tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013届高三数学二轮复习 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形教案


第2讲
自主学习导引

三角恒等变换与解三角形
真题感悟

1.(2012?大纲全国)已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = A.- C. 5 9 5 3 B.- D. 5 3 5 9

3 ,则 cos 2α = 3

解析 利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解. ∵sinα +cos α = 3 , 3

1 2 ∴(sin α +cosα ) = , 3 2 ∵2sin α cos α =- , 3 2 即 sin 2α =- . 3 又∵α 为第二象限角且 sin α +cos α = π 3 ∴2kπ + <α <2kπ + π (k∈Z), 2 4 3 ∴4kπ +π <2α <4kπ + π (k∈Z),∴2α 为第三象限角, 2 ∴cos 2α =- 1-sin 2α =- 答案 A 2 2.(2012?浙江)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 cos A= ,sin B 3 = 5cos C. (1)求 tan C 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 2 5 2 解析 (1)因为 0<A<π ,cos A= ,得 sin A= 1-cos A= . 3 3 又 5cos C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= = 5. 5 2 cos C+ sin C,所以 tan C 3 3
2

3 >0, 3

5 . 3

-1-

(2)由 tan C= 5,得 sin C= 5 6

5 6

,cos C=

1 6

.

于是 sin B= 5cos C=



由 a= 2及正弦定理 = ,得 c= 3. sin A sin C 1 5 设△ABC 的面积为 S,则 S= acsin B= . 2 2 考题分析 新课标高考对本部分的考查,一般多以小题考查三角变换在求值、化简等方面的应用,而解 答题常常有以下三种:三角变换与内部相关知识的综合性问题、三角变换与向量的交汇性问 题、三角变换在实际问题中的应用问题. 网络构建

a

c

高频考点突破 考点一:三角变换及求值 π? 3 π 3π sin α -cos 2α +1 ? 【例 1】设 <α < ,sin?α - ?= ,求 的值. 4? 5 3 4 tan α ? [审题导引] 解答本题的关键是求出 sin α 与 cos α ,观察所给的条件式会发现求 sin α 与 cos α 的方法有两个,一是利用角的变换,二是解关于 sin α 与 cos α 的方程组. π 3π π π π [规范解答] 解法一 由 <α < ,得 <α - < , 3 4 12 4 2 π? 3 π? 4 ? ? 又 sin?α - ?= ,∴cos?α - ?= . 4? 5 4? 5 ? ? π? π? ?? ∴cos α =cos??α - ?+ ? 4? 4? ?? π? π? π π 2 ? ? =cos?α - ?cos -sin?α - ?sin = . 4? 4? 4 4 10 ? ? 7 2 ∴sin α = . 10 sin α +2sin α 故原式= =cos α sin α cos α
2

(1+2sin

α

)=

14+5 2 . 50

π? 3 3 2 ? 解法二 由 sin?α - ?= ,得 sin α -cos α = ,① 4? 5 5 ?

-2-

平方得 1-2sin α cos α = 7 即 2sin α cos α = >0. 25

18 , 25

π 3π π π 由于 <α < ,故 <α < . 3 4 3 2 32 2 (sin α +cos α ) =1+2sin α cos α = , 25 4 2 故 sin α +cos α = ,② 5 7 2 2 联立①②,解得 sin α = ,cos α = . 10 10 sin α +2sin α ∴原式 =cos α (1+2sin α ) sin α cos α = 2 ? 14 2? 14+5 2 ??1+ ?= 50 . 10 ? 10 ? sin α 、cos α 的求值技巧 π? π? ? ? 当已知 sin?α ± ?,cos?α ± ?时,利用和、差角的三角函数公式展开后都含有 sin α 4? 4? ? ? +cos α 或 sin α -cos α ,这两个公式中的其中一个平方后即可求出 2sin α cos α ,根 据同角三角函数的平方关系, 即可求出另外一个, 这两个联立即可求出 sin α , α 的值. cos 或 者把 sin α +cos α 、sin α -cos α 与 sin α +cos α =1 联立,通过解方程组的方法也 可以求出 sin α 、cos α 的值. 1-cos 2α 2 [易错提示] 三角函数求值中要特别注意角的范围, 如根据 sin α = 求 sin α 2 的值时, α =± sin 1-cos 2α 中的符号是根据角的范围确定的, 即当 α 的范围使得 sin 2
2 2 2

【规律总结】

α ≥0 时,取正号,反之取负号.注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题. 【变式训练】

? π? ?π ? 1 2 1.(2012?烟台一模)若 α ∈?0, ?,且 cos α +sin? +2α ?= ,则 tan α = 2? 2 ? ? ? 2
A.1 B. 3 3 C. 3 6 D. 3

?π ? 2 2 解析 cos α +sin? +2α ?=cos α +cos 2α ?2 ? 2 2 2 2cos α -sin α 2-tan α 1 2 2 =2cos α -sin α = = = , 2 2 2 cos α +sin α 1+tan α 2 ? π? 2 即 tan α =1. 又 α ∈?0, ?,tan α >0,∴tan α =1. 2? ?

