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高中数学综合测试题-解析版


高中数学综合检测题一(必修 3、选修 2-1)
一、选择题(每小题 5 分,每小题有且只有一个正确选项) 1.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 ).

3.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性 相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( 1

A. 3 1 B. 2 2 C. 3 ). 3 D. 4

解析 本小题考查古典概型的计算,考查分析、解决问题的能力.因为两个同学参加兴趣小 组的所有的结果是 3?3=9(个),其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有 3 个,所以由 3 1 古典概型的概率计算公式得所求概率为 = . 9 3 答案 A 4.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内 ). D.5 040 部随机取一个点 Q, 则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 1 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3 ( ).

解析 本小题考查程序框图等基础知识,考查分析问题、解决问题的能力,难度较小.由 a =1,i=0→i=0+1=1,a=1?1+1=2→i=1+1=2,a=2?2+1=5→i=2+1=3, a=3?5+1=16→i=3+1=4,a=4?16+1=65>50,∴输出 4. 答案 B 2.执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( A.120 B.720 C.1 440

解析 本题考查了几何概型概率的求法,题目较易,属低档题,重在考查学生的双基.这是 1 · |AB|· |AD| 2 1 一道几何概型的概率问题,点 Q 取自△ABE 内部的概率为 = = .故选 C. |AD| 2 S矩形ABCD |AB|· S△ABE 答案 C 5.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示.根据 样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12)内的频 数为 A.18 第 1 题图 第 2 题图 B.36 ( C.54 ). D.72

解析 本题主要考查频率分布直方图的有关知识, 考查了识图 能力,属容易题.由 0.02+0.05+0.15+0.19=0.41,∴落在区 间[2,10]内的频率为 0.41?2=0.82.∴落在区间[10,12)内的频率为 1-0.82=0.18. ∴样本数据落在区间[10,12)内的频数为 0.18?200=36. 答案 B 6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)
^ ^ ^ ^

解析 本小题考查对算法的循环结构程序框图的理解与应用, 考查分析、 解决问题的能力. 本 题的程序框图的功能是计算 p=1?2?3??的值,难度较小. 当输入的 N 是 6 时,由于 k=1,p=1,因此 p=p· k=1.此时 k=1,满足 k<6,故 k=k+1 =2.当 k=2 时,p=1?2,此时满足 k<6,故 k=k+1=3.当 k=3 时,p=1?2?3,此时满 足 k<6,故 k=k+1=4.当 k=4 时,p=1?2?3?4,此时满足 k<6,故 k=k+1=5.当 k =5 时, p=1?2?3?4?5, 此时满足 k<6, 故 k=k+1=6.当 k=6 时, p=1?2?3?4?5?6 =720,此时 k<6 不再成立,因此输出 p=720. 答案 B
《高中数学综合检测题一》

4 49

2 26

3 39

5 54

根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 (
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).
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A.63.6 万元 解析

B.65.5 万元

C.67.7 万元

D.72.0 万元

11.执行如图所示的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 p 是

(

).

本小题考查了对线性回归方程的理解及应用,求解的关键是明确线性回归方程必过 4+2+3+5 7 49+26+39+54 = ,y = = 4 2 4

样本中心点( x , y ),同时考查计算能力.∵ x =

^ ^ ^ ^ ^ ^ 7 42,又y=bx+a必过( x , y ),∴42= ?9.4+a,∴a=9.1.∴线性回归方程为y=9.4x+9.1. 2 ^

∴当 x=6 时,y=9.4?6+9.1=65.5(万元). 答案 B 7.设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是 A.若 a≠-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b B.若 a=-b,则|a|≠|b| D.若|a|=|b|,则 a=-b A.8 B.5 C.3 D.2 ( ).

