 2bc ? 20
2 2

均值定理在三角中的应用 取等条件别忘

所以 bc ? 20 ,当且仅当 b ? c 时取“=” . 所以三角形的面积 S ?

1 bc sin A ? 5 3 . 2
????????13 分

所以三角形面积的最大值为 5 3 .

11、. 在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? 的形状. 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 b2+c2-a2=bc,由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得 cosA=

3 x x x 3 sin cos ? cos 2 ,当 f ( B ) 取最大值 时,判断△ ABC 2 2 2 2

1 .(余弦定理或公式必须有一个,否则扣 1 分) ??3 分 2
????????4 分 ????????5 分

∵ 0<A<π , (或写成 A 是三角形内角) ∴A?

? . 3

(Ⅱ) f ( x) ?

x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2

?7 分 ??9 分

? 1 ? sin( x ? ) ? , 6 2
∵A?

? 3

∴ B ? (0,

2? ) 3



? ? 5? ? B? ? 6 6 6

(没讨论,扣 1 分)?10 分

? 3 ? ? ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 . ?11 分 3 2 6 2 ? ? 又∵ A ? , ∴C ? ∴△ ABC 为等边三角形. ??13 分 3 3
∴当 B ? 12、. (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 tan B ? (Ⅰ)求 tan A ; 解: (I)因为 tan B ? (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

1 1 , tan C ? ,且 c ? 1 . 2 3

1 1 tan B ? tan C , tan C ? , tan( B ? C ) ? , ???????1 分 1 ? tan B tan C 2 3

1 1 ? 2 3 ?1 . 代入得到, tan( B ? C ) ? 1 1 1? ? 2 3
因为 A ? 180 ? B ? C , ???????4 分

???????3 分

所以 tan A ? tan(180 ? ( B ? C)) ? ? tan( B ? C) ? ?1 .
16

角关系

???5 分

(II)因为 0 ? A ? 180 ,由(I)结论可得: A ? 135 . 因为 tan B ? 所以 sin B ?

???????7 分 ????8 分

1 1 ? tan C ? ? 0 ,所以 0 ? C ? B ? 90 . 2 3

5 10 . , sin C ? 5 10

????9 分



a c ? 得a ? 5 , sin A sin C
1 1 ac sin B ? . 2 2

???????11 分

所以 ?ABC 的面积为: 13、 .

??????13 分

在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,且 4sin (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值. 解: (Ⅰ)∵ A 、 B 、 C 为三角形的内角, ∴ A ? B ? C ? ? .

2

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2



4sin 2

A? B 7 ? cos 2C ? 2 2 , 三角形中角的大小关系 ?
C 7 ? cos 2C ? . 2 2
????2 分

∴ 4 cos ∴ 4?

2

1 ? cos C 7 1 ? (2 cos 2 C ? 1) ? .即 2 cos 2 C ? 2 cos C ? ? 0 . ??4 分 2 2 2 ? 1 ∴ cos C ? . 又∵ 0 ? C ? ? , ∴ C ? . ?7 分 3 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 A ? B ?

2? 2? ? A) 角度变换 .∴ sin A ? sin B ? sin A ? sin( 3 3

? sin A ? sin
∵ 0? A? ∴ 当 A?

2? 2? 3 3 ? ? cos A ? cos ? sin A ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) .?10 分 3 3 2 2 6

?
6

2? ? ? 5? ? A? ? ,∴ . 3 6 6 6 ?

?

2

,即 A ?

?

3

时, sin A ? sin B 取得最大值为 3 .????13 分

1 14. [2014· 全国卷] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan A= ,求 B. 3 解:由题设和正弦定理得 1 3sin Acos C=2sin Ccos A,故 3tan Acos C=2sin C.因为 tan A= ,所以 cos C=2sin C, 3

17

tan A+tan C 1 所以 tan C= .所以 tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)= =-1,所以 B=135°. 2 tan Atan C-1
三角函数最值问题类型归纳 1.y=asinx+bcosx 型的函数

例 1.当-

≤x≤

时,函数 f(x)=sinx+

cosx 的( D )

A、最大值是 1,最小值是-1 C、最大值是 2,最小值是-2

B、最大值是 1,最小值是D、最大值是 2,最小值是-1

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x 型的函数 特点是含有 sinx, cosx 的二次式,处理方式是降幂,再化为型 1 的形式来解。 例 2.求 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最小值,并求出 y 取最小值时的 x 的集合。 解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x

=2+

sin(2x+

)

当 sin(2x+

)=-1 时,y 取最小值 2-

,此时 x 的集合{x|x=kπ-

π, k∈ Z}。

3.y=asin2x+bcosx+c 型的函数 特点是含有 sinx, cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用 sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应 用换元法,转化成二次函数来求解。 例 3.求函数 y=cos2x-2asinx-a(a 为常数)的最大值 M。 解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a, 令 sinx=t,则 y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1) (1) 若-a<-1 时,即 a>1 时, 在 t=-1 时,取最大值 M=a。 (2) 若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1 时,在 t=-a 时,取最大值 M=a2+1-a。 (3) 若-a>1,即 a<-1 时,在 t=1 时,取大值 M=-3a。

4.y=

型的函数

特点是一个分式,分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子,分母的化简,最 后整理成这个形式,它的处理方式有多种。

18

例 4.求函数 y=

的最大值和最小值。

解法 1:原解析式即:sinx-ycosx=2-2y, 即 sin(x+φ)=



∵ |sin(x+φ)|≤1,∴

≤1,解出 y 的范围即可。

解法 2:

