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2013届东莞五中高三文数立体几何复习资料


东莞第五高级中学 2013 届文科数学立体几何复习资料

立体几何
第一节 班别:
一、基础知识: 1.空间简单几何体及其结构 1.多面体:由若干个平面多边形
C1
C1

空间几何体的结构特征 姓名: 学号:

的几何体叫做多面体.
C1
B1

A1
B1

B1

A1
A1 C

C

C
B
B

A

A

A

B

斜三棱柱 直三棱柱 正三棱柱 2.棱柱: (1)棱柱的定义:有两个面 ,其余各面都是 ,并且每相邻两个四边 形的公共边都互相 ,由这些面所围成的多面体叫棱柱.特别地,若底面为 的直棱柱叫正棱柱. (2)棱柱具有的性质:1)棱柱的各个侧面都是 ;所有的侧棱都 ; 特别地,直棱柱的各个侧面都是 ;正棱柱的各个侧面都是 2)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是 3.棱锥: (1)棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是 , 由这些面所围成的多面体叫做棱锥.底面是正多边形,且各侧面 的棱锥叫做正棱锥。 (2)正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的 ;棱锥的高、斜高和斜高在底 面上的射影组成一个 三角形; 棱锥的高、 侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个 三角 形.
P

P

P

P

C
C B A
B C A
E

D C

O F
A B

B

A

三棱锥 正三棱锥 底面是正三角形 三棱锥 顶点在底面的射影是底面中心

正四面体 正三棱锥

正棱锥(O 为底面的中心) 所有棱长都相等 正四面体

4.棱台: (1)棱台的定义:用一个 于棱锥底面的平面去截棱 锥,底面与截面之间的部分叫做棱台.由 截得的棱台叫做 正棱台. (2)正棱台的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的 ;
E

D1 E1 A1 D O A O1

C1 B1

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B

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正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个 两底面相应的半径也组成一个 梯形. 5.圆柱、圆锥、圆台:
P
O1

梯形,两底面中心连线、侧棱和

P
P

O1

O Q

O Q
Q

O

(1)定义:分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做 、 、 . (2)圆柱、圆锥、圆台的性质:平行于底面的截面都是 ;过轴的截面(轴截面)分别是 全等的 、 、 . 6.球: (1)球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,旋转所成的曲面叫做 。 球面所 的几何体叫做球体(简称球) . (2)球的截面性质:球心和截面圆心的连线垂直于截面;球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及 截面的半径 r,有下面的关系式: . 二、典型题型: 题型一、棱柱、棱锥、棱台的有关问题 例 1、如图: 已知正四棱锥 V-ABCD,如图,底面面积为 16,一条侧棱长为 2 11 , 求正四棱锥的高和斜高

D
G

C

A

B

变式练习 1、已知正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 的上下底面边长分别为 2、 4,中心分别为 O1、O,高为 2,求其斜高。

A1

O1 B1

D1 C1

D A O B C

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题型二:圆柱、圆锥、圆台的有关问题(解题思路:充分利用轴截面及侧面展开图)。 例 2、已知圆锥的底面半径为 3,母线长为 7,求圆锥的高。

变式 2、圆台的上、下底面半径分别为 5cm、10cm,母线长 PQ=20cm,求高.

P

O1

O Q

题型三:与球有关的问题(解题思路:注意球面距离与纬度距离的区别及球内接几何体的问题)。 例 3、 (1)长方体的长是 2,宽是 3,高是 4,它的顶点都在同一个球面上,求这个球的半径。 (2)已知球的半径为 5,现作球的一个截面,球心离截面的距离为 3,求截面的半径。

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三、能力训练: 1.如果圆锥的底面半径为 2 ,高为 2,那么它的母线长是( A. 1 B. )

2

C.

6

D.

2 )

2.已知正四棱台的上、下底边长分别为 2、4,高为 2,则其斜高为( A.

5

B.

6

C. 2 2

D.2 3 )

3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 , 这个长方体对角线的长是( A. 2 3 B. 3 2 C.6 D.

6

A1 B1

F1

O1 C1

E1 D1

4.正六棱台 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 的上下底面边长分别为 2 和 4,中心 分别为 O1,O,高为 2,其斜高为 。 5. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π , 则球的半径 为 . 6.圆台上、下底面半径分别为 1 和 2,母线长为 2,则这个圆台的高 为 ;母线与下底面半径的夹角大小为 .

F A O B C

E D

7、已知球的半径为 10,现作半径是 6 的球一个截面,则球心离截面的距离是



8. 把一个圆锥截成圆台,已知圆台上、下底面半径之比为 1 :4,母线长为 12 厘米,求圆锥 的母线长.

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第二节 班别:

三视图与直观图 学号:

姓名:

一、基础知识: 1.三视图与直观图 (1)三视图:光线从几何体的 的正投影,得到的投影图叫几何体的正视图(或主 视图) ;从几何体的 的正投影,得到的投影图叫几何体的侧视图(或左视图) ;从 几何体的 正投影,得到的投影图叫几何体的俯视图 (2)常见几何体的三视图: 球的三视图是: ;长方体的三视图都是: ;圆锥的正视图,侧视图都 是: ,俯视图是: ;圆柱的正视图、侧视图都是: , 俯视图是: 2、水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法: (1) 在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴两轴相交与 O, 画直观图时, 他们分别对应 x’,y’, 相交于点 O’,且使 ?x?Oy ? ? ,他们确定的平面表示水平面

(2)已知图形中平行于 x 或 y 轴的线段,在直观图中,分别画成 (3)已知图形中,平行与 x 轴的线段,在直观图中 观图中

;平行与 y 轴的线段,在直

二、典型题型: 题型 1:三视图 例 1. 【2102 福建文 4】一个几何体的三视图形状都相同,大小均等, 则几何体不可以是( A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 【答案】D. 考点:空间几何体的三视图。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为空间几何体的三视图,直接画出即可。 解答:圆的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)和俯视图均为圆; 三棱锥的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)和俯视图可以为全等的三角形; 正方体的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)和俯视图均为正方形; 圆柱的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)为矩形,俯视图为圆。 变式 1.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为 .... ①长方形;②正方形;③圆;④椭圆.其中正确的是 A.①② C.③④ B. ②③ D. ①④ 2 3 2 ( . B . 2 ) .



变式 2.【2012.湖南文】某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能 ... 是( )

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【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知,原图下面图 为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C,都可能是该几 何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年来热点题型.

2、斜二测画法: 例 2. ?A?B ?C ? 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 ?A?B ?C ? 的面积为 3 , 那么△ABC 的面积为_______________。 变式 2、对于一个底边在 x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积与原三 角形面积的比是:

三、能力训练: 1.如图所示,甲、乙、丙是三个立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是: (



①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆 A.④③② B. ②①③ C. ①②③ D. ③②④ 2.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积 为( ) ...



A.

? 4

B.

2 ? 4

C.

2 ? 2

D.

1 ? 2
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3.已知某一空间几何体的正视图与侧视图如图 1 所示,则在下列①②③④⑤对应图形中,可以 是该几何体的俯视图的图形有( D )

正视图 ① A.①②③⑤ ② ③ B.②③④⑤ ④ ⑤ C.①②④⑤ D.①②③④ 图1

侧视图

4.【2012 高考新课标文 7】如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何体的三视 图,则此几何体的体积为( )

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D ) ??

【答案】B【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算,是简单题. 【解析】由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底面为一边长为 6,这边上高为 3,棱锥的高 为 3,故其体积为 ? ? 6 ? 3 ? 3 =9,故选 B.

1 1 3 2

5.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等 的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为 1, 那么这个几何体的表面积为

正视图

侧视图

俯视图 6.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

①正方体 A.①②
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②圆锥 B.①③

③三棱台 C.①④
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④正四棱锥 锥 D.②④
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7.一个几何体的三视图及其尺寸 如右图(单位: cm ) , 则该几何体的表面积为 .

5 6

5

5 6

5
俯视图(正方形)

6

正视图

侧视图

8.如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 视图可以是( )

1 。则该几何体的俯 2

9.将正三棱柱截去三个角 (如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点) 得到几何体如图 2, 则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) H B A I C G 侧视 D F 图1 E F 图2 B A C B E A. B. B B B

E

D

E

E C.

