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专题检测卷(十一) 专题四 第一讲


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专题检测卷(十一)
等差、等比数列的概念与性质 (40 分钟) 一、填空题 1.设 Sn 为等差数列 {an} 的前 n 项和, 若 a3=3,S9-S6=27, 则该数列的首项 a1 等 于 .

2.(2013·黄冈模拟)等比数列前 n 项和为 Sn,有人算得 S1=8,S2=20,S3=36,S4=65, 后来发现有一个数算错了,错误的是 .

3.在等差数列{an}中,a1=-2013,其前 n 项和为 Sn,若错误! 未找到引用源。 -错误! 未找到引用源。=2,则 S2013 的值等于 .

4.(2013 ·福建高考改编 )已知等比数列错误!未找到引用源。的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+ … +am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1 · am(n-1)+2 ·…· am(n-1)+m, 错误!未找到引用 源。,{bn},{cn}中是等比数列的是 ,公比为 .

5.(2013·辽宁高考改编)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列; p3:数列错误!未找到引用源。是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中真命题为 .

6.(2013·徐州模拟)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S7=7,S15=75,则数列 {错误!未找到引用源。}的前 20 项和为
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7.已知 an=错误!未找到引用源。,把数列{an}的各项排列成如下的三角形状, a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 …… 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,12)= .

8.(2013·广东高考)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7= 9.数列{an}是首项 a1=4 的等比数列,且 4a1,a5,-2a3 成等差数列,则 a2013= .

10.数列{an}的首项为 1,数列{bn}为等比数列且 bn=错误!未找到引用源。 ,若 b10b11=2,则 a21= .

11.(2013·盐城模拟)若等比数列{an}满足 am-3=4 且 amam-4=错误!未找到引用源。 (m∈N*且 m>4),则 a1a5 的值为 .

12.(2013· 扬州模拟)数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 为常数),且 a1,a2,a3 成公比不 为 1 的等比数列,则{an}的通项公式 an= 二、解答题 13.(2012 ·陕西高考 )设 {an} 是公比不为 1 的等比数列 ,其前 n 项和为 Sn,且 a5,a3,a4 成等差数列. (1)求数列{an}的公比. (2)证明:对任意 k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1 成等差数列. 14.设数列{an}是公差大于零的等差数列,已知 a1=2,a3=错误! 未找到引用源。 -10. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设数列{bn}是以函数 y=4sin2π x 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数
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列,求数列{an-bn}的前 n 项和 Sn. 15.(2013·湖北高考)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列, 且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式. (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若 不存在,说明理由. 16.(2013·扬州模拟)已知三个互不相等的正数 a,b,c 成等比数列,公比为 q.在 a,b 之间和 b,c 之间共插入 n 个数,使这 n+3 个数构成等差数列. (1)若 a=1,在 b,c 之间插入一个数,求 q 的值. (2)设 a<b<c,n=4,问在 a,b 之间和 b,c 之间各插入几个数,请说明理由. (3)若插入的 n 个数中,有 s 个位于 a,b 之间,t 个位于 b,c 之间,试比较 s 与 t 的 大小.

