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《第1章+集合》2013年单元测试卷


《第 1 章 集合》2013 年单元测试卷

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《第 1 章 集合》2013 年单元测试卷
一、选择题 1. (3 分)设 M={0,1,2,4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩ N)∪ (M∩ P)=( A.{1,4} B.{1,4,7

} C.{4,7} D.{1,7} 2. (3 分)已知方程 x ﹣px+15=0 与 x ﹣5x+q=0 的解集分别为 A 与 B,A∩ B={3},则 p+q 的值是( A.14 B.11 C .7 D.2 3. (3 分)集合 A={y|y=﹣x +4,x∈N,y∈N}的真子集的个数为( A .9 B.8 C .7
2 2 2 2





) D.6

4. (3 分)已知 M={y|y=x ﹣1,x∈R},P={x|x=|a|﹣1,a∈R},则集合 M 与 P 的关系是( ) A . P∈ M B.M=P C.M?P D.P?M 5. (3 分)已知集合 A={0,2,3},B={x|x=ab,a,b∈A},且 a≠b,则 B 的子集的个数是( A .4 B.8 C.16 D.15 6. (3 分)已知全集为 U,A,B 是 U 的两个非空子集,若 B??UA,则必有( B≠? A.A??UB B.A∩ C.?UA=?UB ) D.A=B )

7. (3 分)设 M={x|x=3n,n∈Z},N={|x|x=3n+1,n∈Z},P={x|x=3n﹣1,n∈Z},且 a∈M,b∈N,c∈P,设 d=a﹣b+c, 则( ) A.d∈M B.d∈N C.d∈P D.以上均不对 8. (3 分)集合 A={(x,y)|y﹣ =0},B={(x,y)|x +y =1},C=A∩ B,则 C 中元素的个数是( A .1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 二、填空题 9. (3 分)设 A={x|x=2k﹣1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z}则 A∪ B= _________ . 10. (3 分)设 A={x|x ﹣x=0},B={x|x ﹣|x|=0},则 A、B 之间的关系为 _________ . 11. (3 分)A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=4k+2,k∈Z},则 A∩ B= _________ . 12. (3 分)已知集合 M={(x,y)|x+y=a},N={(x,y)|x﹣y=b},若 M∩ N={(3,﹣1)},那么 a= b= _________ . 13. (3 分)若集合 A={x|kx +4x+4=0},x∈R 中只有一个元素,则实数 k 的值为 14. (3 分)数集 M={x|x=k+ ,k∈Z},N={x|x=
2 2 2 2 2



_________ ,

_________ .

},则它们之间的关系是 _________ .

15. (3 分)集合 A、B 各有 12 个元素,A∩ B 中有 4 个元素,则 A∪ B 中的元素个数是 _________ . 16. (3 分)已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且 A?B,则实数 a 的取值范围是 _________ .
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www.jyeoo.com 三、解答题 17.已知集合 P={1, ,b},集合 B={0,a+b,b },且 P=B,求集合 P.
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18.设集合 A={1,2,a},B={1,a ﹣a},若 A?B,求实数 a 的值. 19.设集合 A={﹣1,2,x ﹣x+1 },B={2y,﹣4,x+4},且 A∩ B={﹣1,7},求 x,y 的值. 20.已知:A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0}. (1)若 A∪ B=B,求 a 的值; (2)若 A∩ B=B,求 a 的值. 21.设集合 U={2,3,a +2a﹣3},A={|2a﹣1|,2},?UA={5},求实数 a 的值. 22.已知集合 A={x|x +(b+2)x+b+1=0}={a},求集合 B={x|x +ax+b=0}的真子集. 23.设集合 A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<﹣1,或 x>5},分别求下列条件下实数 a 的值. (1)A∩ B=? (2)A∩ B≠? 24.已知 A={a1,a2,a3,a4},B={a1 ,a2 ,a3 ,a4 },其中 a1<a2<a3<a4,a1,a2,a3,a4∈N ,若 A∩ B={a1, a4},a1+a4=10,且 A∪ B 所有元素和为 124,求集合 A 和 B.
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《第 1 章 集合》2013 年单元测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题 1. (3 分)设 M={0,1,2,4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩ N)∪ (M∩ P)=( A.{1,4} B.{1,4,7} C.{4,7} D.{1,7} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 计算题. 先分别求 M∩ N、M∩ P,再求交集即可 解:∵ M={0,1,2,4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9} ∴ M∩ N={1,4},M∩ P={4,7} ∴ (M∩ N)∪ (M∩ P)={1,4,7} 故选 B 点评: 本题考查集合运算,对于列举法表示的集合进行集合运算时,须注意不要漏掉元素.属简单题
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2. (3 分)已知方程 x ﹣px+15=0 与 x ﹣5x+q=0 的解集分别为 A 与 B,A∩ B={3},则 p+q 的值是( A.14 B.11 C .7 D.2

