tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

必修2数学知识点和例题 2


第1讲 第1章
¤知识要点: 结 构 特 征 棱 柱 (1)两底面相互平行, 其余各面都是平行四边 形; (2)侧棱平行且相等. (1)底面是多边形,各 侧面均是三角形; (2)各侧面有一个公共 顶点. 圆 柱

§ 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
图例

棱 锥

圆 锥

>(1)两底面相互平行; (2)侧面的母 线平行于圆柱的轴; (3)是以矩形的一边所在直线为旋转 轴, 其余三边旋转形成的曲面所围成的 几何体. (1)底面是圆; (2)是以直角三角形 的一条直角边所在的直线为旋转轴, 其 余两边旋转形成的曲面所围成的几何 体. (1)两底面相互平行; (2)是用一个平行于圆锥底面的平面 去截圆锥,底面和截面之间的部分.

棱 台

(1)两底面相互平行; (2)是用一个平行于棱 圆 锥底面的平面去截棱锥, 台 底面和截面之间的部分.



(1)球心到球面上各点的距离相等; (2)是以半圆的直径所在直线为 旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体. ) B.九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面为平行四边形 D.三棱柱的侧面为三角形 答案:D 答案:12

1.下列说法错误的是( A.多面体至少有四个面

C.长方体、正方体都是棱柱

2.一个棱柱有 10 个顶点,所有的侧棱长的和为 60 cm,则每条侧棱长为___________ cm. 答案:棱锥、棱柱、棱台、圆锥

3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是___________.

第2讲 § 1.1.2 简单组合体的结构特征 ¤例题精讲: 【例 1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( ).
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【例 2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 r , R ,求球的半径. 选 D.
2 2

解:圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得梯形腰长为 R+r,梯形的高即球的直径为 ( r ? R ) ? ( R ? r ) ? 2 rR , 所以,球的半径为 rR .

第3讲
¤例题精讲: 【例 1】画出下列各几何体的三视图:

§ 1.2.2 空间几何体的三视图

解: 【例 2】画出下列三视图所表示的几何体.

解:

【例 3】如图,图(1)是常见的六角螺帽,图(2)是一个机器零件(单位:cm) ,所给的方 向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图. 解

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;

1

第4讲

§ 1.2.3 空间几何体的直观图

¤知识要点: “直观图”最常用的画法是斜二测画法,由其规则能画出水平放置的直观图,其实质就是在坐标系中确定点的位置的画 法. 基本步骤如下: (1) 建系:在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,得到直角坐标系 xo y ,直观图中画成斜坐标系 x ' o ' y ' ,两 轴夹角为 4 5 ? .(2)平行不变:已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x’或 y’轴的线段.(3)长度规则: 已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半.

第5讲

§ 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

¤学习目标:了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式) ;能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问 题. ¤知识要点: 表面积相关公式 表面积相关公式 棱柱 棱锥 棱台 ¤例题精讲: 【例 1】已知圆台的上下底面半径分别是 2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.解: l ? 【例 2】一个正三棱柱的三视图如右图所示,求这个正三棱柱的表面积. 解: S ? S 侧 ? 2 S 底 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ?
1 2 ? 4 ? 2 3 ? 24 ? 8 3 (m m ) .
2

S 全 ? S 侧 ? 2 S 底, 其 中 S 侧 ? l 侧 棱 长 ?c 直 截 面 周 长

圆柱 圆锥 圆台

S 全 ? 2 ? r ? 2 ? rh
2

(r:底面半径,h:高)

S全 ? S侧 ? S底 S全 ? S侧 ? S上底 ? S下底

S 全 ? ? r ? ? rl
2

(r:底面半径,l:母线长)

S 全 ? ? ( r ' ? r ? r ' l ? rl )
2 2

(r:下底半径,r’:上底半径,l:母线长)
29 7

第6讲
¤知识要点:1. 体积公式:

§ 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积

体积公式 棱柱 棱锥 棱台
V ? S 底 ?h高
V ? 1 3 S 底 ?h高

体积公式 圆柱 圆锥
V ??r h
2

V ?

1 3

?r h
2

V ?

1 3

( S '?

S ' S ? S )h

圆台

V ?

1 3

? (r ' ? r ' r ? r )h
2 2

2. 柱、椎、台之间,可以看成一个台体进行变化,当台体的上底面逐渐收缩为一个点时,它就成了锥体;当台体的上底面逐渐扩展 到与下底面全等时,它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系:
V锥 ? 1 3 S ?h

?? ? ?

S '? 0

V台 ?

1 3

( S '?

S ' S ? S )h

??? ?

S '? S

V 柱 ? S ?h .

¤例题精讲: 【例 1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是 2、3、6,则长方体的体积是 设长方体的长宽高分别为 a , b , c ,则 a b ? 2, a c ? 3, b c ? 6 ,三式相乘得 ( a b c ) 2 ? 3 6 .所以,长方体的体积为 6.

.解:

【例 2】一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容 器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的定义域. E 解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为 x c m . 在 R t ?E O F 中 , E F ? 5cm , O F ?
V ? 1 3
2

1 2

xcm ,

所以 EO ?

25 ?

1 4

x

2

, 于是
D O A B F C

x

25 ?

1 4

x

2

.依题意函数的定义域为 { x | 0 ? x ? 1 0} .

【例 3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为 3 ,母线长为 6,现将该容器盛满 然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出,当容器中的水是原来的
2 2

水,

5 6

时,圆柱的母线与水平面所成的角的大小为
5 6 )V ? 3? , 如图,

.

解: 容器中水的体积为 V ? ? r l ? ? ? ( 3 ) ? 6 ? 1 8 ? .流出水的体积为 V ' ? (1 ?
l'? 2V ' ? 2 ? 3? ? 2 .设圆柱的母线与水平面所成的角为α ,则 ta n ? ?

2 3 2

?r

2

? ? ( 3)

2

?

3 ,解得

苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴

2

? ? 60? .

第7讲
¤知识要点:1. 表面积: S 球 面 ? 4 ? R
2

§ 1.3.2 球的体积和表面积
2. 体积: V 球 面 ?
4 3
2 a ,又∵ 4 ? R
2

(R:球的半径).

?R .
3

¤例题精讲: 【例 2】表面积为 3 2 4 ? 的球,其内接正四棱柱的高是 1 4 ,求这个正四棱柱的表面积. 解:设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,则作轴截面如图, A A ? ? 1 4 , A C ?
AC ? A C ? ? C C ? ? 8 2 ,∴ a ? 8 ,∴ S 表 ? 6 4 ? 2 ? 3 2 ? 1 4 ? 5 7 6 .
2 2

? 3 2 4 ? ,∴ R ? 9 ,∴

【例 3】设 A、B、C、D 是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的距离是球半径的一半,则球的 体积是( ). A. 8 6 ? B. 6 4 6 ? C. 2 4 2 ? D. 7 2 2 ? ∴ 四边形 A B C D 为正方形.
4 3

【解】 由已知可得, B、 A、 C、D 在球的一个小圆上.∵ AB=BC=CD=DA=3, 由R ? r ? h 得R ? (
2 2 2

∴ 小圆半径 r ? 所以选 A.

3 2 2

.

2

3 2 2

) ?(
2

R 2

) ,解得 R ?
2

6 .∴ 球的体积 V ?

?R ?
3

4 3

? ( 6 ) ? 8 6? .
3

第8讲

§ 2.1.1 平面

¤知识要点: 1. 点 A 在直线上,记作 A ? a ;点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;直线 a 在平面 ? 内,记作 a ? ? . 2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”“符号语言”“图形语言”列表如下: 、 、 公理 1 公理 2 公理 3 图形 语言 文字 语言 符号 语言 如果一条直线上的两点在 一个平面内, 那么这条直线 在此平面内.
A ? l, B ? l ? ?? l ?? A??,B ?? ?

过不在一条直线上的三点,有 且只有一个平面.
A, B , C 不 共 线 ? A, B , C 确 定 平 面 ?

