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江苏省海州高级中学2015届高三数学(理)自编专题训练:专题二 数列(2)


1. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 值集合是______________. 解

1 , 若 an , an?2 , an?k (k ? N* , k ? 2) 成等差数列,则 k 的取 n

2 1 1 8 , ? ? ? n ? 2? n?2 n n?k k ?4

k ? 4 ? 1, 2, 4,8

,从而可得 (n, k ) ? (10,5),(6,6),(4,8),(3,12) . 答案为 ?5,6,8,12? .

? a ? 1? ? 2012 ? a2 ? 1? ? 1 , S {a } 2. 已知等差数列 n 的前 n 项和为 n ,若 2
3

? a2 0 1 ? 1 1?

3

? 2 0 1?2 a

2011

?

1? ??

1 ,则下列四个命题中真命题的序号为

_____

① S2011 ? 2011 ;② S2012 ? 2012 ;③ a2011 ? a2 ;④ S2011 ? S2 解析:② ③ 由题可得 a2 ? a2011 ? 2 ,且 a2 ? 1 , a2011 ? ?0,1? 所以①不好判断;④应为大于 (一种结构的思维! )

1 , 若对于一切 n ? 1 的自然数,不等式 n 1 2 a n ?1 ? a n ? 2 ? ... ? a 2 n ? log a (a ? 1) ? 恒成立,则实数 a 的取值范围为________ 12 3 1 1 1 ? ? ??? ? 解: an ?1 ? an ? 2 ? ??? ? a2 n ? n ?1 n ? 2 2n 令 bn ? an?1 ? an?2 ???? ? a2n ,∴ bn?1 ? an?2 ? an?3 ???? ? a2n?2 1 1 1 1 ? ? ? ∴ bn ?1 ? bn ? a2 n ? 2 ? a2 n ?1 ? an ?1 ? 2n ? 2 2n ? 1 n ? 1 2(2n ? 1)(n ? 1) ∴ ?n ? 1, n ? N , bn?1 ? bn ? 0 恒成立; ∴数列 ?bn ? 对 n ? 2 , n ? N 上单调递增.
3.已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 1 7 1 2 ? ? ;∴由题意可知 log a (a ? 1) ? ? (bn ) min 3 4 12 12 3 1 1? 5 ∴ loga (a ?1) ? ?1 又 a ? 1 ;∴ 0 ? a ? 1 ? ; ∴ 1 ? a ? . a 2
∴ (bn ) min ? b2 ? a3 ? a4 ?

4. 已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 为 1 , 公 差 为 2 , 若 a1 a2? a2 a? 3

a3 a ? 4

a4 ? a5 ? ? ?

?a2n a2n?1 ? t ? n2 对 n ? N * 恒成立,则实数 t 的取值范围是 _____ (??, ?12]
a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ??? ? a2n a2n?1 ? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ???? ? a2n (a 2n?1 ?a2n?1 )

-1-

? ?4(a2 ? a4 ?

? a2n ) ? ?4 ?

a2 ? a2 n ? n ? ?8n 2 ? 4n , 所 以 ?8n2 ? 4n ? tn2 , 所 以 2

4 t? ? 8 ? 对 n ? N * 恒成立, t ? ?12 , n

2 2 5:已知数列{an}的首项 a1=a,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足:S2 n=3n an+Sn-1,an≠0,

n≥2,n∈N*. (1)若数列{an}是等差数列,求 a 的值; (2)确定 a 的取值集合 M,使 a∈M 时,数列{an}是递增数列.
2 2 解: (1)在 S2 n=3n an+Sn-1中分别令 n=2,n=3,及 a1=a 得

(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2, 因为 an≠0,所以 a2=12-2a,a3=3+2a. 因为数列{an}是等差数列,所以 a1+a3=2a2,即 2(12-2a)=a+3+2a,解得 a=3.经检验 a 3n(n+1) 3n(n-1) 2 2 =3 时,an=3n,Sn= ,Sn-1= 满足 S2 n=3n an+Sn-1. 2 2
2 2 2 2 2 2 (2)由 S2 n=3n an+Sn-1,得 Sn-Sn-1=3n an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n an,

即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为 an≠0,所以 Sn+Sn-1=3n2,(n≥2),① 所以 Sn+1+Sn=3(n+1)2,② ②-①,得 an+1+an=6n+3,(n≥2).③ 所以 an+2+an+1=6n+9,④ ④-③,得 an+2-an=6,(n≥2) 即数列 a2,a4,a6,…,及数列 a3,a5,a7,…都是公差为 6 的等差数列, 因为 a2=12-2a,a3=3+2a.

