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2009届全国名校高三模拟试题汇编——093圆锥曲线解答题


2009 届全国名校高三数学模拟试题分类汇编 (上) 09 圆锥曲线
三、解答题 1、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)已知椭圆的两个焦点 F1 (0,1) 、 F2 (0, ?1) ,直线 y ? 4 是它的一条 准线, A 、 A2 分别是椭圆的上、下两个顶点. 1 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设以原点为顶点, A 为焦点的抛物线为 C ,若过点 F 的直线与 C 相交于不同 M 、 N 的两点、 ,求 1 1 线段 MN 的中点 Q 的轨迹方程.

? x ? 4k 2 ( x, y ) ,令 ? ,消去参数 k ,得到 x ? 4( y ? 1) 为所求轨迹方程. y ? 4k 2 ? 1 ?
x2 y2 解: (Ⅰ)设椭圆方程为a2+b2==1(a>b>0) a2 由题意,得 c=1, c =4 ? a=2,从而 b2=3

y 2 x2 ? ? 1; ∴ 椭圆的方程 4 3
(Ⅱ)设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0) p 由2=2 ? p=4

∴ 抛物线方程为 x2=8y 设线段 MN 的中点 Q(x,y),直线 l 的方程为 y=kx+1 由?

? y ? kx ? 1 ?x ? 8y
2

得 x ? 8kx ? 8 ? 0 , (这里△ ≥0 恒成立) ,
2

设 M(x1,y1),N(x2,y2) 由韦达定理,得 x1 ? x2 ? 8k , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 8k ? 2 ,
2

所以中点坐标为 Q (4k , 4k ? 1) ,
2

∴ x=4k,y=4k2+1 消去 k 得 Q 点轨迹方程为:x2=4(y-1)

C:
2、(湖北省武汉市教科院 2009 届高三第一次调考)如图,设 F 是椭圆 l 为其左准线,直线 l 与 x 轴交于点 P,线段 MN 为椭圆的长轴,已知

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 的左焦点,直线

1

| MN |? 8, 且 | PM |? 2 | MF | .
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A、B 求证:∠AFM=∠BFN; (3) (理科)求三角形 ABF 面积的最大值。

| 解(1)? MN |? 8 ? a ? 4

又?| PM |? 2 | MF | 得 ?c ? 2

a2 1 ? a ? 2(a ? c)即2e 2 ? 3e ? 1 ? 0 ? c ? 或e ? 1(舍去) c 2 2 2 2 b ? a ? c ? 12

x2 y2 ? 椭圆的标准方程为 ? ?1 16 12 ………………………………(文 6 分,理 4 分) (2)当 AB 的斜率为 0 (2)
时,显然 ?AFM ? ?BFN ? 0. 满足题意 当 AB 的斜率不为 0 时,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,AB 方程为 x ? m y ? 8, 代入椭圆方程 整理得

(3m 2 ? 4) y 2 ? 48my ? 144 ? 0



? ? (48m) 2 ? 4 ? 144 (3m 2 ? 4), y1 ? y 2 ?

48m 3m 2 ? 4

y1 ? y 2 ?

144 3m 2 ? 4

? k AF ? k BF ? ?

y1 y2 y1 y2 ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 my1 ? 6 my2 ? 6

2m y1 y 2 ? 6( y1 ? y 2 ) ?0 (m y1 ? 6)(m y2 ? 6)

? k AF ? k BF ? 0, 从而?AFM ? ?BFN.
综上可知:恒有 ?AFM ? ?BFN .………………………………(文 13 分,理 9 分)

(3) (理科)

S ?ABF ? S ?PBF ? S ?PAF ?
72 3 m ?4 ?
2

1 72 m 2 ? 4 | PF | ? | y 2 ? y1 |? 2 3m 2 ? 4
? 72 2 3 ? 16 ?3 3

?

72 m 2 ? 4 ? 3(m 2 ? 4) ? 16

16 m2 ? 4

3 m2 ? 4 ?
当且仅当

16 m ?4
2

即m 2 ?

28 3

(此时适合△>0 的条件)取得等号.

2

? 三角形 ABF 面积的最大值是 3 3………………………………(理 13 分)
3、(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)已知圆 C 方程为: x 2 ? y 2 ? 4 . (Ⅰ)直线 l 过点 P ?1,2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量 OQ ? OM ? ON ,求动 点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线. 解(Ⅰ )①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和 1,? 3 ,其距离 为2 3 满足题意

????

???? ???? ?

? ? ?

?

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 ∴1 ?

| ?k ? 2 | k ?1
2

,k ?

3 , 4

故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1 (Ⅱ )设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? ( y0 ? 0 ) Q 点坐标为 ? x, y ? , 则 N 点坐标是 ?0, y0 ? ∵ OQ ? OM ? ON , ∴ ? x, y ? ? ? x0 , 2 y0 ? 即 x0 ? x ,
2

6分

??? ?

???? ???? ?

y0 ?

y 2

2 2 又∵ x0 ? y0 ? 4 ,∴ x ?

y2 ? 4( y ? 0) 4

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) , ∴ Q 点的轨迹方程是 4 16
轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点。 12 分
x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, O 为坐标原 a 2 b2
???? ? ???? ? | OF1 | | OM |

4、(湖北黄陂一中 2009 届高三数学综合检测试题)若 F1 , F2 为双曲线

???? ???? ??? ? ? ? 1 点,点 P 在双曲线左支上,点 M 在右准线上,且满足: F1O ? PM , OP ? ? ( OF? ? OM )(? ? 0) . ???? ???? ?

