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2015专题三:三角函数(含11-14高考题)


2015 三角函数复习专题
一、考纲解读 1.了解任意角的概念 ,了解弧度制的概念, 能进行弧度与角度的互化 ; 理解任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切)的定义. ? 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ?? , ? ? ? 的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同 2 sin x ? tan x . 角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, cos x

3.能画出 y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数 在区间[0,2 ? ]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间 ? ? (- , )内的单调性. 2 2 4.了解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的物理意义;能画出 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象,了解 A, ? , ? 对函数 图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式 ;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正 弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;能运 用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要 求记忆). 二、考点分析 从近几年高考试题来看, 对三角函数的考查: 一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公 式的应用,一般占两个小题;二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、 y ? A sin(? x ? ? ) 的性 质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.
三、核心知识点归纳: 1.三角函数公式

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
1

终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90 , k ? ?

?

?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

?
? 终边所落在的区域. n
l . r

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方 n
*

起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.

6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? 8、若扇形的圆心角为 ?

?
180

,1 ? ?

? 180 ? ? ? 57.3 . ? ? ?
1 1
2

, S ? lr ? ? r ??为弧度制? ,半径为 r 则 l ? r ? , 2 2



9、 设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? , 它与原点的距离是 r r ? 则 sin ? ?

?

x2 ? y 2 ? 0 ,

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin
2
2 2 ? ? cos2 ? ? 1 ;1 ? tan ? ? sec ? ;

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ? tan ? ? ?

. (3) tan ? ? cot ? ? 1 ; cos ? ? sec ? ? 1 ; sin ? ? csc ? ? 1 13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限. y P T v O M A x

? 5? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? ?? ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
口诀:奇变偶不变,符号看象限.诱导公式中常如此变形。
2

A+B A B C π C A+B=π-C,2A+2B=2π-2C, + + = 等,于是可得 sin(A+B)=sin C,cos =sin 2 2 2 2 2 2 重要公式 ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos ⑶ tan 2? ?
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ( cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) . 2 2

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

公式的变形:

tan? ? tan? ? tan( ? ? ? ) ? ?1 ? tan? tan? ? ,

cos

?
2

??

1 ? cos? ? 1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ; tan ? ? ? ? 2 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?
? . ?

辅助角公式

? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

sin ? ?

2 tan

?
2 , cos? ?
2

1 ? tan2 1 ? tan
2

? ?
2 , tan? ? 2

2 tan

?
2 万能公式其实是二倍角公式的另外一种变形:
2

1 ? tan

?

2

1 ? tan

?

2

14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ?

的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的 图 象 ; 再 将 函 数 y ? sin ? x 的 图 象 上 所 有 点 向 左 ( 右 ) 平 移

? 个单位长度,得到函数 ?

3

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横
坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?
; 当 x ? x2 时 , 取 得 最 大 值 为 ymax , 则

函 数 y ? ? sin?? x ? ? ? ? B , 当 x ? x1 时 , 取 得 最 小 值 为 ymin

??

1 ? ym a x ? y 2

min

? , ? ? ? ymax ? ymin ? ,
y ? sin x

1 2

? ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2

★★★2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域

??1,1?


??1,1?
? k ? ??
当 x ? 2k?

R

x ? 2 k? ?

?
2

? k ??? 时,
既无最大值也无最小值

时, 最值 当x

ymax ? 1 ;
? 2 k? ?

ymax ? 1 ;
当x

?
2

? 2 k? ? ?

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周期性 奇偶性

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数 在 上

2?
奇函数

?
奇函数



? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

?2k? ? ? ,2k? ?? k ???
是 增 函 数 ; 在 在 ? k?

单调性

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.
4

? ?

?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 对称性 对称轴

? k? ,0?? k ???
?
2

对称中心

对称中心

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

x ? k? ?

?k ? ??

对称轴 x ? k?

? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

★★3.正、余弦定理:在 ?ABC 中有: ①正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C
a ? ?sin A ? 2 R ? b ? ?sin B ? 2R ? c ? ?sin C ? 2 R ?