2

2



考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据交集的定义,由 A∩ B={3},得到 3 为两方程的解,把 x=3 分别代入两方程中即可求出 p 与 q 的值,求 出比值即可. 解答: 解:因为 A∩ B={3},所以 3 为两方程的解, 则把 x=3 分别代入到两方程中得到:9﹣3p+15=0,9﹣15+q=0,分别解得:p=8,q=6, ∴ p+q=14
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故选 A 点评: 此题考查学生掌握交集的定义,掌握方程解的意义,是一道综合题. 3. (3 分)集合 A={y|y=﹣x +4,x∈N,y∈N}的真子集的个数为( A .9 B.8 C .7 考点: 专题: 分析: 解答:
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) D.6

子集与真子集. 计算题. 根据题意,易得集合 A 中有 3 个元素,由集合的元素数目与其子集数目的关系,可得答案. 解:由 x∈N,y∈N,∴ 当 x=0 时,y=4,当 x=1 时,y=3,当 x=2 时,y=0. 2 ∴ 集合 A={y|y=﹣x +4,x∈N,y∈N}={0,3,4}中有 3 个元素, 3 则其子集有 2 =8 个, 真子集的个数为 8﹣1=7. 故选 C.
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点评: 本题考查集合的元素数目与其子集数目的关系,牢记若一个集合有 n 个元素,则其有 2n 个子集. 4. (3 分)已知 M={y|y=x ﹣1,x∈R},P={x|x=|a|﹣1,a∈R},则集合 M 与 P 的关系是( ) A . P∈ M B.M=P C.M?P D.P?M
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www.jyeoo.com 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 先将集合 A 和 B 进行化简.通过观察比较两个集合元素的取值范围,确定 M 与 P 之间的关系.注意集合 M 中的元素是求的函数的值域. 2 2 解答: 解:因为 y=x ﹣1≥﹣1,所以 M={y|y=x ﹣1,x∈R}={y|y≥﹣1,x∈R}. P={x|x=|a|﹣1,a∈R}={x|x≥﹣1,a∈R},因为集合中元素的取值范围与代表元素用什么变量表示无关,所以 M=P. 即集合 M 与 P 的关系是 M=P. 故选 B. 点评: 本题考查的是两个集合关系的判断.两个集合中如果元素完全相同,则两个集合相等.
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5. (3 分)已知集合 A={0,2,3},B={x|x=ab,a,b∈A},且 a≠b,则 B 的子集的个数是( A .4 B.8 C.16 D.15 考点: 专题: 分析: 解答: 集合中元素个数的最值. 计算题. 由题意求出集合 B,然后求出集合 B 的子集个数即可. 解:因为集合 A={0,2,3},B={x|x=ab,a,b∈A,a≠b}={0,6}, 它的子集有:?; (0) ;{6};{0,6}. 共有 4 个. 故选 A. 点评: 本题考查集合的子集的求出,集合的基本运算,考查计算能力.
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6. (3 分)已知全集为 U,A,B 是 U 的两个非空子集,若 B??UA,则必有( B≠? A.A??UB B.A∩ C.?UA=?UB 考点: 专题: 分析: 解答: 集合的包含关系判断及应用;补集及其运算. 计算题;转化思想. 根据补集的定义,确定各种集合之间的关系.