解析 原命题的条件是:a=-b,结论是|a|=|b|,所以逆命题是:若|a|=|b|,则 a=-b. 答案 D 8 . 已 知 a , b , c∈R , 命 题 “ 若 a + b + c = 3 , 则 a2 + b2 + c2 ≥ 3 ” 的 否 命 题 是 ( ). B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3

解析 本题考查程序框图中循环结构的理解与应用, 求解时要注意条件的判断对循环结构的 影响,难度较大.n=4,s=0,t=1,k=1,p=1,1<4,p=0+1=1,s=1,t=1;k=2,2 <4,p=1+1=2,s=1,t=2;k=3,3<4,p=1+2=3,s=2,t=3;k=4,4<4 不成立, 输出 p=3. 答案 C 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 i 值等于( A.2 B.3 C.4 D.5 解析 本题考查对循环结构程序框图的理解与应用,侧重考查对循环体 ).
2

A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3

解析 原命题的条件是:a+b+c=3,结论是:a2+b2+c2≥3,所以否命题是:若 a+b +c≠3,则 a2+b2+c2<3. 答案 A 9.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是 ( A.y =-8x
2

).

的理解,难度较小.由框图可知 i=1,s=1?21=2;i=2,s=2+2?22 =10;i=3,s=2+2?22+3?23>11,i=i+1=3+1=4,故选 C. 答案 C 二、填空题(每小题 5 分) y2 x2 13.若双曲线 - =1 的离心率 e=2,则 m=________. 16 m

B.y =-4x

2

C.y =8x

2

D.y =4x

解析 由准线方程为 x=-2,可知抛物线的焦点在 x 轴正半轴上,且 p=4,所以抛物线 的方程为 y2=2px=8x. 答案 C 10.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是 A.2 B.2 2 C .4 D.4 2 ( ).

解析 由题意知 a2=16,即 a=4,又 e=2,所以 c=2a=8,则 m=c2-a2 =48. 答案 48 14 .从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ________.
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x2 y2 解析 双曲线方程可变形为 - =1,所以 a2=4,a=2,从而 2a=4,故选 C. 4 8 答案 C
《高中数学综合检测题一》

解析

本题考查了古典概型问题,古典概型与几何概型两个知识点轮换在高考试卷中出

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果, 并求选出的 2 名教师性 别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果, 并求选出的 2 名教师来自同一学 校的概率. 解 (1)甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示;乙校男教师用 D 表示,两女教

现.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,共有 6 种取法,其中 1,2;2,4 这两种取法使得 2 1 一个数是另一个数的两倍,由此可得其中一个数是另一个数的两倍的概率是 P= = . 6 3 1 答案 3 15.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为__________. x2 y2 2 c 2 b2 1 解析 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 由 e= 知 = , 故 2= . a b 2 a 2 a 2 由于△ABF2 的周长为|AB|+|BF2|+ |AF2|= |AF1|+ |AF2|+ |BF1|+ |BF2| x2 y2 =4a=16,故 a=4.∴b2=8.∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 x2 y2 答案 + =1 16 8 16.某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3 000 名学生中随机抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩, 得到了样本的频率分布直方图(如图). 根据频率分布直方图推 测,这 3 000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是________. 2 .过 2

师分别用 E、F 表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为: (A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)共 9 种,从 中选出两名教师性别相同的结果有: 4 (A,D),(B,D),(C,E),(C,F)共 4 种,选出的两名教师性别相同的概率为 P= . 9 (2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C, E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共 15 种. 从中选出两名教师来自同一学校的结果有: (A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)共 6 种, 6 2 选出的两名教师来自同一学校的概率为 P= = . 15 5 18.(12 分)某市 2010 年 4 月 1 日—4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可 吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成频率分布表; (2)作出频率分布直方图; (3)根据国家标准,污染指数在 0~50 之间时,空气质量为优;在 51~100 之间时,为良; 在 101~150 之间时,为轻微污染;在 151~200 之间时,为轻度污染.

