tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013届高三数学二轮复习 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形教案


第2讲
自主学习导引

三角恒等变换与解三角形
真题感悟

1.(2012?大纲全国)已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = A.- C. 5 9 5 3 B.- D. 5 3 5 9

3 ,则 cos 2α = 3

解析 利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求

解. ∵sinα +cos α = 3 , 3

1 2 ∴(sin α +cosα ) = , 3 2 ∵2sin α cos α =- , 3 2 即 sin 2α =- . 3 又∵α 为第二象限角且 sin α +cos α = π 3 ∴2kπ + <α <2kπ + π (k∈Z), 2 4 3 ∴4kπ +π <2α <4kπ + π (k∈Z),∴2α 为第三象限角, 2 ∴cos 2α =- 1-sin 2α =- 答案 A 2 2.(2012?浙江)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 cos A= ,sin B 3 = 5cos C. (1)求 tan C 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 2 5 2 解析 (1)因为 0<A<π ,cos A= ,得 sin A= 1-cos A= . 3 3 又 5cos C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= = 5. 5 2 cos C+ sin C,所以 tan C 3 3
2

3 >0, 3

5 . 3

-1-

(2)由 tan C= 5,得 sin C= 5 6

5 6

,cos C=

1 6

.

于是 sin B= 5cos C=



由 a= 2及正弦定理 = ,得 c= 3. sin A sin C 1 5 设△ABC 的面积为 S,则 S= acsin B= . 2 2 考题分析 新课标高考对本部分的考查,一般多以小题考查三角变换在求值、化简等方面的应用,而解 答题常常有以下三种:三角变换与内部相关知识的综合性问题、三角变换与向量的交汇性问 题、三角变换在实际问题中的应用问题. 网络构建

a

c

高频考点突破 考点一:三角变换及求值 π? 3 π 3π sin α -cos 2α +1 ? 【例 1】设 <α < ,sin?α - ?= ,求 的值. 4? 5 3 4 tan α ? [审题导引] 解答本题的关键是求出 sin α 与 cos α ,观察所给的条件式会发现求 sin α 与 cos α 的方法有两个,一是利用角的变换,二是解关于 sin α 与 cos α 的方程组. π 3π π π π [规范解答] 解法一 由 <α < ,得 <α - < , 3 4 12 4 2 π? 3 π? 4 ? ? 又 sin?α - ?= ,∴cos?α - ?= . 4? 5 4? 5 ? ? π? π? ?? ∴cos α =cos??α - ?+ ? 4? 4? ?? π? π? π π 2 ? ? =cos?α - ?cos -sin?α - ?sin = . 4? 4? 4 4 10 ? ? 7 2 ∴sin α = . 10 sin α +2sin α 故原式= =cos α sin α cos α
2

(1+2sin

α

)=

14+5 2 . 50

π? 3 3 2 ? 解法二 由 sin?α - ?= ,得 sin α -cos α = ,① 4? 5 5 ?

-2-

平方得 1-2sin α cos α = 7 即 2sin α cos α = >0. 25

18 , 25

π 3π π π 由于 <α < ,故 <α < . 3 4 3 2 32 2 (sin α +cos α ) =1+2sin α cos α = , 25 4 2 故 sin α +cos α = ,② 5 7 2 2 联立①②,解得 sin α = ,cos α = . 10 10 sin α +2sin α ∴原式 =cos α (1+2sin α ) sin α cos α = 2 ? 14 2? 14+5 2 ??1+ ?= 50 . 10 ? 10 ? sin α 、cos α 的求值技巧 π? π? ? ? 当已知 sin?α ± ?,cos?α ± ?时,利用和、差角的三角函数公式展开后都含有 sin α 4? 4? ? ? +cos α 或 sin α -cos α ,这两个公式中的其中一个平方后即可求出 2sin α cos α ,根 据同角三角函数的平方关系, 即可求出另外一个, 这两个联立即可求出 sin α , α 的值. cos 或 者把 sin α +cos α 、sin α -cos α 与 sin α +cos α =1 联立,通过解方程组的方法也 可以求出 sin α 、cos α 的值. 1-cos 2α 2 [易错提示] 三角函数求值中要特别注意角的范围, 如根据 sin α = 求 sin α 2 的值时, α =± sin 1-cos 2α 中的符号是根据角的范围确定的, 即当 α 的范围使得 sin 2
2 2 2

【规律总结】

α ≥0 时,取正号,反之取负号.注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题. 【变式训练】

? π? ?π ? 1 2 1.(2012?烟台一模)若 α ∈?0, ?,且 cos α +sin? +2α ?= ,则 tan α = 2? 2 ? ? ? 2
A.1 B. 3 3 C. 3 6 D. 3

?π ? 2 2 解析 cos α +sin? +2α ?=cos α +cos 2α ?2 ? 2 2 2 2cos α -sin α 2-tan α 1 2 2 =2cos α -sin α = = = , 2 2 2 cos α +sin α 1+tan α 2 ? π? 2 即 tan α =1. 又 α ∈?0, ?,tan α >0,∴tan α =1. 2? ?