) D.A=B

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解:因为 B??UA,所以说明 A,B 没有公共元素,即 A∩ B=?,同时由文氏图可知 A??UB,所以 B,C,D 不正确. 所以选 A. 故选 A.

点评: 本题主要考查集合的补集关系,比较基础. 7. (3 分)设 M={x|x=3n,n∈Z},N={|x|x=3n+1,n∈Z},P={x|x=3n﹣1,n∈Z},且 a∈M,b∈N,c∈P,设 d=a﹣b+c, 则( ) A.d∈M B.d∈N C.d∈P D.以上均不对 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题. 分析: 据集合中元素具有集合中元素的公共属性设出 a,b,c.求出 d=a﹣b+c 并将其化简,判断其具有哪一个集
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www.jyeoo.com 合的公共属性即得. 解答: 解:设 a=3n,b=3k+1,c=3m﹣1,n,k,m∈Z, 则 d=a﹣b+c=3n﹣3k﹣1+3m﹣1=3(n﹣k+m﹣1)+1, 其中 n﹣k+m﹣1∈Z, 故 d=a﹣b+c∈N. 故选 B. 点评: 本题考查集合中的元素具有集合的公共属性;具有集合的公共属性的元素属于集合. 8. (3 分)集合 A={(x,y)|y﹣ =0},B={(x,y)|x +y =1},C=A∩ B,则 C 中元素的个数是( A .1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个
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考点: 交集及其运算. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 集合 A 为幂函数 y= 上点的坐标组成的集合,集合 B 为圆 x2+y2=1 上点的坐标组成的集合,在平面直角 坐标系中画出两函数的图象,由图形可得出两函数图象有一个交点,又 C=A∩ B,可得出集合 C 中有一个元 素. 解答: 解:集合 A 为函数 y﹣ =0,即 y= 上的点的坐标组成的集合, 2 2 集合 B 为圆 x +y =1 上点的坐标组成的集合, 画出相应的图形,如图所示: 由图象可得两函数图象交点只有 1 个,又 C=A∩ B, 则集合 C 中元素个数为 1. 故选 A
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点评: 此题考查了函数图象的交点,交集及其运算,利用了数形结合的数学思想,根据题意画出相应的图形是解 本题的关键. 二、填空题 9. (3 分)设 A={x|x=2k﹣1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z}则 A∪ B= 考点: 专题: 分析: 解答:

Z .

并集及其运算. 计算题. 根据题意判断出集合 A 和 B 是奇数集合、偶数集合,再求出它们的并集. 解:由题意知,A={x|x=2k﹣1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z}, 即集合 A 是奇数集合,B 是偶数集合,则 A∪ B=Z, 故答案为:Z. 点评: 本题考查了并集的运算性质应用,涉及到了奇数和偶数集合问题,难度不大,是基础题.
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10. (3 分)设 A={x|x ﹣x=0},B={x|x ﹣|x|=0},则 A、B 之间的关系为 A?B . 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题.

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www.jyeoo.com 分析: 先将集合 A 和 B 进行化简.通过观察比较两个集合元素的关系,确定 A、B 之间的关系. 2 解答: 解:A={x|x ﹣x=0}=A={x|x=0 或 x=1}={0,1}. B={x|x ﹣|x|=0}={x|x=0 或 x=1 或 x=﹣1}={0,1,﹣1}, 所以 A?B. 即 A、B 之间的关系为 A?B. 故答案为:A?B. 点评: 本题考查的是判断两个集合关系,集合关系的判断是通过元素关系来定义的,所以必须要通过化简,求出 元素,利用元素之间的关系确定集合间的关系. 11. (3 分)A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=4k+2,k∈Z},则 A∩ B= 考点: 专题: 分析: 解答: {x|x=4k+2,k∈Z} .
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交集及其运算. 计算题. 根据题意判断出集合 A 和 B 的关系,再求出它们的交集即可. 解:由题意知,A={x|x=2k,k∈Z},即集合 A 是偶数集合, B={x|x=4k+2,k∈Z}={x|x=2(2k+1) ,k∈Z},它表示奇数的 2 倍组成的集合, 则 A?B,则 A∩ B=B 故答案为:{x|x=4k+2,k∈Z}. 点评: 本题考查了交集的运算性质应用,涉及到了奇数和偶数集合问题,难度不大,是基础题.
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12. (3 分)已知集合 M={(x,y)|x+y=a},N={(x,y)|x﹣y=b},若 M∩ N={(3,﹣1)},那么 a=