如果两个不重合的平面有一个公 共点, 那么它们有且只有一条过该 点的公共直线.
?? ? ? ? l P ??,P ? ? ? ? ?P ? l

3.公理 2 的三条推论: 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. ¤例题精讲: 【例 1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面? 【例 2】空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点,已知 EF 和 GH 交于 P 点,求证:EF、 GH、AC 三线共点. 解:∵P ? EF,EF ? 面 ABC,∴P ? 面 ABC. 同理 P ? 面 ADC.∵ P 在面 ABC 与面 ADC 的交线上,又 ∵面 ABC∩面 ADC=AC, ∴P ? AC,即 EF、HG、AC 三线共点. 【例 3】求证:两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知:直线 A B , B C , C A 两两相交,交点分别为 A , B , C ,求证:直线 A B , B C , C A 共面. 证明:因为 A,B,C 三点不在一条直线上,所以过 A,B,C 三点可以确定平面α . 因为 A∈α ,B∈α ,所以 AB α . 同理 BC α ,AC α .所以 AB,BC,CA 三直线共面. 【例 4】在正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中,

C

?

B

A

(1) A A1 与 C C 1 是否在同一平面内?(2)点 B , C 1 , D 是否在同一平面内? (3)画出平面 A C 1 与平面 B C 1 D 的交线,平面 A C D 1 与平面 B D C 1 的交线. 解: 在正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中, A A1 // C C 1 , ∴由公理 2 的推论可知,A A1 与 C C 1 (1) ∵ 可确定平面 A C 1 ,∴ A A1 与 C C 1 在同一平面内. (2)∵点 B , C 1 , D 不共线,由公理 3 可知,点 B , C 1 , D 可确定平面 B C 1 D ,∴ 点 B , C 1 , D 在同一平面内. (3)∵ A C ? B D ? O , D 1 C ? D C 1 ? E , ∴点 O ? 平面 A C 1 , O ? 平面 B C D 1 ,又 C 1 ? 平面 A C 1 , C 1 ? 平面 B C 1 D ,

∴ 平面 A C 1

?

平面 B C 1 D

? O C 1 ,同理平面 A C D 1 ?

第9讲
¤知识要点:

平面 B D C 1 ? O E . § 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;

3

? ?相 交 直 线 : 同 一 平 面 内 , 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ; ?共 面 直 线 ? 1.空间两条直线的位置关系: ? ?平 行 直 线 : 同 一 平 面 内 , 没 有 公 共 点 ; ? ?异 面 直 线 : 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 , 没 有 公 共 点 .

2. 已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a ? // a , b ? // b ,把 a ?, b ? 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a , b 所成 的角(或夹角). a ?, b ? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上;异面直线所 成的角的范围为 (0, 9 0 ? ] ,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作 a ? b . 求两条异面直线所 成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算. ¤例题精讲: 【例 1】已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50°,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b 所成角都是 30°的直线有且仅有( ). A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 解:过 P 作 a ? ∥a, b ? ∥b,若 P∈a,则取 a 为 a ? ,若 P∈b,则取 b 为 b ? .这时 a ? , b ? 相交 于 P 点,它们的两组对顶角分别为 50°和 130°. 记 a ? , b ? 所确定的平面为β ,那么在平面 β 内,不存在与 a ? , b ? 都成 30°的直线. 过点 P 与 a ? , b ? 都成 30°角的直线必在平面β 外,这直线在平面β 的射影 是 a ? , b ? 所成对顶角的平分线.其中射影是 50°对顶角平分线的直线有两条 l 和 l ? ,射影是 130°对顶角平分线的直 线不存在.故答案选 B. E 【例 2】如图正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中,E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中点,P、Q 分别 C1 D1 为 AC 与 BD、A1C1 与 EF 的交点. (1)求证:D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 与面 DBFE 交于点 R,求证:P、Q、R 三点共线. 证明: (1)∵ 正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中, B B1 // D D 1 ,∴ B D // B1 D 1 . 又 ∵ B1 D 1 C 1 中,E、F 为中点, ∵
Q ? 平 面 A C1

Q A1 D A P B B1

F C

∴ E F //

1 2

B1 D 1 .

∴ E F // B D , ,

即 D、B、F、E 四点共面.(2) ,
P ? 平 面 BE

, Q ? 平 面 BE

P ? 平 面 A C1





平 面 A C1 ? 平 面 B E ? P Q
王新敞
奎屯 新疆

.又 A C 1 ? 平 面 B E ? R , ∴

R ? 平 面 A C1 , R ? 平 面 B E

, ∴ R ? P Q . 即 P、Q、R 三点

共线 【例 3】已知直线 a//b//c,直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C,求证:a、b、c、d 四线共面. 证明:因为 a//b,由公理 2 的推论,存在平面 ? ,使得 a ? ? , b ? ? . c 又因为直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C,由公理 1, d ? ? . c' C 假设 c ? ? ,则 c ? ? ? C , 在平面 ? 内过点 C 作 c ? // b , B b A a 因为 b//c,则 c // c ? ,此与 c ? c ? ? C 矛盾. 故直线 c ? ? . ? d 综上述,a、b、c、d 四线共面. 【例 4】如图中,正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F 分别是 AD、AA1 的中点.(1)求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小; (2)求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小. 解: (1)如图,连结 DC1 , ∵DC1∥AB1,∴ DC1 和 CC1 所成的锐角∠CC1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角.∵ ∠CC1D=45°, ∴ AB1 和 CC1 所成的角是 45°.(2)如图,连结 DA1、A1C1, ∵ EF∥A1D,AB1∥DC1,∴ ∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角. ∵Δ A1DC1 是等边三角形, ∴ ∠A1DC1=60?,即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60?.

第 10 讲

§ 2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系

¤知识要点:1. 直线与平面的位置关系: (1)直线在平面内(有无数个公共点)(2)直线与平面相交(有且只有一个 ; 公共点)(3)直线与平面平行(没有公共点). 分别记作: l ? ? ; l ? ? ? P ; l // ? . ; ? 2. 两平面的位置关系: (没有公共点) 相交 平行 ; (有一条公共直线) .分别记作 ? // ? ; ? ? ? l . ¤例题精讲: 【例 1】已知空间边边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求异面直线 AB 和 CD 所 成的角的大小. 解:分别取 AC、AD、BC 的中点 P、M、N 连接 PM、PN,由三角形的中位线性质知 PN∥AB, PM∥CD,于是∠MPN 就是异面直线 AB 和 CD 成的角(如图所示).连结 MN、DN,设 AB=2, ∴PM=PN=1.而 AN=DN= 3 ,由 MN⊥AD,AM=1,得 MN= 2 ,
A

∴MN =MP +NP ,∴∠MPN=90°.∴异面直线 AB、CD 成 90°角.
【例 2】在空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 CB、CD 的中点,若 AC + BD = a ,AC ? BD =b,求 E G ? F H . 解:四边形 EFGH 是平行四边形,
2 2

2

2

2

E H

B D

EG

2

? FH

2

=2 ( E F 2 ? F G 2 ) = ( A C 2 ? B D 2 ) ?
2

1

1 2

(a ? 2b )
2

.
4

F C

G

苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴

【例 3】已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 BC、 CD 上的点,且
CF CB ? CG CD ? 2 3
1 2

A E B F H D

.求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)三条直线 EF、

GH、AC 交于一点. 证明:1)在△ABD 和△CBD 中, ( ∵ 又 ∵
CF CB ? CG CD ? 2 3

G C

E、 分别是 AB 和 CD 的中点,∴ EH // H
2 3

BD.



∴ FG //

BD. ∴

EH∥FG.

所以,E、F、G、H 四点共面.

第 11 讲

§ 2.2.1 直线与平面平行的判定

¤知识要点:1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行. 2. 判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表示 为: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? . 图形如右图所示. ¤例题精讲: 【例 1】已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别为 AB、PD 的中点,求证: AF∥平面 PEC 证明:设 PC 的中点为 G,连接 EG、FG.∵ F 为 PD 中点, ∴ GF∥CD 且 GF=
1 2

CD.

∵ AB∥CD, AB=CD, E 为 AB 中点, ∴ GF∥AE, GF=AE, 四边形 AEGF 为平行四边形. ∴ EG∥AF, 又∵ AF ? 平面 PEC, EG ? 平面 PEC, ∴ AF∥平面 PEC. 【例 2】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC、C1D1 的中点. 求证:EF∥平面 BB1D1D. 证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,则 OE∥DC, OE= ∵ DC∥D1C1, DC=D1C1 , F 为 D1C1 的中点,
1 2

DC.

