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对一道高中化学竞赛试题的解析与思考(修改)


对一道高中化学竞赛试题的解析与思考 湖南省醴陵市第四中学 谢德华

题目: AX4 四面体 (A 为中心原子,如硅、锗;X 为配位原子,如氧、硫) 在无机化合物中很常见。四面体 T1 按下图所示方式相连可形成一系 列“超四面体” (T2、T3···) :

T1

T2

T3

7-1 上图中 T1、T2 和 T3 的化学式分别为 AX4、A4X10 和 A10X20,推出超四 面体 T4 的化学式。 7-2 分别指出超四面体 T3、T4 中各有几种环境不同的 X 原子,每种 X 原子各连接几个 A 原子?在上述两种超四面体中每种 X 原子的 数目各是多少?

7-3 若分别以 T1、T2、T3、T4 为结构单元共顶点相连(顶点 X 原子只 连接两个 A 原子) ,形成无限三维结构,分别写出所得三维骨架 的化学式。 7-4 欲使上述 T3 超四面体连接所得三维骨架的化学式所带电荷分 别为+4、0 和 ?4,A 选 Zn2+、In3+或 Ge4+,X 取 S2-,给出带三种 不同电荷的骨架的化学式 (各给出一种, 结构单元中的离子数成 简单整数比) 。
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这是中国化学会第 22 届全国高中学生化学竞赛试题第 7 题,这道 题难度不大,主要考查化学式的书写,全题分为四问,由易到难,有层 次性,没有超过中学化学的难度, 要求学生具有科学的抽象和空间 想象力。想象力比什么都重要,爱因斯坦有句名言,想象力包括世 间一切。用心做这个题,我们还可以体会到化学的结构美,也能感知 得到数学工具在化学解题中的应用。 我在化学竞赛后的第二天,就把这道题贴在每班教室的走廊上, 提倡学生有时间就去看一看,相互之间进行讨论。并说肯对任何一 问的学生都有奖品发放,每多做对一问多发一份奖品。课后每个班 都有很多学生在进行讨论,而且气氛很好,还有的同学去和数学学 老师讨论。一个星期后,我在一间公共教室对这道题进行讲解,并 加了一些我的思考。整个讲解持续有 2 个多小时,我自己在这个过 程得到提高,也受到了学生们的好评,于是将这道题的解析与思考 写下来跟广大同行一起分享。 7-1 解析:题目要求 T4 的化学式,其实就是求在 T4 分子中由多少 个 A 和 X 的原子构成。分析这些“超四面体”的微观结构特点。 A 原子和 X 原子的个数可由如下的图形来求得: 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 · · · 1 2 3 · · · n 图1 T1 中的 A 原子数为第一行的数字、 T2 中的 A 原子数为第一行和第二行 的数字之和,依此类推,那么 T4 中的 A 原子数为第一行到第四行中 所有数字之和,则 A 原子数为: 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)=20 而 T1 中的 X 原子数为第一行和第二行的数字之和,而 T2 中的 X 原子 数为第一行到第三行的数字之和。依此类推,那么 T4 中的 X 原子数 为第一行到第五行中所有数之和,则 X 原子数为: 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=35。 所以 T4 的化学式为 A20X35。 其实第一问学生也可通过其它方法求出来的。但是如果是求 Tn 的化学式呢?就需要找出规律的,这样可培养学生的科学抽象和空
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间的想象力等。 思考: 怎么求 Tn 的化学式? 根据上述的规律,Tn 中的 A 原子数为以上图形中的第一行到第 n 行中所有数字之和。我们把图 1 中每一行的数字相加可化成图 2 的形
式:

1 2 1 2 1 2 1 2

(1+12) (2+22) (3+32) (4+42)

1 [(1+2+3+· · ·+n)+(12+22+32+· · ·+n2)] 2 其中 1+2+3+· · ·+n 的和利用等差数列的求和公式可求出来: 1 1+2+3+· · ·+n= n(n+1), 2 而 12+22+32+· · ·+n2 的和怎么求呢?高中阶段是没有这个公式的。同 3 3 2 学们之间进行了讨论。有同学提出可利用(n+1) -n =3n +3n+1 推出 一个求和公式,过程如下: 23-13=3×12+3×1+1 33-23=3×22+3×2+1 43-33=3×32+3×3+1 · · · 3 (n+1) -n3=3n2+3n+1 左右两边分别相加可得: (n+1)3-13=3(12+22+32+· · ·+n2)+3(1+2+3+· · ·+n) +n 所以 A 原子数为 1 2 2 2 2 [(1+2+3+· · ·+n)+(1 +2 +3 +· · ·+n )]= 2 1 1 [(n+1)3-13-n]= (n3+3n2+2n) 6 6 至于 X 原子个数比 A 原子个数的差即为第 n+1 行数字的和,所以 X 原子的个数就可将求 A 原子个数的公式中的 n 换成 n+1 即可。

· · · 1/2(n+n2) 图2

则 A 原子数为:

3

1 [(n+1)3+3(n+1)2+2(n+1)] 6 则 Tn 的化学式为:

A1 6

(n +3n +2n)

3

2

X1 6

[(n+1)3+3(n+1)2+2(n+1)]