表示的是过点(2, 2)与点(cosx, sinx)的斜率,而点(cosx, sinx)是单位圆上的点,观察图形可以得

出在直线与圆相切时取极值。

解法 3:应用万能公式设 t=tan( 根据 Δ≥0 解出 y 的最值即可。 5.y=sinxcos2x 型的函数。

),则 y=

,即(2-3y)t2-2t+2-y=0,

它的特点是关于 sinx,cosx 的三次式(cos2x 是 cosx 的二次式) 。因为高中数学不涉及三次函数的最值问题,故几 乎所有的三次式的最值问题(不只是在三角)都用均值不等式来解(没有其它的方法) 。但需要注意是否符合应用的条 件(既然题目让你求,多半是符合使用条件的,但做题不能少这一步) ,及等号是否能取得。

例 5.若 x∈ (0,π),求函数 y=(1+cosx)· sin

的最大值。

解:y=2cos2

· sin

>0,

y2=4cos4

sin2

=2· cos2

· cos2

· 2sin2

所以 0<y≤



注:本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题。 6.含有 sinx 与 cosx 的和与积型的函数式。 其特点是含有或经过化简整理后出现 sinx+cosx 与 sinxcosx 的式子,处理方式是应用 (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化,变成二次函数的问题。 例 6.求 y=2sinxcosx+sinx+cosx 的最大值。
19

解:令 sinx+cosx=t (-

≤t≤

),则 1+2sinxcosx=t2,所以 2sinxcosx=t2-1,

所以 y=t2-1+t=(t+

)2-

, 。

根据二次函数的图象,解出 y 的最大值是 1+

三角函数高考题 (2 小+1 小解三角形或 1 小+1 大解三角形: (1) 求值及恒等变换 (同 角关系式、齐次式、由 cos x ? sin x 求 sin x 和 cos x ) (2)图象变换、性质与“五点法” 作图(3)由图象求解析式(4)典型类型处理方法: cos2 x ? sin x ? 1 , a sin x ? b cos x ,
a sin x cos x ? b sin 2 x ? c , a sin x cos x ? b(sin x ? cos x) , y ? a sin x ? x )

(11 年)

(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? =

解析:由题知 tan ? ? 2 , cos 2? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 ? ?? 选B 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 5
3 5
(C)

(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(D)

4 5

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
其中的真命题是 (A) P 1, P 4 解析: a ? b ? (B) P 1, P 3

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

(C) P2 , P 3

(D) P2 , P4

1 a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ? 2 ? 2 cos ? ? 1 得, cos ? ? ? , 2

? 2? ? ? ? ?0, ? 3

1 ? 2 2 ? 。由 a ? b ? a ? b ? 2ab cos ? ? 2 ? 2 cos ? ? 1 得 cos ? ? 2 ?

?? ? ? ? ? ? ,? ? 。 选 A ?3 ?
(11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? (A) f ( x) 在 ? 0,

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则

? ?? ? 单调递减 ? 2?

(B) f ( x) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

20

(C) f ( x) 在 ? 0, 解析: f ( x ) ?

? ?? ? 单调递增 ? 2?

(D) f ( x) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递增 ?

2 sin(? x ? ? ? ) ,所以 ? ? 2 ,又 f(x)为偶函数,?? ? ? ? k? ? ? ? ? k? , k ? z , 4 2 4 4

?

?

?

?

? f ( x ) ? 2 sin(2 x ?

?

2

) ? 2 cos 2 x ,选 A


(16)在 V ABC 中, B ? 60 , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 解析: A ? C ? 120 ? C ? 120 ? A , A ? (0,1200 ) ,
0 0

BC AC ? ? 2 ? BC ? 2sin A sin A sin B

AB AC ? ? 2 ? AB ? 2sin C ? 2sin(1200 ? A) ? 3 cos A ? sin A ; sin C sin B
? AB ? 2 BC ?

3cos A ? 5sin A ? 28 sin( A ? ? ) ? 2 7 sin( A ? ? ) ,故最大值是 2 7

[ , ] (12 年) 9、 已知 w>0, 函数 f ( x) ? sin(?x ? ) 在 ( , ? ) 单调递减, 则 ? 的取值范围是 (A)

?

?

4

2

1 5 2 4

1 3 (B) [ , ] 2 4

1 (C) ( 0, ] 2

(D) (0,2]

17 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a , b , c 分 别 为 △ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 的 对 边 ,

a cosC ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。
(Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a ? 2 , △ ABC 的面积为 3 ,求 b , c 。
(1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
b?c?2

(13年) 15、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______
17、(本小题满分12分) 如图,在△ ABC中,∠ ABC=90° ,AB= 3 ,BC=1,P为△ ABC内一点,∠ BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 C

21

P A B

(2)若∠ APB=150° ,求 tan∠ PBA 2014 年高考试题 (2014、8).设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

(2014、 16) .已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 且2 ( ? n i s ( )b n i s )A( ? a =2, 则 ?ABC 面积的最大值为 .

n i ) s B ?c ? b

C



(2014、7 文)在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos( 2 x ? 为 ? 的所有函数为( ) A.① ② ③ B. ① ③ ④ C. ② ④

?

) ,④ y ? tan( 2 x ? ) 中,最小正周期 6 4

?

D. ① ③

(2014、16 文)如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角 ?MAN ? 60? , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 ?MAC ? 75? ; 从 C 点 测 得 ?MCA ? 60? . 已 知 山 高 BC ? 100m ,则山高 MN ? ________ m .

22

23


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