E D.

10.【2012 高考陕西文 8】将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体, 则该几何体的左视图为 ( )

【答案】B.【解析】显然从左边看到的是一个正方形,因为割线 AD1 可见,所以用实线表示; 而割线 B1C 不可见,所以用虚线表示.故选 B.

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11、如图所示的斜二测直观图△O?A?B?中,O?A?=2,A?B?= 2 ,则其原平面图形△ABC 的面积 为 .

B? O? 45?

y?

A? x?

第三节 班别:

空间几何体的表面积和体积 姓名: 学号:

考点要求: 掌握空间几何体的表面积和体积的计算公式和方法 三、基础知识: 一、柱、锥、台体的面积公式 1、 2、 4、

S圆柱侧面积 = S圆柱全面积 S圆锥全面积
= =

= ;3、



S圆锥侧面积

=



; ( r 为底面半径

l 为母线长)

5、 S圆台侧面积 6、 S圆台表面积

? ?(r '?r )l

( r′为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长) ( r′为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长)

? ?(r'2 ?r 2 ? r' l ? rl )

二、柱、锥、台体的体积公式: 1、柱体的体积公式:V 柱体=Sh 3、台体的体积公式:V 台= ( S ? S ?
'

2、锥体的体积公式:V 锥体=

1 ' Sh 3

1 3

S ' S )h

三、球的表面积和体积: 1、球的表面积公式: S 球 = 四、典型题型: 题型一、柱体有关面积、体积计算的问题 例 1. 【2012 高考辽宁文】 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为_______________. 2、球的体积公式: V球 =

【答案】12+π
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【命题意图】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能 力,属于容易题。 【解析】 由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体, 其中长方体的长、 宽、 高分别为 4、 3、 1, 圆柱的底面直径为 2, 高位 1, 所以该几何体的体积为 3 ? 4 ?1 ? ? ?1?1 ? 12 ? ? 【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力, 属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何 体的形状计算出体积。 变式 1.【2012 高考安徽文】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于______。

【答案】 56 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱 几何体的的体积是 V ?

1 ? (2 ? 5) ? 4 ? 4 ? 56 2


变式 2.【2012 高考江西文】若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为 (

A.

11 2

B.5

C.4

D.

9 2

【答案】C【解析】通过观察三视图,确定几何体的形状,继而求解. 通过观察几何体的三视图可知,该几何体是一个底面为六边形(2 条对边长为 1,其余 4 条边长 为 2) ,高为 1 的直棱柱.所以该几何体的体积为 V = sh = ?1? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ?

? ?

1 2

? ?

?1 ? 4 故选 C.
【点评】 本题考查三视图及空间想象能力, 体现了考纲中能掌握三视图所表示的简单的立体图形 以及对空间想象能力的要求, 来年三视图考查仍然围绕根据三视图求几何体的表面积或体积, 以 及根据几何体来求三视图等问题展开,难度适中.

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题型二:与锥体的面积与体积有关的计算问题 例2、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S.

变式 1.【2012 高考江苏】如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则 四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 _______ cm .
3

【答案】6。 【考点】正方形的性质,棱锥的体积。 【解析】∵长方体底面 ABCD 是正方形, ∴△ ABD 中 BD =3 2 cm, BD 边上的高是 也是 A ? BB1D1D 中 BB1D1D 上的高) 。 ∴四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ? 3 2 ? 2 ?

3 2 cm(它 2

1 3

3 2=6 。 2

变式 2.【2012 高考浙江文 3】已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所 示,则该三棱锥的体积是 ( ) A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3 【答案】A 【命题意图】 本题考查的是三棱锥的三视图问题, 体现了对学生空间想象能 力的综合考查。 【解析】由题意判断出,底面是一个直角三角形,两个直角 边分别为 1 和 2,整个棱锥的高由侧视图可得为 3,所以三棱锥的体积为

1 1 ? ? 1? 2 ? 3 ? 1 . 3 2
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题型三:几何组合体的面积与体积问题 例 3.右图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体,

则该组合体的侧视图的面积为( A. 8? B. 6?

) C. 4 ? 3 D. 2 ? 3

2. 【解析】该组合体的侧视图是上面边长为 2 的正三角形,下面是边长为 2 的正方形
1 ∴组合体的侧视图的面积为 S ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ,故选 C 2

变式 1.如右图为一个几何体的三视图, 尺寸如图所示, 则该几何体的表面积为 (不考虑接触点) (C) A. 6+ 3 + ? B. 18+ 3 + 4? C. 18+2 3 + ? D. 32+ ? 正视图 侧视图 俯视图
2 1
3

2 2

C
1

3

2

2

三、能力训练: 1.【2012 高考上海文 5】一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2? ,该圆柱的表面积为 【答案】 6? 【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为 r ? 1 ,所以该圆柱的表面积为:

S圆柱表 ? 2?rl ? 2?r 2 ? 4? ? 2? ? 6? .
【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意,所求的为圆柱的表面积,不是侧面 积,也不是体积,其次,对空间几何体的表面积公式要记准记牢,属于中低档题. 2. —个几何体的三视图及其尺寸如下,则该几何体的表面积 C A. B.
C. D.

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3.右上图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( A 9π B 10π C 11π D 12π



4.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,

则该几何体的体积是

3 ? 6 .

正视图

侧视图

俯视图 5.若某几何体的三视图(单位: cm ) ,如图所示,则此几何体的体积是

cm3 .

6.【2012 高考新课标文】平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2, 则此球的体积为 (A) 6π 【答案】B (B)4 3π
2

(C)4 6π

(D)6 3π

【解析】球半径 r ? 1 ? ( 2 ) ?

4 3 ,所以球的体积为 ? ? ( 3 ) 3 ? 4 3? ,选 B. 3

7.【2012 高考湖北文】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____________.

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【答案】 12? 【解析】由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为 2,高为 1)与中间 一个圆柱(底面圆半径为 1,高为 4)组合而成,故该几何体的体积是

V ? ? ? 22 ?1? 2 ? ? ?12 ? 4 ? 12? .
8.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH,下半部 分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;(2)求该安全标识墩的体积(3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

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第四节

平行问题

一、基础知识: 1、空间中点、线、面的位置关系: (1)空间中直线与直线的位置关系有三种,即 、 、 ; (2)空间中直线与平面的位置关系有三种,即 、 、 ; (3)空间中平面与平面的位置关系有两种,即 、 、 。 2、线线平行: 定义:在同一平面内 的两条直线叫做平行直线。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线 。 3、线面平行: 判定定理:平面外一条直线与此平面 ,则该直线与此平面平行(简 记为“线线平行,则线面平行” ) 。符号表示: 性质定理:一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一平面与此平面的 与该直线平行 (简记为“线面平行,则线线平行” ) 。符号表示: 4、面面平行: 判定定理: 一个平面内的 都平行于另一个平面, 则这两个平面平行 (简记为 “线 面平行,则面面平行” ) 。符号表示: 性质定理 1:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 (简记为“面面平行,则线线平行” ) 。符号表示: 性质定理 2:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任何直线 于另一个平面 (简记为“面面平行,则线面平行” ) 。符号表示: 5、方法归纳: (1)两直线平行的判定方法: 1)定义;2)公理 4; 3)线面平行的性质;4)面面平行的性质;5)线面垂直的性质。 (2)直线与平面平行的判定方法: 1)定义;2)线面平行判定定理;3)面面平行性质。 (3)两平面平行的判定方法: 1)定义;2)面面平行判定定理;3)垂直于同一条直线的两个平面平行; 4)平行于同一个平面的两个平面平行。 6、空间平行关系之间的转化: (这也是立体几何中证明平行关系的常用思路) 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 二、典型题型: 题型一、直线与平面平行的证明 例 1、 如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 是正四棱柱侧棱长为 1,底面边长为 2,E 是棱 BC 的中点。

D1

C1 B1

(1)求证: BD1 // 平面 C1 DE ; (2)求三棱锥 D ? D1 BC 的体积.