∴ OE∥D1F, OE=D1F, 四边形 D1FEO 为平行四边形. ∴ EF∥D1O. 又∵ EF ? 平面 BB1D1D, D1O ? 平面 BB1D1D, ∴ EF∥平面 BB1D1D. 【例 3】如图,已知 E 、 F 、 G 、 M 分别是四面体的棱 A D 、 C D 、 B D 、 B C 的中点, 求证: A M ∥平面 E F G . 证明:如右图,连结 D M ,交 G F 于 O 点,连结 O E , B 在 ? B C D 中, G 、 F 分别是 B D 、 C D 中点, ∴ G F // B C , ∵ G 为 B D 中点, ∴ O 为 M D 中点, 在 ? A M D 中,∵ E 、 O 为 A D 、 M D 中点, ∴ E O // A M , 又∵ A M ? 平面 E F G , E O ? 平面 E F G , ∴ A M ∥平面 E F G . 点评: 要证明直线和平面平行, 只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注 意适当添加辅助线,重视中位线在解题中的应用. 【例 4】如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的中点
王新敞
奎屯 新疆

A E G M D O C F

(1)求证:MN//平面 PAD; (2)若 M N ? B C ? 4 , P A ? 4 3 ,求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小.
// 解: (1)取 PD 的中点 H,连接 AH,由 N 是 PC 的中点, ∴ NH ? D C . 2 // 的中点, ∴ NH ? AM, 即 AMNH 为平行四边形. ∴ M N // A H .

1

由 M 是 AB

由 M N ? 平 面 P A D , A H ? 平 面 P A D , ∴ M N // 平 面 P A D .
// (2) 连接 AC 并取其中点为 O, 连接 OM、 ON, OM ? BC, ? PA, 所以 ? O N M ∴ ON // 2 2
1 1

就是异面直线 PA 与 MN 所成的角,且 MO⊥NO.
0
王新敞
奎屯 新疆

由 M N ? BC ? 4 , PA ? 4 3 , 得
王新敞
奎屯 新疆

OM=2,ON= 2 3 所以 ? O N M ? 3 0 ,即异面直线 PA 与 MN 成 30°的角 点评:已知中点,牢牢抓住中位线得到线线平行,通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角,方法的 关键也是平移其中一条或者两条直线,得到相交的线线角,通过解三角形而得.

第 12 讲

§ 2.2.2 平面与平面平行的判定

¤知识要点:面面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.用符

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;

5

号表示为:

a ? ? ,b ? ? ,a ? b ? P ? ? ? ? // ? a // ? , b // ? ?

.

¤例题精讲: 【例 1】如右图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点,求证:平面 MNP∥平面 A1BD. 证明:连结 B1D1,∵P、N 分别是 D1C1、B1C1 的中点,∴ PN∥B1D1.又 B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又 PN 不在平面 A1BD 上, ∴PN∥平面 A1BD.同理, MN∥平面 A1BD. 又 PN∩MN=N, ∴平面 PMN∥平面 A1BD. D1 C1 【例 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. B1 A1 // 证明: (1)由 B1B ? DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C,∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C.而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. E G C (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. D 从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF. A ∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD. B P 【例 3】已知四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点 M、N、Q 分 别 在 PA 、 BD 、 PD 上 , 且 PM : MA=BN : ND=PQ : QD. Q 求证:平面 MNQ∥平面 PBC. M 证明:? PM:MA=BN:ND=PQ:QD. ∴ MQ//AD,NQ//BP, 而 BP ? 平面 PBC,NQ ? 平面 PBC, ∴ NQ//平面 PBC. C D 又? ABCD 为平行四边形,BC//AD, ∴ MQ//BC, N 而 BC ? 平面 PBC,MQ ? 平面 PBC, ∴ MQ//平面 PBC. 由 MQ ? NQ=Q, 根据平面与平面平行的判定定理,∴ 平面 MNQ∥平面 PBC. B A 点评:由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平 行,证得两条相交直线平行于一个平面后,转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.

F

第 13 讲
a // ?

§ 2.2.3 直线与平面平行的性质

¤知识要点:线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交,那么这条直线和交线平行.
? ? 即: a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

β
.
?

a

b

¤例题精讲: 【例 1】经过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D1D 于 E1E,求证:E1E∥B1B 证明:∵ A A1 // B B1 , A A1 ? 平 面 B E E 1 B1 , B B1 ? 平 面 B E E 1 B 1 , D1 ∴ A A1 // 平 面 B E E 1 B1 . E1 又 A A1 ? 平 面 A D D1 A1, 平 面 A D D1 A1 ? 平 面 B E E 1 B1 ? E E 1 , A1 ∴ A A1 // E E 1 . D A A1 // B B 1 ? 则 E ? ? B B 1 // E E 1 . A A1 // E E 1 ? A 【例 2】如图, A B // ? , A C // B D , C ? ? , D ? ? ,求证: A C ? B D . 证明:连结 C D , ∵ A C // B D , ∴直线 A C 和 B D 可以确定一个平面,记为 ? , ∵ C , D ? ? , C , D ? ? ,∴ ? ? ? ? C D , ∵ A B // ? , A B ? ? , ? ? ? ? C D ∴ A B // C D , 又∵ A C // B D , ∴ 四边形 A C D B 为平行四边形, ∴ AC ? BD .
?

王新敞
奎屯

新疆

C1 B1 C B

A β C D

B

第 14 讲

§ 2.2.4 平面与平面平行的性质
A ? C

¤知识要点:1. 面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交 线 平 行 . 用 符 号 语 言 表 示 为 : ? // ? , ? ? ? ? a , ? ? ? ? b ? a // b .2. 其 它 性 质 : ①
? // ? , l ? ? ? l // ? ; ② ? // ? , l ? ? ? l ? ? ;③夹在平行平面间的平行线段相等.

苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴

6

M E

N D

?

B

¤例题精讲: 【例 1】如图,设平面α ∥平面β ,AB、CD 是两异面直线,M、N 分别是 AB、CD 的中点,且 A、C∈α , B、D∈β . 求证:MN∥α . 证明:连接 BC,取 BC 的中点 E,分别连接 ME、NE, 则 ME∥AC,∴ ME∥平面α ,又 NE∥BD, ∴ NE∥β , 又 ME∩NE=E,∴平面 MEN∥平面α ,∵ MN ? 平面 MEN,∴MN∥α . 【例 2】如图,A,B,C,D 四点都在平面?,?外,它们在?内的射影 A1,B1,C1,D1 是平行 四边形的四个顶点,在?内的射影 A2,B2,C2,D2 在一条直线上,求证:ABCD 是平行四边形. 证明:∵ A,B,C,D 四点在?内的射影 A2,B2,C2,D2 在一条直线上, ∴A,B,C,D 四点共面. 又 A,B,C,D 四点在?内的射影 A1,B1,C1,D1 是平行四边形的四个顶点, ∴平面 ABB1A1∥平面 CDD1C1. ∴AB,CD 是平面 ABCD 与平面 ABB1A1,平面 CDD1C1 的交线.

∴AB∥CD.同理 AD∥BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 第 15 讲 § 2.3.1 直线与平面垂直的判定
¤知识要点:1. 定义:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 ? 互相垂直,记作 l ? ? . l -平 面 ? 的垂线, ? -直线 l 的垂面,它们的唯一公共点 P 叫做垂足.(线线垂直 ? 线面垂直) 2. 判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为:若 l ⊥ m , l ⊥ n , m ∩ n =B, m ? ? , n ? ? ,则 l ⊥ ? 3. 斜线和平面所成的角,简称“线面角” ,它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角, 几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作 为所求)→求(解直角三角形) 通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角 ”. 的关键. ¤例题精讲: 【例 1】四面体 A B C D 中, A C ? B D , E , F 分别为 A D , B C 的中点,且 E F ?
BD ?

2 2

AC

, ? B D C ? 9 0 ? ,求证:

平面 A C D .
2

// 1 // 1 证明:取 C D 的中点 G ,连结 E G , F G ,∵ E , F 分别为 A D , B C 的中点,∴ E G ? A C , F G ? B D .
2

又 AC ? BD , ∴ FG ?
? BD C ? 90
?

1 2

AC

,∴在 ?EFG 中, E G ? F G ?
2 2

1 2

AC ?
2

E F, ∴ E G ? F G , ∴ B D ? A C , 又
2

,即 B D ? C D , A C ? C D ? C ,∴ B D ? 平面 A C D . 【例 2】已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 A1B1 的中点,求直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值. 解:取 CD 的中点 F,连接 EF 交平面 A B C 1 D 1 于 O,连 AO.由已知正方体,易知 E O ? 平 面 A B C 1 D1 , 所 以 ? E A O 为 所 求 . 在 R t ? E O A 中 , E O ?
AE ? 1 2 5 2 ( ) ?1 ? 2 2

1 2

E F ?

1 2
1

A ? D

2 2



, sin ? E A O ?

EO AE

?

