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2014年高一数学必修1、必修4考试题(1)


数学 试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 设集合 M ? ?0,1, 2? , N ? ?1,3? ,则 M ? N 是( A. ?1? B. ?2? C. )

?3?

D.

?0,1,2,3?
)<

br />
2. 已知菱形的两邻边对应向量 OA ? a, OB ? b 其对角线交点是 E ,则 OE 等于(

??? ?

? ? ???

?

??? ?

1? ? 1? ? 1 ? ? a ?b b ?a B. C. (a ? b ) 2 2 2 3.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点一定位于区间( )
A. A. (1, 2) B. (2, 3) C. (3, 4) ,则 f ? f ? ?? =( D. (4, 5) )

D. a ? b

?

?

4. 已知函数 f ( x) ? ?

?log2 x ( x ? 0)
x ?3

( x ? 0) 1 1 A. 9 B. C. ?9 D. ? 9 9 ? 5. 为了得到函数 y ? cos(2 x ? ), x ? R 的图象,只需把函数 y ? cos 2 x 的图象( 3 ? ? A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右平行移动 个单位长度 3 3 ? ? C. 向左平行移动 个单位长度 D. 向右平行移动 个单位长度 6 6
6.在下列函数中,以 2π 为周期的奇函数是( A. y ? sin 2 x B. y ? cos x ) C. y ? tan

? ? 1 ?? ? ? 4 ??



1 x 2
)

D. y ? ? tan x

7. 若 a ? ( )0.3 , b ? 0.3?2 , c ? log 1 2 ,则 a, b, c 大小关系为(
2

1 2

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

c?b?a
2

D. b ? a ? c )w

8. 若 3sin ? ? cos ? ? 0 ,则 A.

10 3

B.

5 3

1 的值为( cos ? ? 2sin ? cos ? 2 C. D. ?2 3

9. 在同一坐标系中画出函数 y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 的图象, 可能正确的是
y y y y

1

O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

A

B
1

C

D

10. 设 min{ p, q } 表示 p , q 两者中的较小者,若函数 f ( x) = min{3 - x, log2 x } ,则 满足 f ( x) <

1 的 x 的集合为 2 5 A. (0, 2) U ( , + ? ) 2 5 C. (0, 2) U ( , + ? ) 2

B. (0, + ? ) D. ( 2, + ? )

二、填空题:本大共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 幂函数 f ( x ) 的图象经过点 (3, 3) ,则 f ( x ) 的解析式是_______ 12. 已知点 A(?1,1) ,点 B (2, y) ,向量 a = (1, 2) ,若 AB // a ,则实数 y 的值为_________

?

??? ?

?

13. 函数 y ?

x ?1 ?

1 的定义域为__________ 2? x x ,则 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (12) ? __________

14.已知 f ( x) ? cos

?
3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分)

4 ,并且 ? 是第二象限的角 5 (1)求 sin ? 和 tan ? 的值;
已知 cos ? ? ? (2)求 4 tan(? ? ? ) ? 3 的值

16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

?3 , x ??3,5? x ?1

(1) 判断 f ( x ) 在区间 ?3,5? 上的单调性并证明; (2) 求 f ( x ) 的最大值和最小值.

2

17. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? ) 在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调递增区间; (3) 当 x ? ?0, y 2

? ?? 时,求 f ( x ) 的取值范围. ? 2? ?

O

5? 12

11 ? 12

x

-2

18. (本题满分 14 分) 光线通过一块玻璃,其强度要损失 10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强 度为 k ( k 为常数),通过 x 块玻璃以后强度为 y . (1) 当 x ? 3 时,求 y 的值; (2) 写出 y 关于 x 的函数关系式; (3) 通过多少块玻璃以后,光线强度将减弱到原来的 (参考数据: lg 2 ? 0.3010, lg3 ? 0.4771 )

1 以下? 3

19. (本题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? loga ?3 ? 2x ? , g ( x) ? loga ?3 ? 2x ? ,(a ? 0, 且 a ? 1) . (2) 判断函数 f ( x ) ? g ( x ) 的奇偶性,并予以证明;

(1)求函数 f ( x ) ? g ( x ) 定义域; (3)求使 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 的 x 的取值范围.

