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北京市首师大附中2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年北京市首师大附中高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.命题“? x0>0,2 ≤0”的否定是( )

A.? x>0,2x>0 B.? x≤0,2x>0 C.? x>0,2x<0 D.? x≤0,2x<0 2.设 l,

m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A.若 l⊥m,m? α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m? α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m 3.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a.b.c,已知 B=30°,c=150,b=50 , 那么这个三角形是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角或直角三角形 4.如图所示的程序框图,若输出的 S=31,则判断框内填入的条件是( )

A.i>4? B.i>5? C.i≤4? D.i≤5? * 5.设{an}(n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论 错误的是( ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 6. E 是正方形 ABCD 所在平面外一点, E 在面 ABCD 上的正投影 F 恰在 AC 上, 如图所示, FG∥BC,AB=AE=2,∠EAB=60°,有以下四个命题: (1)CD⊥面 GEF; (2)AG=1; (3)以 AC,AE 作为邻边的平行四边形面积是 8; (4)∠EAD=60°. 其中正确命题的个数为( )

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A.1 B.2 C.3 D.4 7.下列命题中,正确的命题个数为(

) b, c, ①△ABC 的三边分别为 a, 则该三角形是等边三角形的充要条件为 a2+b2+c2=ab+ac+bc; ②数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=An2+Bn 是数列{an}为等差数列的充要条件; ③在数列{an}中,a1=1,Sn 是其前 n 项和,满足 Sn+1= Sn+2,则{an}是等比数列; ④已知 a1,b1,c1,a2,b2,c2 都是不等于零的实数,关于 x 的不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 的解集分别为 P,Q,则 = = 是 P=Q 的充分必要条件.

A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图,设 P 为正四面体 A﹣BCD 表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点 P 到四个顶 点的距离组成的集合记为 M,如果集合 M 中有且只有 2 个元素,那么符合条件的点 P 有 ( )

A.4 个 B.6 个 C.10 个 D.14 个 二、填空题(共 6 小题,每题 4 分,满分 24 分,将答案填在答题纸上) 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,an≠0(n∈N*) ,anan+1=Sn,则 a3﹣a1=______. 10.执行如图所示的程序框图,输出的 a 值为______.

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11.已知一个三棱锥的三视图如图所示,主视图和左视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形, 那么,这个三棱锥的表面积为______.

12.a>0,b>0,a+b=1,则 + 的最小值为______. 13.如图,四面体 ABCD 的一条棱长为 x,其余棱长均为 1,记四面体 ABCD 的体积为 F (x) ,则函数 F(x)的单调增区间是______;最大值为______.

14.在数列{an}中,若 an2﹣an﹣12=p(n≥2,n∈N×,p 为常数) ,则称{an}为“等方差数列”, 下列是对“等方差数列”的判断; ①若{an}是等方差数列,则{an2}是等差数列; ②{(﹣1)n}是等方差数列; ③若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k 为常数)也是等方差数列; ④若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列. 其中正确命题序号为______. (将所有正确的命题序号填在横线上) 三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
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15.已知 p:

>1,q:? x∈R,ax2+ax﹣1≥0,r: (a﹣m) (a﹣m﹣1)>0.

(1)若 p∧q 为真,求实数 a 的取值范围; (2)若¬p 是¬r 的必要不充分条件,求 m 的取值范围. 16.如图△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,满足 BD= . (Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cosC. ? =0.sin∠BAC= ,AB=3 ,

17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且∠ABC=120°,点 E 是棱 PC 的 中点,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F. (1)求证:AB∥EF; (2)若 PA=PD=AD=2,且平面 PAD⊥平面 ABCD, 求①二面角 E﹣AF﹣D 的二面角的余弦值; ②在线段 PC 上是否存在一点 H,使得直线 BH 与平面 AEF 所成角等于 60°,若存在, 确定 H 的位置,若不存在,说明理由.

18.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a2=5 且 a1,a3,a6 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=0 且对任意的 n≥2,均有|bn﹣bn﹣1|=2 ①写出 b3 所有可能的取值; ②若 bk=2116,求 k 的最小值.

