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湖南省永州市2013届高三数学一模考试试题 理(含解析)


2013 年湖南省永州市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分) (2013?永州一模)设集合 A={x|﹣1<x<2},B={x|x ≤1},则 A∩B=( ) A. (﹣1,1] B. (﹣1,1) C. [﹣1,2) D. (﹣1,2)

考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:求解一元二次不等式化简集合 B,然后直接利用交集运算进行求解. 解答:解:由 A={x|﹣1<x<2}, 2 又 B={x|x ≤1}={x|﹣1≤x≤1}, 所以 A∩B={x|﹣1<x<2}∩{x|﹣1≤x≤1}=(﹣1,1]. 故选 A. 点评:本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础的运算题. 2. (5 分) (2013?永州一模)“x≠3”是“|x﹣3|>0”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意看命题“x≠3”与命题“|x﹣3|>0”是否能互推,然后根据必要条件、充分 条件和充要条件的定义进行判断. 解答: 解:对于“x≠3”? “|x﹣3|>0”; 反之“|x﹣3|>0”? “x≠3”一定成立, 因此“x≠3”是“|x﹣3|>0”的充分必要条件, 故选 C.. 点评: 本小题主要考查了命题的基本关系,题中的设问通过对不等关系的分析,考查了命题 的概念和对于命题概念的理解程度. 3. (5 分) (2013?永州一模)如图是某几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角 形,俯视图是半圆,则该几何体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离.
1

分析: 由三视图知几何体的直观图是半个圆锥, 再根据其中正视图是边长为 2 的等边三角形, 我们易得圆锥的底面直径为 2,母线为 2,故圆锥的底面半径为 1,高为 ,代入圆 锥体积公式即可得到答案. 解答: 解:由三视图知几何体的直观图是半个圆锥, 又∵正视图是边长为 2 的等边三角形, ∴r=1,h= ∴v= = π

故选 D. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积, 其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何 量(底面半径,高等)的大小是解答的关键.

4. (5 分) (2013?永州一模) A. B.1

cos2xdx=( C.2

) D.

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 由于 cos2x 的一个原函数为 解答: 解: cos2xdx

sin2x 故根据牛顿﹣莱布尼茨公式即可求解.

= sin2x = (sin = . 故选 A. 点评: 本题主要考查了定积分的计算. 解题的关键是要能求出被积函数的一个原函数然后再 根据牛顿﹣莱布尼茨公式求解. 5. (5 分) (2013?永州一模)甲、乙两人在淘宝网各开一家网店,直销同一厂家的同一种产 品,厂家为考察两人的销售业绩,随机选了 10 天,统计两店销售量,得到如图所示的茎叶 图,由图中数据可知( ) ﹣sin0)

A.甲网店的极差大于乙网店的极差

B.甲网店的中位数是 46
2

C.乙网店的众数是 42 考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 只要运用求平均数公式: =

D.甲网店的销售业绩好

,即可求出甲网店的销售业绩好.或利

用极差的概念,极差就是这组数据中的最大值与最小值的差,等计算极差或中位数或 众数,再进行判断即可. 解答: 解:甲网店数据分别为:6,11,12,32,43,45,47,51,51,58. 故平均数 = (6+11+12+32+43+45+47+51+51+58)=35.6;

极差就是这组数据中的最大值与最小值的差,即 58﹣6=52.甲网店的中位数是 44. 乙网店数据分别为:5,7,13,13,13,22,34,42,42,58. 故平均数 = (5+7+13+13+13+22+34+42+42+58)=24.9;

极差就是这组数据中的最大值与最小值的差,即 58﹣5=53.乙网店的众数是 13. ∴甲网店的销售业绩好. 故选 D. .

点评: 本题考查的是样本平均数以及极差等统计量的求法,是比较简单的问题. 6. (5 分) (2013?永州一模)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=﹣18,S13=﹣52,等比数列 {bn}中,b5=a5,b7=a7,则 b6 的值( ) A. B.2 C. D.2 或﹣2 或 考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的前 n 项和公式和性质可得 S9=9a5=﹣18,S13=13a7=﹣52,故可求得 a5、a7, 即求出 b5、b7,由等比数列的通项公式即可求出 q,进而求出 b6. 解答: 解:∵S9= (a1+a9)=9a5=﹣18,S13= (a1+a13)=13a7=﹣52, ∴a5=﹣2,a7=﹣4, 又∵b5=a5,b7=a7, ∴b5=﹣2,b7=﹣4, 2 ∴q =2,即 q=± , 则 b6=b5?q=﹣2×(± )=2 或﹣2 . 故选 C 点评: 本题考查了等差数列的前 n 项和公式、性质和等比数列的通项公式,熟练记忆及灵活
3

运用公式是正确解题的关键.