A1 D

C E B

A

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1. (1)证明:连接 D1C 交 DC1 于 F,连结 EF ∵正四棱柱,∴四边形 DCC1D1 为矩形,∴F 为 D1C 中点. 在△CD1B 中,∵E 为 BC 中点,∴EF//D1B. 又∵D1B ? 面 C1DE,EF ? 面 C1DE,∴ BD1 // 平面 C1 DE . (2)连结 BD, VD?D1BC ? VD1 ?DBC ,∵正四棱柱,∴D1D⊥面 DBC. ∵DC=BC=2,∴ S ?BCD ?

VD1 ? DBC

1 ? 2? 2 ? 2. 2 1 1 2 2 ? ? S ?BCD ? D1 D ? ? 2 ? 1 ? .∴三棱锥 D ? D1 BC 的体积为 . 3 3 3 3

变式练习 1.如图(1)是一正方体的表面展开图,MN 和 PB 是两条面对角线,请在图(2)的正 方体中将 MN 和 PB 画出来,并就这个正方体解决下面问题。求证:MN∥平面 PBD;

Q

N

D C

M

P

A

D A 图(2)

C

B 图(1)

解:MN 和 PB 的位置如右图示: (正确标出给 1 分) (Ⅰ)∵ ND∥MB 且 ND=MB ∴四边形 NDBM 为平行四边形 ∴MN∥DB------------------------------------------3 分 ∵ NM ? 平面 PDB, DB ? 平面 PDB ∴MN∥平面 PBD---------------------------------4 分 题型二、直线与平面平行性质的运用
P

N M

Q

D A B

C

例 2、如图, ? ? ? ? CD, ? ? ? ? EF, ? ? ? ? AB, AB // ? , 求证:CD//EF。 P E
D ? ? C E ? F

B A

D A

C

B

变式 2. 如右上图,四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形, E 是侧棱 PD 上一点,且 PB∥平面 EAC. 求证:E 是 PD 的中点;

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变式 2 答案. 证:设 AC 与 BD 交于点 O,连结 EO. ∴EO 是平面 PBD 与平面 EAC 的交线. ∵PB∥平面 EAC, ∴PB∥EO. 又 O 为 AC 中点,∴E 为 PD 中点.

题型四:平面与平面平行的证明 例 3. (2010· 山东青岛 )在直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中, AA1= 2,底面是边长为 1 的正方形, E、 F、 G 分别是棱 B1B、D1D、 DA 的中点.求证:平面 AD1E∥平面 BGF; 证明: (1)∵ E, F 分别是棱 BB1, DD1 的中点, ∴ BE//=D 1F.∴四边形 BED1F 为平行四边形. ∴ D1E∥ BF. 又 D1E? 平面 AD1E, BF?平面 AD1E, ∴ BF∥平面 AD1E. 又 G 是棱 DA 的中点,∴GF∥ AD1. 又 AD1? 平面 AD1E, GF?平面 AD1E, ∴ GF∥平面 AD1E. 又 BF∩ GF= F,∴平面 AD1E∥平面 BGF. 三、能力训练:

AB ? 2a ,E 、F 分别为 C1D1 、A1 D1 1.如图, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AA 1 ? AD ? a ,
的中点.求证: AF // 平面 BDE .

D1
F

E

C1

A 1
D A
1. 证明:连 EF 、 A1C1 ,连 AC 交 BD 于 O , ? EF //

B1
C
B

1 1 A1C1 , AO // A1C1 , 2 2

? 四边形 AOEF 是平行四边形, ? AF // OE
又? OE ? 平面 BDE , AF ? 平面 BDE , ? AF // 平面 BDE . 2.【2012 高考辽宁文 18】(本小题满分 12 分)
/ / / 如图,直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2, AA′=1,点 M,N 分别为 A B
/

和 B C 的中点。证明: MN ∥平面 A ACC ;

/

/

/

/

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【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中。 【解析】 (1) (法一)连结 AB',AC' ,由已知 ?BAC =90?,AB=AC 三棱柱 ABC -A'B'C' 为直三棱柱, 所以 M 为 AB ' 中点.又因为 N 为 B'C' 中点 所以 MN //AC' ,又 MN ? 平面 A'ACC' AC' ? 平面 A'ACC' ,因此 MN //平面A'ACC' (法二)取 A?B ? 的中点为 P,连结 MP,NP, ∵ M , N 分别为 A B 和 B / C / 的中点, ∴MP∥ AA? ,NP∥ A?C ? , ∴MP∥面 A?ACC ? ,NP∥面 A?ACC ? , ∵ MP ? NP ? P , ∵MN ? 面 A?ACC ? , ∴面 MPN∥面 A?ACC ? , ∴MN∥面 A?ACC ? .
/

??6 分

3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点, 设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

3.解 当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO. ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点,∴QB∥PA. ∵P、O 为 DD1、DB 的中点,∴D1B∥PO. 又 PO∩PA=P,D1B∩QB=B,D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO.

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第五节 班别: 姓名:

垂直问题 学号:

三、基础知识: (一) 直线与直线垂直: 1.判定直线与直线垂直的方法: (1)如果空间两条直线所成的角是直角,那么这两条直线互相垂直. (定义法) (2)如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直. 用符号表示为 . (二)直线与平面垂直: 1.定义:如果一条直线和一个平面相交,且和这个平面内的任意一条直线都垂直,那么这条直 线和这个平面互相垂直. 2.判定直线与平面垂直的方法: (1)如果一条直线与一个平面内的__________________都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 (线面垂直的判定定理) . 用符号表示为 . (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.用符号 表示为 . (3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么这条直线也垂直于另一个平面.用符号 表示为 . 3.性质定理: 垂直于同一直线的两条直线___________,用符号表示为____________________________。 (四)空间垂直关系之间的转化: (这也是立体几何中证明垂直关系的常用思路) 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 四、典型题型: 题型一、线面垂直问题 例1. 如图,棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, PA=AD=2,BD= 2 2 .求证:BD⊥平面 PAC。

P

证:在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2,ABCD 为正方形, 因此 BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, ∴BD⊥PA . 又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面 PAC.

A

D

B

C

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变式 1.如图直三棱柱 ABC—A1B1C1 ,AC =BC =1,∠ACB =90°, AA1 = 2 ,D 是 A1B1 中点. (1)求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时,会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ? 并证明你的结论.

变式 1.分析: (1)由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ,只要证 明 C1D 垂直交线 A1B1 ,由直线与平面垂直判定定理可得 C1D ⊥平面 A1B. (2)由(1)得 C1D ⊥AB1 ,只要过 D 作 AB1 的垂线,它与 BB1 的交点即为所求的 F 点 位置. (1)证明:如图,∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱, ∴ A1C1 =B1C1 =1,且∠A1C1B1 =90°. 又 D 是 A1B1 的中点,∴ C1D ⊥A1B1 . ∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ,C1D ? 平面 A1B1C1 , ∴ AA1 ⊥C1D ,∴ C1D ⊥平面 AA1B1B. (2)解:作 DE ⊥AB1 交 AB1 于 E ,延长 DE 交 BB1 于 F ,连结 C1F ,则 AB1 ⊥平面 C1DF ,点 F 即为所求. 事实上,∵ C1D ⊥平面 AA1BB ,AB1 ? 平面 AA1B1B , ∴ C1D ⊥AB1 .又 AB1 ⊥DF ,DF ? C1D =D ,∴ AB1 ⊥平面 C1DF . 点评:本题(1)的证明中,证得 C1D ⊥A1B1 后,由 ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1 ⊥平面 AA1B1B ,立得 C1D ⊥平面 AA1B1B. (2)是开放性探索问题,注意采用逆向思维的方 法分析问题.

题型二:线线垂直问题 例 2. 如图 4, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, 侧棱长为 3, 且侧棱 AA1 ? 面 ABC ,点 D 是 BC 的中点. (1)求证: AD ? C1 D ; (2)求证: A1B / / 平面 ADC1 .