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2015-2016 学年北京市首师大附中高一(下)期末数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.命题“? x0>0,2 ≤0”的否定是( ) D.? x≤0,2x<0

A.? x>0,2x>0 B.? x≤0,2x>0 C.? x>0,2x<0 【考点】命题的否定. 【分析】利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可.

【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“? x0>0,2 ? x>0,2x>0. 故选:A. 2.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l⊥m,m? α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m? α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m

≤0”的否定是:



【考点】直线与平面平行的判定. 【分析】根据题意,依次分析选项:A,根据线面垂直的判定定理判断.C:根据线面平行 的判定定理判断.D:由线线的位置关系判断.B:由线面垂直的性质定理判断;综合可得 答案. 【解答】解:A,根据线面垂直的判定定理,要垂直平面内两条相交直线才行,不正确; C:l∥α,m? α,则 l∥m 或两线异面,故不正确. D:平行于同一平面的两直线可能平行,异面,相交,不正确. B:由线面垂直的性质可知:平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故 正确. 故选 B

3.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a.b.c,已知 B=30°,c=150,b=50 那么这个三角形是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角或直角三角形
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【考点】三角形的形状判断. 【分析】由正弦定理求出 sinC= 值,由此即可这个三角形的形状. b=50 【解答】 解: ∵△ABC 中, 已知 B=30°, ∴sinC= ,可得:C=60°或 120°. c=150, , 由正弦定理可得 , ,C=60°或 120°.再根据三角形的内角和公式求出 A 的

当 C=60°,∵B=30°,∴A=90°,△ABC 是直角三角形. 当 C=120°,∵B=30°,∴A=30°,△ABC 是等腰三角形. 故△ABC 是直角三角形或等腰三角形, 故选:D. 4.如图所示的程序框图,若输出的 S=31,则判断框内填入的条件是( )

A.i>4?

B.i>5?

C.i≤4?

D.i≤5?

【考点】程序框图. 【分析】根据框图的流程知,算法的功能是计算 S=1+2+22+…+2n 的值,由输出的 S 是 31, 得退出循环体的 n 值为 5,由此得判断框的条件. 【解答】解:根据框图的流程得:算法的功能是计算 S=1+2+22+…+2n 的值, ∵输出的 S 是 31, ∴S= =2n+1﹣1=31,

解得 n=4; 退出循环体的 n 值为 5, ∴判断框的条件为 n≥5 或 n>4. 故选:A.

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5.设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论 错误的是( ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】利用结论:n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1,易推出 a6>0,a7=0,a8<0,然后逐一分析各选 项,排除错误答案. 【解答】解:由 S5<S6 得 a1+a2+a3+…+a5<a1+a2++a5+a6,即 a6>0, 又∵S6=S7, ∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7, ∴a7=0,故 B 正确; 同理由 S7>S8,得 a8<0, ∵d=a7﹣a6<0,故 A 正确; 而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0,可得 2(a7+a8)>0,由结论 a7=0,a8<0,显然 C 选 项是错误的. ∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6 与 S7 均为 Sn 的最大值,故 D 正确; 故选 C. 6. E 是正方形 ABCD 所在平面外一点, E 在面 ABCD 上的正投影 F 恰在 AC 上, 如图所示, FG∥BC,AB=AE=2,∠EAB=60°,有以下四个命题: (1)CD⊥面 GEF; (2)AG=1; (3)以 AC,AE 作为邻边的平行四边形面积是 8; (4)∠EAD=60°. 其中正确命题的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】平面与平面垂直的判定. 【分析】连结 EG,通过证明 AB⊥平面 EFG 得出 CD⊥平面 EFG,在直角三角形 AEG 中求 出 AG,EF,求出三角形 ACE 的面积,根据 AG 判断出 F 的位置,利用全都三角形判断∠ EAD. 【解答】解:连结 EG, (1)∵EF⊥平面 ABCD,AB? 平面 ABCD, ∴EF⊥AB, ∵FG∥BC,BC⊥AB, ∴AB⊥FG, 又 EF? 平面 EFG,FG? 平面 EFG,EF∩FG=F,
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∴AB⊥平面 EFG,∵AB∥CD, ∴CD⊥平面 EFG.故(1)正确. (2)∵AB⊥平面 EFG, ∴AB⊥EG,∵∠EAB=60°,AE=2, ∴AG= AE=1,故(2)正确. (3) )∵AG=1= ∵AE=2,AC= ∴EF= ∴S△ACE= ,∴F 为 AC 的中点. =2 = = ,AF= . =2, = ,