7. (5 分) (2013?永州一模)若 A. B. C.

,则 D.

=(



考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用诱导公式求得 cos( +α ) 的值,再利用二倍角的余弦公式求得 =2 解答: 解:∵ ∴ =2 =cos( ﹣1 的值. +α ) , ﹣1=﹣ ,

故选 A. 点评: 本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于中档题.
2

8. (5 分) (2012?山东)设函数 f(x)= ,g(x)=ax +bx(a,b∈R,a≠0)若 y=f(x) 的图象与 y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则下列判断正 确的是( ) A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2>0 考点: 根的存在性及根的个数判断;二次函数的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 画出函数的图象,利用函数的奇偶性,以及二次函数的对称性,不难推出结论. 解答: 解:当 a<0 时,作出两个函数的图象,如图, 因为函数 f(x)= 是奇函数,所以 A 与 A′关于原点对称, 显然 x2>﹣x1>0,即 x1+x2>0, ﹣y1>y2,即 y1+y2<0 故选 B.

4

点评: 本题考查的是函数图象,直接利用图象判断;也可以利用了构造函数的方法,利用函 数与导数知识求解.要求具有转化、分析解决问题,由一般到特殊的能力.题目立意 较高,很好的考查能力. 二、填空题:每小题 5 分,把答案填在答题卡中对应题号的横线上. )选做题(请考生在 9、 10、11 三题中任选两题作答,如全做则按前两题计分) . 9. (5 分) (2013?永州一模)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 与⊙O 相切 于点 E,∠C= ,则∠AED= .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: 如图所示,连接 OE.利用切线的性质及 CD 与⊙O 相切于点 E,可得 OE⊥CD.即可得 出∠COE,由 OE=OA,可得∠OEA 即可. 解答: 解:如图所示,连接 OE.∵CD 与⊙O 相切于点 E,∴OE⊥CD. ∵ ,∴ . . . .

∵OA=OE,∴ ∴ 故答案为

5

点评: 熟练掌握圆的切线的性质、圆的性质是解题的关键. 10. (5 分) (2013?永州一模) 已知 x, y, z∈R, 且 x +y +z =1, 则 x+2y+3z 的最大值是
2 2 2



考点: 一般形式的柯西不等式;柯西不等式在函数极值中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 2 分析: 分析题目已知 x +y +z =1,求 x+2y+3z 的最大值.考虑到应用柯西不等式(ax+by+cz) 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤(a +b +c ) (x +y +z ) ,首先构造出柯西不等式求出(x+2y+3z) 的最大值,开平 方根即可得到答案. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解答: 解:因为已知 x +y +z =1 根据柯西不等式(ax+by+cz) ≤(a +b +c ) (x +y +z )构造 得: 2 2 2 2 2 2 2 即(x+2y+3z) ≤(x +y +z ) (1 +2 +3 )≤1×14=14 故 x+2y+3z≤ .当且仅当 x= = 时取等号.

则 x+2y+3z 的最大值是 . 故答案为: . 点评: 此题主要考查柯西不等式的应用问题, 对于此类题目有很多解法, 但大多数比较繁琐, 而用柯西不等式求解非常简练,需要同学们注意掌握. (α

11. (2013?永州一模) 已知在平面直角坐标系 xoy 中, 圆 C 的参数方程为

为参数) ,与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 长为 4 . 考点: 参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 计算题. 分析: 化圆的参数方程为直角坐标方程,化直线的极坐标方程为直角坐标方程,由圆心到直 线的距离公式求出圆心到直线的距离,则圆 C 截直线 l 所得的弦长可求. 解答: 解:由 ,得 ① +② 得 x +(y﹣1) =4. 所以圆是以 C(0,1)为圆心,以 2 为半径的圆. 又由 ,得 .
2 2 2 2

,则圆 C 截直线 l 所得的弦

6

即 . 所以直线 l 的直角坐标方程为 所以圆心 C 到直线 l 的距离为 d=

. .