-3-

π? 4 3 π ? 2.(2012?南京模拟)已知 sin?α + ?+sin α =- ,- <α <0,则 cos α = 3? 5 2 ? ________. π? 1 3 ? 解析 sin?α + ?+sin α = sin α + cos α +sin α 3? 2 2 ? π? 3 3 4 3 ? = sin α + cos α = 3sin?α + ?=- , 6? 2 2 5 ? π? 4 ? ∴sin?α + ?=- . 6? 5 ? π? 3 π π π π ? 又∵- <α <0,∴- <α + < ,∴cos?α + ?= , 6? 5 2 3 6 6 ? π? π? π? 1 ? π? 3 ?? ? ∴cos α =cos??α + ?- ?= cos?α + ?+ sin?α + ? 6? 6? 2 6? 2 ? 6? ? ? ? = 3 3-4 . 10 3 3-4 10

答案

考点二:正、余弦定理的应用 【例 2】 (2012?湖南师大附中模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c, 且(2a-c)cos B=bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 cos A= 2 ,a=2,求△ABC 的面积. 2

[审题导引] (1)把条件式中的边利用正弦定理转化为角后进行三角恒等变换可求 B; (2)利用(1)的结果求 b 及 c,利用公式求面积. [规范解答] (1)因为(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理,得(2sin A-sin C)cos B= sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C =sin(B+C)=sin A. 1 ∵0<A<π ,∴sin A≠0,∴cos B= . 2 π 又∵0<B<π ,∴B= . 3 (2)由正弦定理 = ,得 b= 6, sin A sin B 由 cos A= 2 π 可得 A= , 2 4

a

b

π 6+ 2 由 B= ,可得 sin C= , 3 4 1 1 6+ 2 3+ 3 ∴S= absin C= ?2? 6? = 2 2 4 2 【规律总结】
-4-

解三角形的一般方法是 (1)已知两角和一边,如已知 A、B 和 c,由 A+B+C=π 求 C,由正弦定理求 a、b. (2)已知两边和这两边的夹角,如已知 a、b 和 C,应先用余弦定理求 c,再应用正弦定理先求 较短边所对的角,然后利用 A+B+C=π 求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角,如已知 a、b 和 A,应先用正弦定理求 B,由 A+B+C=π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c,要注意解题时可能有多种情况. (4)已知三边 a、b、c,可应用余弦定理求 A、B、C. 【变式训练】 3.(2012?北京东城 11 校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 sin

A= 3sin C,B=30°,b=2,则边 c=________.
解析 由正弦定理得 a= 3c,由余弦定理可知 b =a +c -2accos B, 即 4=3c +c -2 3c ?
2 2 2 2 2 2

3 ,解得 c=2. 2

答案 2 考点三:解三角形与实际应用问题 【例 3】(2012?宿州模拟)已知甲船正在大海上航行.当它位于 A 处时获悉,在其正东方 向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以 10 海里/小时的速度匀速前往救 援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处的乙船,乙船当即也决定匀速前 往救援,并且与甲船同时到达.(供参考使用:取 tan 41°= (1)试问乙船航行速度的大小; (2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,譬如北偏东……度). [审题导引] 据题意作出示意图,把实际问题转化为解三角形,利用正、余弦定理求解. [规范解答] 设乙船运动到 B 处的距离为 t 海里. 3 ) 2

则 t =AC +AB -2AB?ACcos 120° 1 2 2 =10 +20 +2?10?20? =700, 2 ∴t=10 7,又设∠ACB=θ , 则

2

2

2

t 20 10 7 20 = , = , sin 120° sin θ sin θ 3
2 21 =0.65,∴θ =41°, 7

则 sin θ =

∴乙船应朝北偏东 71°的方向沿直线前往 B 处求援.速度为 5 7海里/小时.
-5-

【规律总结】 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、 仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知 识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案 【变式训练】 4.如图所示,小丽家住在成都市锦江河畔的电梯公寓 AD 内,她家河对岸新建了一座大厦 BC, 为了测得大厦的高度,小丽在她家的楼底 A 处测得大厦顶部 B 的仰角为 60°,爬到楼顶 D 处 测得大厦顶部 B 的仰角为 30°,已知小丽所住的电梯公寓高 82 米,请你帮助小丽算出大厦高 度 BC 及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离 AC.