(1)求此双曲线的离心率; (2)若此双曲线过点 N (2, 3) ,且其虚轴端点分别为 B1 , B2 ( B1 在 y 轴正半轴上),点 A, B 在双曲线上,且

3

???? ???? ? ? ???? ? ???? ? B2 A ? ? B2 B, 当 B1 A?B1 B ? 0 时,求直线 AB 的方程. ???? ???? ? ? 解:(I)由 F1O ? PM ,知四边形 PF,OM 为平行四边形,……………………(1 分)
???? ? ???? ? ??? ? OF1 OM ? ? 又 OP ? ? ( ???? ? ???? )(? ? 0), | OF1 | | OM |

∴OP 为∠F1OM 的角平分线.…………………………………………………………(3 分) 则□PF1OM 为菱形.
???? ? ???? ???? ? ???? ? ? OF1 |? c,? PF1 |?| PM ? c,? | PF2 |? 2u ? c | |
???? ? PF2 2a ? c 又 ? e ,? ? e …………………………………………………………(4 分) | PM |

即1?

2 ? e, e 2 ? e ? 2 ? 0 e

? e ? 2 …………………………………………(6 分)

(II)由 e=2 有: c ? 2a,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3a 2 ,………………………………(7 分) ∴双曲线方程可设为
? 4 3 ? 2 ? 1, a 2 ? 3 2 a 3a

x2 y2 ? 2 ? 1 ,又点 N(2, 3 )在双曲线上, a 2 3a

∴双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ………………(9 分) 3 9

从而 B1(0,3),B2(0,-3).
???? ? ???? ? ? B2 A ? ? B2 B,? A, B2 , B 共线.………………………………………………(10 分)

设 AB 的方程为:y=kx-3 且设 A( x1 , y2 ), B( x 2 , y2 ),
? y ? kx ? 3 ? 由 ? x2 y2 ? (3 ? k 2 ) x 2 ? 6kx ? 18 ? 0 ………………………………(11 分) ? ?1 ? 9 ? 3

? x1 ? x2 ?

?6k ?18 ?18 , , x1 x2 ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 6 ? 2 2 3? k 3? k 3 ? k2

y1 y2 ? (kx1 ? 3)( kx2 ? 3) ? k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9

(?18) 3k ? (?6k ) ? ?9? 9 3 ? k2 3 ? k2 ???? ? ???? ? B1 B ? ( x2 , y2 ? 3) , 又: B1 A ? ( x1 , y1 ? 3) ? k2 ?
???? ???? ? ? 由 B1 A ? B1 B ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 3( y1 ? y2 ) ? 9 ? 0

得:

?18 ?18 ? 9 ? 3? ? 9 ? 0 ? k 2 ? 5, k ? ? 5 . 2 3? k 3 ? k2

? AB : y ? ? 5 ? 3 ………………………………………………………………(13 分)

4

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 5、(江苏运河中学 2009 年高三第一次质量检测)设椭圆 C: a 的左焦点为 F,上顶
??? 8 ??? ? ? AP= PQ 5 点为 A,过点 A 与 AF 垂直的直线分别交椭圆 C 与 x 轴正半轴于点 P、Q,且 .
⑴ 求椭圆 C 的离心率; ⑵ 若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l: x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程. ⑴解:设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0)
王新敞
奎屯 新疆

A(0,b)知

FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b)
b2 c
y ------- 3 分 F O A P --------5 分 Q x

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?
P( x1 , y1 ),由AP ?



8 8b 2 5 PQ x1 ? , y1 ? b 5 13c 13 ,得

8b 2 2 5 ) ( b) 2 13c ? 13 ?1 2 b2 因为点 P 在椭圆上,所以 a (
2 1 整理得 2b2=3ac,即 2(a2-c2)=3ac, 2e ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e=2---8 分

c 1 1 1 3 b2 3 由 ? , 得c ? a ( a ,0 ) 2b ? 3ac, 得 ? a a 2 2 于是 F(- 2 a,0) Q 2 c 2 , ⑵由⑴知 ,
2

1 | a ?3| 2 ?a 1 1 2 △AQF 的外接圆圆心为(2a,0) ,半径 r=2|FQ|=a 所以 ,
x2 y2 ? ?1 3 解得 a=2,∴c=1,b= 3,所求椭圆方程为 4 -----------15
6、(安徽省潜山县三环中学 2009 届高三上学期第三次联考)设椭圆方程为 x ?
2

y2 =1,求点 M(0,1)的直线 l 4

交椭圆于点 A、B,O 为坐标原点,点 P 满足 OP ?

?

? 1 ? (OA ? OB ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 2

解:设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点,①当斜率存在时,直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立并消元得: (4+k2)x2+2kx-3=0, x1+x2=-
? ? 2k 8 1 ? , y1+y2= ,由 OP ? (OA ? OB ) 2 4? k2 4? k2

得: (x,y)

x1 ? x 2 k ? ?x ? 2 ? ? 4 ? k 2 1 ? = (x1+x2,y1+y2) ,即: ? 2 ? y ? y1 ? y 2 ? 4 ? 2 4? k2 ?
消去 k 得:4x2+y2-y=0 当斜率不存在时,AB 的中点为坐标原点,也适合方程 5

所以动点 P 的轨迹方程为:4x2+y2-y= 0. 7、(安徽省潜山县三环中学 2009 届高三上学期第三次联考)已知椭圆 C:

x2 y2 6 , ? 2 =1( a ? b ? 0 )的离心率为 2 3 a b

短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求△ AOB 面积的最大值.