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答案解析
1.【解析】由错误!未找到引用源。 得错误!未找到引用源。解得 a1=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 2. 【解析】根据题意 , 由于等比数列前 n 项和为 Sn,S1=8,S2=20,S3=36, 如果 S1=8,S2-S1=12,所以 q=错误! 未找到引用源。 ,所以 a3=12〓错误! 未找到引用源。 =18,a4=18〓错误!未找到引用源。=27,故 S3=38,S4=65,故可知错误的是 S3. 答案:S3 3.【解题提示】把 S12,S10 用 d 表示出来,根据错误!未找到引用源。-错误!未 找到引用源。=2 求出 d. 【解析】S12=12a1+错误!未找到引用源。d,S10=10a1+错误!未找到引用源。d, 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=a1+错误!未找到引用源。 d,错误!未找到引用源。=a1+错误!未找到引用源。d, 所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=d=2,所以 S2013=2013a1+错误! 未找到引用源。d=2013(-2013+2012)=-2013. 答案:-2013 4.【解析】显然,{bn}不可能是等比数列;{cn}是等比数列.证明如下: cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2…am(n-1)+m, cn+1=amn+1·amn+2…amn+m, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =(qm)m=错误!未找到引用源。. 答案:{cn} 错误!未找到引用源。
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5.【解析】 命题 判断过程 结论 真命题 增数列 由(n+1)an+1-nan p2: 数列 {nan} 是递 =(n+1)(a1+nd)-n[a1+(n-1)d] 假命题 增数列 =a1+2nd,仅由 d>0 是无法判断 a1+2nd 的正负 的,因而不能判定(n+1)an+1,nan 的大小关系 p3:数列 {错误!未 显然,当 an=n 时,错误!未找到引用源。=1, 找到引用源。 } 是 数列错误!未找到引用源。是常数数列,不是 递增数列 递增数列 数列的第 n+1 项减去数列的第 n 项 [an+1+3(n+1)d]-(an+3nd)=(an+1-an)+[3(n+1)d p4: 数 列 {an+3nd} -3nd]=d+3d=4d>0. 是递增数列 所以 an+1+3(n+1)d>an+3nd, 即数列{an+3nd}是递增数列 答案:p1,p4 6.【解析】因为 S7=7,所以 7a4=7,即 a4=1, 又因为 S15=75,所以 15a8=75,即 a8=5, 所以公差 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=1,a1=-2,
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p1: 数 列 {an} 是 递 由 an+1-an=d>0,知数列{an}是递增数列