解析 本题考查频率分布直方图的应用,难度较小.由直方图易得数学考试中成绩小于 60 分的频率为(0.002+0.006+0.012)?10=0.2, 所以所求分数小于 60 分的学生数为 3 000?0.2 =600. 答案 600 三、解答题 17.(10 分)甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女.
《高中数学综合检测题一》

请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. 解 (1)频率分布表: 分组 [41,51) [51,61) 频数 2 1 频率 2 30 1 30

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[61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111) (2)频率分布直方图:

4 6 10 5 2

4 30 6 30 10 30 5 30 2 30

所以 BD⊥平面 PAD,故 PA⊥BD. (2)解 如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射

线 DA 为 x 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D-xyz, 则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-1, 3,0),P(0,0, 1). → → → AB=(-1, 3,0),PB=(0, 3,-1),BC=(-1,0, 0). 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z), → ? AB=0, ?-x+ 3y=0, ?n· 则? 即? → ? 3y-z=0. ? PB=0. ?n· 因此可取 n=( 3,1, 3). → ? PB=0, ?m· 设平面 PBC 的法向量为 m,则? → ? BC=0. ?m· -4 2 7 可取 m=(0,-1,- 3).cos〈m,n〉= =- . 7 2 7 2 7 故二面角 APBC 的余弦值为- . 7 20.(12 分) 如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 4 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5 解 (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

(3)答对下述两条中的一条即可: 1 (i)该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平,占当月天数的 ;有 26 天处于良的水 15 13 14 平,占当月天数的 ;处于优或良的天数共有 28 天,占当月天数的 .说明该市空气质量基 15 15 本良好. 1 (ii)轻微污染有 2 天,占当月天数的 .污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 天, 15 17 加上处于轻微污染的天数,共有 17 天,占当月天数的 ,超过 50%.说明该市空气质量有 30 待进一步改善. 19.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行 形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 A PB C 的余弦值. 证明 (1)因为∠DAB=60° ,AB=2AD,由余弦定理得 BD= 3AD. 四边

x =x, ? ?P 由已知得? 5 ?yP=4y. ? ∵P 在圆上, 5 x2 y2 ∴x2+( y)2=25,即轨迹 C 的方程为 + =1. 4 25 16

从而 BD2+AD2=AB2,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD.
《高中数学综合检测题一》

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4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5 x (x-3) + =1, 25 25 即 x2-3x-8=0. 3- 41 3+ 41 ∴x1= ,x2= . 2 2 ∴线段 AB 的长度为 |AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= 16 (1+ )(x1-x2)2= 25 41 41 ?41= . 25 5
2 2

(3)解

→ 由(2)知BC=(-1, 3,0).

→ 设 P(0,- 3,t)(t>0),则BP=(-1,- 3,t). 设平面 PBC 的法向量 m=(x,y,z), → → 则BC?m=0,BP?m=0.

?-x+ 3y=0, 所以? ?-x- 3y+tz=0.
6 6 令 y= 3,则 x=3,z= .所以 m=(3, 3, ). t t 6 同理,平面 PDC 的法向量 n=(-3, 3, ). t 36 因为平面 PBC⊥平面 PDC,所以 m· n=0,即-6+ 2 =0, t 解得 t= 6.所以 PA= 6. 22.(12 分) 如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 解
? ?y=x+b (1)由? 2 得 x2-4x-4b=0(*), ?x =4y ?

21.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2, ∠BAD=60°. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长. (1)证明 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC. (2)解 设 AC∩BD=O, 因为∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以 BO=1,AO=CO= 3. 如图, 以 O 为坐标原点, 建立空间直角坐标系 O xyz, 则 P(0, - 3,2), A(0,- 3,0),B(1,0,0),C(0, 3,0). → 所以PB=(1, 3,-2), → AC=(0,2 3,0). 设 PB 与 AC 所成角为 θ,则 → → PB?AC 6 6 cos θ =| |= = . 4 → → 2 2 ? 2 3 |PB||AC|
《高中数学综合检测题一》

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 Δ=(-4)2-4?(-4b)=0,解得 b=-1. (2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)为 x2-4x+4=0,解得 x=2, 代入 x2=4y,得 y=1,故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆 A 的半径 r 就等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离,即 r=|1-(-1)|=2, 所以圆 A 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.

