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第三讲反函数和指对数函数


第3讲
一、指数与对数运算:

指数与对数函数

④换底公式: loga N ? 1) loga b ? logb a ? 1 , (二)学习要点:

logm N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), logm a
2) log a m b ?
n

n log a b. m

1.指数①规定:1) a n ? a ? a ? ?? a(n ? N*), 2) a 0 ? 1(a ? 0) , n个 3) a
?p

1.指数式与对数式的互化: ab ? N ? loga N ? b
m

1 ? p ( p ?Q,4) a n ? n a m (a ? 0, m 、 n ?N* 且 n ? 1) a
r s r ?s

②性质:1) a ? a ? a
r s r ?s

, (a ? 0, r 、 s ?Q)

2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变换技巧,如配 方、因式分解、有理化(分子或分母) 、拆项、添项、换元等等,这些都是经常使用的变换技巧,必须 通过各种题型的训练逐渐积累经验. 【例 1】解答下述问题: 例 1.计算: (1) (124 ? 22 3) 2 ? 27 6 ? 16 4 ? 2(8 3 ) ; (2) (lg 2)2 ? lg 2 ? lg50 ? lg 25 ; (3) (log3 2 ? log9 2) ? (log4 3 ? log8 3) . 解: (1)原式 ? (11 ? 3)
2?
1

1

1

3

?

2

?1

2) (a ) ? a (a ? 0, r 、 s ? Q) , 3) (a ? b) ? a ? b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r r r

(注)上述性质对 r、 s ?R 均适用. 2.对数 ①定义:如果 a(a ? 0, 且a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a ? N ,那么数 b 称以 a 为底 N
b

1 2

?3

3?

1 6

?2

4?

3 4
2

? 2?8

2 ? ?( ?1) 3

的对数,记作 loga N ? b, 其中 a 称对数的底,N 称真数. 1)以 10 为底的对数称常用对数, log10 N 记作 lg N ,

? 2)以无理数 e(e ? 2.71828 ) 为底的对数称自然对数, loge N 记作 ln N
②基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数) , 3) loga a ? 1 , 4)对数恒等式: a
loga N

? 11 ? 3 ? 32 ? 23 ? 2 ? 2 3 ? 11 ? 3 ? 3 ? 8 ? 8 ? 11 . (2)原式 ? (lg 2)2 ? (1 ? lg5)lg 2 ? lg52 ? (lg 2 ? lg5 ? 1)lg 2 ? 2lg5 ? (1 ? 1) lg 2 ? 2lg 5 ? 2(lg 2 ? lg 5) ? 2 . lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ? )?( ? )?( ? )?( ? ) (3)原式 ? ( lg 3 lg 9 lg 4 lg8 lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2 3lg 2 5lg 3 5 ? ? ? . 2lg 3 6lg 2 4
(4)已知: log18 9 ? a,18b ? 5, 求 log30 36值(用 a、 b 表示). [解析]?18b ? 5,? log18 5 ? b,

3?

2) loga 1 ? 0 ,

?N

? log30 36 ?

log18 18 ? log18 2 1 ? (log18 18 ? log18 9) 2(2 ? a) . ? ? log18 5 ? log18 6 b ? (log18 18 ? log18 3) 2 ? 2b ? a

③运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则 1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; 2) log a

M ? log a M ? log a N ; N
n

[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式 运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种 技巧. 【例 2】解答下述问题:

3) loga M ? n loga M (n ?R).

b , logb a , log a b 从小到大依次为 ; a x y z (2)若 2 ? 3 ? 5 ,且 x , y , z 都是正数,则 2x , 3y , 5z 从小到大依次为 x x (3)设 x ? 0 ,且 a ? b ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系是 ( )
(1)若 a ? b ? a ? 1 ,则 log b
2



1

( A )b ? a ?1
2

( B )a ? b ?1

( C )1 ? b ? a

( D )1 ? a ? b

解: (1)由 a ? b ? a ? 1 得

b b ? a ,故 log b ? logb a ? 1 ? loga b . a a lg t lg t lg t x y z (2)令 2 ? 3 ? 5 ? t ,则 t ? 1 , x ? ,y? ,z ? , lg 2 lg 3 lg 5 2lg t 3lg t lg t ? (lg 9 ? lg8) ∴ 2x ? 3 y ? ? ? ? 0 ,∴ 2 x ? 3 y ; lg 2 lg 3 lg 2 ? lg 3 同理可得: 2 x ? 5 z ? 0 ,∴ 2 x ? 5 z ,∴ 3 y ? 2 x ? 5z . (3)取 x ? 1 ,知选( B ) .

