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【优化方案】2015高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测:第7章 第2课时]


[基础达标] 一、选择题 1.(2014· 吉林长春市调研)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯 视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为( ) 3 A. π B.2π 2 C.3π D.4π 1 1 解析:选 A.依题意知,该几何体是一个底面半径为 、高为 1 的圆柱,其表面积为 2π( )2 2 2 1 3 +2π× ×1= π. 2 2 2

. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3,它的三视图中的俯视图如图所 示,侧视图是一个矩形,则这个矩形的面积是( )

A.4 C.2 D. 3 解析:选 B.设底面边长为 x,则 V=

B.2 3

3 3 x =2 3,∴x=2.由题意知这个正三棱柱的侧视图 4 为长为 2,宽为 3的矩形,其面积为 2 3. 3. (2014· 武汉市部分学校调研测试)如图是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为( ) A.16 B.24 C.34 D.48

解析:选 A. 由三视图可知,该几何体是一个四棱锥,其底面是长为 6,宽为 2 的矩形, 1 高为 4,故该几何体的体积是 V= ×6×2×4=16. 3 S1 4.(2014· 广东广州模拟)设一个球的表面积为 S1,它的内接正方体的表面积为 S2,则 的 S2 值等于( ) 2 6 A. B. π π π π C. D. 6 2 3 2 3 解析:选 D.设球的半径为 R,其内接正方体的棱长为 a,则易知 R2= a2,即 a= R, 4 3

S1 则 = S2

(

4πR2 π = . 2 3 ?2 2 6×? R 3 ? ? 5. (2013· 高考浙江卷)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 )

A.108 cm3 B.100 cm3 C.92 cm3 D.84 cm3 解析:选 B. 此几何体为一个长方体 ABCDA1B1C1D1 被截去了一个三棱锥 ADEF,如图 所示,其中这个长方体的长、宽、高分别为 6、3、6,故其体积为 6×3×6=108(cm3).三棱 1 1 锥的三条棱 AE、AF、AD 的长分别为 4、4、3,故其体积为 ×( ×4×3)×4=8(cm3),所以所 3 2 求几何体的体积为 108-8=100(cm3).

二、填空题 6. (2014· 武汉市部分学校高三调研测试)已知圆柱 M 的底面半径与球 O 的半径相同, 且圆 柱 M 与球 O 的表面积相等,则它们的体积之比 V 圆柱∶V 球 =________. 4 3 解析:由题意,2πr2+2πrh=4πr2,则 r=h.故 V 圆柱∶V 球=πr2h∶ πr3= . 3 4 3 答案: 4 7.(2014· 武汉市部分学校高三联考)若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几 何体的表面积是________cm2.

解析:由三视图可知,原几何体是一个半圆锥,其底面半圆的半径为 2,高为 3,故此几 1 1 1 何体的表面积是 S= π×22+ ×4×3+ π×2× 32+22=2π+ 13π+6. 2 2 2 答案:2π+ 13π+6 8.(2014· 湖北武汉市武昌区联考)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰

梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的表面积为________.

解析:由三视图知该几何体为上底直径为 2,下底直径为 6,高为 2 3的圆台,则几何体 1 的表面积 S=π×1+π×9+ ×4×(2π+6π)=26π. 2 答案:26π 三、解答题 9. (2014· 浙江杭州模拟)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90° ,∠ADC=135° ,AB=5, CD=2 2,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

解: 由已知得: CE=2, DE=2, CB=5, S 表面=S 圆台侧+S 圆台下底+S 圆锥侧=π(2+5)×5+π×25 1 1 148 +π×2×2 2=(60+4 2)π,V=V 圆台-V 圆锥= (π·22+π·52+ 22· 52π2)×4- π×22×2= π. 3 3 3 10.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 1 的平行四边形,侧视图是 一个长为 3、宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S.

解:(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为 1 的正方形, 高为 3.

所以 V=1×1× 3= 3. (2)由三视图可知, 该平行六面体中, A1D⊥平面 ABCD, CD⊥平面 BCC1B1, 所以 AA1=2, 侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形. S=2×(1×1+1× 3+1×2)=6+2 3. [能力提升] 一、选择题 1.(2014· 宜昌市一中高三模拟)一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半 径为 3的球,则该棱柱体积的最大值为( )

2 3 A. 3 3 3 C. 2

B.3 3 D.6 3

a 解析:选 B.设该三棱柱的底面边长为 a,高为 h,则底面正三角形的外接圆半径是 2sin 60° 3 a2 a2 h2 a h?2 a a2 h2 a2 a2 h2 2 ,依题意有? ?2+? = ( 3 ) ,即 + = 1,1 = + + ≥ 3 × × ,当且仅 9 12 18 18 12 18 18 12 ? 3? ?2? 3 a2 h2 3 当 = ,即 a= 6,h=2 时取等号,此时 a2h 取得最大值,因此该棱柱的体积 a2h 的最大 18 12 4 3 值是 ×6×2=3 3. 4 2.(2012· 高考湖北卷)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以 十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V, = 3 16 V.人们还用过一些类似的近似公式. 根据 π=3.141 59? 9 判断,下列近似公式中最精确的一个是( ) 求其直径 d 的一个近似公式 d≈ 3 16 V 9 3 300 V 157 A.d≈ C.d≈ B.d≈ D.d≈ 3 2V