-3-

π? 4 3 π ? 2.(2012?南京模拟)已知 sin?α + ?+sin α =- ,- <α <0,则 cos α = 3? 5 2 ? ________. π? 1 3 ? 解析 sin?α + ?+sin α = sin α + cos α +sin α 3? 2 2 ? π? 3 3 4 3 ? = sin α + cos α = 3sin?α + ?=- , 6? 2 2 5 ? π? 4 ? ∴sin?α + ?=- . 6? 5 ? π? 3 π π π π ? 又∵- <α <0,∴- <α + < ,∴cos?α + ?= , 6? 5 2 3 6 6 ? π? π? π? 1 ? π? 3 ?? ? ∴cos α =cos??α + ?- ?= cos?α + ?+ sin?α + ? 6? 6? 2 6? 2 ? 6? ? ? ? = 3 3-4 . 10 3 3-4 10

答案

考点二:正、余弦定理的应用 【例 2】 (2012?湖南师大附中模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c, 且(2a-c)cos B=bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 cos A= 2 ,a=2,求△ABC 的面积. 2

[审题导引] (1)把条件式中的边利用正弦定理转化为角后进行三角恒等变换可求 B; (2)利用(1)的结果求 b 及 c,利用公式求面积. [规范解答] (1)因为(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理,得(2sin A-sin C)cos B= sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C =sin(B+C)=sin A. 1 ∵0<A<π ,∴sin A≠0,∴cos B= . 2 π 又∵0<B<π ,∴B= . 3 (2)由正弦定理 = ,得 b= 6, sin A sin B 由 cos A= 2 π 可得 A= , 2 4

a

b

π 6+ 2 由 B= ,可得 sin C= , 3 4 1 1 6+ 2 3+ 3 ∴S= absin C= ?2? 6? = 2 2 4 2 【规律总结】
-4-

解三角形的一般方法是 (1)已知两角和一边,如已知 A、B 和 c,由 A+B+C=π 求 C,由正弦定理求 a、b. (2)已知两边和这两边的夹角,如已知 a、b 和 C,应先用余弦定理求 c,再应用正弦定理先求 较短边所对的角,然后利用 A+B+C=π 求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角,如已知 a、b 和 A,应先用正弦定理求 B,由 A+B+C=π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c,要注意解题时可能有多种情况. (4)已知三边 a、b、c,可应用余弦定理求 A、B、C. 【变式训练】 3.(2012?北京东城 11 校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 sin

A= 3sin C,B=30°,b=2,则边 c=________.
解析 由正弦定理得 a= 3c,由余弦定理可知 b =a +c -2accos B, 即 4=3c +c -2 3c ?
2 2 2 2 2 2

3 ,解得 c=2. 2

答案 2 考点三:解三角形与实际应用问题 【例 3】(2012?宿州模拟)已知甲船正在大海上航行.当它位于 A 处时获悉,在其正东方 向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以 10 海里/小时的速度匀速前往救 援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处的乙船,乙船当即也决定匀速前 往救援,并且与甲船同时到达.(供参考使用:取 tan 41°= (1)试问乙船航行速度的大小; (2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,譬如北偏东……度). [审题导引] 据题意作出示意图,把实际问题转化为解三角形,利用正、余弦定理求解. [规范解答] 设乙船运动到 B 处的距离为 t 海里. 3 ) 2

则 t =AC +AB -2AB?ACcos 120° 1 2 2 =10 +20 +2?10?20? =700, 2 ∴t=10 7,又设∠ACB=θ , 则

2

2

2

t 20 10 7 20 = , = , sin 120° sin θ sin θ 3
2 21 =0.65,∴θ =41°, 7

则 sin θ =

∴乙船应朝北偏东 71°的方向沿直线前往 B 处求援.速度为 5 7海里/小时.
-5-

【规律总结】 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、 仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知 识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案 【变式训练】 4.如图所示,小丽家住在成都市锦江河畔的电梯公寓 AD 内,她家河对岸新建了一座大厦 BC, 为了测得大厦的高度,小丽在她家的楼底 A 处测得大厦顶部 B 的仰角为 60°,爬到楼顶 D 处 测得大厦顶部 B 的仰角为 30°,已知小丽所住的电梯公寓高 82 米,请你帮助小丽算出大厦高 度 BC 及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离 AC.