3 , 2

?c 6 , ? ? 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ? a ? 3, ?
∴ b ? 1 ,∴ 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

由已知

m 1? k 2

?

3 2 3 2 ,得 m ? (k ? 1) . 4 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?
2

3(m 2 ? 1) ?6km , x1 x2 ? . 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ?

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ? (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1 ? ? ?

?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ? 3 ? ? 4. 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
1 3 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 2 k 3

? 3?

2 当且仅当 9k ?

6

综上所述 AB max ? 2 .
?

当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ?

1 3 3 . ? AB max ? ? 2 2 2

8、 (广东省广州市 2008-2009 学年高三第一学期中段学业质量监测)已知长方形 ABCD, AB=2 2 , BC=1. 以 AB 的中 点 O 为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 xoy . (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求 出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

y
D C

A 解:(Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2,0 , 设椭圆的标准方程是 则 2a ? AC ? BC ?

O

?

??
?

2,0 ,

图 ? ? 2,1?.……1 8分

B

x

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? .……2 分 a2 b2

?

2? ? 2

?

??

2

? ?1 ? 0? ?
2

2 ? 2 ? ?1 ? 0? ? 4 ? 2 2 ,? a ? 2 ……4 分
2 2

?

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 .……5 分 x2 y2 ? 1. ……6 分 ? 椭圆的标准方程是 ? 4 2 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2?k ? 0? .……7 分
设 M,N 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ?.

y
D C

? y ? kx ? 2 联立方程: ? 2 2 ?x ? 2 y ? 4
消去 y 整理得, 1 ? 2k

? 8kx ? 4 ? 0 A O B 8k 4 , x1 x 2 ? 有 x1 ? x 2 ? ? ……9 分 图8 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,……10 分
2 2

?

?x

x

所以, x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 , 即 1 ? k x1 x2 ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0
2

?

?

所以,

4 1? k 2 16k 2 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

?

7

8 ? 4k 2 ? 0, ……11 分 得 k 2 ? 2, k ? ? 2. ……12 分 2 1 ? 2k 所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 .……13 分
即 所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点. ……14 分 9、(江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考)已知向量 e1 ? (a, ?)??2 ? (0?1) ,经过定点 A(?a?? ) 且方向向量 ,0 ?0 , e ,? 为 ? e1 ? ? e2 的直线与经过定点 B(a, ? ) 且方向向量为 2? e1 ? e2 的直线交于点 M,其中 ? ? R,常数 a>0. ?0 (1)求点 M 的轨迹方程; (2)若 a ?

6 ,过点 F(1?? ) 的直线与点 M 的轨迹交于 C、D 两点,求 FC ? FD 的取值范围. ,0 2

设点 M ( x?? )??则AM ? ( x ? a, y)?? ,y , ? , BM ? ( x ? a, ? ) , ?y 又 AM ∥ (?e1 ? ?e2 ) ? (?a??? ) , BM ∥ (2?e1 ? e2 ) ? (2?a?1) , ,? 故?

?? ( x ? a ) ? ? ay ,消去参数 ? ,整理得点M的轨迹方程为 ?2?ay ? x ? a

, 0 ,B , 0 x 2 ? 2a 2 y 2 ? a 2 (除去点 A(?a??)?? (a??) )…………5 分

x2 y2 ? ? 1 (除去点 A( 6 ?? )?? (? 6 ?? ) ) , 0 ,B ,0 , 2 2 6 2 1 ( ) 2 2 若 设 直 线 CD 的 方 程 为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0??否则CD过A点) , C( x1 , ? 1 )?, D( x2 , ? 2 ) ?, 则 由 , y y
6 (2)由 a ? 得点 M 轨迹方程为 2
? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 2 消 去 y 得 2(3k ? 1) x ?12k ? 3(2k ?1) ? 0 , 显 然 ? ? 24(k ? 1) ? 0 , 于 是 ? 2 2 ?2 x ? 6 y ? 3
x1 ? x2 ? 6k 2 3(2k 2 ? 1) , ?? 1 x2 ? ,x 3k 2 ? 1 2(3k 2 ? 1)

设 FC ? FD 因此 m ?
2

? m , ? ? ( x1 ? 1?? 1 ) ?? ? ( x2 ? 1?? 2 ) , ?FC , y , FD ,y

FC ? FD ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2

3(2k 2 ? 1) 6k 2 ? (1 ? k )[ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? (1 ? k )[ ? ? 1] , 2(3k 2 ? 1) 3k 2 ? 1
即m ? ?

k 2 ?1 2m ? 1 1 1 ? k2 ? ? 0? (6m ? 1 ? 0) ? ? ? m ? ? ? , 6m ? 1 2 6 2(3k 2 ? 1)

若直线 CD ? x 轴,则 x1

1 1 ? x2 ? 1?? 1 y 2 ? ? ,于是 m ? ? , ,y 6 6
1? ? 1 ?? ? .…………………………12 分 ,? 6? ? 2
2009 届 高 三 高 考 模 拟 ) 如 图 , 已 知 直 线

综上可知 FC ? FD ? m ? ? ?