1)指数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、二象限, 2)指数函数都以 x 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向左无限接近 x 轴,当 a ? 1 时,图象向右 无限接近 x 轴) , 3)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? a x 与y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称.

0 ? a ?1
③函数值的变化特征: ① x ? 0时0 ? y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 , ③ x ? 0时y ? 1 2.对数函数:

a ?1
① x ? 0时y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 , ③ x ? 0时0 ? y ? 1 ,

? x ? 0,? x ?
a b

5 ?1 5 ?1 ,y ? ,? log2 ( x ? y) ? 0 2 2

1 1 例 3.已知 3 ? 5 ? c ,且 ? ? 2 ,求 c 的值. a b
解:由 3 ? c 得: logc 3a ? 1 ,即 a log c 3 ? 1,∴ log c 3 ?
a

1 ; a

①定义:函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 称对数函数, 1)函数的定义域为 (0,??) , 2)函数的值域为 R,

1 1 1 ? log c 5 ,∴由 ? ? 2 得 logc 3 ? logc 5 ? 2 , b a b 2 ∴ log c 15 ? 2 ,∴ c ? 15 ,∵ c ? 0 ,∴ c ? 15 .
同理可得 例 4.设 x ? 1 , y ? 1 ,且 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 ,求 T ? x 2 ? 4 y 2 的最小值. 解:令 t ? log x y ,∵ x ? 1 , y ? 1 ,∴ t ? 0 .

3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数, 4)对数函数 y ? loga x 与指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数.

2 ? 3 ? 0 ,∴ 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , t 1 1 1 ∴ (2t ? 1)(t ? 2) ? 0 ,∵ t ? 0 ,∴ t ? ,即 log x y ? ,∴ y ? x 2 , 2 2 2 2 2 2 ∴ T ? x ? 4 y ? x ? 4x ? ( x ? 2) ? 4 , ∵ x ? 1 ,∴当 x ? 2 时, Tmin ? ?4 .
由 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 得 2t ? 二、指数函数与对数函数 1.指数函数: ①定义:函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数,
x



1)对数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、四象限, 2)对数函数都以 y 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向上无限接近 y 轴;当 a ? 1 时,图象向下 无限接近 y 轴). 4)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? loga x与y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称.
a

1)函数的定义域为 R, 2)函数的值域为 (0,??) , 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数, 当 a ? 1 时函数为增函数. ②函数图像:

0 ? a ?1
① x ? 1时y ? 0 , ③函数值的变化特征:

a ?1

时 ① x ?1 y ? 0, 时 ② x ?1 y ? 0,
③ x ? 0时0 ? y ? 1 .

时 ② x ?1 y ? 0, 时 ③ 0 ? x ? 1 y ? 0.

(二)学习要点:
2

1.解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质,更关键是熟 练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识. 2.指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的 12 个小点)是解决含指数、对数式的问 题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要结合指数、对数的 特殊值共同分析. 3. 含有参数的指数、 对数函数的讨论问题是重点题型, 解决这类问题的最基本的分类方案是以 “底” 大于 1 或小于 1 分类. 4.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函数(特别是 二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要努 力提高综合能力. 【例 1】已知 f ( x ) ? log a (1)求 m 的值; (2)讨论 f (x) 的单调性; (3)求 f (x) 的反函数 f
?1

? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,结论同上;
(3) y ? loga

x ?1 x ?1 a y ?1 ? ay ? ? (a y ? 1) x ? a y ? 1 ? x ? y , x ?1 x ?1 a ?1 ax ?1 ( x ? 0, a ? 0且a ? 1) a x ?1

? a y ? 1 ? 0,? y ? 0,? f ?1 ( x) ?