则直线 l 经过圆 C 的圆心,圆 C 截直线 l 所得的弦长为 4. 故答案为 4. 点评: 本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标化直角坐标,考查了直线与圆的位置 关系,是基础题. 三、必做题(12~16 题) ,每小题 5 分. 12. (5 分) (2013?永州一模)二男二女共四个学生站成一排照相,两个女生必须相邻的站 法有 12 种. (用数字作答) 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,使用捆绑法,2 名女生相邻,将其排在一起当做一个元素,有 2 种情况, 再将其与其他四名志愿者全排列,由分步计数原理乘法公式,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,分 2 步进行, 2 先将 2 名女生排在一起,看成做一个元素,考虑其顺序,有 A2 种情况, 3 再将其与其他 2 名男生全排列,有 A3 种情况, 3 2 则其不同的排列方法为 A3 A2 =12 种, 故答案为:12. 点评: 本题考查排列、组合的运用,注意相邻问题一般用捆绑法,不相邻问题用插空法或间 接法.

13. (5 分) (2013?永州一模)已知 A,B 是圆 C(为圆心)上的两点,| 2 . 考点: 向量数乘的运算及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 由圆的性质得出 cos∠CAD= = ,由数量积的定义可得答案. 解答: 解:如图所示:在直角三角形 ACD 中, cos∠CAD= 故答案为:2 = ,而 ? =AB×AC×cos∠CAD=2×AC× =2.

|=2,则

?

=

7

点评: 本题考查数量积的求解,涉及圆的知识和数量积的定义,属基础题.

14. (5 分) (2013?永州一模)双曲线 C:

的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 右

支上一动点,点 Q 的坐标是(1,4) ,则|PF1|+|PQ|的最小值为 11 . 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 依题意,|PF1|﹣|PF2|=6,从而可得|PF1|+|PQ|≥|PF2|+|PQ|+6≥|QF2|+6. 解答: 解:∵F1、F2 是双曲线 C: ﹣ =1 的左、右焦点,

∴F1(﹣4,0) ,F2(4,0) ; 又 P 是 C 右支上一动点, ∴由双曲线的定义知,|PF1|﹣|PF2|=6, ∴|PF1|=|PF2|+6,又 Q 的坐标是(1,4) , ∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+|PQ|+6≥|QF2|+6. ∵|QF2|= =5.

∴|QF2|+6=11. ∴|PF1|+|PQ|≥11. 故|PF1|+|PQ|的最小值为 11. 故答案为:11. 点评: 本题考查双曲线的简单性质,突出考查双曲线的定义及三角不等式的应用,属于中档 题.

15. (5 分) (2013?永州一模) 执行如图所示的程序框图, 则输出的复数 z 是



8

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 由 z0 的值可知:z0 为 1 的一个 3 次虚根,再根据判断框可知需要计算的次数即可得出 答案. 解答: 2 3 解:计算可得:z0 =﹣ ﹣ i,z0 =1,即 z0 为 1 的一个 3 次虚根. 由循环结构可得:当 n=2013 时,还要计算一次得 z=z0 而 n←2013+1>2013, 由判断框可知:要跳出循环结构. 故输出的值为 z0← 故答案为: . .
2014

=z0

671×3+1

=z0.

点评: 熟练掌握循环结构的功能及 1 的一个 3 次虚根的周期性是解题的关键. 16. (5 分) (2013?永州一模)电脑系统中有个“扫雷”游戏,要求游戏者标出所有的雷, 游戏规则:一个方块下面至多埋一个雷,如果无雷掀开方块下面就标有数字,提醒游戏者此 数字周围的方块(至多八个)中雷的个数(0 常省略不标) ,如图甲中的“3”表示它的周围 八个方块中有且仅有 3 个埋有雷. 图乙是张三玩游戏中的局部, 图中有 4 个方块已确定是雷 (方块上标有旗子) ,则上方左起八个方块中(方块正上方对应标有字母) ,能够确定一定不 是雷的有 A、C、E ,一定是雷的有 B、D、F、G . (请填入方块上方对应字母)