? a ? 2 R sin A ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

?

注意变形应用

②面积公式: S ?ABC ?

1 1 1 abs sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

1 S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径) 2

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 2 2 2 ③余弦定理: ? ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ?

?

? b2 ? c2? a 2 A? ?c o s 2bc ? a2 ? c 2? b 2 ? B? ?c o s 2ac ? ? a2 ? b 2? c 2 C? ?c o s 2ab ?

在三角形中,大角对大边,大边对大角;即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 三、例题集锦: 考点一:三角函数的概念 1.如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, P、Q 是 单 位 圆 上 的 两 点 , O 是 坐 标 原 点 , ?A O P?
Y Q

?
6


O A

P X

?AOQ ? ? , ? ? ?0, ? ? .
s? ? (1)若 Q ( , ) , 求 c o ?
3 4 5 5

? ?

??

(2)设函数 ? 的值; 6?

f ?? ? ? OP ? OQ ,求 f ?? ? 的值域.

π 3 2. (2014· 天津卷) 已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos2x+ ,x∈R. 4 ? 3? (1)求 f(x)的最小正周期;
5

π π (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?

考点二:三角函数的图象和性质 3.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? ) 部分图象如图所示. (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ,求函数 g ( x) 在区间 x ? [0, ] 上的最大值和最小值.

? 2

? 2

y
1
?? 3

o
?1

? 6

x

考点三、四、五:同角三角函数的关系、 诱导公 4.已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

式、三角恒等变换

?
6

) ? cos 2 x .(1)若 f (? ) ? 1 ,求 sin ? ? cos ? 的值;

(2)求函数 f ( x) 的单调增区间.(3)求函数的对称轴方程和对称中心

5.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2cos 求 f ( ) 的值; (Ⅱ)当

2

,相邻两条对称轴之间的距离等于 ? x ( x ? R,? ? 0 )

? . (Ⅰ) 2

? 4

? ?? x ? ?0, ? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值及相应的 x 值. ? 2?

6、已知函数 f ( x) ? 2sin x ? sin(

? ? x) ? 2sin 2 x ? 1 ( x ? R) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f (

π π x0 2 x0 ? ( ? , ) ,求 cos 2 x0 的值. )? , 4 4 2 3

7、 (本小题共 13 分)已知 sin( A ?

π π π 7 2 )? , A?( , ) . 4 2 4 10

6

(Ⅰ)求 cos A 的值;

(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

考点六:解三角形
8.已知△ ABC 中, 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设向量 m ? (cos A, cos 2 A) , n ? ( ? 小值时, tan( A ?

?
4

12 , 1) ,求当 m ? n 取最 5

2

) 值.

0

0

9.已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? sin x cos x ?

3 ?x ? R ? . 2
7 0 3 1

? ? (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)若 x ? (0, ) ,求 f ( x) 的最大值; (Ⅲ)在 ?ABC 中,若 A ? B , 4 2
6

f ( A) ? f ( B ) ?

BC 1 ,求 的值. AB 2

10、在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 分,且满足 (Ⅱ)若 a ? 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值.

2c ? b cos B ? . (Ⅰ)求角 A 的大小; a cos A

11、在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? 的形状

3 x x x 3 sin cos ? cos 2 ,当 f ( B ) 取最大值 时,判断△ ABC 2 2 2 2

12、. 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 tan B ? (Ⅰ)求 tan A ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

1 1 , tan C ? ,且 c ? 1 . 2 3

13 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,且 4sin (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值.
7

2

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2

1 14. [2014· 全国卷] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan A= ,求 B. 3

三角函数最值问题类型归纳 1.y=asinx+bcosx 型的函数 特点是含有正余弦函数,并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。

应用课本中现成的公式即可:y=

sin(x+φ ),其中 tanφ =



例 1.当-

≤x≤

时,函数 f(x)=sinx+

cosx 的(



A、最大值是 1,最小值是-1 C、最大值是 2,最小值是-2

B、最