(4)?1 ? x ? a ? 2,? a ? 3, f ( x)在(1, a ? 2) 上为减函数,

1 ? mx 是奇函数 (其中 a ? 0, a ? 1) , x ?1

? 命题等价于 f (a ? 2) ? 1 ,即 log a
解得 a ? 2 ? 3 .

a ?1 ? 1 ? a 2 ? 4a ? 1 ? 0 , a?3

( x) ;

[评析]例 1 的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题,熟练掌握这些基本问题的解 答程序及方法是很重要的能力训练,要认真总结经验. 【例 2】对于函数 f ( x) ? log1 ( x ? 2ax ? 3) ,解答下述问题:
2 2

(4)当 f (x) 定义域区间为 (1, a ? 2) 时, f (x) 的值域为 (1,??) ,求 a 的值. [解析](1)? f (? x) ? f ( x) ? loga 对定义域内的任意 x 恒成立,

1? mx 1? mx 1 ? m2 x2 ? loga ? loga ?0 ? x ?1 x ?1 1? x2

(1)若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数的值域为 R,求实数 a 的取值范围; (3)若函数在 [?1, ??) 内有意义,求实数 a 的取值范围; (4)若函数的定义域为 (??,1) ? (3,??) ,求实数 a 的值; (5)若函数的值域为 (??,?1] ,求实数 a 的值; (6)若函数在 (??,1] 内为增函数,求实数 a 的取值范围. [解答]记 u ? g ( x) ? x ? 2ax ? 3 ? ( x ? a) ? 3 ? a ,
2 2 2

?

1? m x ? 1 ? (m 2 ? 1) x 2 ? 0 ? m ? ?1 , 1? x2
2 2

当 m ? 1 f ( x) ? 0( x ? 1) 不是奇函数,? m ? ?1 , 时 (2)? f ( x) ? log a 求导得 f ?( x) ?

x ?1 ,? 定义域为 (??,?1) ? (1,??) , x ?1

?2 log a e , x2 ?1

(1)? u ? 0对x ? R 恒成立,?umin ? 3 ? a 2 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3 ,

①当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (??,?1)与(1,??) 上都是减函数; ②当 0 ? a ? 1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(??,?1)与(1,??) 上都是增函数; (另解)设 g ( x ) ?

?a

的取值范围是 (? 3, 3) ;

(2)这是一个较难理解的问题。从“ loga x 的值域为 R” ,这点思考, log 1 u 的值域 “
2

x ?1 ,任取 x1 ? x2 ? ?1或x2 ? x1 ? 1 , x ?1

为 R”等价于“ u ? g (x) 能取遍 (0,??) 的一切值” ,或理解为“ u ? g (x) 的值域包含 了区间 (0,??) ”

? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ?

x2 ? 1 x1 ? 1 ? 2( x2 ? x1 ) ? ? ? 0, x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
3

? u ? g (x) 的值域为 [3 ? a 2 ,??) ? (0,??),
∴命题等价于 umin ? 3 ? a 2 ? 0 ? a ? ? 3或a ? 3 , ∴a 的取值范围是 (??,? 3] ? [ 3,??) ; (3)应注意“在 [?1,??) 内有意义”与定义域的概念是不同的, 命题等价于“ u ? g ( x) ? 0对x ? [?1,??) 恒成立” ,应按 g (x) 的对称轴 x0 ? a 分类,

并要在学习中不断积累经验. 【例 3】解答下述问题: (Ⅰ)设集合 A ? {x | 2 log 1 x ? 21 log 8 x ? 3 ? 0} ,若当 x ? A 时,函数 f ( x) ? log 2
2 2

x x ? log 2 的 a 4 2

最大值为 2,求实数 a 的值. [解析]? A ? {x | 2 log 2 x ? 7 log 2 x ? 3 ? 0} ? {x |
2

1 ? log 2 x ? 3} ? {x | 2 ? x ? 8} 2

而 f ( x) ? (log2 x ? a)(log2 x ? 2) ? log2 x ? (a ? 2) log2 x ? 2a , 2 令 log 2 x ? t ,? 2 ? x ? 8,?

?a ? ?1 ?a ? ?1 ?a ? ?1 ?a ? ?1 ?? 或? ?? 或? , 2 ? g (?1) ? 0 ?? ? 4a ? 12 ? 0 ?a ? ?2 ?? 3 ? a ? 3

1 ? t ? 3, 2 a?2 , 2

? f ( x) ? g (t ) ? t 2 ? (a ? 2)t ? 2a ,其对称轴 t ?
①当 t ?