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高中数学综合检测题二(必修 3、选修 2-1)
一、选择题(每小题 5 分,每小题有且只有一个正确选项) 1.甲、乙两人一起去游“2011 西安世园会”,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( 1 A. 36 ). 1 B. 9 5 C. 36 1 D. 6

答案 D 4.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分不必要的条件是 A.a>b+1 B.a>b-1 a>b+1. C.a2>b2 ( D.a3>b3 ).

解析 a>b+1?a>b,a>b 答案 A

5.设集合 M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

(

).

解析 考查学生的观察问题和解决问题的能力. 最后一个景点甲有 6 种选法, 乙有 6 种选法, 6 1 共有 36 种,他们选择相同的景点有 6 种,所以 P= = ,所以选 D. 36 6 答案 D 2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法 在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学 生中应抽取的人数为 ( A.6 B.8 ). C.10 D.12

解析 若 N?M,则需满足 a2=1 或 a2=2.解得 a=± 1 或 a=± 2.故“a=1”是“N?M” 的充分不必要条件. 答案 A 6.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为( A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 ).

解析 设圆 C 的半径为 r,则圆心 C 到直线 y=0 的距离为 r.由两圆外切可得,圆心 C 到 点(0,3)的距离为 r+1,也就是说,圆心 C 到点(0,3)的距离比到直线 y=0 的距离大 1, 故点 C 到点(0,3)的距离和它到直线 y=-1 的距离相等,符合抛物线的特征,故点 C 的 轨迹为抛物线. 答案 A 7.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分(十 分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 mo,平均值为 x ,则 ( ).

30 解析 本题是随机抽样中的分层抽样, 题目简单, 考查基础知识. 设样本容量为 N, 则 N? 70 40 =6,∴N=14,∴高二年级所抽人数为 14? =8. 70 答案 B 3.设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点, 直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如 图),以下结论中正确的是 ( ).

A.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D.直线 l 过点( x , y ) 解析 本题主要考查统计案例中线性回归直线方程的意义及对相关系数的理解. 因为相关系 数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值,它的绝对值越接近 1,两个变量的线性 相关程度越强,所以 A、B 错误.C 中 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数可以不相 同,所以 C 错误.根据回归直线方程一定经过样本中心点可知 D 正确.
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A.me=mo= x

B.me=mo< x

C.me<mo< x

D.mo<me< x

解析 本题考查了读图、识图能力以及对中位数、众数、平均数的理解.30 个数中第 15 个数

5+6 是 5,第 16 个数是 6,所以中位数为 =5.5,众数为 5, 2 3?2+4?3+5?10+6?6+7?3+8?2+9?2+10?2 179 x= = . 30 30 答案 D 8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高 x (cm) 儿子身高 y (cm) 则 y 对 x 的线性回归方程为 A.y=x-1 B.y=x+1 1 C.y=88+ x 2 D.y=176 174 175 176 175 176 176 176 177 178 177 ( ).

A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数

B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数

解析 原命题是全称命题,其否定是:存在一个能被 2 整除的数不是偶数. 答案 D 12.已知命题 p:?n∈N,2n>1 000,则綈 p 为 A.?n∈N,2n≤1 000 B.?n∈N,2n>1 000 ( ).

C.?n∈N,2n≤1 000 D.?n∈N,2n<1 000

解析 命题 p 的否定为:?n∈N,2n≤1 000. 答案 A 二、填空题(每小题 5 分) 13.如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是________.

解析 本题考查了线性回归知识,以及回归直线 y=bx+a 恒过定点( x , y ),也考查了学 生的计算能力以及分析问题、解决问题的能力. 因为 x = 174+176+176+176+178 175+175+176+177+177 =176, y = =176, 5 5

解析 本小题主要考查算法程序框图的读取及相关的计算. 程序运行后,s=0+(-1)1+1=0,n=2;s=0+(-1)2+2=3,n=3;s=3+(-1)3+3=5,n =4;s=5+(-1)4+4=10>9,故输出的结果是 10. 答案 10

又 y 对 x 的线性回归方程表示的直线恒过点( x , y ),所以将(176,176)代入 A、B、C、D 中 检验知选 C. 答案 C 9.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 x≥2,且 y≥2,如 x=-2,y=1,故“x≥2 ( ).