?a,n=1, ? 所以 an=?3n+2a-6,n为奇数且n≥3, ?3n-2a+6,n为偶数, ?
要使数列{an}是递增数列,须有 a1<a2,且当 n 为大于或等于 3 的奇数时,an<an+1,且当 n 为偶数时,an<an+1, 即 a<12-2a,3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n 为大于或等于 3 的奇数), 9 15 3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n 为偶数),解得 <a< . 4 4 9 15 所以 M=( , ),当 a∈M 时,数列{an}是递增数列. 4 4 6:已知数列 {an } 满足 a1 ? ?
2

3 , an ?1 ? 2an ? 1, 数列 {bn } 满足 bn ? an ? 1 ,数列 {cn } 的前 n 项 4
n

和 Sn ? n ? 4n (1) 求数列 {bn } 的通项公式; (2) 令 dn ? (?1) cncn?1 , Tn 为数列 {dn } 的

-2-

前 n 项和, 求 T2 n?1

; (并项求和法) (3) 若使不等式

2cn? p cn

?

bn?1 ? p ? 8 成立的自然数 n 恰 bn

好有 4 个,求正整数 p 的值. 解答:(1) 由 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 即 bn?1 ? 2bn ,?{bn } 为首项是

1 ,公比为 2 的等比数列 4

? bn ?

??3???????????n ? 1 1 n ?1 2 ? 2n ?3 ;(2) cn ? ? ? ?cn ? 2n ? 5 , T2n?1 ? ?8n2 ? 4n ? 3 4 ?2n ? 5?????n ? 2 2cn? p cn ?
4p p?8 bn?1 ? p ? 8 ? n ?3 , n ? 1, 2 时上式成立. n ? 3 时,原式变为 得 2n ? 5 2 bn
n ? 4 时,

(1)由

2n ? 5 4p 2n ? 5 f (n ? 1) 2n ? 3 2n?3 2n ? 3 ? n ?3 令 f ( n ) ? n ?3 则 ? n?2 ? 2 p ?8 2 f (n) 2 2n ? 5 2(2n ? 5)

f (n ? 1) ?1 f ( n)
f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? f (7) ?
3 5 7 f (3) ? 1, f (4) ? , f (5) ? , f (6) ? 2 4 8

5 ? 4p ? ? p ?8 4 ? 8 40 ? 由? 解得 ? p ? ,所以 p ? 3 3 11 ? 4p ? ?1 ? ? p ?8

7.设数列 {an } ,对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2
*

? an ) ,(其中 k 、 b 、

p 是常数)(1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ?

? an ;

(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (3)探究数列 ?an ? 为封闭数列的充要条件 (4)若数列 ?an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是 “封闭数列”. 当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在 这 样 的 “ 封 闭 数 列 ”

?an ?
? n S 1

, 使 得 对 任 意 n? N

*

, 都 有 Sn ? 0 , 且

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 2 S1 S2 S3

1 1 1 8

? .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所有取值;若不存在,

-3-

请说明理由 解: (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时, 3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 用 n ?1 去 代 n 得 , 3 a (1 ? a n?
1

? an ) , a, 1 )



? ) ? 4

2 a ? 1(

a2 ?

n

? a

?n

② ② -① 得 ,

中令 n ? 1 得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴ 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an ,在①

an ?1 ? 3, an

∴ 数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,∴a1 ? a2 ? a3 ? (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ④ -③ 得,

3n ? 1 ? an = 2
③ ④

? an ) ,

? an ? an?1 ) ,

(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,



用 n ? 1 去代 n 得, nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? a1 ? 0 , ⑥ ⑥ -⑤ 得, nan?2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,∴ 数列 {an } 是等差数列 ∵a3 ? 3 , a9 ? 15 ,∴ 公差 d ?

a9 ? a3 ? 2 ,∴an ? 2n ? 3 9?3

(3)

a a1 a ? p ? m ? n ? 1 ,则 1 ? m ? n ? 1 ? p ? 1 恒成立,则 1 ? ?1 恒成立,则 a1 ? ?2 2 2 2

的偶数 (4)由(2)知数列 {an } 是等差数列,∵a2 ? a1 ? 2 ,∴an ? a1 ? 2(n ? 1) 又 ?an ? 是“封闭数列”,得:对任意 m, n ? N ? ,必存在 p ? N 使
?

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数,
又由已知,

18 18 1 1 11 ? ? ,故 ? a1 ? 12 . 一方面,当 ? a1 ? 12 时, 11 11 12 S1 18

Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 ,对任意 n ? N * ,都有 a1 ? 2

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3

?

1 1 1 ? ? 。 Sn S1 12 1 1 1 ? ? Sn n n ? 1
, 则

















Sn ? (n ? n1 , )

-4-

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3

?

1 1 1 1 1 2 11 ,取 n ? 2 ,则 ? 1? ? ? 1 ? ? ? ,不合题意 Sn n ?1 S1 S2 3 3 18 1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3

?

11 1 11 1 1 1 1 , ? ? ( ? ? )? Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3


?

1 11 1 1 1 1 11 ? ? ( ? ? )? , Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

18 ? a1 ? 12 ,∴a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 11

-5-


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