? a 的取值范围是 (?2, 3) ;
(4)由定义域的概念知,命题等价于 不等式 x ? 2ax ? 3 ? 0 的解集为 {x | x ? 1或x ? 3} ,
2

? x1 ? 1, x2 ? 3 是方程 x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 的两根,

a?2 7 3 ? ,即 a ? 时[ g (t )] max ? g (3) ? 2 ? a ? 1 ,适合; 2 4 2 a?2 7 3 1 13 ? , 即a ? 时, [ g (t )] max ? g ( ) ? 2 ? a ? ,适合; ②当 t ? 2 4 2 2 6 13 综上, a ? 1或 . 6
(Ⅲ)设关于 x 的方程 4 ? 2
x x ?1

? x1 ? x 2 ? 2a ?? ? a ? 2, 即 a 的值为 2; ? x1 ? x2 ? 3
(5)由对数函数性质易知: g (x) 的值域为 [2,??) ,由此学生很容易得 g ( x) ? 2 ,但这是不正确 的.因为“ g ( x) ? 2 ”与“ g (x) 的值域为 [2,??) ”并不等价,后者要求 g (x) 能取遍 [2,??) 的一切值 (而且不能多取). ∵ g (x) 的值域是 [3 ? a ,??) ,
2

, ? b ? 0(b ?R)

(1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解. [解析](1)原方程为 b ? 4 ? 2
x x ?1



? 4 x ? 2 x?1 ? (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? ?1,
?当b ? [?1,??) 时方程有实数解;
x (2)①当 b ? ?1 时, 2 ? 1 ,∴方程有唯一解 x ? 0 ;

∴命题等价于 [ g ( x)]min ? 3 ? a ? 2 ? a ? ?1;
2

即 a 的值为±1; (6)命题等价于: ?

?x ? a ? 1 , ? ? 0 ? g (1) ? 0 ? g ( x) ? 0对x ? (??,1]恒成立 ? g ( x)在(??,1]为减函数

②当 b ? ?1 时,? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? b ? 2 x ? 1 ? 1 ? b .

? 2 x ? 0,1 ? 1 ? b ? 0,? 2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ;
令 1 ? 1 ? b ? 0 ? 1 ? b ? 1 ? ?1 ? b ? 0,

即?

?a ? 1 ,得 a 的取值范围是 [1,2) . ?a ? 2

[评析]学习函数知识及解决函数问题, 首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念, 许多函数 的概念都有很深刻的内涵,解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同,才能作出准确的解答,
4

?当 ? 1 ? b ? 0时,2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ;
综合①、②,得

1)当 ? 1 ? b ? 0 时原方程有两解: x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ; 2)当 b ? 0或b ? ?1 时,原方程有唯一解 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ; 3)当 b ? ?1 时,原方程无解. [评析]例 3 是一组具有一些综合性的指数、 对数问题, 问题的解答涉及指数、 对数函数, 二次函数、 参数讨论、方程讨论等各种基本能力,这也是指数、对数问题的特点,题型非常广泛,应通过解题学 习不断积累经验. 三、函数的值域与最值问题 例: 求函数 y ?

C.

2 ? a ?1 3

D. 0 ? a ?

2 或a ? 1 3
( )

5.函数 y ? f (2 x ) 的定义域为[1,2],则函数 y ? f (log2 x) 的定义域为 A.[0,1]
2

B.[1,2]
3

C.[2,4]

D.[4,16] )

6.若函数 f ( x) ? log1 ( x ? ax)在(?3,?2) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ( A.[9,12] 二、填空题:
2

B.[4,12]

C.[4,27]

D.[9,27]

2x 2 ? x ? 3 ( x ? 0)的最小值. x ?1 2( x ? 1) ? 3( x ? 1) ? 4 4 ? 2( x ? 1) ? ?3 x ?1 x ?1
2

7.计算 lg 5 ? lg 2 ? lg 50 ? 4
2 x

log2 3

?

. . .