∴以 AC,AE 作为邻边的平行四边形面积为 2S△ACE=4,故(3)错误; (4)过 F 作 FM⊥AD 于 M,则 AM=1, 由(1)的证明可知 AD⊥平面 EFM,故而 AD⊥EM, ∴Rt△EAG≌Rt△EAM, ∴∠EAM=∠EAG=60°,故(4)正确. 故选:C

7.下列命题中,正确的命题个数为( ) b, c, ①△ABC 的三边分别为 a, 则该三角形是等边三角形的充要条件为 a2+b2+c2=ab+ac+bc; ②数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=An2+Bn 是数列{an}为等差数列的充要条件; ③在数列{an}中,a1=1,Sn 是其前 n 项和,满足 Sn+1= Sn+2,则{an}是等比数列; ④已知 a1,b1,c1,a2,b2,c2 都是不等于零的实数,关于 x 的不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 的解集分别为 P,Q,则 A.1 B.2 C.3 D.4 = = 是 P=Q 的充分必要条件.

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①根据等边三角形的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断, ②根据等差数列的定义和性质进行判断, ③根据数列项和前 n 项和的关系,结合等比数列的定义进行判断. ④举反例进行判断即可.
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【解答】解:①若 a=b=c,则 a2+b2+c2=ab+ac+bc 成立, 反之若 a2+b2+c2=ab+ac+bc,则 2(a2+b2+c2)=2(ab+ac+bc) , 整理得(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0,当且仅当 a=b=c 时成立故充分性成立,故①正 确; ②当 n=1 时,a1=A+B;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2An+B﹣A, 显然当 n=1 时也满足上式, ∴an﹣an﹣1=2A, ∴{an}是等差数列. 反之,若数列{an}为等差数列, ∴Sn=na1+ d= n2+(a1﹣ )n,

令 A= ,B=a1﹣ ,则 Sn=An2+Bn,A,B∈R. 综上,“Sn=An2+Bn,是“数列{an}为等差数列”的充要条件.故②正确, ③在数列{an}中,a1=1,Sn 是其前 n 项和,满足 Sn+1= Sn+2, 则当 n≥2 时,Sn= Sn﹣1+2, 两式作差得 Sn+1﹣Sn= Sn+2﹣ Sn﹣1﹣2, 即 an+1= an, = , (n≥2) ,



当 n=1 时,S2= S1+2, 即 a1+a2= a1+2, 即 a2=﹣ a1+2=2﹣ = , = ≠ ,



即{an}不是等比数列;故③错误, ④举反例,不等式 x2+x+1>0 与 x2+x+2>0 的解集都是 R, 但是 ≠ ,则 = = 是 P=Q 的充分必要条件错误,故④错误.

故正确的是①②, 故选:B.

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8.如图,设 P 为正四面体 A﹣BCD 表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点 P 到四个顶 点的距离组成的集合记为 M,如果集合 M 中有且只有 2 个元素,那么符合条件的点 P 有 ( )

A.4 个 B.6 个 C.10 个 D.14 个 【考点】计数原理的应用. 【分析】根据分类计数加法原理可得,由题意符合条件的点只有两类,一在棱的中点,二在 面得中心,问题得以解决. 【解答】解:符合条件的点 P 有两类: (1)6 条棱的中点; (2)4 个面的中心.共 10 个点. 故集合 M 中有且只有 2 个元素,那么符合条件的点 P 有 4+6=10. 故选:C 二、填空题(共 6 小题,每题 4 分,满分 24 分,将答案填在答题纸上) 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,an≠0(n∈N*) ,anan+1=Sn,则 a3﹣a1= 1 . 【考点】数列递推式. 【分析】由题意可得 an+1= ,从而可得 a2= =1,a3= = =1+a1;从而解得.