解析 设 AC=x 米,则 BC= 3x 米, 过点 D 作 DE⊥BC,易得 BE= ∴ 3x- 3 x=82. 3 3 x, 3

∴x=41 3米. ∴BC= 3?41 3=123 米. 名师押题高考 π? ? sin?α - ? 4? ? 【押题 1】已知 = 2,则 sin α +cos α =________. cos(π +2α ) π? π? 2 ? ? ? sin α -cos α ? sin?α - ? sin?α - ? 4? 4? 2 ? ? 解析 = = 2 2 cos? π +2α ? -cos 2α sin α -cos α = 2 1 ? = 2, 2 sin α +cos α

1 则 sin α +cos α = . 2 答案 1 2
-6-

[押题依据] 诱导公式、倍角公式等都是高考的热点,应用这些公式进行三角恒等变换是高 考的必考内容.本题考点设置恰当、难度适中,体现了对基础知识和基础能力的双重考查, 故押此题. 【押题 2】在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列. (1)若 b= 13,a=3,求 c 的值; (2)设 t=sin Asin C,求 t 的最大值. 解析 (1)因为 A,B,C 成等差数列,所以 2B=A+C, π 因为 A+B+C=π ,所以 B= . 3 因为 b= 13,a=3,b =a +c -2accos B, 所以 c -3c-4=0. 所以 c=4 或 c=-1(舍去). 2 (2)因为 A+C= π , 3 1 ? 3 ? ?2π ? 所以 t=sin Asin? -A?=sin A? cos A+ sin A? ? 3 ? 2 2 ? ? π? 3 1?1-cos 2a? 1 1 ? = sin 2A+ ? ?=4+2sin?2A- 6 ?. 2 4 2? ? ? ? 2π π π 7π 因为 0<A< ,所以- <2A- < . 3 6 6 6 π π π 3 所以当 2A- = ,即 A= 时,t 有最大值 . 6 2 3 4 [押题依据] 本题将三角函数、余弦定理、数列巧妙地结合在一起,综合考查了三角恒等变 换及余弦定理的应用,体现了高考在知识的交汇处命题的理念,故押此题.
2 2 2 2

-7-


推荐相关:

2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形

2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形_高考_高中教育_教育专区。第二讲 三角恒等变换与解三角形(选择、填空题型) π?...


2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练 第1部分专题二第2讲 三角恒等变换与解三角形(选择、填空题型)

2014(浙江)高考数学(理)二轮专题训练 第1部分专题二第2讲 三角恒等变换与解三角形(选择、填空题型)_数学_高中教育_教育专区。第二讲 三角恒等变换与解三角形...


2014届高考数学二轮专题突破 第1部分 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形选择、填空题型理

《创新方案》2014 届高考数学(理科)二轮专题突破预测演练提能 训练 (浙江专版) 第 1 部分 专题二 第 2 讲 三角恒等变换与解三角 : 形选择、填空题型(以 2013...


【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮素能训练:专题2 第2讲 三角变换与解三角形]

【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮素能训练:专题2 第2讲 三角变换与解三角形]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮素能...


2014届高考(浙江)数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形选择、填空题型

京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 一、选择题 π 5 ? ?π ? 1.(2013· 郑州模拟)若α 是第四象限角,tan? ?3+α?=-12,则 cos?6...


【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练三 第2讲 三角变换与解三角形 理

【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练三 第2讲 三角变换与解三角...第2讲考情解读 三角变换与解三角形 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的...


2014年高考数学总复习教案:第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时 同角三角函数的基本关系式

2014年高考数学总复习教案:第三章 三角函数、三角恒等变换解三角形第2课时 同角三角函数的基本关系式_数学_高中教育_教育专区。一折网 第三章 三角函数、三角...


【步步高】2015届高考数学(理科,广东)二轮专题复习配套word版训练:专题三 第2讲 三角变换与解三角形]

【步步高】2015届高考数学(理科,广东)二轮专题复习配套word版训练:专题第2讲 三角变换与解三角形]_高考_高中教育_教育专区。【步步高】2015届高考数学(理科,广...


2015高考数学二轮专题复习题7:三角恒等变换与解三角形含解析

2015高考数学二轮专题复习题7:三角恒等变换与解三角形含解析_数学_高中教育_教育...== ,解得 tanθ=- ,又θ 为第二象限角, ? 4? 1- tanθ 2 3 得 ...


【新步步高】2016高考数学二轮专题突破 专题二 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形 理

【新步步高】2016高考数学二轮专题突破 专题二 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形 理_数学_高中教育_教育专区。第2讲 三角变换与解三角形...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com