2 ,b= 4 .

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由已知中集合 M={(x,y)|x+y=a},N={(x,y)|x﹣y=b},M∩ N={(3,﹣1)}表示两条相交直线上的点 组成的点集,故集合 M∩ N 即为只含两条直线交点一个元素的点集,联立方程,即可得到答案. 解答: 解:∵ 集合 M={(x,y)|x+y=a},N={(x,y)|x﹣y=b},M∩ N={(3,﹣1)}
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∴ 故答案为:2,4. 点评: 本题考查的知识点是交集及其运算,两条件直线的交点坐标,集合的表示方法,其中正确理解点集的表示 方法,是解答本题的关键 13. (3 分)若集合 A={x|kx +4x+4=0},x∈R 中只有一个元素,则实数 k 的值为
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0或1 .

考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 集合 A 表示的是方程的解;讨论当二次项系数为 0 时是一次方程满足题意;再讨论二次项系数非 0 时,令 判别式等于 0 即可. 解答: 解:当 k=0 时,A={x|4x+4=0}={﹣1}满足题意 当 k≠0 时,要集合 A 仅含一个元素需满足 △ =16﹣16k=0 解得 k=1 故 k 的值为 0;1 故答案为:0 或 1 点评: 本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为 0 的情况、考虑判别式的情况.
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www.jyeoo.com 14. (3 分)数集 M={x|x=k+ ,k∈Z},N={x|x= },则它们之间的关系是 M?N. .

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 通过讨论 k 的取值,比较两个两个式子 x=k+ ,k∈Z 与 x=
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}的关系,从而确定集合 M,N 的

关系. . 解答: 解:因为 x=k+ = 由 当 k=2n 时, 当 k=2n+1 时, ,即集合 M={x|x= ,得 , .即集合 N={x|x= },k∈Z. },k∈Z

所以 M?N. 故答案为:M?N. 点评: 本题考查两个集合的关系,通过研究两个集合元素之间的关系,从而确定集合之间的关系,对于元素关系 不明显的式子,必须通过化简,再去判断. 15. (3 分)集合 A、B 各有 12 个元素,A∩ B 中有 4 个元素,则 A∪ B 中的元素个数是 20 . 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 首先分析集合 A 的元素,集合 B 的元素,然后根据 A∩ B 有 4 个公共元素直接计算集合 A∪ B 的元素个数即 可. 解答: 解:∵ 集合 A、B 各有 12 个元素, A∩ B 中有 4 个元素, ∴ 集合 A∪ B 的元素个数为:12+12﹣4=20 故答案为:20 点评: 此题是一道基础题,要求学生理解并集的定义,掌握集合元素的互异性.
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16. (3 分)已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且 A?B,则实数 a 的取值范围是 a≤﹣2. . 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 利用绝对值不等式的解法求得集合 A={x||x|≤2,x∈R}={x|﹣2≤x≤2,x∈R},根据 A
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B,即可求得实数 a 的