10 5

.
10 5

所以直线 AE 与平面 A B C 1 D 1 所成的角的正弦值为

.

【例 3】三棱锥 P ? A B C 中, P A ? B C ,P B ? A C , P O ? 平面 ABC,垂足为 O,求证: O 为底面△ABC 的垂心. 证明:连接 OA、OB、OC,∵ P O ? 平面 ABC, ∴ P O ? B C , P O ? A C . 又 ∵ P A ? B C ,P B ? A C , ∴ B C ? 平 面 P A O ,A C ? 平 面 P B O ,得 A O ? B C ,B O ? A C , ∴ O 为底面△ABC 的垂心. 点评: 此例可以变式为 “已知 P A ? B C ,P B ? A C , 求证 P C ? A B ” 其思路是接着利用射影是垂心的结论得到 O C ? A B , 后进行证明. 三条侧棱两两垂直时,也可按同样的思路证出.

第 16 讲

§ 2.3.2 平面与平面垂直的判定

¤知识要点: 1. 定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedral angle). 这条直线叫做二面角的棱,这两个半 有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;
7

平面叫做二面角的面. 记作二面角 ? - A B- ? . (简记 P- A B - Q ) 2. 二面角的平面角:在二面角 ? - l- ? 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足,在半平面 ? , ? 内分别作垂直于棱 l 的射 线 O A 和 O B ,则射线 O A 和 O B 构成的 ? A O B 叫做二面角的平面角. 范围: 0 ? ? ? ? 1 8 0 ? . 3. 定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作 ? ? ? . 4. 判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. (线面垂直 ? 面面垂直) ¤例题精讲: 【例 1】已知正方形 ABCD 的边长为 1,分别取边 BC、CD 的 中点 E、F,连结 AE、EF、AF,以 AE、EF、FA 为折痕,折叠使点 B、C、 D 重合于一点 P. (1)求证:AP⊥EF; (2)求证:平面 APE⊥平面 APF. 证明: (1)如右图,∵∠APE=∠APF=90°,PE∩PF=P, ∴ PA⊥平面 PEF. ∵EF ? 平面 PEF,∴PA⊥EF. (2)∵∠APE=∠EPF=90°,AP∩PF=P,∴PE⊥平面 APF. 又 PE ? 平面 PAE,∴平面 APE⊥平面 APF. 【例 2】如图, 在空间四边形 ABCD 中, A B ? B C , C D ? D A , E , F , G 分别是
C D , D A, A C

A

的中点,求证:平面 B E F ? 平面 B G D . 证明: A B ? B C , G 为 AC 中点,所以 A C ? B G . 同理可证 A C ? D G , ∴ A C ? 面 BGD. 又易知 EF//AC,则 E F ? 面 BGD. 又因为 E F ? 面 BEF,所以平面 B E F ? 平面 B G D .

F G B E C D

第 17 讲

§ 2.3.3 线面、面面垂直的性质

¤知识要点:1. 线面垂直性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. (线面垂直 ? 线线平行)2. 面面垂直性质定 理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为:若 ? ? ? , ? ? ? ? l ,
a ??

, a ? l ,则 a ? ? .(面面垂直 ? 线面垂直)

¤例题精讲: 【例 1】 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置于桌面, 另一条直角边 AC 与桌面所在的平面 ? 垂直, 是 ? 内一条直线, a 若斜边 AB 与 a 垂直,则 BC 是否与 a 垂直? A 解: AC ? ?
a ? ? ? ? ? ?

a ? AC

? ? a ? AB ? ? AC ? AB ? A ? ?

a ? 平面 ABC

? ? ? a ? BC BC ? 平面 ABC ?

α

C

B a

注:若 BC 与 a 垂直,同理可得 AB 与 a 也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理,证明过程体现了一种重要的数学转化 思想方法: “线线垂直→线面垂直→线线垂直”. 【例 2】如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对 平面. 解: (1)证明:∵C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点,AB 是圆 O 的直径, ∴BC⊥AC. 又 PA⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC, ∴BC⊥PA,从而 BC⊥平面 PAC. ∵ BC ? 平面 PBC, ∴平面 PAC⊥平面 PBC. (2)平面 PAC⊥平面 ABCD;平面 PAC⊥平面 PBC;平面 PAD⊥平面 PBD;平面 PAB ⊥ 平 面 ABCD;平面 PAD⊥平面 ABCD.

第 18 讲 第 3 章 § 3.1.1 倾斜角与斜率
¤知识要点:1. 当直线 l 与 x 轴相交时,我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0°. 则直线 l 的倾斜角 ? 的范围是 0 ? ? ? ? . 2. 倾斜角不是 90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即 k ? tan ? . 如果知道直线上两点 P ( x1 , y1 ), P ( x 2 , y 2 ) , 则有斜率公式 k ?
y 2 ? y1 x 2 ? x1

. 特别地是,当 x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 时,直线与 x 轴垂直,斜率 k 不存在;当 x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 时,

直线与 y 轴垂直,斜率 k=0. 注意: 直线的倾斜角α =90°时, 斜率不存在, 即直线与 y 轴平行或者重合. 当α =90°时, 斜率 k=0; 0 ?? ?? 90? 时, 当 k ? 0 ,随着α 的增大,斜率 k 也增大;当 9 0 ? ? ? ? 1 8 0 ? 时,斜率 k ? 0 ,随着α 的增大,斜率 k 也增大. 这样, 斜率 可以求解倾斜角α 的范围与斜率 k 取值范围的一些对应问题. ¤例题精讲: 苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
8

【例 2】已知过两点 A ( m 2 ? 2, m 2 ? 3) , B (3 ? m 2 ? m , 2 m ) 的直线 l 的倾斜角为 45°,求实数 m 的值. 解: ∵
m m
2 2

? 3 ? 2m
2

? 2 ? (3 ? m ? m )

? ta n 4 5 ? 1 ,
0

∴ m 2 ? 3 m ? 2 ? 0 ,解得 m ? ? 1 或 ? 2 . 但当 m ? ? 1 时,A、B 重合,舍

去. ∴ m ? ? 2 . 【例 3】已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值. 解: k A B ?
7? 2 3? a ?
2 9

5 3? a

, k BC ?

7 ? (?9a ) 3 ? (?2)

?

7 ? 9a 5

. ∵ A、 、 三点在一条直线上, ∴ k A B ? k B C ,即 B C

5 3? a

?

7 ? 9a 5



解得 a ? 2 或 a ?

.

第 19 讲
(1) l1 // l 2 ? k 1 ? k 2 ; (2) l1 ? l 2 ? k 1 ? k 2 ? ? 1 .

§ 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

¤知识要点:1. 对于两条不重合的直线 l1 、 l 2 ,其斜率分别为 k 1 、 k 2 ,有: 2. 特例:两条直线中一条斜率不存在时,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于 x 轴;…. ¤例题精讲: 【例 1】四边形 ABCD 的顶点为 A ( 2 , 2 ? 2 2 ) 、 B ( ? 2 , 2 ) 、 C (0 , 2 ? 2 2 ) 、 D ( 4, 2 ) ,试判断四边形 ABCD 的形状. 解:AB 边所在直线的斜率 k A B ? BC 边所在直线的斜率 k B C ? ∵ k AB ? k CD , k BC ? k DA ,
2 ? (2 ? 2 ?2 ? 2 2) ? 2 0?2 ? ? 2) ? 2 2 2 2 ? (2 ? 2 4?2 2) ? 2 2?4 ? ?

,CD 边所在直线的斜率 k C D ?

2)

?

2 2 2

,

(2 ? 2

,DA 边所在直线的斜率 k D A ?

(2 ? 2

,
2 2 ? (? 2 ) ? ?1 ,

∴ AB//CD,BC//DA,即四边形 ABCD 为平行四边形.又 ∵ k A B ?k B C ?

∴ AB⊥BC,即四边形 ABCD 为矩形. 【例 2】已知 ? A B C 的顶点 B ( 2,1), C ( ? 6, 3) ,其垂心为 H ( ? 3, 2 ) ,求顶点 A 的坐标. 解:设顶点 A 的坐标为 ( x , y ) .
? k AC ? k BH ? ? 1 ? ? k AB ? k CH ? ? 1

∵ A C ? B H , A B ? C H ,∴

? ? ? , 即 ? ? ? ?

y?3 x?6 y ?1 x?2

? (? ? (?

1 5 1 3

) ? ?1 ) ? ?1

,化简为 ?

? y ? 5 x ? 33 ? y ? 3x ? 5

,解之得: ?