9

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据题意,初步推断出 C 对应的方格必定不是雷,A、B 对应的“?”中有一个雷,中 间 D、E 对应“?”中有一个雷且最右边的“4”周围 4 个“?”中有 3 个雷.由此再 观察 C 下方“2”、B 下方的“2”、D 下方的“2”和 F 下方的“4”,即可推断出 A、 C、E 对应的方格不是雷,且 B、D、F、G 对应的方格是雷.由此得到本题答案. 解答: 解:图乙中最左边的“1”和最右边的“1”,可得如下推断 由第三行最左边的“1”,可得它的上方必定是雷. 结合 B 下方的“2”,可得最左边的 A、B 对应的“?”中有一个雷; 同理可得最右边的“4”周围 4 个“?”中有 3 个雷,中间 D、E 对应“?”中有一个 雷; 由于 B 下方的“2”和第二行最右边的“2”,它们周围的雷已经够数, 所以 C 对应的方格肯定不是雷,如下图所示:

进行下一步推理: 因为 C 对应的方格不是雷,所以 C 下方“2”的左上、右上的方格,即 B、D 都是雷; 而 B 下方的“2”的周围的雷也已经够数,所以 A 对应的方格也不是雷. 因为 D 下方的“2”,它的周围的雷已经够数,可得 E 对应的方格不是雷, 根据 F 下方的“4”周围应该有 4 个雷, 结合 E 不是雷, 可得 F、 G 对应的方格都是雷. 综上所述,A、C、E 对应的方格不是雷,且 B、D、F、G 对应的方格是雷. 故答案为:A、C、E;B、D、F、G 点评: 本题给出扫雷游戏的图形,要求我们推理 A、B、C、D、E、F 对应方格是否为雷.着 重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识,属于中档题. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分) (2013?永州一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=3, b=4, .

(1)求△ABC 的面积; (2)求 sin(B﹣C)的值. 考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)在△ABC 中,依题意可求得 sinC,从而可得△ABC 的面积; (2) 由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC=9+16﹣16=9 可求得 c, 再由正弦定理
2 2 2

=

可求得 sinB,继而可求得 cosB,最后利用两角差的正弦即可求得 sin(B﹣C) . 解答: 解: (1)在△ABC 中,

10

∵cosC= ,

∴sinC=

=

=



?(2 分)

∴S△ABC= absinC=2


2 2 2

?(5 分)

(2)由余弦定理可得,c =a +b ﹣2abcosC=9+16﹣16=9 ∴c=3. ?(7 分) 又由正弦定理得, = ,

∴sinB=

=

=



?(9 分)

cosB=

= ?(10 分)

∴sin(B﹣C)=sinBcosC﹣cosBsinC=

× ﹣ ×

=



?(12 分)

点评: 本题考查余弦定理与正弦定理, 考查同角三角函数间的基本关系, 考查两角差的正弦, 属于中档题. 18. (12 分) (2013?永州一模)永州市举办科技创新大赛,某县有 20 件科技创新作品参赛, 大赛组委会对这 20 件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分,每个方面评 分均按等级采用 3 分制(最低 1 分,最高 3 分) ,若设“创新性”得分为 x,“实用性”得 分为 y,得到统计结果如下表,若从这 20 件产品中随机抽取 1 件. x 创 新 性 作品数 1分 2 分3 分 y 实 1分 2 0 2 用 2分 1 4 1 性 3分 2 2 6 (1)求事件 A:“x≥2 且 y≤2”的概率; (2)设 ξ 为抽中作品的两项得分之和,求 ξ 的数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分 布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)确定事件 A:“x≥2 且 y≤2”的作品数量,即可求得概率; (2)方法一:分别求出“创新性”、“实用性”得分的分布列与期望,即可求得 ξ 的数学期望; 方法二: 确定作品的总得分 ξ 的可能取值, 求出其分布列, 即可求得 ξ 的数学期望. 解答: 解: (1)从表中可以看出,事件 A:“x≥2 且 y≤2”的作品数量为 7 件,

11

故“x≥2 且 y≤2”的概率为



?(5 分)

(2)方法一:由表可知“创新性”得分 y 有(1 分) 、 (2 分) 、 (3 分)三个等级,每 个等级分别有 5 件,6 件,9 件,“创新性”得分 x 的分布列为: x 1 2 3 p 则“创新性”得分的数学期望为 Ex= ; ?(8 分)

“实用性”得分 y 有(1 分) 、 (2 分) 、 (3 分)三个等级,每个等级分别有 4 件,6 件, 10 件, “实用性”得分 y 的分布列为: y 1 2 3 p

故“实用性”得分的数学期望为 Ey=

?(10 分)