8.函数 f ( x) ? (a ? 1) 是减函数,则实数 a 的取值范围是 9.若 log(1?k ) (1 ? k ) ? 1 ,则实数 k 的取值范围是 10.已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 是 三、解答题: .

[解析](初等方法)? y ?

? 2 2( x ? 1) ?

4 ? 3 ? 4 2 ? 3, x ?1
4 ? x ? 2 ? 1 ? 0,? y min ? 4 2 ? 3. x ?1

a x

? 4)(a ? 0, 且a ? 1) 的值域为 R,则实数 a 的取值范围

等号成立时, 2( x ? 1) ?

训练题》
一、选择题: 1.若 n ?N*,则 4 ?n ? 21?n ? 1 ? 4 ?n ? 21?n ? 1 ? A.2 B. 2
?n

11.已知 a ? ( D. 2
?2 n

1 a

(a a ? ? 3, 求

1 a a
4

? 2)(a 2 ? 1
4

1 ? 3) a2

的值.


x x

a?

a

C. 2
2

1? n

12.已知函数 f ( x) ? lg(a ? b )(a ? 1,0 ? b ? 1) , ( ) (1)求 f (x) 的定义域; (2)此函数的图象上是否存在两点,过这两点的直线平行于 x 轴? (3)当 a、b 满足什么条件时 f (x) 恰在 (1,??) 取正值. ( ) 13.求函数 f ( x) ? log 2

2.若 log9 x ? log4 3 ? (log3 4 ? log4 3) ? ( A.4 B.16
a aa

log4 3 log3 4 ? ) ,则 x ? log3 4 log4 3
C.256 D.81

3.当 0 ? a ? 1 时, a, a , a 的大小关系是 A. a ? a ? a
a aa

B. a ? a
a a

aa

?a
aa

x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) 的值域. x ?1

14.在函数 y ? loga x(a ? 1, x ? 1) 的图象上有 A、B、C 三点,它们的横坐标分别为 m 、 m ? 2 、 m ? 4 ,若 ( ) △ABC 的面积为 S,求函数 S ? f (m) 的值域. 15.已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)(a ? 0且a ? 1) ,
5

C. a

aa

?a?a

a

D. a ? a ? a

4.若 log a

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是 3 3 A. 1 ? a ? 2

B. 0 ? a ? 1或1 ? a ?

3 2

(1)讨论 f (x) 的奇偶性与单调性; (2)若不等式 | f ( x) |? 2 的解集为 {x | ? (3)求 f (x) 的反函数 f (4)若 f
?1

(解一)求导得: f ?( x) ?

1 1 ? x ? }, 求a 的值; 2 2

?a ? 1 lg e (a x ln a ? b x ln b), ? ? , x a ?b ?0 ? b ? 1
x

?1

( x) ;
?1

?ln a ? 0 ,? a x ln a ? b x ln b ? 0, 而lg e ? 0, a x ? b x ? 0 , ?? ?ln b ? 0
? f ?( x) ? 0, f ( x) 在定义域内单调递增,故不存在所述两点;

1 (1) ? ,解关于 x 的不等式 f 3

( x) ? m(m ?R).

《作案与解析》
一、选择题: 1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A 二、填空题 7.10 8. (? 2,0) ? (0, 2 )

a x 2 ? b x2 (解二)任取 x2 ? x1 ? 0 ,则 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? lg x , a 1 ? b x1
?a x2 ? a x1 ?a ? 1 a x2 ? b x2 ? ?? ?? x ? a x2 ? b x2 ? a x1 ? b x1 ? 0 ? x1 ?1, x a ? b x1 ?0 ? b ? 1 ?b 2 ? b 1 ?

( 1 ) 9. (?1,0) ? 0,

( 1 (, ) 10. 0, ? 1 4]

? f ( x2 ) ? f ( x1 ), 即 f (x) 在定义域内单调递增,故不存在所述两点;
1
, (3)? f (x) 在 (1 ? ?) 单调递增,∴命题等价于: f (1) ? 0 ,
?a ? b ?1
13.?1 ? x ? p( p ? 1),? f ( x) ? log2 [(x ? 1)( p ? x)]
1 ? 2 1 2 1 2 1 ? 2 1 2

1 ?3?( a ? )2 ? 9 ? a ? ? 7 , 11.? a ? a a a
1 1 ? (a ? ) 2 ? 49 ? a 2 ? 2 ? 47 , a a

1

?a a ?