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? kx ? (3 ? k ) x ? 3, 其中k为常数
2

(1)若 f (2) ? 3 ,求函数 f ( x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下,设函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ,若 g ( x)在区间 [?2, 2] 上是单调函 数,求实数 m 的取值范围;

3

(3)是否存在 k 使得函数 f ( x ) 在 [?1, 4] 上的最大值是 4?若存在,求出 k 的值;若不 存在,请说明理由.

数学试题参考答案和评分标准
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A
1

C

B

B

D

C

D

A

D

A

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11. f ( x) ? x 2 12.7 13.

? x x ? ?1, 且x ? 2?
4

14.1

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 解: (1)? cos ? ? ?

4 ,又 ? 是第二象限的角 5 4 3 ?sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? (? )2 ? , 5 5 (2) 4 tan(? ? ? ) ? 3 ? 4 tan ? ? 3 ? 0

tan ? ?

sin ? 3 ?? cos ? 4

…………6 分

………………12 分

16. (本题满分 12 分) 解:(1) f ( x ) 在 ?3,5? 上单调递增 证明如下: 设任意的 x1 , x2 ??3,5? 且 x1 ? x2 ,则 ………………1 分 ………………2 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =( ?

3 3 )-( ? ) x1 ? 1 x2 ? 1
……………5 分

=

x1 ? x2 3 3 = 3? , ? x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? x1, x2 ??3,5? 且 x1 ? x2
? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
?3 在 ?3,5? 上单调递增 x ?1 ?3 3 ?? ; (2) f ( x) min ? 3 ?1 4 ?3 1 f ( x) max ? ?? 5 ?1 2 ? f ( x) ?
………………8 分 ………………10 分 ………………12 分

17. (本题满分 14 分) 解: (1)由图像知 A ? 2 ,

…………………1 分 …………………3 分

11? 5? 2? T ? 2? ( ? ) ? ? ,? ? ? , ?? ? 2 12 12 ?
由图像过点 ? 观察图像取

? 5? ? ,0? 得 ? 12 ?

2sin(

5? ? ?) ? 0 , 6
…………………5 分 .…………………6 分

? 5? ? ? ? ? ,得 ? ? 6 6
?
6 )

? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?
(2)由 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k ? , k ? Z

…………………7 分

5

? k? , k ?Z 6 ? ? ? ? 故函数的单调递增区间为 ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 6 ? 3 ? ? ? ? 5? (3)? 0 ? x ? , ? ? 2 x ? ? 2 6 6 6 ? f ( x) 的取值范围为 ? ?1, 2?
解得 ?

?

3

? k? ? x ?

?

…………………9 分 . …………………10 分 …………………12 分 …………………14 分

18. (本题满分 14 分) 解:(1) 光线经过 1 块玻璃后强度为 (1 ? 10%) ? k ? 0.9k 光线经过 2 块玻璃后强度为 (1 ?10%) 2 ?k ? 0.92 k 光线经过 3 块玻璃后强度为 (1 ?10%) 3?k ? 0.93 k (2) 光线经过 x 块玻璃后强度为 y ? 0.9x k (3)由题意 0.9 k ?
x

…………………3 分 …………………5 分 …………………6 分

( x ? N* )

k , 3

? 0.9 x ?