【解答】解:∵anan+1=Sn,∴an+1=



∴a2=

=1;a3=

=

=1+a1;

∴a3﹣a1=1+a1﹣a1=1, 故答案为:1.

10.执行如图所示的程序框图,输出的 a 值为 ﹣



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【考点】程序框图. 【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果,发现 a 值的周期为 4,再根据条件确定 跳出循环的 i 值,从而可得输出的 a 值. 【解答】解:由程序框图知:第一次循环 a= 第二次循环 a= =﹣ ,i=3; =﹣2,i=2;

第三次循环 a=

= ,i=4;

第四次循环 a=

=3,i=5;

第五次循环 a= …

=﹣2,i=6;

∴a 值的周期为 4,又跳出循环的 i 值为 11, ∴输出的 a=﹣ . 故答案为:﹣ .

11.已知一个三棱锥的三视图如图所示,主视图和左视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形, 那么,这个三棱锥的表面积为 .

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【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】如图所示,该三棱锥为 P﹣ABC,满足 PD⊥底面 BAC,D 为点 P 在底面 ABC 的 射影,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,PD=1,即可得出. 【解答】解:如图所示,该三棱锥为 P﹣ABC,满足 PD⊥底面 BAC,D 为点 P 在底面 ABC 的射影,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,PD=1, 这个三棱锥的表面积 S= = 故答案为: . . + + +

12.a>0,b>0,a+b=1,则 + 的最小值为 5+2 【考点】基本不等式. 【分析】根据基本不等式即可求出最小值. 【解答】解:∵a>0,b>0,a+b=1, ∴ + =(a+b) ( + )=2+3+ b= 时取等号, , + ≥5+2



=5+2

,当且仅当 a=



∴则 + 的最小值为 5+2 故答案为:5+2 ,

13.如图,四面体 ABCD 的一条棱长为 x,其余棱长均为 1,记四面体 ABCD 的体积为 F (x) ,则函数 F(x)的单调增区间是 , ;最大值为 .

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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】如图所示,设 BC=x,AB=AC=AD=CD=BD=1.取 AD 的中点 O,连接 OB,OC, 则 OB⊥AD,OC⊥AD,OB=OC= .又 OB∩OC=O,则 AD⊥平面 OBC.取 BC 的中点

E, = 连接 OE, 则 OE⊥BC, 可得 OE, 可得 F (x)

=

(0<x<

) . 利

用导数研究其单调性即可得出. 【解答】解:如图所示,设 BC=x,AB=AC=AD=CD=BD=1. 取 AD 的中点 O, 连接 OB,OC,则 OB⊥AD,OC⊥AD,OB=OC= 又 OB∩OC=O,则 AD⊥平面 OBC, 取 BC 的中点 E,连接 OE,则 OE⊥BC, OE= = . .

∴S△OBC= ∴F(x)=

=



=

×1

=

(0<x<

) .

F′(x)=



′ x) 令 F( ≥0, 解得

′ x) , 此时函数 F (x) 单调递增; 令 F( <0, 解得



此时函数 F(x)单调递减法. 因此当 x= 时,F(x)取得最大值, = = .

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故答案分别为:

, .

