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模块二 等比数列


数学

模块二、等比数列
1. 等比数列的定义:
a n ?1 an ? q ? q ? 0 ? ,其中 q 称为公比.

2. 通项公式: a n ? a 1 q 公式推论: a n ? a m q

n ?1

,首项: a 1 ;公比: q .
( m , n ?

N ) ,从而得 q
?

n?m

n?m

?

an am

.

2 3. 等比中项(1)若 a , G , b 成等比数列,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.即 G ? a b 或 G ? ? a b .

(2)数列 ?a n ? 是等比数列 ? a n ? a n ? 1 ? a n ? 1 ( n ? 2, n ? N )
2
?

4. 等比数列的前 n 项和 S n 公式:
a1 ?1 ? q 1? q
q ?
n

n

(1) 当 q ? 1 时, S n ? n a 1 ;

(2) 当 q ? 1 时, S n ?
a1 1? q
a1 1? q

?

?

a1 ? a n q 1? q

前 n 项和的一般形式:设 A ? 5. 等比数列的判定方法 (1)定义法:对任意的 n,都有

则有 S n ? ?

a1 1? q

? ?A?q ? A
n

a n ?1 an

? q ( q ? 0 , a n ? 0 ) ? { a n } 为等比数列

(2) 等比中项: a n ? a n ? 1 a n ? 1 ( a n ? 1 a n ? 1 ? 0) ? { a n } 为等比数列
2

(3) 通项公式的一般形式: a n ? A ? q ? { a n } 为等比数列( A 为常数)
n

(4) 前 n 项和公式的一般形式: S n ? ? A q ? A ? { a n } 为等比数列( A 为常数)
n

6. 等比数列的证明方法:依据定义,若

an a n ?1

? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且 n ? N

*

?或

a n ?1 an

? q ? { a n } 为等比数列

7. 注意: (1)等比数列的通项公式及前 n 项和公式中,共涉及 5 个量: a 1 、 q 、 n 、 a n 及 S n ,其中 a 1 、 q 称 作基本量,5 个量中“知三求二” 。 (2)设项的技巧:如奇数个数成等差,可设为?, 8. 等比数列的性质: (1) 当 q ? 1 时 ①等比数列通项公式 a n ? a 1 q
a1 ?1 ? q 1? q
n
n ?1

a q
2

,

a q

, a , a q , a q ?(公比为 q ,中间项用 a 表示)

2

?

a1 q

?q ? A?q
n

n

? A, q

? 0 ? 是关于 n 的带系数的指数类函数,底数为公比 q .

②前 n 项和 S n ?

?

? ?

a1 1? q

q ?
n

a1 1? q

? ? A ? q ? A 是系数和常数项是互为相反数的指数类函数.
n

-1-

数学 (2) 在等比数列中,若 m+n=s+t (m, n, s, t ? N ),则 a n ? a m ? a s ? a t .特别的,当 n+m=2k 时,得 a n ? a m ? a k
*

2

(3) 若 { a n } , { b n } 为等比数列,则数列 {

k an
*

} ,{k ? a n } ,{a n } ,{ k ? a n ? bn } {
k

an bn

} (k 为非零常数) 均为等比数列.

(4) 数列 { a n } 为等比数列,每隔 k(k ? N )项取出一项( a m , a m ? k , a m ? 2 k , a m ? 3 k , ? ? ? )仍为等比数列 (5) 如果 { a n } 是各项均为正数的等比数列,则数列 { lo g a a n } 是等差数列 (6) 若 { a n } 为等比数列,则数列 S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n , ? ? ? ,成等比数列 (7) 若 { a n } 为等比数列,则数列 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n , (8)等比数列的单调性: ①当 q ? 1 时, { a1 ? 0 , 则 { a n } 为 递 减 数 列
a1 ? 0 , 则 { a n } 为 递 增 数 列

a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? ? ? a 2 n ,

a 2 n ? 1 ? a 2 n ? 2 ? ? ? ? ? ? a 3 n 成等比数列

②当 0 < q ? 1 时, { a1 ? 0 , 则 { a n } 为 递 增 数 列

a1 ? 0 , 则 { a n } 为 递 减 数 列

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数列. (9)在等比数列 { a n } 中, 当项数为 2n (n ? N )时,
*

S奇 S偶
n

?

1 q

.

(10)若 { a n } 是公比为 q 的等比数列,则 S n ? m ? S n ? q ? S m

等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、填空题 1.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是 2.设函数 f(x)满足 f(n+1)=
2 f (n) ? n 2

(n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为

3.若 { a n } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a 2 0 0 3 ? a 2 0 0 4 ? 0, a 2 0 0 3 .a 2 0 0 4 ? 0 ,则使前 n 项和 S n ? 0 成立的最大 自然数 n 是 4.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3·7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为 a 5.由公差为 d 的等差数列 a1、a2、a3…重新组成的数列 a1+a4, a2+a5, a3+a6…是 6.在数列{an}中,a1=1,an+1=
2an an ? 2

(n∈N*),则该数列的通项公式 a n ? _________.

7.在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_______. 8.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若
Sn Tn

=

2n 3n ? 1

,则

a5 b5

=_________. 的值是

9.已知等差数列{a n}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 10.若数列 { a n } 是等差数列, 则数列 ?

a1 ? a3 ? a9 a
2

?a

4

? a 10

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 类比上述性质, 相应地: { c n } 是 若 ? 也为等差数列, n ? ?

等比数列,且 c n > 0 ,则{ d n }是等比数列,其中 d n ? 11.在等差数列{an}中,若 a1=25 且 S9=S17,当 S n 最大时, n ?



12.已知数列 { a n } 是等比数列,且 a n > 0 , n ? N , a 3 a 5 ? 2 a 4 a 6 ? a 5 a 7 ? 8 1 ,则 a 4 ? a 6 ?
*

-2-


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