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例 2. (1)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱,所以 C1C ? 平面 ABC , 又 AD ? 平面 ABC ,所以 C1C ? AD ,……………………………………… 2 分 又点 D 是棱 BC 的中点,且 ?ABC 为正三角形,所以 AD ? BC , 因为 BC

C1C ? C ,所以 AD ? 平面 BCC1 B1 ,………………………………4 分
]

又因为 DC1 ? 平面 BCC1 B1 ,所以 AD ? C1 D .………………………………7 分 (2)连接 A1C 交 AC1 于点 E ,再连接 DE .………9 分 因为四边形 A1 ACC1 为矩形, 所以 E 为 A1C 的中点,………………10 分 又因为 D 为 BC 的中点, 所以 ED / / A1B .………………………12 分 又 A1B ? 平面 ADC1 , ED ? 平面 ADC1 , B D C A

A1 E

B1 C1

所以 A1 B // 平面 ADC1 .………………………………………………14 分 题型三、面面垂直问题 例 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,证明:平面 ACC1A1⊥平面 A1BD。
D1 C1

A1

B1

D A B

C

三、能力训练:

1.若 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 PBC,AD⊥ PC 垂足为 D,求证:BC⊥AC.

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证明 ∵平面 PAC⊥平面 PBC,AD⊥PC, 根据平面与平面垂直的性质定理知: AD⊥平面 PBC,又 BC?平面 PBC, 则 BC⊥AD,又 PA⊥平面 ABC, 则 BC⊥PA,∴BC⊥平面 PAC. ∴BC⊥AC.

2.如图,四棱锥 P—ABCD 中, PA ? 平面 ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形, AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,E 为 PC 中点. (1)求证:平面 PDC ? 平面 PAD; (2) 求证:BE//平面 PAD.
CD ? AD( 已知) ? ? ? ? PA ? AD ? A ?

P E D A B C

2. 证明 : ( 1 )由 PA ? 平面 ABCD ? PA ? CD

? CD ? 面PAD? ?
CD ? 面PAD?

?平面 PDC ? 平面 PAD;
( 2 )取 PD 中点为 F, 连结 EF、 AF,由 E 为 PC 中点, 得 EF 为△ PDC 的中位线,则 EF//CD , CD=2EF . 又 CD=2AB,则 EF=AB.由 AB//CD,则 EF∥AB. 所以四边形 ABEF 为平行四边形,则 EF//AF. 由 AF ? 面 PAD ,则 EF// 面 PAD .

P F D A B E C

点评:证明面面垂直,先证明线面垂直,要证线面垂直,先证明线线垂直.

3【2012 高考陕西文 18】 (本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB=A A1


?CAB =

? 2

(Ⅰ)证明 CB1 ? BA1 ;
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(Ⅱ)已知 AB=2,BC= 5 ,求三棱锥 C1 ? ABA1 【解析】 (Ⅰ )如图,连结 AB1 ,

的体积

ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, ?CAB =
? AC ? 平面 ABB1 A1 ,故 AC ? BA1 .


? 2



[来源:,

AB ? AA1 ,? 四边形 ABB1 A1 是正方形,

? BA1 ? AB1 ,又 CA AB1 ? A , ? BA1 ? 平面 CAB1 ,故 CB1 ? BA1 .
(Ⅱ )

AB ? AA1 ? 2 , BC ? 5 ,? AC ? AC 1 1 ? 1.

由(Ⅰ )知, AC 1 1 ? 平面 ABA 1,

1 1 2 . AC ? VC1 ? ABA1 ? S△ ABA1 · 1 1 = ? 2 ?1 ? 3 3 3

立体几何命题判断训练
1. 下列命题中,错误的是( ) A.平行于同一条直线的两个平面平行 B 平行于同一个平面的两个平面平行 C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行 D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交 2.若直线 b 不平行于平面α ,则下列结论成立的是( ) A.α 内的所有直线都与直线 b 异面 B α 内不存在与 b 平行的直线 C.α 内的直线都与 b 相交 D 直线 b 与平面α 有公共点
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3. “直线 a 平行于直线 b”是“直线 a 平行于过直线 b 的平面”成立的( A.充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C.充要条件 D 既不充分也不必要条件



4.若l、m、n是互不相同的空间直线,α 、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C. 若 l ? n, m ? n ,则 l // m B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l // ? ,则β ⊥α

5.在空间,下列哪些命题是正确的( ) ①平行于同一直线的两条直线互相平行; ③平行于同一平面的两条直线互相平行; A.仅②不正确 B.①④正确

②垂直于同一直线的两条直线互相平行; ④垂直于同一平面的两条直线互相平行。 C.仅①正确 D.都正确 )

6.已知直线 a,b,c 及平面 β ,则下面命题正确的是 (

7.已知平面α 、β 和直线 a,b,c,且 a∥b∥c,a ? α ,b、c ? β 则α 与β 的关系是 8.给出如下四个命题: (1)α 内有无穷多条直线都与β 平行; (2)直线 a∥α ,a∥β ,且直线 a 不在α 内,也不在β 内; (3)直线 a ? α ,直线 b ? β ,则 a∥β ,b∥α ; (4)α 内的任何直线 都与β 平行。可以作为平面α 与平面β 平行的条件的是 (只填序号) 。 9.已知两个平面垂直,下列命题: (1)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条 直线; (2)一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; (3)一个平面内的任一条 直线必垂直于另一个平面; (4)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个 平面。其中正确的个数是( ) A.3 B 2 C 1 D 0 10. m 、n 是空间两条不同直线, ?、? 是空间两个不同平面,下面有四个命题: (1) m ? ? , n ∥β ,α ∥β ? m ? n (2) m ? n ,α ∥β , m ? ? ? n ∥β (3) m ? n ,α ∥β ,m∥α ? n ⊥β (4) m⊥α , m∥n , α ∥β ? n⊥β 其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号) .

11.设 l,m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l ? m, m ? ? ,则 l ? ? C. 若 l ? , m ? ? ,则 l m
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B )

B. 若 l ? ? , l m ,则 m ? ? D. 若 l ? , m ? ,则 l m
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12.下列命题中正确的个数是 B (1)若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l ∥ ? . (2)若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行. (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. (4)若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

13.设 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列四个命题 ①若 m ? ? , n // ? , 则m // n ③若 ? ? ? ? n, m / / n, 则m / /? , 且m / / ? ② m ? ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ? ④若 m ? ? , m ? ? , 则? // ? )

其中正确的命题是 ( D A.① B.② C.③④ D.②④ 14.在空间,下列命题正确的是 (A)平行直线在同一平面内的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行 (D)垂直于同一平面的两条直线平行 15. 设有两条直线 m、n 和两个平面 A 若 m 丄 n”,且 m//a,则”n 丄 a
C . 若 m / / a ,且 m / / n , 则

,则下列命题中错误的是 A B.若 m//n,且
D若

,则 ,则 m / / n

或 n//a

,且

16.已知 a,b 是两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,下列命题中正确的是( C )

A.a // b, b // ? , 则a // ?;B.a, b ? ? , a // ? , b // ? , 则? // ? C .a ? ? , b // ? , 则a ? b;D.当a ? ? , 且b ? ?时,若b // ? , 则a // b
17. 已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,在下列条件中,可得出 ? ? ? 的是 C A. m ? l , l // ? , l // ? C. m // l , l ? ? , m ? ? 18.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② ) C.③和④ D.②和④ B. m ? l , ?

? ? l , m ??

D. m // l , m ? ? , l ? ?

B.②和③

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18.【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D 19. 已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列四个命题:① ? // ? ? l ? m ② ? ? ? ? l // m ;③ l // m ? ? ? ? ;④ l ? m ? ? // ? .其中正确的命题有( )个 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 B 20.【2012 高考浙江文 5】 设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面 A. 若 l ∥a, l ∥β ,则 a∥β B. 若 l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β C. 若 a⊥β , l ⊥a,则 l ⊥β D. 若 a⊥β , l ∥a,则 l ⊥β 【答案】B 【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识,具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面 垂直的判定和性质。 【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的,∵ l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β .如选项 A: l ∥a, l ∥ β 时,a⊥β 或 a∥β ;选项 C:若 a⊥β , l ⊥a, l ∥β 或 l ? ? ;选项 D:若若 a⊥β , l ⊥a,

l ∥β 或 l ⊥β .
21.【2012 高考四川文 6】下列命题正确的是( ) A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C [解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相 交,所以 A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行, 故 B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故 D 错;故选项 C 正确. [点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知 识的定义、定理及公式. 22.(惠州 2011 高三第三次调研考试)设 α 表示平面,a,b 表示直线,给定下列四个命题: ①a//α , a ? b ? b ? ? ; ②a//b, a ? ? ? b ? ? ; ③a⊥α , a ? b ? b // ? ; ④a⊥α , b ? ? ? a // b .其中正确命题的个数有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 23.设 a,b 是两条直线,α ,β 是两个平面,则 a⊥b 的一个充分条件是( ) A.a⊥α ,b//β ,α ⊥β B.a⊥α ,b⊥β ,α //β C. a ? ? ,b⊥β ,α //β D. a ? ? ,b//β ,α ⊥β 24.若 m、n 为两条不重合的直线,α 、β 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题 个数是( ) ①若 m、n 都平行于平面 α ,则 m、n 一定不是相交直线; ②若 m、n 都垂直于平面 α ,则 m、n 一定是平行直线; ③已知 α 、β 互相垂直,m、n 互相垂直,若 m⊥α ,则 n⊥β ; ④m、n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m、n 互相垂直.
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A.1 B.2 C.3 D.4 25.已知 α 、β 、γ 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,下列命题中正确命题是( ) A.若 α ⊥β ,l⊥β ,则 l//α B.若 l 上有两个点到 α 的距离相等,则 l//α C.若 l⊥α ,l//β ,则 α ⊥β D.若 α ⊥β ,α ⊥γ ,则 γ ⊥β