10 、 ( 辽 宁 省 大 连 市 第 二 十 四 中 学

8

L : x ? m y ? 1过椭圆C :
2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F,且交椭圆 C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直 a2 b2

线 G : x ? a 上的射影依次为点 D,K,E. (1)若抛物线 x 2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程; (2)对于(1)中的椭圆 C,若直线 L 交 y 轴于点 M,且 MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF ,当 m 变化时,求 ?1 ? ?2 的值; (3)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于一定点 N?若交于定点 N,请求出 N 点的 坐标,并给予证明;否则说明理由. 解: (1)易知 b ? 3

?b 2 ? 3, 又F (1,0)

?c ? 1

a 2 ? b2 ? c2 ? 4
x2 y2 ? ? 1 ………………2 分 4 3
1 ) m

? 椭圆C的方程为

(2)? l与y轴交于 M (0,?

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

?x ? m y ? 1 由? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12 ? 0
? ? 144(m2 ? 1) ? 0

? (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0
?

1 1 2m ? ? (*)…………………………………………4 分 y1 y 2 3
? ( x1 , y1 ? 1 ) ? ?1 (1 ? x1 ,? y1 ) m

又由 MA ? ?1 AF

? ?1 ? ?1 ?

1 m y1 1 m y2 1 1 1 2 8 ( ? ) ? ?2 ? ? ? m y1 y 2 3 3

同理 ?2 ? ?1 ?

? ?1 ? ?2 ? ?2 ?

8 ? ?1 ? ? 2 ? ? ……………………………………6 分 3
(3)? F (1,0), k ? (a ,0)
2

9

先探索,当 m=0 时,直线 L⊥ 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交 FK 中点 N,且 N ( ox

a2 ?1 ,0) 2

a2 ?1 ,0) ……………………8 分 猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 N ( 2
证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(a 2 , y2 ), D(a 2 , y1 ) 当 m 变化时首先 AE 过定点 N

?x ? m y ? 1 ?? 2 2 即(a 2 ? b 2 m 2 ) y 2 ? 2m b2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 b x ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ? 0 ? ? ? 4a 2 b 2 (a 2 ? m 2 b 2 ? 1) ? 0(? a ? 1) 又K AN ? ? y1 ? y2 , K EN ? a ?1 1? a2 ? m y1 2 2
2

而K AN ? K EN

a2 ?1 ( y1 ? y 2 ) ? m y1 y 2 2 ? 1? a2 a2 ?1 ( ? m y1 ) 2 2

(?

a2 ?1 a2 ?1 2m b2 b 2 (1 ? a 2 ) ( y1 ? y 2 ) ? m y1 y 2 ? ? (? 2 ) ? m? 2 2 2 a ? m 2b 2 a ? m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (m b2 ? m b2 ) ? ? 0) a 2 ? m 2b 2

? K AN ? K EN

?A、N、E 三点共线

同理可得 B、N、D 三点共线 ∴ 与 BD 相交于定点 N ( AE

a2 ?1 ,0) ……………………12 分 2

11、(山东省临沂高新区实验中学 2008-2009 学年高三 12 月月考)已知椭圆 C 过点 M (1, 圆的左焦点,P、Q 是椭圆 C 上的两个动点,且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (3)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求|PB|的最小值及相应点 P 的坐标。

6 ), F (? 2 ,0) 是椭 2

6 ? ?1 ?a 2 ? 4 x2 y 2 ? ? 4 解: (1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,由已知,得 ? 2 ? 2 ? 1 ,解得 ? 2 a b a b ?b ? 2 ? ? 2 a ? b2 ? 2 ? ?
10

所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 …………3 分 4 2

x2 y 2 ? ? 1 ,可知 (2)证明:设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 。由椭圆的标准方程为 4 2

x12 2 | PF |? ( x1 ? 2) ? y ? ( x1 ? 2) ? 2 ? ? 2? x1 2 2
2 2 1 2

同理 | OF |? 2 ?

2 2 ………4 分 x2 ,| MF |? 2 ? 2 2 2 2 ) ? 4? ( x1 ? x2 ) 2 2

∵ 2 | MF |?| PF | ? | QF | ,∴ 2(2 ? ∴ x1 ? x2 ? 2 …………5 分

? x12 ? 2 y12 ? 4 ? 2 2 2 2 ①当 x1 ? x2 时,由 ? 2 ,得 x1 ? x2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 0 2 x2 ? 2 y2 ? 4 ? ?
从而有

y1 ? y2 1 x ?x ?? ? 1 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 y1 ? y2 1 ?? x1 ? x2 2n
…………6 分

设线段 PQ 的中点为 N (1, n) ,由 k PQ ?

得线段 PQ 的中垂线方程为 y ? n ? 2n( x ? 1) …………7 分 ∴ (2 x ? 1)n ? y ? 0 ,该直线恒过一定点 A( , 0) …………8 分 ②当 x1 ? x2 时, P(1, ?

1 2

6 6 6 6 ), Q(1, ) 或 P(1, ), Q(1, ? ) 2 2 2 2
1 2

线段 PQ 的中垂线是 x 轴,也过点 A( , 0) , ∴线段 PQ 的中垂线过点 A( , 0) …………10 分 (3)由 A( , 0) ,得 B(? , 0) 。 又 ?2 ? x1 ? 2, ?2 ? x2 ? 2 ,∴ x1 ? 2 ? x2 ?[0, 2]

1 2

1 2

1 2

x2 1 1 1 7 9 | PB |2 ? ( x1 ? )2 ? y12 ? ( x1 ? ) 2 ? 2 ? 1 ? ( x1 ? 1) 2 ? ? …………12 分 2 2 2 2 4 4

11

∴ | PB |min ?