14.在数列{an}中,若 an2﹣an﹣12=p(n≥2,n∈N×,p 为常数) ,则称{an}为“等方差数列”, 下列是对“等方差数列”的判断; ①若{an}是等方差数列,则{an2}是等差数列; ②{(﹣1)n}是等方差数列; ③若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k 为常数)也是等方差数列; ④若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列. 其中正确命题序号为 ①②③④ . (将所有正确的命题序号填在横线上) 【考点】等差数列的性质. 【分析】根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义,即可判断出正确的答案. 【解答】解:①因为{an}是等方差数列,所以 an2﹣an﹣12=p(n≥2,n∈N×,p 为常数)成 立, 得到{an2}为首项是 a12,公差为 p 的等差数列; ②因为 an2﹣an﹣12=(﹣1)2n﹣(﹣1)2n﹣1=1﹣(﹣1)=2,所以数列{(﹣1)n}是等方差 数列; ③数列{an}中的项列举出来是:a1,a2,…,ak,ak+1,ak+2,…,a2k,…,a3k,… 数列{akn}中的项列举出来是:ak,a2k,a3k,… 因为 ak+12﹣ak2=ak+22﹣ak+12=ak+32﹣ak+22=…=a2k2﹣ak2=p 所以(ak+12﹣ak2)+(ak+22﹣ak+12)+(ak+32﹣ak+22)+…+(a2k2﹣a2k﹣12)=a2k2﹣ak2=kp, 类似地有 akn2﹣akn﹣12=akn﹣12﹣akn﹣22=…=akn+32﹣akn+22=akn+22﹣akn+12=akn+12﹣akn2=p 同上连加可得 akn+12﹣akn2=kp,所以,数列{akn}是等方差数列; ④{an}既是等方差数列,又是等差数列,所以 an2﹣an﹣12=p,且 an﹣an﹣1=d(d≠0) ,所以 an+an﹣1= ,联立解得 an= + ,

所以{an}为常数列,当 d=0 时,显然{an}为常数列,所以该数列为常数列. 综上,正确答案的序号为:①②③④ 故答案为:①②③④ 三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.已知 p: >1,q:? x∈R,ax2+ax﹣1≥0,r: (a﹣m) (a﹣m﹣1)>0.

(1)若 p∧q 为真,求实数 a 的取值范围; (2)若¬p 是¬r 的必要不充分条件,求 m 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假.

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【分析】分别求出 p,q,r 为真时的 a 的范围, (1)p∧q 为真,则 p,q 均为真,得到关于 a 的不等式组,解出即可; (2)问题转化为 r 是 p 的必要不充分条件,得到关于 m 的不等式,解出即可. 【解答】解: (1)p 为真时:由 >1 解得﹣2<a<1,

q 为真时,当 a>0,一定存在 ax2+ax﹣1≥0,当 a<0,△=a2+4a≥0,解得 a≤﹣4, 故 q 为真时,实数 a 的取值范围为 a>0 或 a≤﹣4, ∵p∧q 为真,则 p,q 均为真, ∴a 的取值范围为(0,1) ; 2 r a m a ( )关于 : ( ﹣ ) ( ﹣m﹣1)>0, 解得:a>m+1 或 a<m, 若¬p 是¬r 的必要不充分条件, 即 r 是 p 的必要不充分条件,即 p? r, ∴m+1≤﹣2 或 m>1,即 m≤﹣3 或 m>1, 故 m 的取值范围为(﹣∞,﹣3]∪(1,+∞) .

16.如图△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,满足 BD= . (Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cosC.

?

=0.sin∠BAC=

,AB=3



【考点】余弦定理的应用;正弦定理. 【分析】 (I)通过向量的数量积,判断垂直关系,求出 cos∠BAD 的值,在△ABD 中,由 余弦定理求 AD 的长; (Ⅱ) 在△ABD 中, 由正弦定理, 求出 sin∠ADB, 通过三角形是直角三角形, 即可求 cosC. 【解答】解: (Ⅰ)∵ ? =0, ∴AD⊥AC, ∴ ∵sin∠BAC= ∴ , …. ,

在△ABD 中,由余弦定理可知 BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcos∠BAD, 即 AD2﹣8AD+15=0, 解之得 AD=5 或 AD=3 …. 由于 AB>AD, ∴AD=3….. (Ⅱ)在△ABD 中,由正弦定理可知
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又由 可知 ∴ ,