1 a a
1

?a ?a

3 2

3 ? 2

? (a ? a )[(a ) 2 ? a ? a

1 2

? (a ) 2 ]
? log2 [? x 2 ? ( p ? 1) x ? p] ? log2 [?( x ?
(1)当 1 ?

p ? 1 2 ( p ? 1) 2 ) ? ], 2 4

?( a?

1 )(a ? 1 ? ) ? 3 ? 6 ? 18 , a a

而4 a ?

1
4

a

? (4 a ? 4

1 a

)2 ?

a ?2?

1 a

? 5,

p ?1 p ?1 ? p ,即 p ? 3 时, f ( x)值域为 (?? ,2 log 2 ]; 2 2 p ?1 ? 1 ,即1 ? p ? 3 时, f ( x)在x ? (1, p) 上单调递减, (2)当 2

?原式 ?
x

(18 ? 2) ? (47 ? 3) 5
x x

?
x

20 ? 50 5

? f ( x) ? f (1) ? log2 [2( p ? 1)],? f (x) 值域为 (??,1 ? log2 ( p ? 1)] .
14.设 A、B、C 在 x 轴上的射影分别为 A1、B2、C1,

? 200 5 .

a x 12. (1)? a ? b ? 0 ? a ? b (? 0) ? ( ) ? 1 , b

? S ? f (m) ? S梯形AA1B1B ? S梯形BB1C1C ? S梯形AA1C1C
? [loga m ? loga (m ? 2)] ? [loga (m ? 2) ? loga (m ? 4)]
(m ? 2) 2 4 ? 2[loga m ? loga (m ? 4)] ? loga ? loga [1 ? ](m ? 1) , m(m ? 4) m(m ? 4)
令u ?

?a ? 1 a 又? ? ? ? 1,? x ? 0 ,故函数的定义域是 (0,??) . ?0 ? b ? 1 b
(2)问题的结论取决于 f (x) 的单调性,考察这个函数的单调性有三种方法: ①求导,②运用单调性定义,③复合分析,但以方法①最好.

4 4 ? , m(m ? 4) (m ? 2) 2 ? 4

6

? (m ? 2) 2 ? 4 ? (1 ? 2) 2 ? 4 ? 5,? 0 ? u ? 9 ? a ? 1,? S ? f (m) 的值域为 (0, log a ). 5

4 9 ,?1 ? 1 ? u ? , 5 5

15. (1)? ?

?1 ? x ? 0 ,? f ( x) 定义域为 x ? (?1,1); f ( x) 为奇函数; 1? x ? 0 ?
1? x 1? x 1? x 2 ? log a e ? ( )? ? log a e , ,求导得 f ?( x) ? 1? x 1? x 1? x 1? x2

? f ( x) ? log 2

①当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在定义域内为增函数; ②当 0 ? a ? 1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在定义域内为减函数; (2)①当 a ? 1 时,∵ f (x) 在定义域内为增函数且为奇函数,

1 ? 命题 ? f ( ) ? 1, 得 log a 3 ? 2,? a ? 3 ; 2
②当 0 ? a ? 1 ,? f ( x) 在定义域内为减函数且为奇函数, 时

1 1 3 ; ? 命题 ? f (? ) ? 1, 得 loga ? 2,? a ? 2 3 3
(3)? y ? log a

1? x 1? x ? ay ? ? a y ? 1 ? x(a y ? 1) 1? x 1? x

?x?

e y ?1 a x ?1 ,? f ?1 ( x) ? x ( x ?R) ; ey ?1 a ?1
?1

1 1 a ?1 2x ?1 ?1 ? a ? 2,? f ( x) ? x ? m, (4)? f (1) ? ,? ? 3 3 a ?1 2 ?1

? 2 x (1 ? m) ? 1 ? m ;①当 m ? 1 时,不等式解集为 x ?R;
1? m , 1? m 1? m }; 不等式的解集为 {x | x ? log 2 1? m
x ②当 ? 1 ? m ? 1 时,得 2 ?

③当 m ? ?1时, x ?

7


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