3 时,点 P 的坐标为 (0, ? 2) …………14 分 2

12 、 ( 陕 西 省 西 安 铁 一 中 2009 届 高 三 12 月 月 考 ) 如 图 , 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆

C:

3 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e= ,左右两个焦分别为 F1、F2 .过右焦点 F2 且与 x 轴垂直的直线与 2 a b 2

椭圆 C 相交 M、N 两点,且|MN|=1 . (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 C 的左顶点为 A,下顶点为 B,动点 P 满足 PA ? AB ? m ? 4 , m ? R )试求点 P 的轨迹方程, ( 使点 B 关于该轨迹的对称点落在椭圆 C 上. 解 : ( Ⅰ ) ∵ MF2 ? x 轴 , ∴ | MF2 |?

??? ??? ? ?

1 ,由椭圆的定义得: 2

| MF1 | ?

1 ? 2a 2

(2 分)
1 4



| MF1 |2 ? (2c) 2 ?





1 1 (2a ? ) 2 ? 4c 2 ? 2 4



(4 分)

又e ?

3 2 3 2 得c ? a 4 2
1 2 a ?1, 4
2

∴ 4a2 ? 2a ? 3a2 ,

?a ? 0

?a ? 2
(6 分) (7 分)

∴ b2 ? a 2 ? c 2 ?

∴所求椭圆 C 的方程为 x ? y 2 ? 1. 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知点 A(-2,0),点 B 为(0,-1) ,设点 P 的坐标为 ( x, y ) 则 PA ? (?2 ? x, ? y) , AB ? (2, ?1) , 由 PA ? AB ? m -4 得- 4 ? 2 x ? y ? m ? 4 , ∴点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? m . (9 分)

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 B '( x0 , y0 ) ,则由轴对称的性质可得:
?4 ? 4m 2m ? 3 y0 ? 1 x 1 y ?1 , , y0 ? ?? , 0 ? 2 ? 0 ? m ,解得: x0 ? 5 5 x0 2 2 2

(12 分)

∵点 B '( x0 , y0 ) 在椭圆上,∴ (

?4 ? 4m 2 2m ? 3 2 ) ? 4( ) ? 4, 5 5

2 整理得 2m ? m ? 3 ? 0 解得 m ? ?1 或 m ?

3 2
(14 分)

∴点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1 或 y ? 2 x ? 经检验 y ? 2 x ? 1 和 y ? 2 x ?

3 , 2

3 都符合题设, 2

12

∴满足条件的点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1 或 y ? 2 x ?

3 . 2

(15 分)

13、(上海市张堰中学高 2009 届第一学期期中考试)椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0?的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 a2 b2

P 在椭圆 C 上,且 PF1 ? F1 F2 ,且 PF1 ?
(1)求椭圆 C 的方程.

4 14 , PF2 ? . 3 3

(2)若直线 l 过圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 的圆心 M ,交椭圆 C 于 A 、 B 两点,且 A 、 B 关于点 M 对称,求 直线 l 的方程. 解:(1) F1 F2
2

? 20

? F1 F2 ? 2 5 ? 2c ? c ? 5
又 2a ? PF ? PF2 ? 6 ? a ? 3 1

? 椭圆C :

x2 y2 ? ?1 9 4

? y ? k ?x ? 2? ? 1 ? (2) ? x 2 y 2 ? ?4 ? 9k ?x 2 ? 36k 2 ? 18k ? 36k 2 ? 36k ? 27 ? 0 ?1 ? ? 4 ?9

?

?

? A、B关于M对称

?

x1 ? x2 18k 2 ? 9k 8 ?? ? ?2 ? k ? 2 2 9 4 ? 9k
8 ?x ? 2? ? 1 即 8x ? 9 y ? 25 ? 0 9

?l : y ?

14、(天津市汉沽一中 2008~2009 学年度高三第四次月考试题)在直角坐标平面内,已知点 A(2, 0), B(?2, 0) ,

P 是平面内一动点,直线 PA 、 PB 斜率之积为 ?
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

3 . 4

(Ⅱ)过点 ( , 0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线 MA 的斜率 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)设 P 点的坐标为 (x, y ) ,依题意,有

1 2

13

y y 3 ? ? ? ( x ? ?2) . x?2 x?2 4
化简并整理,得

………………… 3 分

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3
∴动点 P 的轨迹 C 的方程是

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3

………………… 5 分

( Ⅱ ) 解 法 一 : 依 题 意 , 直 线 l 过 点 (

1 , 0且 斜 率 不 为 零 , 故 可 设 其 方 程 为 ) 2

x ? my ?

1 , 2

…………………………………………………………………………6 分

由方程组

1 ? ? x ? my ? 2 ? ? 2 2 ?x ? y ?1 ?4 3 ?

消去 x ,并整理得

4(3m2 ? 4) y 2 ? 12my ? 45 ? 0
设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) , M ( x0 , y0 ) ,则

? y1 ? y2 ? ?
∴ y0 ?

3m 3m2 ? 4

,……………………………………………………… 8 分

y1 ? y2 3m ?? 2 2(3m2 ? 4)
1 2 ? , 2 2 3m ? 4
…………………………………………… 10 分

∴ x0 ? my0 ?

?k ?

y0 m , ? x0 ? 2 4m2 ? 4

(1)当 m ? 0 时, k ? 0 ; (2)当 m ? 0 时,

…………………………………………… 11 分

k?

1 4m ? 4 m

?| 4m ?

4 4 |? 4 | m | ? ?8 m |m|
14

?0 ?

1 4m ? 4 m

?

1 . 8

1 . 8 1 1 ?? ? k ? 且k ? 0 . 8 8 ? 0 ?| k |?