? x ? ?19 ? y ? ?62

. ∴

A 的坐标为 ( ? 1 9, ? 6 2 ) . 【例 3】 (1)已知直线 l1 经过点 M(-3,0) 、N(-15,-6) l 2 经过点 R(-2, ,
3 2

) 、S(0,

5 2

) ,试判断 l1 与 l 2 是否平行?

(2) l1 的倾斜角为 45°, l 2 经过点 P(-2,-1) 、Q(3,-6) ,问 l1 与 l 2 是否垂直? 点评:当 l1 与 l 2 的斜率存在时, k 1 ? k 2 ? l1 // l 2 , k 1 ?k 2 ? ? 1 ? l1 ? l 2 . 斜率不存在时,进行具体的分析. 由此先计算 出斜率,根据斜率的相等或互为负倒数,从而判别平行或垂直.

第 20 讲

§ 3.2.1 直线的点斜式方程

¤知识要点: 1. 点斜式:直线 l 过点 P0 ( x 0 , y 0 ) ,且斜率为 k,其方程为 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) . 2. 斜截式:直线 l 的斜率为 k,在 y 轴上截距为 b,其方程为 y ? kx ? b . 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 l 过点 P0 ( x 0 , y 0 ) 且与 x 轴垂直,此时它的倾斜角为 90°, 斜率不存在, 它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 x ? x 0 ? 0 ,或 x ? x 0 . 4. 注意:
y ? y0 x ? x0 ? k

与 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点 P0 ( x 0 , y 0 ) ,后者才是整条直线.

¤例题精讲: 【例 1】写出下列点斜式直线方程: (1)经过点 A ( 2 , 5 ) ,斜率是 4; 的取值范围.

(2)经过点 B (3, ? 1) ,倾斜角是 3 0 ? .

【例 2】已知直线 y ? kx ? 3 k ? 1 .(1)求直线恒经过的定点; (2)当 ? 3 ? x ? 3 时,直线上的点都在 x 轴上方,求实数 k
? k ?( ? 3) ? 3 k ? 1 ? 0 ? k ?3 ? 3 k ? 1 ? 0

解: (1)由 y ? k ( x ? 3) ? 1 ,易知 x ? ? 3 时, y ? 1 ,所以直线恒经过的定点 ( ? 3,1) .(2)由题意得 ? 有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;



9

解得 k ? ?

1 6

.

【例 3】光线从点 A(-3,4)发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴反射,光线经过点 B(-2,6) ,求射入 y 轴后的反 射线的方程. 解:∵A(-3,4)关于 x 轴的对称点 A1(-3,-4)在经 x 轴反射的光线上,同样 A1(-3,-4)关于 y 轴的对称点 A2(3,-4)在经过射入 y 轴的反射线上,∴k A B =
2

6? 4 ?2 ? 3

=-2.

故所求直线方程为 y-6=-2(x+2) 即 2x+y-2=0. ,

点评:由物理中光学知识知,入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题,也常常需要研究对称点的问题. 注意知 识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例 4】已知直线 l 经过点 P ( ? 5, ? 4 ) ,且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5,求直线 l 的方程. 解:由已知得 l 与两坐标轴不垂直. ∵直线 l 经过点 P ( ? 5, ? 4 ) ,∴ 可设直线 l 的方程为 y ? ( ? 4 ) ? k [ x ? ( ? 5)] ,即 y ? 4 ? k ( x ? 5) .则直线 l 在 x 轴上的截距 为
4 k ?5

,在 y 轴上的截距为 5 k ? 4 .根据题意得 ?|
2

1

4 k

? 5 |?| 5 k ? 4 | ? 5 2 5 , k2 ? 8 5

,即 (5 k ? 4 ) 2 ? 1 0 | k | .

当 k ? 0 时,原方程可化为 (5 k ? 4 ) 2 ? 1 0 k ,解得 k 1 ?



当 k ? 0 时,原方程可化为 (5 k ? 4 ) 2 ? ? 1 0 k ,此方程无实数解.

故直线 l 的方程为 y

? 4 ?

2 5

( x ? 5 ) ,或 y ? 4 ?

8 5

( x ? 5)

.即 2 x ? 5 y

? 10 ? 0

或8x ? 5 y

? 20 ? 0

.

点评:已知直线过一点时,常设其点斜式方程,但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示,从而使用点斜式或斜 截式方程时,要考虑斜率不存在的情况,以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距,可正、可负,也可以为零,不能与距离 混为一谈,注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

第 21 讲
¤知识要点:

§ 3.2.2 直线的两点式方程
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

1. 两点式:直线 l 经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) ,其方程为



2. 截距式:直线 l 在 x、y 轴上的截距分别为 a、b,其方程为
x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 2

x a

?

y b

?1

.

3. 两点式不能表示垂直 x、y 轴直线;截距式不能表示垂直 x、y 轴及过原点的直线. 4. 线段 P1 P2 中点坐标公式 (
, )

.

¤例题精讲: 【例 1】已知△ A B C 顶点为 A ( 2, 8), B ( ? 4, 0 ), C (6, 0 ) ,求过点 B 且将△ A B C 面积平分的直线方程. 解:求出 A C 中点 D 的坐标 D ( 4, 4 ) ,则直线 B D 即为所求, 由直线方程的两点式得
y ?0 4?0 ? x? 4 4? 4

,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 .

【例 2】菱形的两条对角线长分别等于 8 和 6,并且分别位于 x 轴和 y 轴上,求菱形各边 所在的直线的方程 解:设菱形的四个顶点为 A、B、C、D,如右图所示. 根据菱形的对角线互相垂直且平分 可知,顶点 A、B、C、D 在坐标轴上,且 A、C 关于原点对称,B、D 也关于原点对称. 所以 A(-4,0),C(4,0) ,B(0,3) ,D(0,-3). 由截距式,得 直线 AB 的方程: 直线 AD 方程:
x ?4
x ?4 ? y 3

=1,即 3x-4y+12=0;直线 BC 的方程: =1, 即 3 x+4y+12=0;直线 CD 方程:
x 4 ?

x 4

?
y ?3

y 3

=1, 即 3x+4y-12=0;

?

y ?3

=1 即 3 x-4y-12=0.

第 22 讲

§ 3.2.3 直线的一般式方程

¤知识要点: 1. 一般式: A x ? B y ? C ? 0 ,注意 A、B 不同时为 0. 直线一般式方程 A x ? B y ? C ? 0 ( B ? 0 ) 化为斜截式方程
y ? ? A B x? C B

,表示斜率为 ?

A B

,y 轴上截距为 ?

C B

的直线.

2 与直线 l : A x ? B y ? C ? 0 平行的直线,可设所求方程为 A x ? B y ? C ' ? 0 ;与直线 A x ? B y ? C ? 0 垂直的直线, 苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
10

可设所求方程为 B x ? A y ? C ' ? 0 . 过点 P ( x 0 , y 0 ) 的直线可写为 A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? 0 . 经过点 M 0 ,且平行于直线 l 的直线方程是 A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? 0 ; 经过点 M 0 ,且垂直于直线 l 的直线方程是 B ( x ? x 0 ) ? A ( y ? y 0 ) ? 0 . 3. 已知直线 l1 , l 2 的方程分别是: l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 ( A1 , B1 不同时为 0) l 2 : A x ?2 B y 2 C ? 0 ( A 2 , B 2 不同时 , ? 2 为 0) ,则两条直线的位置关系可以如下判别: (1) l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 ; (2) l1 // l 2 ? A1 B 2 ? A2 B1 ? 0, A1 C 2 ? A2 B1 ? 0 ; (3) l1 与 l 2 重合 ? A1 B 2 ? A2 B1 ? 0, A1 C 2 ? A2 B1 ? 0 ; (4) l1 与 l 2 相交 ? A1 B 2 ? A 2 B1 ? 0 . 如果 A 2 B 2 C 2 ? 0 时,则 l1 // l 2 ?
A1 A2 ? B1 B2 ? C1 C2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 A1 A2 B1 B2

; l1 与 l 2 重合 ?

?

?

; l1 与 l 2 相交 ?

?

.

¤例题精讲: 【例 1】已知直线 l1 : x ? m y ? 2 m ? 2 ? 0 , l 2 : m x ? y ? 1 ? m ? 0 ,问 m 为何值时: (1) l1 ? l 2 ; (2) l1 // l 2 . 解: (1) l1 ? l 2 时, A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 ,则 1 ? m ? m ? 1 ? 0 ,解得 m=0.(2) l1 // l 2 时,
1 m ? m 1 ? ?2m ? 2 ?1 ? m

, 解得 m=1.

