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对一道立体几何问题的反思


对一道立体几何问题的反思

P

例题:已知三棱锥 P-ABC,其中 PA=4,PB=PC=2,∠APB= ∠APC=∠BPC=60° 求:三棱锥 P-ABC 的体积。
C A H D

此题是华东师大版《一课一练》上的题目,在我实习期间 B 很多同学跑过来问我,表示这道题目太难解,有些干脆说 它出得不好,没什么新意,纯粹的在搞数学计算,我随意观察了一下,发现这道题目并 非作为提高题出现在书中( 《一课一练》分为基础题和提高题两部分) ,于是我想作者既 然这样安排,肯定是有道理在的,是否如学生所反应的那样这道题出得很失败呢? 通过我深入地了解之后, 我发现其实这道题目是一道不可多得的好题! 下面就谈谈我的 理解。 部分学生来向我提问的时候, 老师已经在课堂上讲解过此题, 老师的思路大致是这样的: 做 BC 的中点 D,连接 PD、AD, 则 PB=PC,D 是中点, PD⊥BC 同理 AD⊥BC ∴BC⊥平面 PAD 又∵BC⊥平面 ABC ∴平面 PAD⊥平面 ABC ∴PAD 中 AD 边上的高 PH 也是三棱锥 P-ABC 的高, 只要求出 PH 和底面 ABC 的面积 由棱锥体积公式 V=

1 Sh 即得三棱锥 P-ABC 的体积。 3

或者不求 PH,因为 PAD 是直截面 ∴V=

1 S×BC 3

初看上去这道题目没什么特别, 过程和思路非常清晰, 那为什么还有那么多的同学要抱 怨呢? 原来是 PH 大小太难求了,无论哪种方法,都不可回避地需要求解△PAD 的面积,而偏 偏△PAD 不是一个规则的三角形,△PAD 的三边分别是 4, 11 、 3 ,面积求解非常 麻烦,有些同学是直接这样问我的, “老师,知道了三角形的三条边,怎样求解它的面 积?” 如果将海伦公式告诉他们的话学生肯定是如坠云雾 (此题若用海伦公式则难上加 难) ,而他们一般的求法就是用余弦定理求出∠PAD 的余弦,再求正弦,然后利用 PA 求 得 PH,这个过程是相当复杂的,需要十分扎实的数学基础和解三角形的基本功,对我 所教的这个班级肯定是要求太高了。 那道它就没有更好的解法了吗?显然是有的, 不然的话这道题的意义就不值得我写一片

论文了。 P 我是这样给同学解释的,既然题干给出的条件是如此 地强,边长和角度都十分理想,那么一般来说求解过 C 程不会十分烦琐,我们可以这样考虑:延长 PB、PC, 使 BE=CF=2, 这样 PA=PE=PE=4, 又由题设∠APB=∠APC= B ∠BPC=60°,则△PAE、△PAF、△PEF 都是正三角形, F 因此 AE=AF=EF=4,所以三棱锥 P-AEF 是正四面体,显 然正四面体的体积是相对容易求的,再观察三棱锥 A P-ABC 和 P-AEF,其实它们就是以 A 为顶点,△PBC、 E △PEF 为底面的两个三棱锥,两者的体积比就是底面 三角形的面积比,而△PBC 和△PEF 的面积比是十分容易求得的,EF/BC=1/2,所以面积 之比是 1/4,因此体积之比也为 1/4,即三棱锥 P-ABC 的体积是正四面体 P-AEF 的体积 的 1/4。 几乎所有的学生听完我的解法以后都有一种如释重负的感觉, 原先对题目的厌恶情绪一 扫而光, “原来还有这样的玄机在里面”几乎是他们每个人的感叹。 纵观整个过程,原先十分纷繁芜杂的计算题,经过巧妙的添加辅助线,一下子得到了相 当大的简化,几乎可以说是天壤之别,在为解出此题的兴奋之余,学生们也不由得对命 题人的设计思路由衷地佩服,有部分学生甚至用“太神奇了”来形容他的感受。前后强 烈的反差可见一斑。 仔细地分析一下,为什么学生没有一个能想到用“增补”的方法来解决这道体呢?恐怕 这是和学生长期做题养成的习惯有关, 目前的大多数立体几何题都有定势的解法, 只要 按部就搬地去作图,总能够找到“理论上”可行的方法,于是很多学生在考虑问题的时 候就跳不出已有的定势思维的窠臼, 在原始的图上建立思考体系, 尽管很多时候能够顺 利解决问题,但是在遇到类似本文提到的题目的时候,缺乏随机应变的灵活性,也许数 学基础相对教扎实的学生, 通过解三角形能够解决问题, 但是恐怕也难有回头再思量一 下的人在, 这就陷入了一个为了解题而学习的过程, 一道题, 我能把它解出来就是成功, 不管用什么再难再繁的方法, 解完之后就过去了, 不反复思量、 举一反三、 量触类旁通, 长此以往, 对学生的发展是不利的, 因为善于捕捉最佳的解题途径也是一个非常重要的 能力素质,就拿这道题目来说,能够想到增补法,就必须拥有扎实地立体几何基础,包 括三棱锥的相关定义和正三棱锥的具体性质, 以及棱锥体积公式和等高棱锥的体积关系 和平行线分线段成比例定理和线段长度比例与三角形面积关系等等很多知识点。 可以这 样说,能够想到用增补法解题的学生,肯定是具备相当能力的,这也为我们选拔人才建 立了一个良好判断标准。 简简单单一道题目,折射出的问题是多方面的,作为老师,我有必要在一些细节上更加 完善地做好本职工作,比如最基本的知识点的教授工作,打下扎实的数学基本功,不打 好基础, 能力从何谈起?同时还必须注意对学生综合能力的培养, 包括独立发现问题-解决问题--回过头来再寻求更好解决途径的过程。 虽然这与学生的天赋有关, 但是作为 老师,我有义务对学生进行有针对性的养成性训练。同时更重要的一点,我自己也必须 不断地去学习吸收新的数学思想和解题方法, 只有自己肚子里有货色, 才能够有东西讲 给学生,学生也才会真正地尊敬你为“老师” 。实习过程中对这道题的求解使许多同学 对我刮目相看, 随之我也确立了在他们眼中我是一名老师这样一个事实, 尽管我自己也 是一个学生, 但是与他们之间无言的区别还是或多或少地存在的。 所以只有提高自己的 业务水平才能在教师岗位上做得更好更长久,这才是我实习最大的收获。


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