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江苏省数学竞赛提优教案:第32讲


第 13 讲 数学归纳法 本节主要内容有数学归纳法的原理,第二数学归纳法;数学归纳法的应用.通常那些直 接或间接与自然数 n 有关的命题,可考虑运用数学归纳法来证明. 一.数学归纳法的基本形式 第一数学归纳法:设 P(n)是关于正整数 n 的命题,若 1°P(1)成立(奠基); 2°假设 P(k)成立,可以推出 P(k+1)成立(归纳), 则 P(n)对一切正整数 n 都成立. 如果 P(n)定义在集合 N-{ 0,1,2,?,r-1},则 1°中“P(1)成立”应由“P(r)成立” 取代. 第一数学归纳法有如下“变着”; 跳跃数学归纳法:设 P(n)是关于正整数 n 的命题,若 1°P(1),P(2),?,P(l)成立; 2°假设 P(k)成立,可以推出 P(k+l)成立,则 P(n)对一切正整数 n 都成立. 第二数学归纳法:设 P(n)是关于正整数一的命题,若 l° P(1)成立; 2°假设 n≤k(k 为任意正整数)时 P(n)(1≤n≤k)成立,可以推出 P(k+1))成立, 则 P(n)对一切自然数 n 都成立. 以上每种形式的数学归纳法都由两步组成: “奠基”和“归纳”, 两步缺一不可. 在 “归 纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提. 二.数学归纳法证明技巧 1.“起点前移”或“起点后移”:有些关于自然数 n 的命题 P(n),验证 P(1)比较困难, 或者 P(1),P(2),?,P(p-1)不能统一到“归纳”的过程中去,这时可考虑到将起点前移 至 P(0)(如果有意义),或将起点后移至 P(r)(这时 P(1),P(2),?,P(r-1)应另行证明). 2.加大“跨度”:对于定义在 M={n0,n0+r,n0+2r,?,n0+mr,?}( n0,r,m∈N*)上 的命题 P(n),在采用数学归纳法时应考虑加大“跨度”的方法,即第一步验证 P(n0),第二 步假设 P(k)(k∈M)成立,推出 P(k+r)成立. 3.加强命题: 有些不易直接用数学归纳法证明的命题, 通过加强命题后反而可能用数学 归纳法证明比较方便.加强命题通常有两种方法:一是将命题一般化,二是加强结论.一个 命题的结论“加强”到何种程度为宜,只有抓住命题的特点,细心探索,大胆猜测,才可能 找到适宜的解决方案. 本节主要内容有数学归纳法的原理,第二数学归纳法;数学归纳法的应用 A 类例题 例 1 n 个半圆的圆心在同一直线上, 这 n 个半圆每两个都相交, 且都在 l 的同侧,问这些半 圆被所有的交点最多分成多少段圆弧? 解 设这些半圆最多互相分成 f(n)=段圆弧,则 f(1)=1,f(2)=4=2 , f(3)=9=3 , 猜想:f(n)=n , 用数学归纳法证明如下: 1°当 n=1 时,猜想显然成立 2°假设 n=k 时,猜想正确,即 f(k)=k , 则当 n=k+1 时,我们作出第 k+l 圆,它与前 k 个半圆均相交,最多新增 k 个交点, 第 k+1 个半圆自身被分成了 k+1 段弧,同时前 k 个半圆又各多分出 l 段弧,故有 2 2 2 3 f(k+1)= f(k)+k+k+1 =k2+2k+1=(k+1)2, 即 n=k+1 时,猜想也正确. 所以对一切正整数 n,f(n)=n . 例 2 已知数列 {a n }的各项都是正数, 且满足 : a0 ? 1, an ?1 ? 2 1 an (4 ? an ), n ? N . 2 (1)证明 a n ? a n ?1 ? 2, n ? N ; (2)求数列 {a n }

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