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2015届高考数学一轮复习课时作业:30 一元二次不等式及其解法


课时提升作业(三十)一元二次不等式及其解法
(45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2013· 杭州模拟)设 U=R,A={x|-x -3x>0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为( A.{x|x>0} B.{x|-3<x<-1} C.{x|-3<x<0} D.{x|x<

;-1} 【解析】 选 B.A={x|-x -3x>0}={x|x +3x<0}={x|-3<x<0},阴影部 分为 A∩B, 所以 A∩B={x|-3<x<-1},故选 B. 2.(2013·临沂模拟)函数 f(x)= A.{x|2≤x≤3} C.{x|0<x<3} B.{x|2≤x<3} D.{x|x>3} 的定义域是( )
2 2 2

)

【思路点拨】将条件用不等式组列出,解不等式组可求解. 【解析】选 B.要使函数有意义,应有 即函数的定义域为{x|2≤x<3}. 3.(2013·南宁模拟)在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成 立,则( A.-1<a<1 C.- <a< ) B.0<a<2 D.- <a< 即 所以 2≤x<3,

【解析】选 C.(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立, 即(x-a)(1-x-a)<1 对任意实数 x 成立. 所以 x -x-a +a+1>0 恒成立, 所以Δ =1-4(-a +a+1)<0,所以- <a< . 4.(2014· 绍兴模拟)若关于 x 的不等式 x +ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为 ( )
2 2 2 2

-1-

A. C.(1,+∞)
2

B. D.(-∞,-1)

【解析】选 A.由 x +ax-2>0,得 a>-x+ , 令 f(x)=-x+ ,x∈[1,5], 易证 f(x)在[1,5]上为减函数, 所以 f(x)的最小值为 f(5)=-5+ =又 x +ax-2>0 在[1,5]上有解, 所以 a>,即 a 的取值范围是
2 2

,

.
2

5.(2013·厦门模拟)若不等式 ax +bx+c>0 的解集是(-4,1),则不等式 b(x -1)+a(x+3)+c>0 的 解集为( A. B.(-∞,-1)∪ C.(-1,4) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 【思路点拨】利用不等式解集确定 a 的符号及 a 与 b,c 的关系,代入所求不等式可解. 【解析】 选 A.由不等式 ax +bx+c>0 的解集为(-4,1)知 a<0,-4 和 1 是方程 ax +bx+c=0 的两根, 所以-4+1=- ,-4×1= ,即 b=3a,c=-4a. 故所求解的不等式即为 3a(x -1)+a(x+3)-4a>0, 即 3x +x-4<0,解得- <x<1,故选 A.
2 2 2 2

)

6.关于 x 的不等式组 A.(-1,3) C.[-1,3]

有解,则实数 a 的取值范围是( B.(-3,1) D.[-3,1]

)

【解析】选 A.原不等式组等价于 以 a -2a-3<0,所以-1<a<3.
2

由图可得 a +1<2a+4,所

2

7.(2014· 衢州模拟)已知 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),且 f(x)<c 的解集为(m,m+5),
-2-

2

则 c 的值为( A.25

) B.
2

C.

D.
2

【解析】选 D.因为 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),所以Δ =0,即 a -4b=0. 又 f(x)<c 的解集为(m,m+5), 所以 m,m+5 是对应方程 f(x)=c 的两个不同的根, 所以 x +ax+b-c=0, 所以根据根与系数之间的关系得
2

又|x2-x1|= 所以|m+5-m|= 即 5= 所以 c= .
x 2

, . = .

8.已知函数 f(x)=e -1,g(x)=-x +4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围 为( A.[2C.[1,3] ) ,2+ ] B.(2D.(1,3) ,2+ )

【思路点拨】由 f(a)=g(b)可知 b 的取值应使 g(b)在 f(x)的值域中,即求 f(x)值域后令 g(b) ∈f(x)的值域即可. 【解析】选 B.函数 f(x)的值域是(-1,+∞),要使得 f(a)=g(b),必须使得-b +4b-3>-1. 即 b -4b+2<0,解得 22 2

<b<2+

.

【误区警示】本题搞不清题意,弄不清 a,b 是何意义,从而不知如何下手,导致误解. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.若关于 x 的不等式 ax +bx+a -1≤0 的解集为[-1,+∞),则实数 a,b 的值分别为 【思路点拨】分析不等式的解集可确定 a 的取值而后利用 a 的值再转化求解. 【解析】依题意知,原不等式必为一元一次不等式,所以 a=0,从而不等式变为 bx-1≤0,于是应 有 所以 b=-1.
2 2

.

-3-

答案:0,-1 10.(2013· 大同模拟)已知函数 f(x)=-x +2x+b -b+1(b∈R),若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立, 则 b 的取值范围是 .
2 2

【思路点拨】结合二次函数图象的开口方向及对称轴分析可解. 【解析】由 f(x)=-x +2x+b -b+1 知二次函数开口向下,对称轴为 x=1,所以 f(x)在[-1,1]上单 调递增,故只要 f(-1)=-1-2+b -b+1>0,即 b -b-2>0,得 b<-1 或 b>2. 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞) 11.(2013 ·金华模拟 ) 若函数 f(x) 是定义在 (0,+ ∞ ) 上的增函数 , 且对一切 x>0,y>0 满足 f(xy)=f(x)+f(y),则不等式 f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集是 【解析】由已知,得 f(x+6)+f(x)=f(x(x+6)), 2f(4)=f(16). 所以 f(x(x+6))<f(16). .
2 2 2 2

由题意,得

解得 0<x<2.

