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数学三角公式大全


三角公式汇总
一、任意角的三角函数
在角 ? 的终边上任取 一点 P( x, y ) ,记: r ? .. 正弦: sin ? ? 正切: tan ? ? 正割: sec ? ?
y r y x r x
x2 ? y2 ,

余弦: cos ? ? 余切: cot? ? 余割: csc? ?

x r



x y r y

注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与 单位圆有关的有向 线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角 ? 的正弦线、余弦线、正 .. 切线。

二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 。 商数关系: tan ? ?
sin ? cos ? , cot ? ? 。 cos ? sin ?

平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 1 ? tan2 ? ? sec2 ? , 1 ? cot2 ? ? csc2 ? 。

三、诱导公式(课本上有完整公式,以下为规律及总结)
⑴ ? ? 2k? (k ? Z ) 、? ? 、? ?? 、? ?? 、2? ? ? 的三角函数值,等于 ? 的 同名函数值,前面加上一个把 ? 看成 锐角时原函数值的符号。 (口诀:奇变偶 .. 不变,符号看象限) ⑵

?
2

?? 、

?
2

?? 、

3? 3? ? ? 、 ? ? 的三角函数值,等于 ? 的异名函数值, 2 2

前面加上一个把 ? 看成 锐角时原函数值的符号。 (口诀:奇变偶不变,符号看 .. 象限)

四、和角公式和差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin ? ? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin ? ? sin ?

tan( ? ? ?) ? tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

(重要)五、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? … (?)
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

二倍角的余弦公式 (?) 有以下常用变形: (规律:降幂扩角,升幂缩角)
1 ? cos2? ? 2 cos2 ? 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2
cos 2 ? ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2? 1 ? sin 2? ? , sin 2 ? ? , tan ? ? 。 2 sin 2? 1 ? cos 2? 2

(比较繁琐,不怎么用)六、万能公式(可以理解为二倍角公式的 另一种形式)
sin 2? ? 2 tan ? 2 tan ? 1 ? tan2 ? cos 2 ? ? , , tan 2? ? 。 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ?

万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切 来表示。 ..

(不考,但是可以用)七、和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin

???
2

cos

???
2

…⑴

sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

sin

???
2

…⑵ …⑶ …⑷

cos ? ? cos ? ? 2 cos

???
2
2

cos

???
2

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???

sin

???
2

了解和差化积公式的推导,有助于我们理解并掌握好公式:

??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2
??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2
两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵。

??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? cos? ? cos? ? cos ? cos cos ? ? cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2
??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ? cos? ? cos ? cos cos ? ? cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2
两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。

(不考,但是可以用)八、积化和差公式
sin ? ? cos ? ?
cos ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ?

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2
1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2 1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2

sin ? ? sin ? ? ?

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

(重要)九、辅助角公式
a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ()

其中:角 ? 的终边所在的象限与点 ( a, b) 所在的象限相同,

sin ? ?

b a ?b
2 2

, cos? ?

a a ?b
2 2

, tan ? ?

b 。 a

十、正弦定理
a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

十一、余弦定理
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cosC

十二、三角形的面积公式
S ?ABC ? S ?ABC ? S ?ABC ? S ?ABC ? 1 ? 底?高 2 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边一夹角) 2 2 2 abc ( R 为 ?ABC 外接圆半径) 4R a?b?c ? r ( r 为 ?ABC 内切圆半径) 2

S?ABC ?

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) …海仑公式(其中 p ?
y

sin ? ? cos ?

y

a?b?c ) 2

sin ? ? cos ? ? 0
sin ? ? cos ? ? 0

sin ? ? cos ?

o
x? y ?0

x
sin ? ? cos ? A(?2,2)

sin ? ? cos ? ? 0

o
A(?2,2)
x? y ? 0

x


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