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2014届高考数学一轮复习 第24讲《解斜三角形》热点针对训练 理


第24讲 解斜三角形
5π 1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 a=1,c= 3,B= ,则 6 b=( A ) A. 7 B.2 7 C.3 7 D.7 5π 解析:由余弦定理,得 b= 1+3-2×1× 3cos = 7. 6 π 2.(2012·长春市第一次调研)在△ABC 中,A= ,BC=3,AB= 6,则 C=( C ) 3

π 3π 3π A. 或 B. 4 4 4 π π C. D. 4 6

ABsin A 2 = , BC 2 又 BC=3,AB= 6,所以 A>C,则 C 为锐角,
解析:由正弦定理得 sin C= π 所以 C= ,故选 C. 4 3.(2013·宁德质检)已知△ABC 的面积为 等于( A ) A.3+ 3 C.2+ 3 B.3 3 3 3 D. 2 3 π ,AC= 3,∠ABC= ,则△ABC 的周长 2 3

1 3 解析:由题意可得 AB·BC·sin ∠ABC= , 2 2 1 3 3 即 AB·BC· = ,所以 AB·BC=2. 2 2 2 π 2 2 2 2 再由余弦定理可得 3=AB +BC -2AB·BC·cos =AB +BC -2, 3 2 2 所以 AB +BC =5, 2 2 2 所以(AB+BC) =AB +BC +2AB·BC=5+4=9, 所以 AB+BC=3, 所以△ABC 的周长等于 AB+BC+AC=3+ 3,故选 A. π 4.(2012·长春市第三次调研)若满足条件 AB= 3, = 的三角形 ABC 有两个, C 则边 3 长 BC 的取值范围是( C ) A.(1,2) B.( 2, 3) C.( 3,2) D.( 2,2) 解析:若满足条件的三角形有两个, 3 BC AB 则应 =sin C<sin A<1,又因为 = =2, 2 sin A sin C 故 BC=2sin A,所以 3<BC<2,故选 C. 5.(2013·天津市五区县期末)在△ABC 中,若 B=2A,a∶b=1∶ 3,则 A= π 6 .

1

sin 2A b 解析:由正弦定理得 = , sin A a 得 2sin Acos A 3 3 π = ,即 cos A= ,故 A= . sin A 1 2 6

6.(2013·广东省肇庆市)在△ABC 中,AB=3,BC= 13,AC=4,则 △ABC 的面积等 于 3 3 . 解析:由余弦定理,得 AB2+AC2-BC2 9+16-13 1 co s A= = = , 2AB·AC 2×3×4 2 所以 sin A= 3 , 2

1 1 3 所以 S△ABC= AB·ACsin A= ×3×4× =3 3. 2 2 2 7.(2012·广东省汕头市测评)△ABC 中,如果(a+b+c)·(b+c-a)=3bc,那么 A π 等于 . 3 2 2 解析:(a+b+c)(b+c-a)=[(b+c)+a ][(b+c)-a]=(b+c) -a =3bc, 2 2 2 得 b +c -a =bc, b2+c2-a2 bc 1 由余弦定理得 cos A= = = , 2bc 2bc 2 π 又 0<A<π ,所以 A= . 3 8.(2012·山东省莱州第一次质检)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 1 2 已知 sin A+sin C=psin B(p∈R)且 ac= b . 4 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a ,c 的值; 4 ( 2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. 解析:(1)由题设并利用正弦定理, 5 ?a+c=4 ? 得? 1 ? ?ac=4

?a=1, ? ,解得? 1 ?c=4, ?

?a=1, ? 或? 4 ?c=1. ?

(2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B 2 =(a+c) -2ac-2accos B 1 2 1 2 2 2 =p b - b - b cos B, 2 2 3 1 2 即 p = + cos B, 2 2 3 2 因为 0<cos B<1,得 p ∈( ,2 ), 2 由题设知 p>0,所以 6 <p< 2 . 2

6 2 2 2 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a +c -b = ac. 5 2A+C (1)求 2sin +s in 2B 的值; 2
2

(2)若 b=2,求 △ABC 的面积的最大值. a2+c2-b2 3 解析:(1)由已知 = , 2ac 5 3 4 2 所以 cos B= ,sin B= 1-cos B= , 5 5 2A+C 2B 所以 2sin +sin 2B=2cos +sin 2B 2 2 =1+cos B+2sin Bcos B 3 3 4 =1+ +2× × 5 5 5 64 = . 25 6 2 2 (2)因为 b=2,所以 a +c = ac+4, 5 6 2 2 又因为 a +c ≥2ac,所以 2ac≤ ac+4,所以 ac≤5, 5 1 1 4 所以 S△ABC= acsin B≤ ×5× =2. 2 2 5 所以△ABC 的面积的最大值为 2.

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