………………………………………… 13 分

综合(1)、(2)可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是: ? 解法二:依题意,直线 l 过点 ( , 0) 且斜率不为零.

1 1 ? k ? .……………… 14 分 8 8

1 2

(1) 当直线 l 与 x 轴垂直时, M 点的坐标为 ( , 0) ,此时, k ? 0 ; (2) 当直线 l 的斜率存在且不为零时,设直线 l 方程为 y ? m( x ? ) , 由方程组

1 2

…………6 分 …………7 分

1 2

1 ? ? y ? m( x ? 2 ) ? ? 2 2 ?x ? y ?1 ?4 3 ?

消去 y ,并整理得

(3 ? 4m2 ) x2 ? 4m2 x ? m2 ? 12 ? 0
设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) , M ( x0 , y0 ) ,则

? x1 ? x2 ?

4m 2 3 ? 4m 2

,……………………………………………………… 8 分

∴ x0 ?

x1 ? x2 2m 2 ? 2 3 ? 4m 2

1 3m , ? y0 ? m( x0 ? ? ? ) ? ? 2 2(3 ? 4m2 )
?k ? y0 m ? ? x0 ? 2 4m 2 ? 4 1 1 4(m ? ) m (m ? 0) ,
………………… 10 分

?| m ?

1 1 |?| m | ? ?2 m |m|
1 . 8

? 0 ?| k |?

15

1 . 8 1 1 ?? ? k ? 且k ? 0 . 8 8 ? 0 ?| k |?

………………………………………… 13 分

综合(1)、(2)可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是: ?

1 1 ? k ? .……………… 14 分 8 8

15、(厦门市第二外国语学校 2008—2009 学年高三数学第四次月考)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

x2 y2 ? =1 a2 b2

(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2.F2 也是抛物线 C2: y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交 点,且|MF2|=

5 . 3

(Ⅰ)求 C1 的方程; (Ⅱ)平面上的点 N 满足 MN ? MF ? MF2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A,B 两点,若 OA? OB ? 0 ,求直线 l 1 的方程. 解: (Ⅰ)由 C2 : y 2 ? 4 x 知 F2 (1 0) . , 设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ?

??? ??? ? ?

5 5 2 2 6 ,所以 x1 ? 1 ? ,得 x1 ? , y1 ? . 3 3 3 3

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是 ? 9a 3b 2 2 ?b ? a ? 1. ?
消去 b 并整理得
2

1 9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0 , 解得 a ? 2 ( a ? 不合题意,舍去) . 3

故椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)由 MF ? MF2 ? MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 1 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

???? ???? ? ?

???? ?

2 6 故 l 的斜率 k ? 3 ? 6 .设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) . 2 3
?3x 2 ? 4 y 2 ? 12, ? 2 2 由? 消去 y 并化简得 9 x ? 16mx ? 8m ? 4 ? 0 . ? y ? 6( x ? m), ?
16m 8m2 ? 4 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 9 9

16

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

??? ?

??? ?

x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m) ? 7 x1x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2
1 8m2 ? 4 16m ? 7? ? 6m? ? 6m2 ? (14m 2 ? 28) ? 0 . 9 9 9
所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (16m)2 ? 4 ? 9(8m2 ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6x ? 2 3 ,或 y ? 6x ? 2 3 .

16、(重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1, ,P 是其右支上任一点,F1、F2 分别是 3 9

双曲线的左、右焦点,Q 是 P F1 上的点,N 是 F2Q 上的一点。且有 PN ? F2 N ? 0, F2 N ? NQ. 求 Q 点的轨迹方程。

解:由已知得c ? 2 3 ? F1 (?2 3, 0), F2 (2 3, 0) ??? 2分 ? PN 垂直平分F2Q 由双曲线的定义得 P F1 ? P F2 ? 2 3. ? F1 Q ? 2 3 ??? 4分 ? Q的轨迹是以F1为圆心,半径为2 3的一段圆弧。 ???8分 ? 渐进线为y ? ? 3x,过F1作与y ? 3x平行的直线与圆弧在第二象限 的交点为( 3,3) ??10分 ? Q的轨迹方程为 x ? 2 3

?

?

2

? y 2 ? 12.(? 3 ? x ? 0) ? ??12分

17 、 (2009 届 福 建 省 福 鼎 一 中 高 三 理 科 数 学 强 化 训 练 综 合 卷 一 ) 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xo y 中 , 向 量

??? ??? ? ? j ? (0,1), ?OFP的面积为 3 ,且 OF ? FP ? t , 2 ???? ? ? 3 ??? ? OM ? OP ? j .(1)设 4 ? t ? 4 3, 求向量OF与FP 的夹角? 的取值范围; 3 (2) 设以原点 O 为中心, 对称轴在坐标轴上, F 为右焦点的椭圆经过点 M, | OF |? c, t ? ( 3 ? 1)c 2 ,当| OP | 以 且
取最小值时,求椭圆的方程.

解: (1)由 2 3 ? 1 | OF | ? | FP | ? sin ? , 得 | OF | ? | FP |? 4 3 ,由 cos ? ? OF ? FP ? t sin ? ,得 tan? ? 4 3 . ………………3 分
2 sin ? | OF | ? | FP | 4 3
t

?4 ? t ? 4 3

?1 ? tan? ? 3

?? ?[0,? ] ∴夹角 ? 的取值范围是(

? ? , )……………6 分 4 3

(2) 设P( x0 , y0 ),则FP( x0 ? c, y0 ), OF ? (c,0).