【例 2】 (1)求经过点 A (3, 2 ) 且与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程; (2)求经过点 B (3, 0 ) 且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂 直的直线方程. 解: (1)由题意得所求平行直线方程 4 ( x ? 3) ? ( y ? 2 ) ? 0 ,化为一般式 4 x ? y ? 1 4 ? 0 . (2) 由题意得所求垂直直线方程 ( x ? 3) ? 2 ( y ? 0 ) ? 0 ,化为一般式 x ? 2 y ? 3 ? 0 . 【例 3】已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,求与直线 l 平行且过点(-1,3)的直线的方程. 分析:由两直线平行,所以斜率相等且为 ? 解:直线 l:3x+4y-12=0 的斜率为 ?
3 4

3 4

,再由点斜式求出所求直线的方程.
3 4

,∵ 所求直线与已知直线平行, ∴所求直线的斜率为 ?
3 4 ( x ? 1)



又由于所求直线过点(-1,3) ,所以,所求直线的方程为: y ? 3 ? ?

,即 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 .

点评: 根据两条直线平行或垂直的关系, 得到斜率之间的关系, 从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此 题也可根据直线方程的一种形式 A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? 0 而直接写出方程,即 3( x ? 1) ? 4 ( y ? 3) ? 0 ,再化简而得.

第 23 讲

§ 3.3.1 两条直线的交点坐标
? A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

¤知识要点:1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 ?

. 若方程组有惟一解,则两

条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则 两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合. 2. 方程 ? ( A1 x ? B1 y ? C 1 ) ? ( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是 A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 与
A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

的交点.
?nx ? y ? n ? 1 ?ny ? x ? 2n

¤例题精讲: 【例 1】判断下列直线的位置关系. 如果相交,求出交点坐标.直线 l1: n x ? y ? n ? 1 , l2: n y ? x ? 2 n . 解:解方程组 ? ,消 y 得 ( n 2 ? 1) x ? n 2 ? n .

当 n ? 1 时,方程组无解,所以两直线无公共点, l1 // l 2 . 当 n ? ? 1 时,方程组无数解,所以两直线有无数个公共点,l1 与 l2 重合. 当 n ? 1 且 n ? ? 1 ,方程组有惟一解,得到 x ?
n n ?1

,y?

2n ? 1 n ?1

, l1 与 l2 相交.
n n ?1 , 2n ? 1 n ?1 ).

∴当 n ? 1 时, l1 // l 2 ;当 n ? ? 1 时,l1 与 l2 重合;当 n ? 1 且 n ? ? 1 ,l1 与 l2 相交,交点是 ( 解:设所求直线的方程为 2 x ? y ? 8 ? ? ( x ? 2 y ? 1) ? 0 ,整理为 ( 2 ? ? ) x ? (1 ? 2 ? ) y ? ? ? 8 ? 0 .

【例 2】求经过两条直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,且平行于直线 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 的直线方程. ∵ 平行于直线 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 , ∴ ( 2 ? ? ) ? ( ? 3) ? (1 ? 2 ? ) ? 4 ? 0 ,解得 ? ? 2 .则所求直线方程为 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 .

第 24 讲

§ 3.3.2 两点间的距离
( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2 2

¤知识要点:1. 平面内两点 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) ,则两点间的距离为: | P1 P2 |?

.

特别地,当 P1 , P2 所在直线与 x 轴平行时, | P1 P2 |? | x1 ? x 2 | ;当 P1 , P2 所在直线与 y 轴平行时, | P1 P2 |? | y1 ? y 2 | ;当 P1 , P2 有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;
11

在直线 y ? kx ? b 上时, | P1 P2 | ? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 | . 2. 坐标法解决问题的基本步骤是: (1)建立坐标系,用坐标表示有关量; (2)进行有关代数运算; (3)把代数运算的 结果“翻译”成几何关系. ¤例题精讲: 【例 1】在直线 2 x ? y ? 0 上求一点 P ,使它到点 M (5, 8 ) 的距离为5,并求直线 P M 的方程. 解 : ∵
PM
2

点 P
2

在 直 线 2x ? y ? 0 上 , ∴
2 2 2

可 设 P ( a , 2 a, 根 据 两 点 的 距 离 公 式 得 )
32 5

? ( a ? 5) ? ( 2 a ? 8) ? 5 , 即 5 a ? 4 2 a ? 6 4 ? 0
y ?8 4?8 ? x?5 2?5 或 y ?8 64 5 ?8 ? x?5 32 5 ?5

,解得 a ? 2 或 a ?

,∴ P ( 2 , 4 ) 或 (

32 64 , ) 5 5





直线 PM 的

方程为

,即 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 2 4 x ? 7 y ? 6 4 ? 0 .

【例 2】直线 2x-y-4=0 上有一点 P,求它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大值. 解:找 A 关于 l 的对称点 A′,A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点. 设 A '( a , b ) , 则
? b ?1 ? a ? 4 ? 2 ? ?1 ?a ? 0 ? ,解得 ? , 所以线段 | A ' B |? ? ?b ? 1 ?2 ? 4 ? a ? b ? 1 ? 4 ? 0 ? ? 2 2

( 4 ? 1) ? (3 ? 0 )
2

2

?3 2

.

【例 3】已知 AO 是△ABC 中 BC 边的中线,证明|AB| 2 +|AC| 2 =2(|AO| 2 +|OC| 2 ). 解:以 O 为坐标原点,BC 为 x 轴,BC 的中垂线为 y 轴,建立如图所示坐标系 xOy. 设点 A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0), A(a,b) 由两点间距离公式得: |AB|= ( a ? c ) 2 ? b 2 ,|AC|= ( a ? c ) 2 ? b 2 , |AO|= a 2 ? b 2 ,
2 2

y

|OC|=c. |AO| 2 +|OC| 2 = a 2 ? b 2 ? c 2 .

∴ |AB| +|AC| = 2 ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) ,

B(-c,0)

O

C(c,0) x

∴ |AB| 2 +|AC| 2 =2(|AO| 2 +|OC| 2 ).

第 25 讲

§ 3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离
| A x0 ? B y0 ? C | A ? B
2 2

¤知识要点:1. 点 P ( x 0 , y 0 ) 到直线 l : A x ? B y ? C ? 0 的距离公式为 d ?

.

2. 利用点到直线的距离公式,可以推导出两条平行直线 l1 : A x ? B y ? C 1 ? 0 , l 2 : A x ? B y ? C 2 ? 0 之间的距离公式
d ? | C1 ? C 2 | A ? B
2 2

,推导过程为:在直线 l 2 上任取一点 P ( x 0 , y 0 ) ,则 A x0 ? B y0 ? C2 ? 0 ,即 A x0 ? B y0 ? ? C2 . 这时点
| A x0 ? B y0 ? C1 | A ? B
2 2

P ( x0 , y0 )

到直线 l1 : A x ? B y ? C 1 ? 0 的距离为 d ?

?

| C1 ? C 2 | A ? B
2 2

.

¤例题精讲: 【例 1】求过直线 l1 : y ? ?
1 3 x? 10 3

和 l 2 : 3 x ? y ? 0 的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方程.

解:设所求直线 l 的方程为 3 y ? x ? 1 0 ? ? (3 x ? y ) ? 0 , 整理得 (3 ? ? 1) x ? (3 ? ? ) y ? 1 0 ? 0 . 由点到直线的距离公式可知, d ?
10 (3 ? ? 1) ? (3 ? ? )
2 2

?1,

解得 ? ? ? 3 .

代入所设,得到直线 l 的方程为 x ? 1或 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 . 【例 2】在函数 y ? 4 x 2 的图象上求一点 P,使 P 到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短,并求这个最短的距离. 解:直线方程化为 4 x ? y ? 5 ? 0 . 设 P ( a , 4 a 2 ) , 则点 P 到直线的距离为
d ? | 4a ? 4a ? 5 |
2

?

| ?4(a ? 1 / 2) ? 4 |
2

?

4(a ? 1 / 2) ? 4
2

4 ? ( ? 1)
2

.当 a ?

1 2

时,点 P ( ,1) 到直线的距离最短,最短距离为
2

1

4 17 17

.