所以 ξ 数学期望 Eξ =E(x+y)=Ex+Ey=2.2+2.3=4.5 ?(12 分) 方法二:作品的总得分 ξ 的可能取值为(2 分) , (3 分) , (4 分) , (5 分) , (6 分) , 由表中可知对应的作品数量分别为 2 件,1 件,8 件,3 件,6 件,?(8 分) 则作品的总得分 ξ 的分布列为:?(10 分) ξ 2 3 4 5 6 P 所以 ξ 数学期望为 Eξ =

?(12 分)

点评: 本题考查概率的计算,考查离散型随机变量的分布列与数学期望,考查学生的计算能 力,属于中档题. 19. (12 分) (2013?永州一模)如图所示,直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AD=2,AB=3, CD=4,P 在线段 AB 上,BP=1,O 在 CD 上,且 OP∥AD,将图甲沿 OP 折叠使得平面 OCBP⊥底 面 ADOP,得到一个多面体(如图乙) ,M、N 分别是 AC、OP 的中点. (1)求证:MN⊥平面 ACD; (2)求平面 ABC 与底面 OPAD 所成角(锐角)的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.
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专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1) 取 CD 中点 Q, 结合已知条件, 利用线面垂直的判定定理证出 OQ 垂直于平面 ACD, 通过证明四边形 OQMN 为平行四边形得到 OQ 平行于 MN,从而证出要证的结论; (2)以 O 为坐标原点,分别以 OP,OD,OC 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 求出平面 ABC 与底面 OPAD 的一个法向量,利用法向量所成角的余弦值得到平面 ABC 与底面 OPAD 所成角(锐角)的余弦值. 解答: (1)证明:如图, 取 CD 的中点为 Q,连接 MQ,OQ, 因为 OC=OD,所以 OQ⊥CD, 依题意知:面 OCD⊥底面 OPAD, AD⊥OD,AD⊥平面 OCD, 而 OQ? 面 OCD,AD⊥OQ, 又 CD∩AD=D, 所以 OQ⊥面 ACD, MQ 是△ACD 的中位线,故 MQ∥ NO∥ ,NO= , ,MQ= ,

则 MQNO,所以 MN∥OQ, 故 MN⊥平面 ACD; (2)解:如图所示,分别以 OP,OD,OC 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. B(2,0,1) ,A(2,2,0)C(0,0,2) , 底面 OPAD 的一个法向量 设平面 ABC 的法向量为 , , ,

依题知:







令 x=1,则 y=1,z=2, 所以 ,



故平面 ABC 与底面 OPAD 所成角的余弦值为



13

点评: 本题考查了直线与平面垂直的判定,考查了二面角的平面角及其求法,综合考查了学 生的空间想象能力和思维能力, 解答的关键是明确折叠问题在折叠前后的变量和不变 量,是中档题. 20. (13 分) (2013?永州一模)提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般 情况下, 大桥上的车流速度 v (单位: 千米/小时) 是车流密度 x (单位: 辆/千米) 的函数. 当 车流密度不超过 50 辆/千米时,车流速度为 30 千米/小时.研究表明:当 50<x≤200 时, 车流速度 v 与车流密度 x 满足 .当桥上的车流密度达到 200 辆/千米

时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时. (Ⅰ)当 0<x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x?v(x) 可以达到最大, 并求出最大值. (精确到个位,参考数据 ) 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (I)根据题意,函数 v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数 v(x)在 50≤x≤200 时的表达式,根据分式函数表达式的形式,用待定系数法可求得; (II)先在区间(0,50]上,函数 f(x)为增函数,得最大值为 f(50)=1500,然 后在区间[50,200]上用基本不等式求出函数 f(x)的最大值,用基本不等式取等号 的条件求出相应的 x 值,两个区间内较大的最大值即为函数在区间(0,200]上的最 大值. 解答: 解: (I)由题意:当 0<x≤50 时,v(x)=30; 当 50≤x≤200 时,由于 ,

再由已知可知,当 x=200 时,v(0)=0,代入解得 k=2000. 故函数 v(x)的表达式为 .?(6 分)

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(II)依题意并由(I)可得 当 0≤x≤50 时,f(x)=30x,当 x=50 时取最大值 1500. 当 50<x≤200 时,f(x)=40x﹣ ≤12000﹣2 4000×2.236=3056. 取等号当且仅当 ,即 x=250﹣50 =12000﹣[40(250﹣x)+ =12000﹣4000 ≈12000﹣



]

≈138 时,f(x)取最大

值. (这里也可利用求导来求最大值) 综上,当车流密度为 138 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3056 辆/小 时.?(14 分) 点评: 本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力, 属于中等题.

