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2013高中数学奥数培训资料之数学归纳法


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料) §13 数学归纳法
数学归纳法是用于证明与正整数 n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法. 在 数学竞赛中占有很重要的地位. 1.数学归纳法的基本形式 (1)第一数学归纳法 设 P (n ) 是一个与正整数有关的命题,如果 ①当 n ? n 0 ( n 0 ? N )时, P (n ) 成立; ②假设 n ? k

( k ? n 0 , k ? N ) 成立,由此推得 n ? k ? 1 时, P (n ) 也成立,那么,根据 ①②对一切正整数 n ? n 0 时, P (n ) 成立. (2)第二数学归纳法 设 P (n ) 是一个与正整数有关的命题,如果 ①当 n ? n 0 ( n 0 ? N )时, P (n ) 成立; ②假设 n ? k ( k ? n 0 , k ? N ) 成立,由此推得 n ? k ? 1 时, P (n ) 也成立,那么,根据 ①②对一切正整数 n ? n 0 时, P (n ) 成立. 2.数学归纳法的其他形式 (1)跳跃数学归纳法 ①当 n ? 1, 2 ,3 , ? , l 时, P (1), P ( 2 ), P ( 3 ), ? , P ( l ) 成立, ②假设 n ? k 时 P ( k ) 成立,由此推得 n ? k ? l 时, P (n ) 也成立,那么,根据①②对一 切正整数 n ? 1 时, P (n ) 成立. (2)反向数学归纳法 设 P (n ) 是一个与正整数有关的命题,如果 ① P (n ) 对无限多个正整数 n 成立; ②假设 n ? k 时,命题 P ( k ) 成立,则当 n ? k ? 1 时命题 P ( k ? 1) 也成立,那么根据① ②对一切正整数 n ? 1 时, P (n ) 成立.

3.应用数学归纳法的技巧 (1)起点前移:有些命题对一切大于等于 1 的正整数正整数 n 都成立,但命题本身对 n ? 0 也成立,而且验证起来比验证 n ? 1 时容易,因此用验证 n ? 0 成立代替验证 n ? 1 , 同理,其他起点也可以前移,只要前移的起点成立且容易验证就可以.因而为了便于起步, 有意前移起点. (2)起点增多:有些命题在由 n ? k 向 n ? k ? 1 跨进时,需要经其他特殊情形作为基 础,此时往往需要补充验证某些特殊情形,因此需要适当增多起点. (3)加大跨度:有些命题为了减少归纳中的困难,适当可以改变跨度,但注意起点也 应相应增多. (4)选择合适的假设方式:归纳假设为一定要拘泥于“假设 n ? k 时命题成立”不可, 需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式,灵活选择使用. (5)变换命题:有些命题在用数学归纳证明时,需要引进一个辅助命题帮助证明,或 者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要,才能顺利进行证明. 5.归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的,也可能是错误的, 这种不严格的推理方法称为不完全归纳法.不完全归纳法得出的结论,只能是一种猜想,其 正确与否,必须进一步检验或证明,经常采用数学归纳法证明.不完全归纳法是发现规律、 解决问题极好的方法.

例题讲解
1.用数学归纳法证明:
(1 ? 1)( 1 ? 1 4 )( 1 ? 1 7 ) ? (1 ? 1 3n ? 2 )?
3

3n ? 1 ( n ? N , n ? 1 )
*

2.已知对任意 n ? N , n ? 1 , a n ? 0 且 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) ,求证:
*
3 3 3 2

an ? n .

3.如果正整数 n 不是 6 的倍数,则 1986

n

? 1 不是

7 的倍数.

4.设 a 1 , a 2 , ? , a n 都是正数,证明

a1 ? a 2 ? ? ? a n n

?

n

a1a 2 ? a n



5 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 [a , b ] , 对 于 区 间 [a , b ] 内 的 任 意 两 数 c, d 均 有
f( c?d 2
f(

)?

1 2

[ f ( c ) ? f ( d )] .求证:对于任意 x 1 , x 2 , ? , x n ? [ a , b ] ,均有
1 n

x1 ? x 2 ? ? ? x n n

)?

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] .

6.试证:对一切大于等于 1 的自然数 n 都有
1 2 sin ? cos ? ? cos 2? ? ? ? cos n ? ? 2n ? 1 2 2 sin

?

?
2



7.试证:对一切自然数 n ( n ? 1 )都有 2 ? 2 ? n .
n 2

8.证明:任一正方形可以剖分成任意个数多于 5 个的正方形.

9.设 0 ? a ? 1 , a 1 ? 1 ? a , a n ? 1 ?

1 an

? a ,求证:对一切 n ? N 均有 a n ? 1

10.已知 a 1 ? a 2 ? 1 , a n ? 2 ?

a n ? 1 ? ( ? 1)
2

n ?1

an

,求证:对一切 n ? N , a n 都是整数.

11 . 设 f ( n ) ? 1 ?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

, 是 否 存 在 关 于 正 整 数 n 的 函 数 g (n ) 使 等 式

f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( n ? 1) ? g ( n )[ f ( n ) ? 1] 对于 n ? 2 的一切自然数都成立?并证明你

的结论.

12.设整数数列 { a n } 满足 a 1 ? 1 , a 2 ? 12 , a 3 ? 20 ,且 a n ? 3 ? 2 a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? a n .证 明:任意正整数 n , 1 ? 4 a n a n ? 1 是一个整数的平方.

课后练习
1.证明 n ? N 时, 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 5 n ?1

能被 31 整除.

2.设 n 不小于 6 的自然数,证明:可以将一个正三角形分成 n 个较小的正三角形.

3.用数学归纳法证明: 1 ?

1 2

?

1 4

?? ? 2

1
n ?1

? 2

4.设 n 为自然数,求证: 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 n
2

? 2.

5.对于自然数 n ( n ? 3 ),求证: n

n ?1

? ( n ? 1) .
n

6.已知 a 1 ? a 2 ? 1 , a n ? 2 ?

a n ? 1 ? ( ? 1)
2

n ?1

an

,求证:对于一切 n ? N , a n 是整数.
*

7.设有 2 个球分成了许多堆,我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动:若甲 戴盆望天的球数 p 不小于乙堆的球数 q , 则从甲堆拿 q 个球放堆乙堆, 这样算是挪动一次. 证 明:可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆.

n

8.已知数列 { a n } 满足: a 1 ? 3 , a 2 ? 8 , 4 ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? 3 a n ? 5 n ? 24 n ? 20
2

( n ? 3 ),试证: a n ? n ? 2 .
2 n


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