14.在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________. 解析 考查几何概型,求出长度之比即可.[-1,2]的长度为 3,[0,1]的长度为 1,所以概率是 1 . 3 答案 1 3

解析 x≥2,且 y≥2?x2+y2≥4,x2+y2≥4 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件. 答案 A 10.若 p 是真命题,q 是假命题,则 A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题

15.一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人.若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中 ( C.綈 p 是真命题 ). 抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男运动员的人数为________. 21 解析 本小题考查分层抽样知识和处理信息的能力,难度很小.样本的抽取比例为 = 48+36 1 , 4 1 所以应抽取男运动员 48? =12(人). 4 ( ).
《高中数学综合检测题二》

D.綈 q 是真命题

解析 由于 p 是真命题, q 是假命题, 所以綈 p 是假命题, 綈 q 是真命题, p∧q 是假命题, p∨q 是真命题. 答案 D 11.命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是

答案 12
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16.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 k 的值是________.

(1) 当 X = 8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是: 8,8,9,10 ,所以平均数为: x = 8+8+9+10 35 = ; 4 4 35 35 35 35 1 11 8- ?2+?8- ?2+?9- ?2+?10- ?2]= . 方差为:s2= ?[? 4 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? 16 4 ? (2)记甲组四名同学为 A1, A2, A3, A4, 他们植树的棵数依次为 9,9,11,11; 乙组四名同学为 B1, B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可 能的结果有 16 个: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4), (A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4), (A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),

解析

本题主要考查程序框图,要注意循环结构的使用条件,难度较小.初始值:k=2,执

用 C 表示“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它们是: 4 1 (A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2).故所求概率为 P(C)= = . 16 4 18.(12 分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用 品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X f 1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c

行“k=k+1”得 k=3,a=43=64,b=34=81,a>b 不成立; k=4,a=44=256,b=44=256,a>b 不成立; k=5,a=4 =1 024,b=5 =625,a>b 成立,此时输出 k=5. 答案 5 三、解答题 17.(10 分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊, 无法确认,在图中以 X 表示.
5 4

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a, b,c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用 品记为 y1,y2.现从 x1,x2,x3,y1,y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能 性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 解 (1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1,即 a+b+c=0.35.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的 1 概率.(注:方差 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为 x1,x2,?,xn 的平 n 均数) 解 本题考查概率统计的基础知识和方法,考查运算能力,分析问题、解决问题的能力.

3 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= =0.15, 20 2 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= =0.1,从而 a=0.35-b-c=0.1. 20 所以 a=0.1,b=0.15,c=0.1. (2)从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,所有可能的结果为:{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1}, {x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}.

《高中数学综合检测题二》

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记事件 A 表示“从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,其等级系数相等”,则 A 包含的基 本事件为:{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共 4 个. 又基本事件的总数为 10, 4 故所求的概率 P(A)= =0.4. 10 19. (12 分)在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为平行四边形, ∠ACB=90°, EA⊥平面 ABCD, EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF. (1)若 M 是线段 AD 的中点,求证:GM∥平面 ABFE; (2)若 AC=BC=2AE,求二面角 ABFC 的大小. (1)证明 ∠ACB=90°. 所以∠EGF=90°, △ABC∽△EFG. 由于 AB=2EF,因此 BC=2FG. 连接 AF, 1 由于 FG∥BC,FG= BC, 2 在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点, 1 则 AM∥BC,且 AM= BC, 2 因此 FG∥AM 且 FG=AM, 所以四边形 AFGM 为平行四边形, 因此 GM∥FA. 又 FA?平面 ABFE,GM?平面 ABFE, 所以 GM∥平面 ABFE. (2)解 因为∠ACB=90°,所以∠CAD=90°. 又 EA⊥平面 ABCD,所以 AC,AD,AE 两两垂直. 分别以 AC,AD,AE 所在直线为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设 AC=BC=2AE=2,则由题意得 A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1), 因为 EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,