第六节

体积,距离等综合问题

班别: 姓名: 学号: 例 1.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b.设 E、F 分别为 AB1、BC1 的中点, (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)求证: AC ? 平面ABB1 A1 ; (3)求三棱锥 B1 ? ABC1 的体积.

(1)证明:∵EF∥ A1C1 ∴EF∥面 A1 B1C1 则 EF∥面 ABC (2)证明:

AB1 ? A1 B ? ? ? AB1 ? 面A1 BC AB1 ? BC1 ?
故 AB1 ? A1C1

又∵ A1C1 ? 面A1 BC1 又∵AC∥ A1C1

∴ AC ? AB1 ,又∵ AC ? AA1 ∴ AC ? 平面ABB1 A1 (3)解: VB1 ? ABC1 ? VC1 ?B1 AB

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1 ? ? S ?B1 AB ? C1 A1 3 1 1 1 ? ? ? a ? a ? 2a 2 ? a 2 ? b 2 ? a 2 3a 2 ? b 2 3 2 6
变式 1.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

D1
E 是线段 AC 1 1 的中点,底面 ABCD 的中心是 F.
(1) 求证: CE ? BD ; (2) 求证: CE ∥平面 A 1BD ; (3) 求三棱锥 D ? A1BC 的体积. 17. (本题满分 14 分)

E

C1 B1

A1

D A F

C
B
(第 17 题图)

解: (1)证明:根据正方体的性质 BD ? AC ,????????????2 分 因为 AA BD ? 平面ABCD ,所以 BD ? AA1 ,又 AC ? AA1 ? A 1 ? 平面ABCD ,

CE ? BD ;??????5 分 所以 BD ? 平面ACC1 A 1 , CE ? 平面ACC1 A 1 ,所以
(2)证明:连接 A1F ,因为 AA AA1 ? BB1 ? CC1 , 1 // BB 1 // CC1 , 所以 ACC1 A1 为平行四边形,因此 AC AC 1 1 // AC , 1 1 ? AC 由于 E 是线段 AC 1 1 的中点,所以 CE // FA 1 ,???????8 分

D1

E

C1 B1

A1

D

CE ? 平面 A1BD , 因为 FA1 ? 面 A 1BD ,
A
所以 CE ∥平面 A 1BD ??????????????10 分 (3) VD ? A1BC ? VA1 ? BCD ?

C
F B

1 a3 ? S?BCD ? A1 A ? ??????????????14 分 3 6

SA ? 底面 ABCD , E 是 SC 上一点. 例 2.如图, 四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, (1)

求证:平面 EBD ? 平面 SAC ; (2) 设 SA ? 4 ,AB ? 2 , 求点 A 到平面 SBD 的距离;
S

E

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A

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D C

B

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(1)证明:? SA ? 底面 ABCD 且 BD ? AC

? SA ? BD

? BD ? 平面S A C

? 平面 EBD ? 平面 SAC
(2)解:因为 VA-SBD ? VS-ABD ,且
S ?SBD ? 1 ?2 2 ?3 2 1 2 , S ?ABD ? ? 2 ? 2 ? 2 2

1 1 所以: ? S ?SBD ? h ? ? S ?ABD ? SA 3 3

4 可求得点 A 到平面 SBD 的距离 h 为 3
1 CD ? 1 . 2 现以 AD 为一边向形外作正方形 ADEF , 然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折, 使平面 ADEF 与
变式 2 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,且 AB ? AD ?
E D

平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证: AM ∥平面 BEC ; (2)求证: BC ? 平面 BDE ; (3)求点 D 到平面 BEC 的距离.

C

F

A

B
E

图1

M F

(1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN , BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点, 所以 MN ∥ CD ,且 MN ? 由已知 AB ∥ CD , AB ?

D

C

1 CD . 2

A

图2

B

1 CD , 2
??????????3 分 ??????????4 分 ?????????5 分

所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . 又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC , 所以 AM ∥平面 BEC . (2)证明:在正方形 ADEF 中, ED ? AD . 又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF 所以 ED ? 平面 ABCD .
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平面 ABCD ? AD ,

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所以 ED ? BC .

?????????7 分

在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 1 , CD ? 2 ,可得 BC ? 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2, CD ? 2 , 所以 BD ? BC ? CD .
2 2 2

2.

所以 BC ? BD . 所以 BC ? 平面 BDE . (3)解法一:由(2)知, BC ? 平面 BDE 又因为 BC ? 平面 BCE , 所以平面 BDE ? 平面 BEC . 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G ,则 DG ? 平面 BEC 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度 在直角三角形 BDE 中, S ?BDE ? 所以 DG ?

??????????8 分 ??????????10 分

????????11 分

????????? 12 分

1 1 BD ? DE ? BE ? DG 2 2

BD ? DE 2 6 ? ? BE 3 3
6 . 3
?????????14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

解法二:由(2)知, BC ? BE, BC ? BD 所以 S ?BCD ?

1 1 BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2
?????????12 分

S ?BCE ?

1 1 6 BE ? BC ? ? 2 ? 3 ? . 2 2 2

又 VE ? BCD ? VD? BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h . 则

1 1 S ?BCD ? DE ? ? S ?B C E? h 3 3

所以

h?

S ?BCD ? DE 1 6 ? ? S ?BCE 3 6 2
6 . 3
?????????14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

例 3 已知四棱锥 P ? ABCD 如图 5-1 所示,其三视图如图 5-2 所示,其中正视图和侧视图都是
立体几何 第 30 页 2014-7-17

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直角三角形,俯视图是矩形. (Ⅰ)求此四棱锥的体积; (Ⅱ)若 E 是 PD 的中点,求证: AE ? 平面 PCD; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若 F 是 PC 的中点,证明:直线 AE 和直线 BF 既不平行也不异面.

例 3. 解 : ( Ⅰ ) 由 题 意 可 知 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形 , 其 面 积

1 1 8 S ABCD ? 2 ? 2 ? 4 ,高 h ? 2 ,所以 VP ? ABCD ? S ABCD ? h ? ? 4 ? 2 ? 3 3 3 (Ⅱ)由三视图可知, PA ? 平面 ABCD ,∴ CD ? PA (5 分) ∵ ABCD 是正方形,∴ CD ? AD (6 分) 又 PA AD ? A , PA ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ∴ CD ? 平面 PAD , (7 分) ∵ AE ? 平面 PAD ,∴ AE ? CD (8 分) 又 ?PAD 是等腰直角三角形,E 为 PD 的中点,∴ AE ? PD (9 分) 又 PD CD ? D , PD ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD ∴ AE ? 平面 PCD . (10 分)

(4 分)

(Ⅲ)∵ E , F 分别是 PD, PC 的中点,∴ EF // CD 且 EF ? 又∵ CD // AB 且 CD ? AB ,∴ EF // AB 且 EF ? ∴四边形 ABFE 是梯形,

1 CD 2

1 AD 2
(13 分)

AE, BF 是梯形的两腰,故 AE 与 BF 所在的直线必相交。
所以,直线 AE 和直线 BF 既不平行也不异面. (14 分)