=

, ,

∵∠ADB=∠DAC+∠C,∠DAC= ∴ .…

17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且∠ABC=120°,点 E 是棱 PC 的 中点,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F. (1)求证:AB∥EF; (2)若 PA=PD=AD=2,且平面 PAD⊥平面 ABCD, 求①二面角 E﹣AF﹣D 的二面角的余弦值; ②在线段 PC 上是否存在一点 H,使得直线 BH 与平面 AEF 所成角等于 60°,若存在, 确定 H 的位置,若不存在,说明理由.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角. 【分析】 (1)根据 CD∥平面 ABEF 即可得出 CD∥EF,结合 CD∥AB 得出结论; ①以 AD 的中点 O 为原点建立空间坐标系, (2) 分别求出平面 AEF 和平面 ADF 的法向量, 计算法向量的夹角即可得出二面角的大小; ②假设存在 H 符合条件,设 =λ ,求出 ,令 cos< , >= 解出 λ 即可得出结

论. 【解答】解: (1)证明:∵CD∥AB,AB? 平面 ABEF,CD?平面 ABEF, ∴CD∥平面 ABEF, 又 CD? 平面 PCD,平面 PCD∩平面 ABEF=EF, ∴CD∥EF.又 CD∥AB, ∴AB∥EF. (2)取 AD 的中点 O,连结 PO,OB,BD. ∵ABCD 是菱形,且∠ABC=120°,PA=PD=AD. ∴△ABD,△PAD 是等边三角形, ∴PO⊥AD,OB⊥AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO? 平面 PAD, ∴PO⊥平面 ABCD.
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以 O 为原点,以 OB,OD,OP 为坐标轴建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 则 A=(0,﹣1,0) ,D(0,1,0) ,P(0,0, ) ,B( ,0,0) ,C( ∴E( ① ,1, ) ,F(0, , ) , =(﹣ ) . ,﹣ ,0) ,

,2,0) ,

=(0, ,

设平面 AEF 的法向量为 =(x,y,z) ,则





,令 x=1 得 =(1,﹣

,3) ,

∵OB⊥平面 PAD, ∴ =( ,0,0)为平面 PAD 的一个法向量, ∴cos< , >= = = .

∴二面角 E﹣AF﹣D 的二面角的余弦值为



②假设 PC 上存在点 H 使得直线 BH 与平面 AEF 所成角等于 60°, 则 与 所成夹角为 30°, = 设 =λ = (﹣ λ, ﹣2λ, ) (0≤λ≤1) , 则 = (﹣ ∴cos< >= = = ,

2﹣2λ, ,

) .

化简得 19λ2﹣12λ﹣6=0,解得 λ=

或 λ=

(舍)

∴线段 PC 上存在一点 H,使得直线 BH 与平面 AEF 所成角等于 60°,

18.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a2=5 且 a1,a3,a6 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=0 且对任意的 n≥2,均有|bn﹣bn﹣1|=2 ①写出 b3 所有可能的取值;
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②若 bk=2116,求 k 的最小值. 【考点】数列递推式. 【分析】 (1)由题意列式求得等差数列的公差,则等差数列的通项公式可求; (2)①把数列{an}的通项公式代入|bn﹣bn﹣1|=2 (n≥2) ,去绝对值,即可求得 b3 所

有可能的取值; ②在①的基础上依次求解,即可得到满足 bk=2116 时 k 的最小值. 【解答】解: (1)由题意, 即(5+d)2=(5﹣d) (5+4d) ,整理得 5d2﹣5d=0, ∵d≠0,∴d=1,则 a1=a2﹣d=5﹣1=4, ∴an=4+1×(n﹣1)=n+3; (2)①由|bn﹣bn﹣1|=2 ∴ , 当 b2=32 时,b3=﹣32 或 b3=96; 当 b2=﹣32 时,b3=﹣96 或 b3=32. ∴b3 所有可能的取值为﹣96,﹣32,32,96; ② =±128,当 b3=96 时,b4=224; ,当 b4=224 时, ;b5=580; ,当 b5=580 时,b6=1092; ,当 b6=1092 时,b7=2116. ∴bk=2116,k 的最小值为 7. (n≥2) ,得 ,则 b2=±32. , ,

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2016 年 9 月 29 日

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