21. (13 分) (2013?永州一模)在直角坐标系 xoy 中,椭圆 C1:



离心率

, F 是抛物线 C2: y =4x 的焦点, C1 与 C2 交于 M, N 两点 (M 在第一象限) , 且|MF|=2.

2

(1)求点 M 的坐标及椭圆 C1 的方程; (2)若过点 N 且斜率为 k 的直线 l 交 C1 于另一点 P,交 C2 于另一点 Q,且 MP⊥MQ,求 k 的 值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由抛物线方程可求得 p 值,设 M(x0,y0) ,由抛物线定义及|MF|=2 可得 x0+ ,解得 x0=1,进而得 y0=2,由离心率 e= 及 a =b +c 可得 a,b 关系,
2 2 2

从而椭圆方程可变为含 b 的方程,把 M 坐标代入即可求得 b 值,进而得到 a 值; (2)点 N(1,﹣2) ,则直线 l 的方程为 y+2=k(x﹣1) ,分别与椭圆方程、抛物线方 程联立消掉 y、x 得 x、y 的二次方程,由韦达定理可用 k 表示点 P、Q 的坐标,从而

15

可得向量

的坐标,由 MP⊥MQ 有

,得关于 k 的方程,解出即可;

解答: 2 解: (1)抛物线 C2:y =4x,2p=4,p=2, 设 M(x0,y0) ,则|MF|=x0+ ,解得 x0=1,所以 y0=2,即 M(1,2) ,

椭圆 C1:

的离心率







,a=2b,

椭圆 C1: 求得 ,

过点 M(1,2) ,所以 , .



所以椭圆 C1 的方程是

(2)点 N(1,﹣2) ,直线 l 的方程为 y+2=k(x﹣1) , 2 2 2 2 与 C1:y +4x =8,联立消去 y 得:4x +(kx﹣k﹣2) =8, 2 2 2 整理得(4+k )x ﹣2k(k+2)x+k +4k﹣4=0(i) , 设 P(x1,y1) ,易知 1,x1 是方程(i)的两根,x1= ,

代入直线 l 的方程得
2


2

y+2=k(x﹣1)与 y =4x 联立消去 x 得:ky ﹣4y﹣4k﹣8=0(ii) , 显然 k≠0,设点 Q(x2,y2) ,易知﹣2,y2 是方程(ii)的两根,﹣2?y2= ,



,代入抛物线得





,M(1,2) ,



由 MP⊥MQ 有

,即



16

整理得 k +5k+2=0,解得

2



点评: 本题考查直线方程、椭圆和抛物线方程及其位置关系,考查向量的数量积运算及韦达 定理的应用,考查学生综合解决问题的能力. 22. (13 分) (2013?永州一模)已知函数 (1)若函数 f(x)在定义域内为减函数,求实数 p 的取值范围; (2)如果数列{an}满足 a1=3, .

,试证明:当 n≥2 时,



考 数列递推式;函数的定义域及其求法. 点: 专 综合题;导数的综合应用. 题: 分 (1) 由题意得 f′ (x) ≤0 在定义域[0, +∞) 上恒成立, 分离参数得到 , 析: 利用基本不等式即可求得; * (2) 由 a1=3 可得 a2=4, 作差可判断 an+1>an, 根据单调性可得对 n∈N (n≥2) , 都有 an≥4. 由 及 an≥4,得

,两边取对数,借

助(1)问结论,利用累加法即可证得 解 解: (1)函数 答:

; 的定义域为[0,+∞) , .

17

依题意, 由

恒成立,所以 ,知 ,



∴p≥1,∴p 的取值范围为[1,+∞) . (2)首先,由 a1=3,得 ,

而当 an>0 时有 所以,对 n∈N (n≥2) ,都有 an≥4. 再由 及 an≥4,
*

,∴an+1>an,

又得









. ,

由(1)知当 p≥1 时 f(x)为减函数,取 p=1,则 f(x)=ln(1+x)﹣ 当 x>0 时 f(x)<f(0)=0,故 ln(1+x)≤ (x>0) , ∴

, ∴ , , 将这 n﹣2 个式子相加得 , ,?. ,



,将 a2=4 代入得



故当 n≥2 时,



点 本题考查数列递推式、利用导数研究函数的单调性、不等式的证明,考查累加法求和, 评: 考查学生分析解决问题的能力.

18

19


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