3 21 V 11

解析:选 D.由球体积公式得 d=

3 6 3 V≈ 1.909 860 93V. π

16 300 因为 ≈1.777 777 78, ≈1.910 828 03, 9 157 21 ≈1.909 090 91, 11 21 6 而 最接近于 ,所以选 D. 11 π 二、填空题 3.(2013· 高考课标全国卷Ⅰ)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平 面 α,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为 π,则球 O 的表面积为________. 解析:如图,设球 O 的半径为 R,

则由 AH∶HB=1∶2 得 1 2 HA= · 2R= R, 3 3 R ∴OH= . 3 ∵截面面积为 π=π·(HM)2, ∴HM=1. 在 Rt△HMO 中,OM2=OH2+HM2, 1 1 ∴R2= R2+HM2= R2+1, 9 9

3 2 ∴R= . 4 3 22 9 ∴S 球=4πR2=4π·( ) = π. 4 2 9 答案: π 2 4.(2013· 高考湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时, 用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺 八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体 积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 解析:圆台的轴截面是下底长为 12 寸,上底长为 28 寸,高为 18 寸的等腰梯形,雨水线 恰为中位线,故雨水线直径是 20 寸, π 2 ?10 +10×6+62?×9 3 ∴降水量为 =3(寸). π×142 答案:3 三、解答题 5.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,其正视图、俯视图均为矩形,侧视图 为直角三角形.

(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1.

解:(1)几何体的直观图如图所示,四边形 BB1C1C 是矩形,BB1=CC1= 3,BC=B1C1= 1,四边形 AA1C1C 是边长为 3的正方形,且平面 AA1C1C 垂直于底面 BB1C1C, 1 3 故该几何体是直三棱柱,其体积 V=S△ABC· BB1= ×1× 3× 3= . 2 2 (2)证明:由(1)知平面 AA1C1C⊥平面 BB1C1C 且 B1C1⊥CC1,所以 B1C1⊥平面 ACC1A1.所 以 B1C1⊥A1C. 因为四边形 ACC1A1 为正方形,所以 A1C⊥AC1. 而 B1C1∩AC1=C1,所以 A1C⊥平面 AB1C1. 6.(选做题)(2013· 高考湖北卷)

如图,某地质队自水平地面 A,B,C 三处垂直向地下钻探,自 A 点向下钻到 A1 处发现矿

藏,再继续下钻到 A2 处后下面已无矿,从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 A1A2=d1,同样 可得在 B,C 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2=d2,C1C2=d3,且 d1<d2<d3,过 AB,AC 的中 点 M,N 且与直线 AA2 平行的平面截多面体 A1B1C1A2B2C2 所得的截面 DEFG 为该多面体的一 个中截面,其面积记为 S 中. (1)证明:中截面 DEFG 是梯形; (2)在△ABC 中,记 BC=a,BC 边上的高为 h,面积为 S. 在估测三角形 ABC 区域内正下 方的矿藏储量(即多面体 A1B1C1A2B2C2 的体积 V)时,可用近似公式 V 估=S 中· h 来估算. 已知 V 1 = (d1+d2+d3)S,试判断 V 估与 V 的大小关系,并加以证明. 3 解:(1)证明:依题意 A1A2⊥平面 ABC,B1B2⊥平面 ABC,C1C2⊥平面 ABC, 所以 A1A2∥B1B2∥C1C2. 又 A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且 d1<d2<d3, 所以四边形 A1A2B2B1、A1A2C2C1 均是梯形. 由 AA2∥平面 MEFN,AA2?平面 AA2B2B,且平面 AA2B2B∩平面 MEFN=ME, 可得 AA2∥ME,即 A1A2∥DE. 同理可证 A1A2∥FG,所以 DE∥FG. 又点 M、N 分别为 AB、AC 的中点, 则点 D、E、F、G 分别为 A1B1、A2B2、A2C2、A1C1 的中点, 即 DE、FG 分别为梯形 A1A2B2B1、A1A2C2C1 的中位线, 1 1 因此 DE= (A1A2+B1B2)= (d1+d2), 2 2 1 1 FG= (A1A2+C1C2)= (d1+d3), 2 2 而 d1<d2<d3,故 DE<FG,所以中截面 DEFG 是梯形. (2)V 估<V.证明如下: 由 A1A2⊥平面 ABC,MN?平面 ABC,可得 A1A2⊥MN.而 EM∥A1A2,所以 EM⊥MN,同 理可得 FN⊥MN. 1 1 由 MN 是△ABC 的中位线,可得 MN= BC= a,即为梯形 DEFG 的高, 2 2 1 d1+d2 d1+d3? a 因此 S 中=S 梯形 DEFG= ? · 2? 2 + 2 ? 2 a = (2d1+d2+d3), 8 ah 即 V 估=S 中· h= (2d1+d2+d3). 8 1 1 ah 又 S= ah,所以 V= (d1+d2+d3)S= (d1+d2+d3). 2 3 6 ah ah 于是 V-V 估= (d1+d2+d3)- (2d1+d2+d3) 6 8 ah = [(d2-d1)+(d3-d1)]. 24 由 d1<d2<d3,得 d2-d1>0,d3-d1>0,故 V 估<V.


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