17

? OF ? FP ? ( x0 ? c, y 0 ) ? (c,0) ? ( x0 ? c)c ? t ? ( 3 ? 1)c 2

? x0 ? 3c

S ?OFP

4 3 ……………8 分 ?0 1 4 3 4 3 ? | OF | ? | y 0 |? 2 3 ? y 0 ? ? 又由 c ? , 得x0 ? 3c 2 c x0 ? c ( 3 ? 1)c 2
4 3 2 4 3 ) ? 2 3c ? ? 2 6 ………………10 分 c c

2 2 ? OP |? x0 ? y0 ? (3c) 2 ? ( |

∴当且仅当 3c ?
?OM ?

4 3 ,即c ? 2时, | OP | 取最小值2 6 , 此时, OP ? (2 3,2 3 ) c

3 (2 3,2 3 ) ? (0,1) ? (2,3) …………………………………………12 分 3

椭圆长轴 2a ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 8 故所求椭圆方程为

? a ? 4, b 2 ? 12

x2 y2 ? ? 1 .……………………………………………………14 分 16 12
2 2 ,椭圆上的点到焦点的最短距离为 1- , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于 2 2

18、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e =

相异两点 A、B,且 AP

?? ?

?? ? =? PB .
?? ?

(1)求椭圆方程; (2)若 OA+? OB = 4OP ,求 m 的取值范围. 解: (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c =a -b ,由条件知 a-c= ∴a=1,b=c= 2 , 2
2

?? ?

?? ?

y2 x2 a b

2

2

2

2 c 2 , = , 2 a 2

故 C 的方程为:y + =1 1 2 → → (2)由AP =λ PB , OA+? OB = 4OP → → ∴λ +1=4,λ =3 或 O 点与 P 点重合OP = 0 → → 当 O 点与 P 点重合OP = 0 时,m=0 当 λ =3 时,直线 l 与 y 轴相交,则斜率存在。 设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) B(x2,y2) ,
?y=kx+m ? ? 2 2 ? ?2x +y =1
2

x2

5′

?? ?

?? ?

?? ?

7′

得(k +2)x +2kmx+(m -1)=0
2 2 2 2

2

2

2

Δ =(2km) -4(k +2) m -1)=4(k -2m +2)>0 (*) (

x1+x2=

-2km m -1 , x1x2= 2 k2+2 k +2

2

11′

18

?x1+x2=-2x2 ? → ∵ AP =3PB ∴-x1=3x2 ∴? 2 ? ?x1x2=-3x2

-2km 2 m -1 2 消去 x2,得 3(x1+x2) +4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 整理得 4k m +2m -k -2=0
2 2 2 2

2

13′ 2-2m , 2 4m -1
2

m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2=
2 2

1 4

1 4

2-2m 1 1 因 λ =3 ∴k≠0 ∴k = 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 4m -1 2 2 容易验证 k >2m -2 成立,所以(*)成立 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪ ,1)∪ ( {0} 2 2 16′
2 2

19、(广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考)已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x ? ?1 相切, (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 ? ?16 时,直线 AB 恒过定点?若存在, 求出定点坐标;若不存在,说明理由. 解: (1) 因为动圆 M,过点 F (1, 0) 且与直线 l : x ? ?1 相切,所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 l 的距离.所以,点 M 的 轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且
2

p ? 1, p ? 2 , 2

所以所求的轨迹方程为 y ? 4 x ---------5 分 (2) 假设存在 A,B 在 y ? 4 x 上,
2

所以,直线 AB 的方程: y ? y1 ?

y2 ? y1 y2 y2 ? y1 (x ? 1 ) ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 y2 y2 4 x2 ? x1 ? 1 4 4

y12 4 即 AB 的方程为: y ? y1 ? ( x ? ) ,即 ( y1 ? y2 ) y ? y12 ? y1 y2 ? 4x ? y12 y1 ? y2 4
即: ( y1 ? y2 ) y ? (16 ? 4 x) ? 0 ,令 y ? 0 ,得 x ? 4 , 所以,无论 y1 , y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0) 20、(广东省佛山市三水中学 2009 届高三上学期期中考试)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴 长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不 同点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围;

19

(3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ------1 分 a2 b2

?a ? 2b ? 2 ? ?a ? 8 则? 4 ------------------3 分 解得? 2 1 ? 2 ?1 ?b ? 2 ?a2 b ? ?
∴椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 -------------------------4 分 8 2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 K OM ?

1 2 1 x ? m -----------------------------5 分 2

∴l 的方程为: y ?

1 ? ?y ? 2 x ? m ? 由? 2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?

? x 2 ? 2m x ? 2m 2 ? 4 ? 0

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m2 ? 4) ? 0,
∴m 的取值范围是 {m | ?2 ? m ? 2且m ? 0} -------------------8 分 (3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可--9 分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 可得

x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4 ----------------------------10 分
而 k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ,? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)(x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)(x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? ? x1 x 2 ? (m ? 2)(x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)

20

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ? ? 0 -----------------------13 分 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)
∴k1+k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.-------------- 14 分 21、(2009 年广东省广州市高三年级调研测试)设椭圆 C : 圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ?x1 , y1 ? ,求 3x1 ? 4 y1 的取值范围. 1 解:(1)依题意知, 2a ? 4,? a ? 2. ∵e ? ∴c ? …… 2 分

x2 y2 2 ,点 A 是椭 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = 2 2 a b

c 2 , ? a 2

2, b ? a 2 ? c 2 ? 2 .
x2 y2 ? ? 1. 4 2

…… 4 分 …… 6 分

∴所求椭圆 C 的方程为

(2)∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ?x1 , y1 ? , 1

? y 0 ? y1 ? x ? x ? 2 ? ?1, ? 0 1 ∴ ? y 0 ? y1 x ? x1 ? ? 2? 0 . ? 2 2 ?
解得: x1 ?