立体几何

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变式3。一个几何体是由圆柱 ADD1 A1 和三棱锥 E ? ABC 组合而成,点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆 周上, 其正 (主) 视图、 侧 (左) 视图的面积分别为10和12, 如图2所示, 其中 EA ? 平面ABC ,

AB ? AC , AB ? AC , AE ? 2 . (1)求证: AC ? BD ; (2)求三棱锥 E ? BCD 的体积.
E C A1
1

E

E

O B

A

A1

O

A

A

D1
1

D D1

D

正 (主) 视图

侧(左)视图

图2 变式3.(本小题主要考查锥体体积,空间线线、线面关系,三视图等知识,考查化归与转化的数 学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. ) EA ? AC EA ? 平面 ABC A C ? 平面 ABC (1)证明:因为 , ,所以 ,即 ED ? AC . 又因为 AC ? AB , AB ED ? A ,所以 AC ? 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD ,所以 AC ? BD .??????4 分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

1 ? 2rh ? r ? 2 ? 10, ? ? 2 ????????????????6 分 ? ?2rh ? 1 ? 2r ? 2 ? 12. ? ? 2

E C A1
1

O B

A

? r ? 2, 解得 ? ? h ? 2.
所以 BC ? 4 , AB ? AC ? 2 2 .??????????8 分 以下给出求三棱锥 E ? BCD 体积的两种方法: 方法 1:由(1)知, AC ? 平面 EBD ,

D1
1

D

1 S ?EBD ? CA .??????????10 分 3 因为 EA ? 平面ABC , AB ? 平面ABC , 所以 EA ? AB ,即 ED ? AB .
所以 VE ? BCD ? VC ? EBD ? 其中 ED ? EA ? DA ? 2 ? 2 ? 4 ,因为 AB ? AC , AB ? AC ? 2 2 , 所以 S?EBD ?

1 1 ? ED ? AB ? ? 4 ? 2 2 ? 4 2 .?????????13 分 2 2
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1 16 ? 4 2 ? 2 2 ? .??????????14 分 3 3 方法 2:因为 EA ? 平面ABC , 1 1 1 所以 VE ? BCD ? VE ? ABC ? VD ? ABC ? S ?ABC ? EA ? S ?ABC ? DA ? S ?ABC ? ED .10 分 3 3 3
所以 VE ? BCD ? 其中 ED ? EA ? DA ? 2 ? 2 ? 4 ,因为 AB ? AC , AB ? AC ? 2 2 , 所以 S?ABC ? 所以 VE ? BCD

1 1 ? AC ? AB ? ? 2 2 ? 2 2 ? 4 .????????13 分 2 2 1 16 ? ? 4 ? 4 ? .?????????????????14 分 3 3

例 4.【2012 高考江西文 19】 (本小题满分 12 分)
如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12, AD=5,BC=4 2 ,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合与点 G, 得到多面体 CDEFG.

(2)求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (3)求多面体 CDEFG 的体积。 【解析】 (1) 由已知可得 AE=3, BF=4, 则折叠完后 EG=3, GF=4, 又因为 EF=5, 所以可得 EG ? GF 又因为 CF ? 底面EGF ,可得 CF ? EG ,即 EG ? 面CFG 所以平面 DEG⊥平面 CFG. ( 2 ) 过 G 作 GO 垂 直 于 EF , GO 即 为 四 棱 锥 G-EFCD 的 高 , 所 以 所 求 体 积 为

1 1 12 S正方形DECF ? GO ? ? 5 ? 5 ? ? 20 3 3 5

变式 4.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC
沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D-ABC,如图 2 所示. (1)求证:BC⊥平面 ACD;
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(2)求几何体 D-ABC 的体积.

变式 4. 解: (1)在图 1 中,可得 AC=BC= 2 2 ,从而 AC2+BC2=AB2,故 AC⊥BC???2 分 取 AC 中点 O 连结 DO,则 DO⊥AC,又面 ADC⊥面 ABC, 面 ADC∩面 ABC=AC,DO ? 面 ACD,从而 OD⊥平面 ABC, ??????4 分 ∴OD⊥BC 又 AC⊥BC,AC∩OD=O, ∴BC⊥平面 ACD ????????????6 分 另解:在图 1 中,可得 AC=BC=2 2 ,从而 AC2+BC2=AB2,故 AC⊥BC ∵面 ADC⊥面 ABC,面 ADC∩面 ABC=AC,BC ? 面 ABC,从而 BC⊥平面 ACD (2)由(1)可知 BC 为三棱锥 B-ACD 的高,BC=2 2 ,S△ACD=2?????8 分
1 1 4 2 Sh ? ? 2 ? 2 2 ? 3 3 ???????????????10 分 所以 VB-ACD= 3 4 2 由等积性可知几何体 D-ABC 的体积为 3 ?????????12 分

例 5.

如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? AD ,AB // CD ,

S

CD ? 3 AB ,平面 SAD ? 平面 ABCD , M 是线段 AD

上一点, AM ? AB , DM ? DC , SM ? AD . (1)证明: BM ? 平面 SMC ; (2)设三棱锥 C ? SBM 与四棱锥 S ? ABCD 的体积分 V 别为 V1 与 V ,求 1 的值. V

A B

M

D

C

例 5 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? AD , AB // CD ,
CD ? 3 AB , 平面 SAD ? 平面 ABCD ,M 是线段 AD 上

S

一点, AM ? AB , DM ? DC , SM ? AD . (1)证明: BM ? 平面 SMC ; (2)设三棱锥 C ? SBM 与四棱锥 S ? ABCD 的体积分
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A B

M

D

C 2014-7-17

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V1 的值. V 【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数空间想象能力、推 理论证能力和运算求解能力. (1) 证明: 平面 SAD ? 平面 ABCD ,平面 SAD 平面 ABCD ? AD ,
别为 V1 与 V ,求

SM ? 平面 SAD , SM ? AD ? SM ? 平面 ABCD ,???????1 分
BM ? 平面 ABCD,

? SM ? BM .

???????2 分

四边形 ABCD 是直角梯形, AB // CD , AM ? AB, DM ? DC,

??MAB, ?MDC 都是等腰直角三角形,

??AMB ? ?CMF ? 45?, ?BMC ? 90?, BM ? CM . ………………4 分
SM ? 平面 SMC , CM ? 平面 SMC , SM CM ? M , ? BM ? 平面 SMC …………………………………………6 分 (2) 解: 三棱锥 C ? SBM 与三棱锥 S ? CBM 的体积相等, 由( 1 ) 知 SM ? 平面 ABCD , 1 1 SM ? BM ? CM V1 3 2 得 ? ,……………………………………………9 分 V 1 SM ? 1 ( AB ? CD) ? AD 3 2
设 AB ? a, 由 CD ? 3 AB , AM ? AB, DM ? DC, 得 CD ? 3a, BM ? 2a, CM ? 3 2a, AD ? 4a,

从而

V1 2a ? 3 2a 3 ? ? . …………………………… 12 分 V (a ? 3a) ? 4a 8

变式 5.如图 4 所示,在边长为 12 的正方形 AA?A1?A1 中,点 B, C 在线段 AA? 上,且 AB ? 3 ,
? 、AA1? BC ? 4 , 作 BB1 // AA1 , 分别交 A1 A1 ? 、 A1 于点 B1 、 P ,作 CC1 // AA1 ,分别交 A1 A1
将该正方形沿 BB1 、CC1 AA1? 于点 C1 、Q , 折叠,使得 A?A1? 与 AA1 重合,构成如图 5

B1

C1

A1?

B1 A1

C1

Q
P B
图4

Q
P
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立体几何

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B

A

C

A?

C

A

图5

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所示的三棱柱 ABC ? A1B1C1 . (1)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,求证: AB ? 平面 BCC1B1 ; (2)求平面 APQ 将三棱柱 ABC ? A1B1C1 分成上、下两部分几何体的体积之比.

? 1 中,∵ A?C ? AA? ? AB ? BC ? 5 , 解: (1)证明:在正方形 AA?A 1A
∴三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面三角形 ABC 的边 AC ? 5 .
2 2 2 ∵ AB ? 3 , BC ? 4 ,∴ AB ? BC ? AC ,则 AB ? BC .