取值范围. 解答: 解:集合 A={x||x|≤2,x∈R}={x|﹣2≤x≤2,x∈R}, B={x|x≥a},且 A B,

∴ a≤﹣2. 故答案为:a≤﹣2. 点评: 此题是基础题.考查绝对值不等式的解法和集合包含关系的运算等基础知识,特别是对子集的理解是考试 的重点,也是易错点,同时考查了运算能力.
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www.jyeoo.com 三、解答题 17.已知集合 P={1, ,b},集合 B={0,a+b,b },且 P=B,求集合 P.
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考点: 集合的相等. 分析: 利用集合相等的关系确定条件,要注意利用元素的互异性,进行检查. 解答: 2 解:由题意知 b≠0.所以由 P=B 可得 ,即 a=0.此时集合 P={1,0,b},集合 B={0,b,b },
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所以此时必有 b =1,解得 b=1 或 b=﹣1.当 b=1 时,集合 P={1,0,1}不成立,舍去. 当 b=﹣1 时,集合 P={1,0,﹣1},集合 B={0,﹣1,1},成立. 所以集合 P={1,0,﹣1}. 点评: 本题考查集合相等关系的判断,注意求出集合后要检查集合中的元素是否满足元素的互异性. 18.设集合 A={1,2,a},B={1,a ﹣a},若 A?B,求实数 a 的值. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,若 A?B,必有 a2﹣a=2,或 a2﹣a=a,分别解可得 a 的值,又有 A={1,2,a},则 a≠1,a≠2;在 求出的 a 的值中,取舍可得答案. 解答: 解:根据题意,若 A?B,必有 a2﹣a=2,或 a2﹣a=a,
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① 当 a ﹣a=2 时,解可得 a=﹣1 或 2, 2 ② 当 a ﹣a=a,解可得 a=0 或 2, 又有 A={1,2,a},则 a≠1,a≠2; 则 a=﹣1 或 0, 故答案为:﹣1 或 0. 点评: 解此类集合问题时,时刻注意集合元素的互异性,否则容易产生增根. 19.设集合 A={﹣1,2,x ﹣x+1 },B={2y,﹣4,x+4},且 A∩ B={﹣1,7},求 x,y 的值. 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 计算题.
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首先根据交集的定义和集合 A 可知 x ﹣x+1=7,进而求出 x 的值,然后分别求出 y 即可. 2 解:∵ 集合 A={﹣1,2,x ﹣x+1 },B={2y,﹣4,x+4},且 A∩ B={﹣1,7}, 2 ∴ x ﹣x+1=7 解得:x=3 或 x=﹣2 当 x=3 时,x+4=7 则 2y=﹣1 解得 y=﹣ 当 x=﹣2 时,x+4=2 此时 A∩ B≠{﹣1,7},故舍去 综上可知 x=3,y=﹣

2

点评: 此题考查了交集的定义,属于基础题. 20.已知:A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0}. (1)若 A∪ B=B,求 a 的值; (2)若 A∩ B=B,求 a 的值. 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题;分类讨论.
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www.jyeoo.com 分析: (1)先化简集合 A,再由 A∪ B=B 知 A 是 B 的子集,由此求得 a 的值. (2)由 A∩ B=B, 知 B 是 A 的子集, 对集合 B 进行分类讨论:① 若 B 为空集, ② 若 B 为单元集,③ 若 B=A={﹣ 4,0},由此求得 a 的值即可. 解答: 解: (1)A={﹣4,0}(2 分) 若 A∪ B=B,则 B?A={﹣4,0},解得:a=1(5 分) (2)若 A∩ B=B,则 ① 若 B 为空集,则△ =4(a+1) ﹣4(a ﹣1)=8a+8<0 则 a<﹣1; (8 分) ② 若 B 为单元集,则△ =4(a+1) ﹣4(a ﹣1)=8a+8=0 2 2 2 解得:a=﹣1,将 a=﹣1 代入方程 x +2(a+1)x+a ﹣1=0 得:x =0 得:x=0 即 B=0 符合要求; (11 分) ③ 若 B=A={﹣4,0},则 a=1(13 分) 综上所述,a≤﹣1 或 a=1. (14 分) 点评: 本小题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识,考查分类讨论思想、方程 思想.属于基础题. 21.设集合 U={2,3,a +2a﹣3},A={|2a﹣1|,2},?UA={5},求实数 a 的值. 考点: 专题: 分析: 解答: 集合关系中的参数取值问题. 计算题.
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根据 CUA?U,可得 a +2a﹣3=5,求出 a 的值,再进行验证,即可求得实数 a 的值. 2 解:∵ 集合 U={2,3,a +2a﹣3},CUA={5}, 2 ∴ a +2a﹣3=5,∴ a=2 或﹣4. 当 a=2 时,A={2,3}符合题意. 当 a=﹣4 时,A={9,3}不符合题意,舍去. 故 a=2.