1 → → 所以AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0).又 EF= AB, 2 → 所以 F(1,-1,1),BF=(-1,1,1). 设平面 BFC 的法向量为 m=(x1,y1,z1),
? ?y1=0, → → 则 m· BC=0,m· BF=0,所以? 取 z1=1,得 x1=1,所以 m=(1,0,1). ?x1=z1, ?

设平面向量 ABF 的法向量为 n=(x2,y2,z2),
?x2=y2, ? → → 则 n· AB=0,n· BF=0,所以? 取 y2=1,得 x2=1,则 n=(1,1,0). ? ?z2=0,

m?n 1 所以 cos〈m,n〉= = . |m|?|n| 2 因此二面角 A BF C 的大小为 60°. x2 y2 20.(12 分)P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M,N 分别是双曲线 E a b 1 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲 → → → 线上一点,满足OC=λ OA+OB,求 λ 的值. 解 x2 y2 x02 y02 (1)点 P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上,有 2 - 2 =1. a b a b

y0 y0 1 由题意又有 ? = , x0-a x0+a 5 c 30 即 x02-5y02=a2,可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则 e= = . a 5
?x2-5y2=5b2, ? (2)联立? 得 4x2-10cx+35b2=0, ?y=x-c, ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x +x = 2 , 则? 35b ?x x = 4 .
1 2 2 1 2

5c



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→ → → → 设OC=(x3,y3),OC=λOA+OB,
? ?x3=λx1+x2, 即? ?y3=λy1+y2, ?

→ ? ?x=0, CB=0, ? ?n· ? 即? ?-x+2y-z=0. → ? BP=0, ? ? n· 因此可取 n=(0,-1,-2). → ? BP=0, ?m· 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则? → ? PQ=0. ?m· ② 可取 m=(1,1,1), 所以 cos〈m,n〉=- 15 . 5 15 . 5

又 C 为双曲线上一点,即 x32-5y32=5b2, 有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2, 化简得 λ2(x12-5y12)+(x22-5y22)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2, 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以 x12-5y12=5b2,x22-5y22=5b2. 由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, 由②式得 λ2+4λ=0,解出 λ=0,或 λ=-4. 21.(12 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 1 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2 (1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q BP C 的余弦值. 解 如图, 以 D 为坐标原点, 线段 DA 的长为单位长,

故二面角 Q BP C 的余弦值为-

2 y2 22. (12 分)设 F1 , F2 分别是椭圆 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x

a

b

轴垂直,直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b. (1 )

射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D xyz. (1)证明 依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1), → → P(0,2,0),则DQ=(1,1,0),DC=(0,0, → 1),PQ=(1,-1,0). → → → → 所以PQ?DQ=0,PQ?DC=0. 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC,又 DQ∩DC=D, 故 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ?平面 PQC, 所以平面 PQC⊥平面 DCQ. → → (2)依题意有 B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1). 设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的法向量,则

MF1 3 b 2 1 3 ?由题知, = ∴ ? = , 且a 2 = b 2 + c 2 .联立整理得: 2e 2 + 3e - 2 = 0, F1 F2 4 a 2c 4 1 1 解得e = .∴ C的离心率为 . 2 2
(2 )

由三角形中位线知识可 知,MF2 ? 2 ? 2,即

b2 ? 4. a 设F1 N ? m,由题可知MF1 ? 4m.由两直角三角形相似, 可得 3 M , N两点横坐标分别为 c,- c.由焦半径公式可得: 2 3 c MF1 ? a ? ec, NF1 ? a ? e(- c),且MF1 : NF1 ? 4 : 1, e ? , 2 a 2 2 2 a ? b ? c .联立解得a ? 7, b ? 2 7. 所以,a ? 7, b ? 2 7

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