? 1 为正方形, AA1 ∵四边形 AA?A 1A
∴ AB ? BB1 ,而 BC

BB1 ,

BB1 ? B ,

∴ AB ? 平面 BCC1B1 . (2)解:∵ AB ? 平面 BCC1B1 , ∴ AB 为四棱锥 A ? BCQP 的高. ∵四边形 BCQP 为直角梯形,且 BP ? AB ? 3 , CQ ? AB ? BC ? 7 ,

1 ? BP ? CQ ? ? BC ? 20 , 2 1 ∴四棱锥 A ? BCQP 的体积 VA? BCQP ? S BCPQ ? AB ? 20 , 3
∴梯形 BCQP 的面积为 S BCQP ? 由(1)知 B1B ? AB , B1B ? BC ,且 AB ∴ B1B ? 平面 ABC . ∴三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直棱柱, ∴三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 VABC ? A1B1C1 ? S?ABC ? BB1 ? 72 . 故平面 APQ 将三棱柱 ABC ? A1B1C1 分成上、下两部分的体积之比为

BC ? B ,

72 ? 20 13 ? . 20 5

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例 6.如图,直三棱柱 ABC—A B C
1 1

1

中,AC =BC =1,

∠ACB =90°,AA1 = 2 ,D 是 A1B1 中点. (1) 求证:C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时,会使得 AB1 ⊥平 C1DF?并证明你的结论。 证明: (1)如图,∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱, 的中 面

∴ A1C1 =B1C1 =1, 且∠A1C1B1 =90°。 又 D 是 A1B1 点, ∴ C1D ⊥A1B1 .∵ ∴ AA1 ⊥C1D ,∴ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ,C1D ? 平面 A1B1C1 , C1D ⊥平面 AA1B1B。

(2)解:作 DE ⊥AB1 交 AB1 于 E ,延长 DE 交 BB1 于 F ,连结 C1F ,则 AB1 ⊥平 面 C1DF ,点 F 即为所求。 ∵ C1D ⊥平面 AA1BB ,AB1 ? 平面 AA1B1B , ∴ C1D ⊥AB1 .又 AB1 ⊥DF ,DF ? C1D =D ,∴ AB1 ⊥平面 C1DF 。

变式 6. 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是∠DAB=60°且边长为 a
的菱形,侧面 PAD 为正三角形,其所 在平面垂直于底面 ABCD,若 G 为 AD 边的中点, (1)求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若 E 为 BC 边的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF⊥平面 ABCD, 并证明你的结论. 解(1)证明 在菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,G 为 AD 的中点,所以 BG⊥AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 BG⊥平面 PAD. (2)证明 连接 PG,因为△PAD 为正三角形, G 为 AD 的中点,得 PG⊥AD,由(1)知 BG⊥AD, PG ? 平面 PGB,BG ? 平面 PGB,PG∩BG=G, 所以 AD⊥平面 PGB, 因为 PB ? 平面 PGB, 所以 AD⊥PB. (3)解 当 F 为 PC 的中点时, 满足平面 DEF⊥平面 ABCD.证明如下: 取 PC 的中点 F,连接 DE、EF、DF,
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在△PBC 中,FE∥PB,在菱形 ABCD 中, GB∥DE,而 FE ? 平面 DEF,DE ? 平面 DEF, EF∩DE=E,所以平面 DEF∥平面 PGB, 因为 BG⊥平面 PAD,所以 BG⊥PG 又因为 PG⊥AD,AD∩BG=G, ∴PG⊥平面 ABCD,而 PG ? 平面 PGB, 所以平面 PGB⊥平面 ABCD,所以平面 DEF⊥平面 ABCD.

例 7.【2012 高考湖北文 19】 (本小题满分 12 分)
某个实心零部件的形状是如图所示的几何体, 其下部是底面均是正方形, 侧面是全等的等腰梯形 的四棱台 A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱 柱 ABCD-A2B2C2D2。 (1) 证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; (2) 现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知 AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位: 厘米) ,每平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元?

解: (Ⅰ )因为四棱柱 ABCD ? A2 B2C2 D2 的侧面是全等的矩形, 所以 AA2 ? AB , AA2 ? AD . 又因为 AB
AD ? A ,所以 AA2 ? 平面 ABCD.

连接 BD,因为 BD ? 平面 ABCD,所以 AA2 ? BD . 因为底面 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD . 根据棱台的定义可知,BD 与 B1 D1 共面. 又已知平面 ABCD∥ 平面 A1 B1C1 D1 ,且平面 BB1 D1 D 平面 ABCD ? BD ,

平面 BB1 D1 D 平面 A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ,所以 B1 D1∥ BD. 于是 由 AA2 ? BD , AC ? BD ,B1 D1∥ BD,可得 AA2 ? B1 D1 , AC ? B1 D1 . 又因为 AA2
AC ? A ,所以 B1 D1 ? 平面 ACC2 A2 .

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(Ⅱ )因为四棱柱 ABCD ? A2 B2C2 D2 的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以

S1 ? S四棱柱上底面 ? S四棱柱侧面 ? ( A2 B2 )2 ? 4 AB ? AA2 ? 102 ? 4 ?10 ? 30 ? 1300 (cm2 ) .
又因为四棱台 A1 B1C1 D1 ? ABCD 的上、 下底面均是正方形, 侧面是全等的等腰梯形,

1 所以 S2 ? S四棱台下底面 ? S四棱台侧面 ? ( A1B1 )2 ? 4 ? (AB ? A1B1 )h等腰梯形的高 2
1 1 ? 202 ? 4 ? (10 ? 20) 132 ? [ (20 ? 10)]2 ? 1120 (cm 2 ) . 2 2

于是该实心零部件的表面积为 S ? S1 ? S2 ? 1300 ? 1120 ? 2420 (cm2 ) , 故所需加工处理费为 0.2 S ? 0.2 ? 2420 ? 484 (元). 【解析】本题考查线面垂直,空间几何体的表面积;考查空间想象,运算求解以及转化与划归的 能力.线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法;四棱柱与四棱 台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成,只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线 平行,面面平行特别是线面平行,以及体积等的考查. 18.(本题满分 14 分)

变式7.如图所示,圆柱的高为2,底面半径为 7 ,AE、DF是圆柱的两条母线,过 AD 作圆柱
的截面交下底面于 BC . (1)求证: BC // EF ; (2)若四边形ABCD是正方形,求证 BC ? BE ; (3)在(2)的条件下,求四棱锥 A ? BCE 的体积. 18.(本题满分 14 分) 如图所示, 圆柱的高为2, 底面半径为 7 ,AE、 DF是圆柱的两条母线, 过 AD 作圆柱的截面交下底面于 BC . (1)求证: BC // EF ; (2)若四边形ABCD是正方形,求证 BC ? BE ; (3)在(2)的条件下,求四棱锥 A ? BCE 的体积. (1)证明:在圆柱中: 上底面//下底面, 且上底面∩截面 ABCD= AD ,下底面∩截面 ABCD= BC ? BC // AD ……………………………………………………………………….2分 又 AE、DF 是圆柱的两条母线,? AE //DF

? ADFE 是平行四边形,所以 AD // EF ,又 BC // AD ? BC // EF …………………………………………………………………….5分
AE 是圆柱的母线, ? AE ? 下底面,又 BC ? 下底面,? AE ? BC …………………………….7分 又 截面 ABCD 是正方形,所以 BC ⊥ AB ,又 AB AE ? A (2)

? BC ⊥面 ABE ,又 BE ? 面 ABE ,? BC ? BE ……………………………9 分
(3)因为母线 AE 垂直于底面,所以 AE 是三棱锥 A ? BCE 的高……………………10分,

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EO 就是四棱锥 E ? ABCD 的高……………………10 分 设正方形 ABCD 的边长为 x,则 AB=EF=x, BE ? 又

AB2 ? AE2 ? x2 ? 4

BC // EF ,且 BC ? BE ,?EF⊥BE,

?BF 为直径,即 BF= 2 7

2 2 2 在 Rt BEF 中, BF ? BE ? EF

即 (2 7)2 ? x2 ? x2 ? 4 ? x ? 4

? S ABCD ? 4 ? 4 ? 16 ,……………………………………………………………12分
EO ? AE ? BE 2 ? 42 ? 4 ? ? 3 AB 4
1 3 1 3 16 3 . ………………………14分 3

?VE ? ABCD ? ? OE ? S ABCD ? ? 3 ?16 ?