……8 分

4 y0 ? 3 x0 3 y ? 4 x0 , y1 ? 0 . 5 5

……10 分

∴ 3x1 ? 4 y1 ? ?5x0 . ∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 在椭圆 C :

……12 分

x2 y2 ? ? 1 上, 4 2

∴ ? 2 ? x0 ? 2 , 则 ? 10 ? ?5x0 ? 10 . ∴ 3x1 ? 4 y1 的取值范围为 ?? 10, 10? . ……14 分

22、(广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)设动点 P( x, y )( x ? 0) 到定点 F ( , 0) 的距离 比它到 y 轴的距离大

1 2

1 .记点 P 的轨迹为曲线 C 2

21

(1)求点 P 的轨迹方程; (2) 设圆 M 过 A(1, 0) , 且圆心 M 在 P 的轨迹上,EF 是圆 M 在 y 轴上截得的弦, M 运动时弦长 | EF | 当 是否为定值?请说明理由. 解: (1)依题意, P 到 F ( , 0) 距离等于 P 到直线 x ? ? 抛物线

1 2

1 1 的距离,曲线 C 是以原点为顶点, F ( , 0) 为焦点的 2 2
(2 分)

P ?1

曲线 C 方程是 y 2 ? 2 x

(4 分)

(2)设圆心 M (a, b) ,因为圆 M 过 A(1, 0) 故设圆的方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? (a ? 1)2 ? b2 令 x ? 0 得: y 2 ? 2by ? 2a ?1 ? 0 设圆与 y 轴的两交点为 (0, y1 ),(0, y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 2b, y1 ? y2 ? 2a ? 1 (10 分) (7 分)

( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 ? y2 ? (2b)2 ? 4(2a ?1) ? 4b2 ? 8a ? 4
M (a, b) 在抛物线 y 2 ? 2x 上, b2 ? 2a
所以,当 M 运动时,弦长 | EF | 为定值 2

( y1 ? y2 )2 ? 4

| y1 ? y2 |? 2 (13 分)
(14 分)

23、(广西桂林十八中 06 级高三第二次月考)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦 点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左,右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭 圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. (1)

x2 y 2 ? ? 1. 4 3 ……………………………………………………………………………....……4 分
? y ? kx ? m 得 ? x2 y2 ? ?1 ? 3 ? 4

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ?

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 ………………………………………………6 分
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x1 ? x2 ? . 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

22

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,………………………………….……… 7 分
? y1 y2 ? ? ?1 , y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,………………………………………………………………………….………….8 分
解得 m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k , 7

且满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 ……………………………………….……….…….9 分 当 m ? ?2k 时,

l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;…………… ………….……..…….10 分
当m ? ?

2k 时, 7

2 2 l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 …………………… …………………….……….11 分
综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). …………………………………………..12 分 24、(黑龙江省双鸭山一中 2008-2009 学年上学期期中考试)已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆

2 7

x2 ? y 2 ? 10 x ? 20 ? 0 相切,过点 P(-4,0)作斜率为

1 的直线 l,使得 l 和 G 交于 A、B 两点,和 y 轴交于点 C, 4

并且点 P 在线段 AB 上,又满足 | PA | ? | PB |?| PC |2 (1)求双曲线 G 的渐近线方程 (2)求双曲线 G 的方程 (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴,如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点轨迹恰好是 G 的渐近线 截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程。 解: (1)设双曲线 G 的渐近线方程为 y=kx, 则由渐近线与圆 x ? y ? 10 x ? 20 ? 0 相切可得
2 2

| 5k | k ?1
2

?

所以 k ? ? 5,

1 2



故渐近线方程为 y

? ?

1 x 2
2

2 2 (2)由(1)可设双曲线 G 的方程为 x ? 4 y ? m ,把直线 l 的方程代入双曲线并整理得 3 x ? 8 x ? 16 ? 4m ? 0 则

x A ? xB ?

8 3

, x A ? xB ? ?
2

16 ? 4 m 3

(1)

?| PA | ? | PB |?| PC | ,P、A、B、C 共线且在线段 AB 上

23

? ( xP ? xA )( xB ? xP ) ? ( xP ? xC )2 即 ( x

B

? 4)( ?4 ? xA ) ? 16 整理得
x
2

4( xA ? xB ) ? xA xB ? 32 ? 0 将(1)式带入得 m=8 故双曲线 G 的方程为

?

y

2

?1

28

7

(3)由提议可设椭圆方程为
x1
2

x

2

?

y a

2

28 ? y1 a
2

2

? 1( a ? 2 7 ) 设弦的端点分别为 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,MN 的中点为 P ( x, y ) ,则

28

2

? 1,
x 28

x2

2

?

y2 a

2

28
? 4y a
2
2

2

? 1 作差得 K AB ?

y1 ? y2 x1 ? x2

??

a ( x1 ? x2 )
2

28( y1 ? y2 )

??

a x 28 y

2

? ?4 ?

x 28

?

4y a
2

? 0 故垂直于 l 的平行弦中点的轨

迹为直线
a
2

? 0 截在内的部分。又由题意,这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分

?

?

1 2

即 a ? 56 ? 椭圆的方程为

x

2

?

y

2

?1

112

28

56

24


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