7-2 解析: 从 T3 的图上我们可发现 X 原子有在顶点上的,也有在边上的,还 有在面上的。 在 T3 中的 20 个 X 原子中,其中 4 个 X 原子在顶点上,每个 X 原子 连接 1 个 A 原子。其中 12 个 X 原子在边上,每个 X 原子连接 2 个 A 原子。其中 4 个 X 原子在面上,每个 X 原子连接 3 个 A 原子。 从 T4 的图上我们可发现 X 原子有在顶点上的,也有在边上的,有 在面上的,还有在超四面体内的。 在 T4 中的 35 个 X 原子中,其中 4 个 X 原子在顶点上,每个 X 原子 连接 1 个 A 原子。其中 18 个 X 原子在超四面体边上,超四面体的每 条边上有 3 个 X 原子,在这其中 12 个 X 原子在超四面体边上,但不 是边的中心, 每个 X 原子连接 2 个 A 原子。 6 个 X 原子在超四面体边 上,且是边的中心,每个 X 原子连接 2 个 A 原子。12 个原子在超四 面体的面上,每个面上有 3 个 X 原子,每个 X 原子连接 3 个 A 原子。 其中 1 个 X 原子在超四面体体心,1 个 X 原子连接 4 个 A 原子。 从 T4 的图上我们可发现 X 原子有在顶点上的,也有在面上的,还有 在边上的和在超四面体中心的。其中在边上的又分两种情况。解决 这一问题关键是要有序思维,不能漏掉。 思考: 怎样用数学方法证明 T4 中有一个 X 原子在超四面体的中心呢?也就 是怎样证明 O 点是超四面体的中心呢?
A

F

o I M E C

J

K G N P

H

B

D

4

根据超四面体的性质,将 T4 这个超四面体抽象成如上图形,正四 面体 ABCD,F、G、H 分别正四面体的边上一点,且 AF=AG=AH=3BF=3CG=3DH,M、I、J、K、N、P 是△FGH 三条边的三等 分点,O 为 MK 和 NJ 的交点。 根据以上信息容易得到 O 点为△FGH 的中心,那么 AO⊥△FGH, 则 AE⊥平面 BCD,所以:OB=OC=OD,设 AB=4

AE ? 4

2 3 ,? AO ? AE ? 6 3 4
4 3 1 1 16 , OE ? AE ? 16 ? ? 3 4 4 3 2 3

在Rt?BEO中, BE ? 16 2 OB ? ? ? 6 3 3



易得 OB=OA=OC=OD,所以 O 点为正面体 ABCD 的中心。 7-3 解析: 以 T1 、T2 、T3 、T4 为结构单元共顶点相连向三维扩展,求三维的 骨架的化学式,其实也应是要求每一个结构单元的化学式。而被其 它结构单元共用的只有顶点上的 X 原子,其它的所有原子都没有被 共用,所以其化学分别为: AX4×1/2 , A4X4×1/2+6 ,A10X4×1/2+ 16 ,A20X4×1/2+31
即为: AX2 、 , 、A4X8


,A10X18 , 、A20X33

思考:如果求以 T5 为结构单元共顶点相连,形成无限三维结构,其 化学式怎么求呢? 可将 Tn 的化学式中的 n 用 5 代入 A 1 (n3+3n2+2n)X 1 [(n+1)3+3(n+1)2+2(n+1)] 6 6 可求出 T5 的化学式 A35X56,形成无限三维结构后的化学式为 A35X4×1/2+52,即为 A35X54 其中有一个同学说,其实形成无限三维结构后的化学式只要将 Tn 的 中的 X 原子个数减去 2 就行了。 7-4 解析:
在 A10X184+这种离子中,A 元素的化合价为+4 价,只可能是 Ge4+,其化学式 为 Ge10S184+。 A10X18 这种物质中,A 元素的平均化合价为+3.6 价,则一定含有 Ge4+。分下 列三种情况进行讨论。
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第一种情况: 如果是 Ge4+和 Zn2+两种阳离子的话,利用十字交叉法可得出 Ge4+和 Zn2+个 数比为 4:1,则其化学式为 Zn2Ge8S18; 第二种情况: 如果是 Ge4+和 In3+两种阳离子的话,Ge4+和 In3+个数比为 3:2,则其化学 式为 In4Ge6S18; 第三种情况: 如果是 Ge4+、 In3+ 和 Zn2+三种阳离子的话, 从第一种和第二情况可推断 10 4+ 个 A 原子中的 Ge 的个数应为 6 到 8 之间的正整数,则只能是 7 个 Ge4+, 可推出其化学为 In2ZnGe7S18。 A10X184-这种离子中,A 元素的平均化合价为+3.2 价,则一定含有 Ge4+。也 分下列三种情况进行讨论。 第一种情况: 如果是 Ge4+和 Zn2+两种阳离子的话,同样也可利用十字交叉法得出 Ge4+和 Zn2+个数比为 3:2,则其化学式为 Zn4Ge6S184-; 第二种情况: 如果是 Ge4+和 In3+两种阳离子的话,Ge4+和 In3+个数比为 1:4,则其化学 式为 In8Ge2S184-; 第三种情况: 如果是 Ge4+、In3+ 和 Zn2+三种阳离子的话从第一种和第二情况可推断 10 个 A 原子中 的 Ge4 的个数应为 2 到 6 之间的正整数,那么 Ge4+个数有 3、 4、 5 三种可能, 这样比较容易得到化学式为: In6ZnGe3S184- 、 In4Zn2Ge3S184-、 In2Zn3Ge5S184-。

最后我布置了一个思考题, 在正四面体 ABCD 的中心 O, 假设有如 图所示的 4 个力,请判断这个四个力的合力是多少?并写出计算的 过程。
A

O B D

C
6

作者简介: 谢德华,湖南醴陵市第四中学,化学教研组长,课余担任化学竞赛 培训教练。 联系电话:13077098465 邮箱:xiedehua@yeah.net

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