解析 设 AC=x 米,则 BC= 3x 米, 过点 D 作 DE⊥BC,易得 BE= ∴ 3x- 3 x=82. 3 3 x, 3

∴x=41 3米. ∴BC= 3?41 3=123 米. 名师押题高考 π? ? sin?α - ? 4? ? 【押题 1】已知 = 2,则 sin α +cos α =________. cos(π +2α ) π? π? 2 ? ? ? sin α -cos α ? sin?α - ? sin?α - ? 4? 4? 2 ? ? 解析 = = 2 2 cos? π +2α ? -cos 2α sin α -cos α = 2 1 ? = 2, 2 sin α +cos α

1 则 sin α +cos α = . 2 答案 1 2
-6-

[押题依据] 诱导公式、倍角公式等都是高考的热点,应用这些公式进行三角恒等变换是高 考的必考内容.本题考点设置恰当、难度适中,体现了对基础知识和基础能力的双重考查, 故押此题. 【押题 2】在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列. (1)若 b= 13,a=3,求 c 的值; (2)设 t=sin Asin C,求 t 的最大值. 解析 (1)因为 A,B,C 成等差数列,所以 2B=A+C, π 因为 A+B+C=π ,所以 B= . 3 因为 b= 13,a=3,b =a +c -2accos B, 所以 c -3c-4=0. 所以 c=4 或 c=-1(舍去). 2 (2)因为 A+C= π , 3 1 ? 3 ? ?2π ? 所以 t=sin Asin? -A?=sin A? cos A+ sin A? ? 3 ? 2 2 ? ? π? 3 1?1-cos 2a? 1 1 ? = sin 2A+ ? ?=4+2sin?2A- 6 ?. 2 4 2? ? ? ? 2π π π 7π 因为 0<A< ,所以- <2A- < . 3 6 6 6 π π π 3 所以当 2A- = ,即 A= 时,t 有最大值 . 6 2 3 4 [押题依据] 本题将三角函数、余弦定理、数列巧妙地结合在一起,综合考查了三角恒等变 换及余弦定理的应用,体现了高考在知识的交汇处命题的理念,故押此题.
2 2 2 2

-7-


推荐相关:

...复习专题能力提升训练7_三角恒等变换与解三角形

2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练7_三角恒等变换与解三角形_数学_高中教育_教育专区。2013年浙江高三理科数学二轮复习专题能力提升训练训练...


...升级训练篇专题二第二讲三角恒等变换、解三角形及其...

2014届高考数学二轮复习复习升级训练篇专题二第二讲三角恒等变换解三角形及其应用_数学_高中教育_教育专区。第二讲 三角恒等变换解三角形及其应用 π 3 1.(2...


...三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形训...

创新设计全国通用2017高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形训练文_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学二轮复习 专题二 三角...


...三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练...

2017高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习文_数学_高中教育_教育专区。专题二 三角函数与平面向量 第 2 讲...


...三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练...

创新设计全国通用2017高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习理_数学_高中教育_教育专区。专题二 三角函数与平面向量 第 2 讲...


...二轮复习数学浙江理科专题升级训练8 三角恒等变换及...

关键词:高考第二轮复习数学浙江理科专题 1...2013年高考第二轮复习数学...1/2 相关文档推荐 ...理科专题升级训练8 三角恒等变换解三角形专题升级...


天津市新人教版数学2013届高三二轮专题复习测试:二《三...

天津市新人教版数学2013届高三二轮专题复习测试:二《三角函数、三角恒等变换解三角形》_高三数学_数学_高中教育_教育专区。《三角函数、三角恒等变换解三角形》...


...导学案:专题2 《三角恒等变换与解三角形》

2013-2014学年高三数学二轮复习导学案:专题2三角恒等变换与解三角形》_高中教育_教育专区。课题:专题 2 三角恒等 变换与解三角形 班级 姓名: 一:高考趋势 回...


...二轮复习数学湖南文科专题升级训练8 三角恒等变换及...

2013年高考第二轮复习数学湖南文科专题升级训练8 三角恒等变换解三角形专题升级训练卷(附答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题升级训练 8 三角恒等变换及...


...讲解讲义:专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形

2015高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形_高考_高中教育_教育专区。第二讲 三角恒等变换与解三角形(选择、填空题型) π?...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com