2

17

17

【例 3】求证直线 L: ( m ? 2 ) x ? (1 ? m ) y ? (6 ? 4 m ) ? 0 与点 P ( 4, ? 1) 的距离不等于 3. 解:由点线距离公式,得 d ?
(m ? 3 ) ?
2

| ( m ? 2 ) ?4 ? (1 ? m ) ?( ? 1) ? (6 ? 4 m ) | ( m ? 2 ) ? (1 ? m )
2 2

=

|m ?3| ( m ? 2 ) ? (1 ? m )
2 2

.假设 d ?3 ,得到 , ∴

9m (? [

2

2? )

? 1 m (

2

] ,) 整 理 得 1 7 m 2 ? 4 8 m ? 3 6 ? 0 . ∵

? ? 48 ? 4 ? 17 ? 36 ? ?140 ? 0
2

苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴

12

17 m ? 48m ? 36 ? 0
2

无实根.∴ d ? 3 ,即直线 L 与点 P ( 4, ? 1) 的距离不等于 3.

点评:此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离,然后从“距离不等于 3”的反面出发,假设距离是 3 求 m,但求解的结果是 m 无解. 从而假设不成立,即距离不等于 3. 另解:把直线 L: ( m ? 2 ) x ? (1 ? m ) y ? (6 ? 4 m ) ? 0 按参数 m 整理, 得 ( x ? y ? 4 ) m ? 2 x ? y ? 6 ? 0 .由

?

x? y ? 4 ? 0 2x ? y ? 6 ? 0

, 解得

?

x ? 2 y ? ?2

. 所以直线 L 恒过定点 Q ( 2 , ? 2 ) .点 P 到直线 L 取最大距
5

离时, PQ⊥L,即最大距离是 PQ= ( 2 ? 4 ) 2 ? ( ? 2 ? 1) 2 = 5 .∵

<3,

∴直线 L 与点 P ( 4, ? 1) 的距离不等于 3.

点评: 此解妙在运用直线系 ? ( A1 x ? B1 y ? C 1 ) ? ( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 恒过一个定点的知识, 其定点就是 A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 与 A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 的交点. 由运动与变化观点,当直线 PQ⊥L 时,点线距离为最大.

第 26 讲
2

第4章
2 2

§ 4.1.1 圆的标准方程

¤知识要点:1. 圆的标准方程:方程 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ( r ? 0 ) 表示圆心为 A(a,b) ,半径长为 r 的圆. 2. 求圆的标准方程的常用方法: (1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程; (2)待定系数法:先根据条件列出关于 a、b、r 的方程组,然后解出 a、b、r,再代入标准方程. ¤例题精讲: 【例 1】过点 A (1, ? 1) 、 B ( ? 1,1) 且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( ). A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 2 2 C.(x-1) +(y-1) =4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 解:由圆心在直线 x+y-2=0 上可以得到 A、C 满足条件, 再把 A 点坐标(1,-1)代入圆方程. A 不满足条件. 所以, 选 C.另解:设圆心 C 的坐标为(a,b),半径为 r, 因为圆心 C 在直线 x+y-2=0 上, ∴b=2-a.由|CA|=|CB|,得(a-1)2+ (b+1)2=(a+1)2+(b-1)2,解得 a=1,b=1.因此,所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 选 C. 【例 2】求下列各圆的方程: (1)过点 A ( ? 2 , 0 ) ,圆心在 (3, ? 2 ) ; (2)圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A (0, ? 4 ), B (0, ? 2 ) 解: (1)设所求圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? r 2 . 则 ( ? 2 ? 3) 2 ? (0 ? 2 ) 2 ? r 2 ,
( x ? 3) ? ( y ? 2 ) ? 2 9
2 2

解得 r 2 ? 2 9 .

∴ 圆的方程为

.(2)圆心在线段 AB 的垂直平分线 y ? ? 3 上,代入直线 2 x ? y ? 7 ? 0 得 x ? 2 ,
? (2 ? 0) ? (?3 ? 2)
2 2

圆心为 ( 2 , ? 3) ,半径 r

?

5

.∴ 圆 C 的方程为 ( x ?

2 ) ? ( y ? 3) ? 5
2 2

.

【例 3】推导以点 A ( a , b ) 为圆心, r 为半径的圆的方程.解:设圆上任意一点 M ( x , y ) ,则 | M A |? r .由两点间的距离公 式,得到 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r .化简即得圆的标准方程: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2

第 27 讲

§ 4.1.2 圆的一般方程
D 2 ,? E 2 )

¤知识要点:1. 圆的一般方程:方程 x 2 ? y 2 ? D x ? E y ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 )表示圆心是 ( ? 为
1 2 D
2

,半径长

? E

2

? 4F

的圆.

2. 轨迹方程是指点动点 M 的坐标 ( x , y ) 满足的关系式.

¤例题精讲: 【例 1】求过三点 A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? D x ? E y ? F ? 0 . 则
?4 ? 4 ? 2D ? 2E ? F ? 0 ? ?25 ? 9 ? 5 D ? 3E ? F ? 0 ?9 ? 1 ? 3D ? E ? F ? 0 ?



? D ? ?8 ? 解得 ? E ? ? 2 ? F ? 12 ?

.

∴ 圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 2 y ? 1 2 ? 0 .

【例 2】设方程 x 2 ? y 2 ? 2 ( m ? 3) x ? 2 (1 ? 4 m 2 ) y ? 1 6 m 4 ? 7 m 2 ? 9 ? 0 ,若该方程表示一个圆,求 m 的取值范围及圆心 的轨迹方程. 解:配方得 ? x ? ( m ? 3) ? ? ? y ? (1 ? 4 m 2 ) ? ? 1 ? 6 m ,该方程表示圆,则有 ? ?
2 2

1 ? 6m ? 0
1 6

,得 m ? ( ?
, ?? )

1 6

, ?? )

,此时圆心的轨迹方程为 ?
17 6 , ?? )

?x ? m ? 3 ? y ? 1 ? 4m
2

,消去 m,得 y ? 4 ( x ? 3) 2 ? 1 ,
17 6 , ?? )

由 m ? (?

得 x=m+3 ? (

.

∴所求的轨迹方程是 y ? 4 ( x ? 3) 2 ? 1 , x ? (

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;

13

第 28 讲

§ 4.2.1 直线与圆的位置关系

¤知识要点: 直线与圆的位置关系及其判定: 方法一: 1. 方程组思想, 由直线与圆的方程组成的方程组, 消去 x 或 (y) , 化为一元二次方程,由判别式符号进行判别; 方法二:利用圆心( a , b )到直线 A x ? B y ? C ? 0 的距离 d ?
| Aa ? Bb ? C | A ? B
2 2

,比较 d 与 r 的大小.

(1)相交 ? d ? r ? ? ? 0 ; (2)相切 ? d ? r ? ? ? 0 ; (3)相离 ? d ? r ? ? ? 0 . 2. 直线与圆的相切研究,是高考考查的重要内容. 同时,我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质,也要掌握一些常 用公式,例如点线距离公式 d ?
| A x0 ? B y0 ? C | A ? B
2 2

¤例题精讲: 【例 1】若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为 . 解:将圆 x2+y2-2x=0 的方程化为标准式: (x-1)2+y2=1, 其圆心为(1,0) ,半径为 1,由直线(1+a)x+y+1 =0 与该圆相切,则圆心到直线的距离 d ?
|1 ? a ? 1 | (1 ? a ) ? 1
2

?1,

∴ a=-1.

【例 2】求直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 被圆 C : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 所截得的弦长. (P144 练习 1 题) 解:由题意,列出方程组 ?
?2x ? y ? 2 ? 0 ? ( x ? 3) ? y
2 2

? 9

,消 y 得 5 x 2 ? 1 4 x ? 4 ? 0 ,得 x1 ? x 2 ?

14 5

, x1 x 2 ?

4 5

.

设直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 交于点 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则
| A B |? (1 ? k ) | x 2 ? x1 | ?
2

(1 ? k )
2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

= (1 ? 2 2 ) (

14 5

) ? 4?
2

4 5

?

2 145 5

.
? 4 5 5
2 145 5

另解:圆心 C 的坐标是 (3, 0 ) ,半径长 r ? 3 . 圆心到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 所以,直线 2 x ? y ? 2 ? 0 被圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长是 2 r 2 ? d 2 ? 2 3 2 ? (

|2?3?0? 2| 5
4 5 5 )
2

.

?

.