1 3

两边取对数 x lg 0.9 ? lg

1 3

…………………8 分

1 3 ? lg 0.9 ? 0, ? x ? lg 0.9 lg
1 ? lg 3 ?0.4771 ? 3 ? ? ? 10.4 lg 0.9 2 lg 3 ? 1 0.9542 ? 1 lg

…………………10 分

? xmin ? 11
1 以下 3

………………13 分 ………………14 分

答:通过 11 块玻璃以后,光线强度减弱到原来的 19. (本题满分 14 分) 解: (1)使函数f ( x) ? g ( x)有意义, 必须有 : ?

?3 ? 2 x ? 0 ?3 ? 2 x ? 0

解得: ?

3 3 ?x? 2 2
………………3 分

所以函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域是 ? x ?

? ?

3 ?x? 2

3? ? 2?

(2)由(1)知函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域关于原点对称

………………4 分

f (? x) ? g (? x) ? log a (3 ? 2 x) ? log a (3 ? 2 x)

? ? ? log a (3 ? 2 x) ? log a (3 ? 2 x) ? ? ? ? f ( x) ? g ( x) ?

………6 分

? 函数 f ( x) ? g ( x) 是奇函数

………………7 分

6

(3) 使 f ( x) ? g ( x) >0,即 loga (3 ? 2 x) ? log a (3 ? 2 x)

?3 ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 当 a ? 1 时, 有 ?3 ? 2 x ? 0 ?3 ? 2 x ? 0 ? ?3 ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 当 0 ? a ? 1 时, 有 ? 3 ? 2 x ? 0 ?3 ? 2 x ? 0 ?

解得 x 的取值范围是 ? 0, ?

? ?

3? 2?

………10 分

解得 x 的取值范围是 ? ?

? 3 ? , 0 ? …………13 分 ? 2 ?

综上所述:当 a ? 1 时 x 的取值范围是 ? 0, ? ,

3? 2? ? 3 ? 当 0 ? a ? 1 时 x 的取值范围是 ? ? , 0 ? ? 2 ?

? ?

………………14 分

20. (本题满分 14 分) 解: (1)∵ f (2) ? 4k ? 2(3 ? k ) ? 3 ? 3 ∴ f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 解得 k ? ?1 ………………1 分 ………………2 分

(2) 由(1)可得 g ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 ? mx ? ? x 2 ? (2 ? m) x ? 3 , 其对称轴方程为 x0 ?

2?m 2

………………3 分 ………………4 分 ………………5 分 ……………… 6 分

若 g ( x) 在 [?2,2] 上为增函数,则 x0 ? 2 ,解得 m ? ?2 若 g ( x) 在 [?2,2] 上为减函数,则 x0 ? ?2 ,解得 m ? 6 综上可知, m 的取值范围为 m m ? ?2, 或m ? 6 .

?

?

(3)当 k ? 0 时函数 f ( x) ? 3x ? 3 在 [?1, 4] 上的最大值是 15,不满足条件 ………7 分 当 k ? 0 时假设存在满足条件的 k ,则 f ( x ) 的最大值只可能在 ? 1,4, x0 处取得, 其中 x 0 ? ?

3? k 2k

……………… 8 分

① 若 f ( x) max ? f (?1) ? 4 ,则有 k ? 3 ? k ? 3 ? 4 , k 的值不存在,………9 分 ② 若 f ( x) max ? f (4) ? 4 ,则 16 k ? 12 ? 4k ? 3 ? 4 ,解得 k ? ? 轴 x0 ?

11 20

,此时,对称

49 ? [?1,4] ,则最大值应在 x0 处取得,与条件矛盾,舍去 22
7

……………10 分

③ 若 f ( x) max ? f ( x0 ) ? 4 ,则 k ? 0 ,且

4 ? 3k ? (3 ? k ) 2 ? 4 , ……………11 分 4k
k ? 0 ………………13 分

2 化简得 k ? 10k ? 9 ? 0 ,解得 k ? ?1 或 k ? ?9 ,满足

综上可知,当 k ? ?1 或 k ? ?9 时,函数 f ( x ) 在 [?1, 4] 上的最大值是 4. …………14 分

8


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