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【高考领航】2017届(北师大版)高三数学(理)大一轮复习第七章立体几何课时规范训练7-1


课时规范训练
[A 级 基础演练] 1.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的 矩形;③圆柱的母线垂直于底面;④用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一 定是全等的等腰三角形.其中,真命题的个数为( A.4 C.2 B.3 D.1 )

解析:由正棱锥的定义可知所有侧棱相等,故①正确;由于直棱柱的底面不 一定是正多边形,故侧面矩形不一定全等,因此②不正确;由圆柱母线的定义可 知③正确;结合圆锥轴截面的作法可知④正确.综上,正确的命题有 3 个. 答案:B 2.(2014· 高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能 是( ) A.圆柱 C.四面体 B.圆锥 D.三棱柱

解析:由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三 角形,而圆柱的正视图不可能为三角形,故选 A. 答案:A 3. (2016· 开封摸底)一个正四棱锥的所有棱长均为 2,其俯视图如图所示,则 该正四棱锥的正视图的面积为( )

A. 2 C.2

B. 3 D.4

解析:由题知,所求正视图是底边长为 2,腰长为 3的等腰三角形,其面积 1 为2×2×

( 3)2-1=

2.

答案:A 4.下面关于四棱柱的四个命题:

①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条体对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中,真命题的编号是________(写出所有真命题的编号). 解析:①错,必须是两个相邻的侧面;②正确;③错,反例,可以是斜四棱 柱;④正确,对角线两两相等,则此两对角线所在的平行四边形为矩形. 答案:②④ 5. (2016· 西城区检测)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如 图所示,那么此三棱柱正(主)视图的面积为________.

解析:由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形,其中一边 的长是侧(左)视图中三角形的高,另一边是棱长.因为侧(左)视图中三角形的边 长为 2,所以高为 3,所以正视图的面积为 2 3. 答案:2 3 6.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角 梯形(如图所示),∠ ABC = 45° ,AB= AD= 1, DC ⊥ BC ,则这块菜地的面积为 ________.

解析:过 A 作 AE⊥BC 于 E,在 Rt△ABE 中,AB=1,∠ABE=45° ,∴BE 2 =2.

而四边形 AECD 为矩形,AD=1,

∴EC=AD=1. 2 ∴BC=BE+EC= 2 +1. 由此可还原原图形如图. 在原图形中,A′D′=1,A′B′=2, 2 B′C′= 2 +1,且 A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′. 1 ∴这块菜地的面积为 S=2(A′D′+B′C′)· A′B′ 1? 2 2? =2?1+1+ ?×2=2+ 2 . 2 ? ? 2 答案:2+ 2 7.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392, 母线与轴的夹角为 45° ,求这个圆台的高、母线长和底面半径.

解:作出圆台的轴截面如图.设 O′A′=r,则 SO′=r, ∵一底面周长是另一底面周长的 3 倍,∴OA=3r,则 SO=3r,SA=3 2r, ∴OO′=2r. 1 由轴截面的面积为2(2r+6r)· 2r=392,得 r=7. 故上底面半径为 7,下底面半径为 21,高为 14,母线长为 14 2.

8.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直, 图为该四棱锥的正视图和侧视图, 它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形.

(1)根据图所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的 面积;

(2)求 PA. 解:(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线),边长为 6 cm 的正方形,如图, 其面积为 36 cm2.

(2)由侧视图可求得 PD= PC2+CD2 = 62+62=6 2. 由正视图可知 AD=6 且 AD⊥PD, 所以在 Rt△APD 中, PA= PD2+AD2= ?6 2?2+62=6 3(cm). [B 级 能力突破]

1.(2015· 高考课标卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的 三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

1 A.8 1 C.6

1 B.7 1 D.5

解析: 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余 的部分,如图所示,截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为 1,则三棱锥的 体积为

1 1 1 V1=3×2×1×1×1=6,

1 5 剩余部分的体积 V2=13-6=6. 1 V1 6 1 所以V =5=5,故选 D. 2 6 答案:D 2.(2014· 高考新课标全国卷Ⅰ)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实 线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( )

A.6 2 C.6

B.4 2 D.4

解析:将三视图还原为几何体再计算,几何体为三棱锥.

如图,侧面 SBC⊥底面 ABC. 点 S 在底面 ABC 的射影点 O 是 BC 的中点,△ABC 为直角三角形. ∵AB=4,BO=2, ∴AO= 20,SO⊥底面 ABC, ∴SO⊥AO,SO=4, ∴最长的棱 AS= 20+16=6. 答案:C 3.(2014· 高考北京卷)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0),D(1,1, 2).若 S1,S2,S3 分别是三棱锥 DABC 在 xOy,yOz,zOx 坐 标平面上的正投影图形的面积,则( )

A.S1=S2=S3 C.S3=S1 且 S3≠S2

B.S2=S1 且 S2≠S3 D.S3=S2 且 S3≠S1

解析:作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影,计算三角形的面积.

1 如图所示,△ABC 为三棱锥在坐标平面 xOy 上的正投影,所以 S1=2×2×2 =2.三棱锥在坐标平面 yOz 上的正投影与△DEF(E,F 分别为 OA,BC 的中点) 1 全等,所以 S2=2×2× 2= 2.三棱锥在坐标平面 xOz 上的正投影与△DGH(G, 1 H 分别为 AB,OC 的中点)全等,所以 S3=2×2× 2= 2.所以 S2=S3 且 S1≠S3. 故选 D. 答案:D 4.给出下列命题:①在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点,它们可能是 正四面体的 4 个顶点;②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正 三棱锥;③若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.其中正确命题的 序号是__________. 解析: ①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方体 ABCDA1B1C1D1 中的四面体 ACB1D1;②错误,反例如图所示,底面△ABC 为等 边三角形,可令 AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC 为等边三角形,△VAB 和△ VCA 均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;③错误,必须是相邻的两个 侧面.

答案:①

5.已知一个几何体的三视图如图,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正

方形, 在该几何体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶 点,这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)________.

①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体; ④每个面都是等腰三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解析:由三视图可知该几何体为底面是边长为 a 的正方形,高为 b 的长方 体.若以四个顶点为顶点的图形为平行四边形,则一定是矩形,故②不正确. 答案:①③④⑤ 6.(2016· 武邑一模)某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的正视图中,这 条棱的投影是长为 6的线段,在该几何体 的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的 最大值为________. 解析:本题构造长方体,体对角线长为 7,其在侧视图中为侧面对角线 a, 在俯视图中为底面对角线 b,设长方体底面宽为 1,则 b2-1+a2-1=6,即 a2
2 2 ?a+b?2 a +b ?≤ +b2=8,利用不等式? =4,则 a+b≤4. 2 ? 2 ?

答案:4 7.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架, 总计耗用 9.6 米铁丝. 再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底 面).

(1)当圆柱底面半径 r 取何值时,S 取得最大值?并求出该最大值(结果精确 到 0.01 平方米); (2)若要制作一个如图放置的、底面半径为 0.3 米的灯笼,请作出灯笼的三视 图(作图时,不需考虑骨架等因素). 解:(1)设圆柱的高为 h,由题意可知, 4(4r+2h)=9.6,即 2r+h=1.2. S=2πrh+πr2=πr(2.4-3r) =3π[-(r-0.4)2+0.16],其中 0<r<0.6. ∴当半径 r=0.4 米时,Smax=0.48π≈1.51(平方米). (2)由 r=0.3 及 2r+h=1.2,得圆柱的高 h=0.6(米). 则灯笼的三视图为:


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