答案:{x|0<x<2} 12.(能力挑战题)已知不等式 xy≤ax +2y ,若对任意 x∈[1,2]及 y∈[2,3],该不等式恒成立, 则实数 a 的范围是 .
2 2

【思路点拨】 将参数 a 分离到不等式的一边,然后求不等式另一边的最大值,令 t= ,通过换元, 转化为二次函数在闭区间上的最值问题. 【解析】由 xy≤ax +2y 可得 a≥ -2 以 t∈[1,3],于是 g(t)=-2t +t=-2 恒成立,实数 a 的范围是 a≥-1. 答案:a≥-1 【方法技巧】换元法的妙用 本题中涉及三个变量,但通过分离变量,将不等式的一边化为只含有 x,y 两个变量的式子,然后 通过换元法求出该式的最值,从而得到参数 a 的取值范围.其中换元法起到了关键作用,一般地, 形如 a[f(x)] +bf(x)+c 的式子,不论 f(x)的具体形式如何,都可采用换元法,将其转化为二次 函数、二次不等式或二次方程加以解决,但需注意的是换元后一定要注意新元的取值范围.
2 2 2 2

,令 t= ,g(t)=-2t +t,由于 x∈[1,2],y∈[2,3],所 + ,因此 g(t)的最大值为 g(1)=-1,故要使不等式

2

-4-

【加固训练】若不等式 a·4 -2 +1>0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 【解析】不等式可变形为 a> 令 且 y= =t,则 t>0, =t-t =2

x

x

.

=

-

,

+ ,

因此当 t= 时,y 取最大值 , 故实数 a 的取值范围是 a> . 答案:a> 三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段 距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素. 在一个限速为 40km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还 是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 12m,乙车的刹车距离略超过 10m.又知甲、 乙两种车型的刹车距离 s(m) 与车速 x(km/h) 之间分别有如下关系 :s =0.05x+0.005x .问:甲、乙两车有无超速现象? 【思路点拨】由甲、乙两车的实际刹车距离建立关于甲、乙两车车速的不等式,求出两车的实 际车速然后判断是否超速. 【解析】由题意知,对于甲车,有 0.1x+0.01x >12, 即 x +10x-1200>0, 解得 x>30 或 x<-40(不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速超过 30km/h.但根据题意刹车距离略超过 12m,由此估计甲车车速不会超过 限速 40km/h. 对于乙车,有 0.05x+0.005x >10, 即 x +10x-2000>0, 解得 x>40 或 x<-50(不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过 40km/h,超过规定限速. 【方法技巧】构建不等式模型解决实际问题 不等式的应用问题常常以函数为背景,多是解决实际生活、生产中的最优化问题等,解题时,要 仔细审题,认清题目的条件以及要解决的问题 ,理清题目中各量之间的关系,建立恰当的不等
-52 2 2 2 2 甲

=0.1x+0.01x ,s

2



式模型进行求解. 【加固训练】某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生产 产品 x(百台),其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入 R(x)满足 R(x)= 假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的售价为多少? 【解析】(1)设厂家纯收入为 y 万元,由题意 G(x)=x+2, 所以 y=R(x)-G(x)=

令 y>0 得 解得 1<x<8.2,故当 1<x<8.2 时工厂有盈利. (2)当 0≤x≤5 时, y=-0.4x +3.2x-2.8=-0.4(x-4) +3.6, 所以当 x=4 时,ymax=3.6; 当 x>5 时,y<8.2-5=3.2, 所以当生产 400 台产品时盈利最大, 此时 R(4)=-0.4×4 +4.2×4-0.8=9.6, 故每台产品的售价为
2 2 2 2 2



=240(元).

14.求不等式 12x -ax>a (a∈R)的解集. 【解析】因为 12x -ax>a , 所以 12x -ax-a >0,即(4x+a)(3x-a)>0. 令(4x+a)(3x-a)=0, 得 x1=- ,x2= . ①a>0 时,- < ,解集为
2 2 2 2

-6-

; ②a=0 时,x >0,解集为{x|x∈R,且 x≠0}; ③a<0 时,- > ,解集为 . 综上所述:当 a>0 时,不等式的解集为 ; 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠0}; 当 a<0 时,不等式的解集为 . 15.(能力挑战题)(2013·淮南模拟)已知抛物线 y=(m-1)x +(m-2)x-1(x∈R). (1)当 m 为何值时,抛物线与 x 轴有两个交点? (2)若关于 x 的方程(m-1)x +(m-2)x-1=0 的两个不等实根的倒数平方和不大于 2,求 m 的取值范 围. 【解析】(1)根据题意,m≠1 且Δ >0, 即Δ =(m-2) -4(m-1)(-1)>0, 得 m >0,所以 m≠1 且 m≠0. (2)在 m≠0 且 m≠1 的条件下,
2 2 2 2 2

因为

+

=

=m-2,

所以

+
2

=

-

=(m-2) +2(m-1)≤2. 得 m -2m≤0,所以 0≤m≤2. 所以 m 的取值范围是{m|0<m<1 或 1<m≤2}.
2

-7-

-8-


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