假命题

真命题

所以 Sn=n(-2)+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。为等差 数列,其首项为-2,公差为错误!未找到引用源。, 所以前 20 项和为 20〓(-2)+错误! 未找到引用源。 〓错误! 未找到引用源。 =55. 答案:55 7.【解析】前 9 行共有 1+3+5+…+17=错误!未找到引用源。=81 项, 所以 A(10,12)为数列中的第 81+12=93 项,所以 a93=错误!未找到引用源。. 答案:(错误!未找到引用源。)93 【误区警示】解答本题时易把前 9 行包含的数列{an}的项数求错. 8.【解析】设公差为 d,则 a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20. 答案:20 9.【解析】设公比为 q,则 a5=a1q4,a3=a1q2. 又 4a1,a5,-2a3 成等差数列, 所以 2a5=4a1-2a3,即 2a1q4=4a1-2a1q2, 所以得:q4+q2-2=0,解得 q2=1 或 q2=-2(舍去), 所以 q=〒1, 所以 a2013=4·(〒1)2013-1=4. 答案:4 10.【解析】因为 b10b11=2, 所以 b1b2…b20=(b10b11)10=210. 又 bn=错误!未找到引用源。, 所以 b1b2…b20=错误!未找到引用源。 ·错误!未找到引用源。 ·错误!未找到引
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用源。…错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。=210, 所以 a21=210=1 024. 答案:1 024 11. 【解析】因为在等比数列 {an} 中有 amam-4= 错误!未找到引用 源。 , 所以 m+m-4=8,m=6,所以 a3=4,a1a5=错误!未找到引用源。=16. 答案:16 12.【解析】依题知 a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,且(2+c)2=2(2+3c),解得 c=0(舍),c=2, 所以 an+1-an=2n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2) +…+(a2-a1)+a1 =2(n-1)+2(n-2)+…+2〓1+2=n2-n+2. 答案:n2-n+2 13.【解析】(1)设数列{an}的公比为 q(q≠0,q≠1), 由 a5,a3,a4 成等差数列,得 2a3=a5+a4, 即 2a1q2=a1q4+a1q3, 由 a1≠0,q≠0 得 q2+q-2=0, 解得 q1=-2,q2=1(舍去), 所以 q=-2. (2)对任意 k∈N*, Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk) =ak+1+ak+2+ak+1=2ak+1+ak+1·(-2)=0, 所以对任意 k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1 成等差数列.
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14.【解析】(1)设数列{an}的公差为 d,则 错误!未找到引用源。解得 d=2 或 d=-4(舍), 所以 an=2+(n-1)〓2=2n. (2)因为 y=4sin2πx=4〓错误!未找到引用源。 =-2cos2πx+2, 其最小正周期为错误!未找到引用源。=1,故首项为 1, 因为公比为 3,从而 bn=3n-1. 所以 an-bn=2n-3n-1, 故 Sn=(2-30)+(4-31)+…+(2n-3n-1) =错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=n2+n+错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。. 【变式备选】 设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,数列{bn}满足 bn=错误! 未找到引用源。 (m∈N*). (1)若 b1,b2,b8 成等比数列,试求 m 的值. (2)是否存在 m,使得数列{bn}中存在某项 bt 满足 b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差数 列?若存在,请指出符合题意的 m 的个数;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)因为 Sn=n2,所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1. 又当 n=1 时,a1=S1=1,适合上式, 所以 an=2n-1(n∈N*), 所以 bn=错误!未找到引用源。,则 b1=错误!未找到引用源。,b2=错误!未找到 引用源。,b8=错误!未找到引用源。,由错误!未找到引用源。=b1b8,得错误!未 找到引用源。=错误!未找到引用源。〓错误!未找到引用源。,解得 m=0(舍)
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或 m=9,所以 m=9. (2)假设存在 m,使得 b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差数列,即 2b4=b1+bt,则 2〓错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,化 简得 t=7+错误!未找到引用源。, 所以当 m-5=1,2,3,4,6,9,12,18,36 时,分别存在 t=43,25,19,16,13,11,10,9,8 符合题意, 即存在这样的 m,且符合题意的 m 共有 9 个. 15. 【解题提示】 (1)由条件 S4,S2,S3 成等差数列和 a2+a3+a4=-18 列出方程组,解出 首项和公比,运用等比数列通项公式得出{an}的通项公式.(2)假设存在正整数 n, 使得 Sn≥2013,解不等式,求 n 的解集. 【解析】(1)设数列错误!未找到引用源。的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.由题意得 错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 故数列错误!未找到引用源。的通项公式为 an=3 错误!未找到引用源。. (2)由(1)有 Sn=错误!未找到引用源。=1-错误!未找到引用源。. 若存在 n,使得 Sn≥2013,则 1-错误!未找到引用源。≥2013,即错误!未找到引 用源。≤-2012. 当 n 为偶数时,错误!未找到引用源。>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,错误!未找到引用源。=-2n≤-2012, 即 2n≥2012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为错误! 未找到引用源。 . 16.【解析】因为 a,b,c 是互不相等的正数,所以 q>0 且 q≠1.
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(1)由已知,a,b,c 是首项为 1,公比为 q 的等比数列,则 b=q,c=q2, 当插入的一个数位于 b,c 之间时,设由 4 个数构成的等差数列的公差为 d1,则错 误!未找到引用源。消去 d1,得 q2-3q+2=0,因为 q≠1,所以 q=2. (2)设所构成的等差数列的公差为 d2,由题意,d2>0,q>1,共插入 4 个数. ①若在 a,b 之间插入 1 个数,在 b,c 之间插入 3 个数,则错误!未找到引用源。 于是错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 ,2b-2a=c-b,q2-3q+2=0,又 q>1,解得 q=2. ②若在 a,b 之间插入 3 个数,在 b,c 之间插入 1 个数,则错误!未找到引用源。 于是错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,2c-2b=b-a,2q2-3q+1=0,解 得 q=1(舍去),或 q=错误!未找到引用源。(不合题意,舍去). ③ 若 a,b 之 间 和 b,c 之 间 各 插 入 2 个 数 , 则 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 b-a=c-b,q2-2q+1=0, 解得 q=1(不合题意,舍去). 综上,在 a,b 之间插入 1 个数,在 b,c 之间插入 3 个数. (3)设所构成的等差数列的公差为 d3, 由题意,b=a+(s+1)d3,d3=错误!未找到引用源。, 又 c=b+(t+1)d3,d3=错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。, 因为 q≠1,所以错误!未找到引用源。=q. 所以,当 q>1,即 a<b<c 时,s<t;当 0<q<1,即 a>b>c 时,s>t.

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