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上海市十三校2015届高三第二次(3月)联考 数学理试题(含答案)


上海市十三校 2015 届高三第二次( 3 月)联考 数学理试题
一、填空题(本大题满分56 分)本大题共有14 题,每个空格填对4 分,否则一律得零分. 1、幂函数 2、函数1 在区间 的定义域为__________. 上是减函数,则m = __________.

3、在 ABC中,BC = 8、 AC =5,且三角形面积S =12,则cos 2

C = __________. 4、设i为虚数单位,若关于x 的方程 有一实根为n,则m

=_______.
5、若椭圆的方程为 且此椭圆的焦距为4,则实数a =

__________. 6、若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120? 、半径为3 的扇形,则这个圆锥的表面积是 __________. 7、若关于x 的方程 上有解,则实数a的取值范围为__________.

8、 《孙子算经》卷下第二十六题:今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七 数之剩二,问物几何?___________. (只需写出一个答案即可) 9、在极坐标系中,某直线的极坐标方程为 的距离为__________. 10、设口袋中有黑球、白球共7 个,从中任取两个球,令取到白球的个数为 数学期望 ,则口袋中白球的个数为__________. 11、如右图所示,一个确定的凸五边形 ABCDE ,令 E C D ,且 的 ,则极点O 到这条直线

则x 、y 、z 的大小顺序为__________. 12、设函数 f 知 f

A

B

( x )的定义域为D,

,它的对应法则为 f : x →sin x ,现已

( x )的值域为

,则这样的函数共有__________个.

13、若多项式

14、在平面直角坐标系中有两点 个圆, 与射线

,以原点为圆心,r > 0为半径作一 交于点M , 与x 轴正半轴交于N , 则当r变化时, |AM |+|

BN |的最小值为__________.
二、 选择题 (本大题满分20 分) 本大题共有4 题, 每题有且仅有一个正确答案, 选对得5 分, 否则一律得零分. 15、若非空集合 A中的元素具有命题 的性质,集合B中的元素具有命题 的性质,若

A

B,则命题

是命题

的__________条件.

A. 充分非必要

B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 ,如果ab可被 5 整除,那么a、b 中至少有一个

16、用反证法证明命题:“已知a、b

能被 5 整除”时,假设的内容应为__________. A. a 、b 都能被5 整除 B. a 、b 都不能被5 整除 C. a 、b 不都能被5 整除 D. a 不能 被5 整除 17、实数x 、 y 满足 ,则x - y的最大值为__________.

18、直线m ⊥平面 ,垂足是O ,正四面体ABCD 的棱长为4,点C 在平面 点B 在直线m 上运动,则点O 到直线AD 的距离的取值范围是__________.

上运动,

三、解答题(本大题满分74 分)本大题共5 题,解答下列各题须写出必要的步骤. 19、 (本题满分12 分) 本题共有2 个小题,第1 小题满分6 分,第2 小题满分6 分. 已知正四棱柱 , 底面边长为 , 点P 、 Q、 R分别在棱

上,Q 是BB1 中点,且PQ / /AB , (1)求证: (2)若 ; ,求四面体C1 PQR 的体积.

20、 (本题满分14 分) 本题共有2 个小题,第1 小题满分6 分,第2 小题满分8 分. 已知数列 (1)比较 (2)若数列 满足 的大小; 的前n项和 ,数列 ,求d 的取值范围使得 题满分3 分. 某种波的传播是由曲线 来实现的,我们把函数解析式 称为“波”,把振幅都是A 的波称为“ A 类波”,把两个解析式相加称 为波的叠加. (1)已知“1 类波”中的两个波 类波”,求 的值; ,从 A类波中再找出两个不同的波 叠加后仍是“1 是递增数列. ,设数列 的前n 项和是 .

21、 (本题满分14 分) 本题共有3 个小题, 第1 小题满分5 分, 第2 小题满分6 分, 第3 小

(2)在“ A 类波“中有一个是

,使得这三个不同的波叠加之后是平波,即叠加后 ,并说明理由. (3)在 个“ A类波”的情况下对(2)进行推广,使得(2)是推广后命题

的一个特例. 只需写出推广的结论,而不需证明. 22、 (本题满分16 分) 本题共有3 个小题, 第1 小题满分4 分, 第2 小题满分6 分, 第3 小 题满分6 分. 设函数 .

(1)若a=0,当 (2)若

时恒有

,求b 的取值范围;

且b =-1,试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点,使得函数 的图像永远不经过这两点;

(3)若

,函数

在区间[ 3, 4] 上至少有一个零点,求

的最小值.

23、 (本题满分18 分) 本题共有3 个小题, 第1 小题满分4 分, 第2 小题满分6 分, 第3 小

题满分8 分. 设有二元关系 ,已知曲线 上,求正方形 ABCD的面积; 与 y 轴的交点是G ,直

(1)若a =2时,正方形 ABCD的四个顶点均在曲线 (2)设曲线 线MG 与曲线 点的坐标. (3)设曲线 运动,曲线 与x 轴的交点是 与上述曲线 在 与x 轴的交点是M 、N ,抛物线 交于点P,直线NG 与曲线

交于Q ,求证:直线PQ过定点,并求出该定

,可知动点 时共有四个交点: ,集合

在某确定的曲线



的所

有非空子集设为 是其自身)得到255 个数

,将

中的所有元素相加(若i Y 中只有一个元素,则其 ,求所有的正整数n 的值,使得 均无关的常数.

是与变数a及变数


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