点评: 本题考查集合的补集运算,考查集合的关系,明确 CUA?U 是解题的关键. 22.已知集合 A={x|x +(b+2)x+b+1=0}={a},求集合 B={x|x +ax+b=0}的真子集. 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 根据题意得出方程 x2+(b+2)x+b+1=0 有两个等根,求出 a,b 的值,得到集合 B,再将集合 B 的真子集按 含有元素从少到多一一列出即可,勿忘?是任何集合的子集. 2 解答: 解:∵ 集合 A={x|x +(b+2)x+b+1=0}={a}, 2 ∴ 方程 x +(b+2)x+b+1=0 有两个等根,∴ △ =0, 2 即(b+2) ﹣4(b+1)=0,∴ b=0, 2 2 ∴ x +(b+2)x+b+1=0 即 x +2x+1=0,∴ x=﹣1, 2 2 ∴ 集合 B={x|x +ax+b=0}={x|x ﹣x=0}={0,1}, 集合 B 的真子集有?,{1},{0}. 点评: 本题考查集合的表示法,子集概念,列举法是解决此类问题的方法,属基本题.
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23.设集合 A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<﹣1,或 x>5},分别求下列条件下实数 a 的值. (1)A∩ B=? (2)A∩ B≠? 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意知集合 A、B 没有公共元素,比较端点处值的大小并列出方程组,求出 a 的范围并用集合形式
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www.jyeoo.com 表示; (2)直接由(1)即可得出. 解答: 解: (1)由题意知,A∩ B=?且 A≠?,则

,解得﹣1≤a≤2

(2)∵ A∩ B=?a 的范围为﹣1≤a≤2 ∴ A∩ B≠?a 的范围为 a>2 或 a<﹣1 点评: 本题的考点是集合包含关系及其应用,借助于数轴来表示,注意最后要用集合形式表示求出的范围. 24.已知 A={a1,a2,a3,a4},B={a1 ,a2 ,a3 ,a4 },其中 a1<a2<a3<a4,a1,a2,a3,a4∈N ,若 A∩ B={a1, a4},a1+a4=10,且 A∪ B 所有元素和为 124,求集合 A 和 B. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;分类讨论. 2 分析: 先由 a1<a2<a3<a4,A∩ B={a1,a4}得 a1=a1 ?a1=1;再代入条件求出 a4=9,然后代入集合 B 验证看哪个为 9 时符合要求,即可求出集合 A 和 B. 2 解答: 解:由 a1<a2<a3<a4,A∩ B={a1,a4},可知 a1=a1 ,∴ a1=1
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∵ a1+a4=10,∴ a4=9, 2 2 若 a2 =9,a2=3,则有(1+3+a3+9)+(a3 +81)=124 解得 a3=5, (a3=﹣6 舍去) ∴ A={1,3,5,9},B={1,9,25,81}. 若 a3 =9,a3=3,此时只能有 a2=2, 则 A∪ B 中所有元素和为:1+2+3+4+9+81≠124, ∴ 不合题意. 于是,A={1,3,5,9},B={1,9,25,81}. 点评: 本题的关键点在于先利用条件求出 a1 和 a4,只要这个问题解决,下面就只剩下讨论了.属于中档题.
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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:minqi5;qiss;yhx01248;庞会丽;394782;wubh2011;wdnah;muyiyang;maths; lily2011;sllwyn;刘长柏;gongjy(排名不分先后)
菁优网 2014 年 10 月 3 日

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