例 8 : 如 图 , 在 多 面 体 ABCDEF 中 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , AB=2EF=2 , E F EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H 为 BC 的中点, (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; D (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; C (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积;
H A B

【解题指导】 (1)设底面对角线交点为 G, 则可以通过证明 EG ∥ FH ,得 FH ∥平面 EDB ; (2)利用线线、线面的平行与垂直 关系,证明 FH⊥平面 ABCD,得 FH⊥BC, FH⊥AC, 进而得 EG⊥AC,AC ? 平面 EDB ; (3)证明 BF⊥平面 CDEF,得 BF 为四面 体 B-DEF 的高,进而求体积.

立体几何

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(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG , GH,由于H 为BC的中点,故 1 GH / / AB, 2 1 又EF / / AB,?四边形EFGH 为平行四边形 2 ? EG / / FH,而EG ? 平面EDB, ? FH / / 平面EDB

变 式 8. 如 图 所 示 , AD ? 平 面 ABC , CE ? 平 面 ABC , AC ? AD ? AB ? 1 ,
1 BC ? 2 ,凸多面体 ABCED 的体积为 , F 为 BC 的中点. 2
(Ⅰ)求证: AF // 平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE .

第 18 题图

18. (本题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)∵ AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴四边形 ACED 为梯形,且平面 ABC ? 平面 ACED ,
2 2 2 ∵ BC ? AC ? AB ,∴ AB ? AC , ???????????????????2 分

∵平面 ABC

平面 ACED ? AC

∴ AB ? 平面 ACED ,即 AB 为四棱锥 B ? ACED 的高,???????????? 4 分 ∵ VB ? ACED ? ∴ CE ? 2 ,

1 1 1 1 ? S ACED ? AB ? ? ? (1 ? CE ) ?1?1 ? , 3 3 2 2
?????????????????? 6 分

作 BE 的中点 G ,连接 GF , GD , ∴ GF 为三角形 BCE 的中位线,
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∴ GF // EC // DA , GF ?

1 CE ? DA ,?????? 8 分 2

∴四边形 GFAD 为平行四边形, ∴ AF // GD ,又 GD ? 平面 BDE ,∴ AF // 平面 BDE .????????????10 分 (Ⅱ)∵ AB ? AC , F 为 BC 的中点, ∴ AF ? BC ,又 GF ? AF ,∴ AF ? 平面 BCE , ????????????? 12 分 ∵ AF // GD ,∴ GD ? 平面 BCE , 又 GD ? 平面 BDE , ∴平面 BDE ? 平面 BCE . ????????????? 14 分

三视图、表面积体积习题
主视图 左视图

立体几何

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2014-7-17 俯视图

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5、如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与 左视图是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形, 则其体积是( ).

A.

4 2 3

B .

4 3 3

C.

3 6

D .

8 3
2 2 2 正(主)视图 2 2 侧(左)视图 2

1.如图 1 是一个空间几何体的三视图, 则该几何体的侧面积 为C ... A.
4 3 3

B. 4 3 D.12
2 俯视图

2

C.8

图1

3.某几何体的三视图及尺寸如图示,则该几何体的 表面积为 A. 3? B. 4? C. 6? D. 10?
2 2

2 主视图

侧视图

3. 由三视图知,该几何体为圆锥,其底面的半径为 r ? 1, 高 h ? 2 2 ,母线 l ? r 2 ? h2 ? 3 , 故 S表 ? ? rl ? ? r 2 ? 4? , 故选 B.
俯视图

4.如图所示,一个空间几何体的主视图和俯视图都是边长为 1 的正方形,侧视图是 一个直径为 1 的圆, 那么这个几何体的表面积为 ( A. 4? C. 2? B. 3? 3 D. ? 2 )

主视图

侧视图

4. 选 D. 解析: 这是一个横放的圆柱体, 其底面半径 r ? 高 h ? 1 ,底面面积 S 底 ? ? r 2 ?

?
4

1 , 2

俯视图

(第 4 题图)

,侧面积 S侧 ? 2? rh ? ? ,

立体几何

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故 S 表 ? 2 S 底 ? S侧 ?

3? . 2
1 1
主视图

5.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 1 1 A. B. 6 3 1 C. D. 2 2 2

1
侧视图

2
1 1
俯视图

6.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰三角形,且直角 边长为 1,那么这个几何体的体积为 1 A.1 B. 2 1 1 C. D. 3 6

7. 三棱柱的直观图和三视图 (主视图和俯视图是正方形, 左视图是等腰直角三角形) 如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于 A A. 12 ? 4 2 C. 8 ? 4 2 B. 6 ? 2 2 D. 4
2 俯视图 2 2 主视图 左视图

8.一个空间几何体的三视图如下,则它的体 积是 C
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A. 2? ? 3
2 3 3

B. 4? ?

4 3 3 2 3 3

C. 2? ?

D. ? ?

9.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3, 4, x ,且它的 8 个顶点 都在同一个球面上,这个球面的表面积为 125π 则 x 的值为( A.5 B.6 C.8 D.10 9. 因为球的半径为R=
25 + x 2 2

)

,所以有 4? (

25 ? x 2 2 ) ? 125 ? , 所以x ? 10 2

10. 某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的 图形(实线组成半径为 2 cm 的半圆,虚线是等腰三角形 的两腰) ,俯视图是一个半径为 2 cm 的圆(包括圆心) , 则该零件的体积是 C
4 A. π 3
2 cm 2 cm 1 cm

1 cm

第 9 题图

cm3 cm3

C. 4 π

8 B. π cm3 3 20 D. π cm3 3

11.如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,

A1 A ? AB ? 2, BC ? 1, AC ? 5 ,若规定主(正)视方向 垂直平面 ACC1 A1 ,则此三棱柱的侧(左)视图的面积为
A.

4 5 5

B. 2 5 D. 2

C. 4

A 12.已知四棱锥 V ? ABCD ,底面 ABCD 是边长为 3 的正方形, VA ? 平面 ABCD, 且 VA ? 4 ,则此四棱锥的侧面中,所有直角三角形的面积的和是
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东莞第五高级中学 2013 届文科数学立体几何复习资料

D.36 1 1 12.C 解析:可证四个面都是直角三角形,其面积 S ? 2 ? ? 3 ? 4 ? 2 ? ? 3 ? 5 ? 27 2 2 13.如图, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 点 P 是上底面 则三棱锥 P ? ABC 的主视图与左视 A1B1C1D1 内一动点, 图的面积的比值为 A. 2 B. 1 ( C. 3 B ) D. 4
A1 D1 C1

A. 12

B.24

C.27

P
B1

左视

D

C

A

主视

B

14. 已知某几何体的三视图如图 4 所示, 则该几何体的表面积和体积分别为 ▲ .





13 填: 40 ? 4? , 16 ?

4? 3

解析:由三视图可知,几何体是底部是一底面对角线长为 2 2 的正方形,高为 4 的长 方体, 上部为一球, 球的直径等于正方形的边长. 设正方形的边长为 a , 则 2a2 ? (2 2)2 , 即 a ? 2 , 所 以 , 长 方 体 的 表 面 积 为 S1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 4 ? 40 , 长 方 体 的 体 积 为
V1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 16 球的表面积和体积分别为 S2 ? 4 ? ? ?12 ? 4?

, V2 ? ? ? ?13 ?

4 3

4? 3

故几何体的表面积为 S ? S1 ? S2 ? 40 ? 4? 几何体的体积为 V ? V1 ? V2 ? 16 ? 15.已知一个空间几何体的三视图如右图所示,它们是半径为 4 的半圆或圆,则该几何体的表面积为 。 48

4? (2 分). 3

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7.【2012 高考广东文 7】某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 6 3 5 5 5 5 6 3

正视图

侧视图

俯视图 图1 A. 72? B. 48? C. 30? D. 24?

【答案】C 【解析】几何体是半球与圆锥叠加而成 它的体积为 V ?
3 2 1 4 1 ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? 52 ? 32 ? 30? 2 3 3

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