第 29 讲

§ 4.2.2 圆与圆的位置关系

¤知识要点:两圆的位置关系及其判定: 设两圆圆心分别为 O 1 , O 2 ,半径分别为 r1 , r2 ,则: (1)两圆相交 ? | r1 ? r2 |? | O 1 O 2 |? r1 ? r2 ; (2)两圆外切 ? | O 1 O 2 |? r1 ? r2 ; (3)两圆内切 ? | O 1 O 2 |? | r1 ? r2 | ; ¤例题精讲: 【例 1】已知圆 C 1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 6 ? 0 ①,圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 6 ? 0 ② (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程. 解: (1)∵圆 C 1 的圆心为(3,0) ,半径为 r1 ? 1 5 ,圆 C 2 的圆心为(0,2) ,半径为 r2 ? 1 0 , 又 | C 1 C 2 |? 1 3 ,∴ | r1 ? r2 | < | C 1 C 2 |? r1 ? r2 , ∴圆 C 1 与 C 2 相交. (2)由①-②,得公共弦所在的直线方程为 3 x ? 2 y ? 0 . 【例 2】求经过两圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 2 8 ? 0 的交点,并且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 2 8 ? ? ( x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ) ? 0 ,即
(1 ? ? ) x ? (1 ? ? ) y ? 6 ? x ? 6 y ? 2 8 ? 4 ? ? 0
2 2

, 则所求圆的圆心为 ( ?
? 3 1? ? ? 4 ? 0

3? 1? ?

,?
1 7

3 1? ?

)

.

∵圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,

∴?

3? 1? ?

,解得 ? ? ?

.

∴ 所求圆的方程为 x 2 + y 2 ? x ? 7 y ? 3 2 ? 0

第 30 讲

§ 4.2.3 直线与圆的方程的应用

¤知识要点:坐标法:建立适当的直角坐标系后,借助代数方法把要研究的几何问题,转化为坐标之间的运算,由此解 决几何问题 ¤例题精讲: 【例 1】有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:每单位 距离,A 地的运费是 B 地运费的 3 倍.已知 A、B 两地相距 10 千米,顾客购物的标准是总费用较低,求 A、B 两地的售 货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地. 解:建立使 A(-5,0)、B(5,0)的直角坐标系,设单位距离的运费是 a 元. 若在 A 地购货费用较低,则:价格+A 地运费≤价格+B 地运费 即 3 a ( x ? 5) 2 ? y 2 ? a ( x ? 5) 2 ? y 2 . 苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
14

∵ ∴

a>0,∴ 8x2+8y2+100x+200y≤0.得 (x+ 两地购物区域的分界线是以点 C(-
25 4

25 4

)2+y2≤(
15 4

15 4

)2 .

,0)为圆心,

为半径的圆.

所以,在圆 C 内的居民从 A 地购物便宜,圆 C 外的居民从 B 地购物便宜,圆 C 上的居民从 A、B 两地购物总费用 相等. 【例 2】 自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射, 其反射光线所在的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切, 求 光线 l 所在的直线方程. ‘ ‘ 解:由已知可得圆 C: ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 关于 x 轴对称的圆 C 的方程为 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 ,其圆心 C(2,-2) , 易知 l 与圆 C’相切. 设 l: y-3=k(x+3), 即 kx-y+3k+3=0.∴
3 4

5k ? 5 1? k
2

?1

, 整理得 12k2+ 25k+12=0, 解得 k ? ?

3 4

或k ? ?

4 3

.

所以,所求直线方程为 y-3= ?

(x+3)或 y-3= ?

4 3

(x+3),即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0.

点评:关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组 思想,通过“ ? ? 0 ”求切线方程也可, 但过程要复杂些.

第 31 讲

§ 4.3.1 空间直角坐标系

¤知识要点:1. 空间直角坐标系:从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴 Ox、Oy、Oz,这样 的坐标系叫做空间直角坐标系 O-xyz,点 O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面,分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2. 右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,若中指指向 z 轴 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3. 空间直角坐标系中的坐标:对于空间任一点 M,作出 M 点在三条坐标轴 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影,若射影在 相应数轴上的坐标依次为 x、y、z,则把有序实数组(x, y, z)叫做 M 点在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x, y, z),其 中 x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标. 4. 在 xOy 平面上的点的竖坐标都是零,在 yOz 平面上的点的横坐标都是零,在 zOx 平面上的点的纵坐标都是零;在 Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零,在 Oy 轴上的点的横坐标、竖坐标都是零,在 Oz 轴上的点的横坐标、纵坐标都是 零

¤例题精讲: 【例 1】在空间直角坐标系中,作出点 M(6,-2,

4). M(6,-2,4) 4 6
M
2

z

解:点 M 的位置可按如下步骤作出: 先在 x 轴上作出横坐标是 6 的点 M 1 ,再将 M 1 沿与 y 轴平行的方向向左移 动 2 个单位得到点 M 2 ,然后将 M 2 沿与 z 轴平行的方向向上移动 4 个单位 即得点 M. M 点的位置如图所示. 【例 2】在长方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中,AB=12,AD=8, A A1 =5,试建立适 当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标. 解:以 A 为原点,射线 AB、AD、 A A1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系, A(0,0,0)、 则 B(12,0,0)、 C(12,8,0)、 D(0,8,0)、A1 (0,0,5)、
B1 (12,0,5)、 C 1

O y
1

2 x

M

(12,8,5)、 D 1 (0,8,5).

【例 3】已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,试建立适当的空 间直角坐标系,写出各顶点的坐标. 分析:先由条件求出正四棱锥的高,再根据正四棱锥的对称性,建立适当的空间 直角坐标系.
? 解: 正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4, 侧棱长为 10, ∴正四棱锥的高为 2 2 3 . 以正四棱锥的底面中心为原点,平行于 AB、BC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴, 建立如图示的空间直角坐标系,则正四棱锥各 顶点的坐标分别为 A(2,-2,0)、

B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0, 2 2 3 ). 点评:在求解此类问题时,关键是能根据已知图形,建立适当的空间直角坐标系,从而便于计算所需确定的点的坐标.

第 32 讲

§ 4.3.2 空间两点间的距离公式
( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ? ( z 1 ? z 2 )
2 2 2

¤知识要点:1. 空间两点 P1 ( x1 , y1 , z 1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 间的距离公式: | P1 P2 |?

.

2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤: ①在立体几何图形中建立空间直角坐标系; ②依题意确定各相应点的坐标 ; ③通过坐标运算得到答案. 3. 对称问题,常用对称的定义求解. 一般地, P(x, y, z) 关于坐标平面 xOy、 点 yOz、zOx 的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、 有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;
15

(-x, y, z)、(x, -y, z);关于 x 轴、y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z);关于原点的对称点的坐 标为(-x,- y,- z).

苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴

16


推荐相关:

高中数学必修2知识点和例题讲解

高中数学必修2知识点和例题讲解_数学_高中教育_教育专区。第1讲 第1章¤知识要点: 结构特征棱柱(1)两底面相互平行, 其余各面都是平行四边 形; (2)侧棱平行且...


高中数学必修2第一章空间几何体知识点习题

高中数学必修2第一章空间几何体知识点习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。自用课件,实用型一、知识回顾(一)空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体:多面体 棱 ...


高中数学必修2知识点与练习题

高中数学必修2知识点与练习题_数学_高中教育_教育专区。对必修2基本初等函数以及立体几何初步知识点进行高度整理高中数学必修 2 各章知识点总结第一章 空间几何体 ...


高中数学必修二知识点+例题+知识点

高中数学必修二知识点+例题+知识点_数学_高中教育_教育专区。立体几何知识点 一、空间几何体 1.多面体:由若干个多边形围成的几何体,叫做多面体。围成多面体的各个...


数学必修2第二章知识点小结及典型习题

数学必修2知识点小结及典型习题_数学_高中教育_教育专区。数学必修2知识点小结及典型习题花了大量时间整理,希望对你有所帮助!第...


高一数学必修2《直线与方程》知识点与例题

高一数学必修2《直线与方程》知识点与例题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高一数学必修2《直线与方程》知识点与例题_数学_高中教育...


数学必修2一二章知识点整理(含习题)

数学必修2知识点整理(含习题)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修2 第一章 空间几何体知识点梳理 (一)空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体:多面体:棱...


高中数学必修2第一章知识点+习题+答案

高中数学必修2第一章知识点+习题+答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学必修2第一章知识点+习题+答案_数学_高中教育_教育...


数学必修二第一章知识点总结+习题

数学必修二第一章知识点总结+习题_数学_高中教育_教育专区。第一章 空间几何体 1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有...


数学必修2第四章知识点小结及典型习题

数学必修2第四章知识点小结及典型习题_数学_高中教育_教育专区。数学必修2第四章知识点小结及典型习题花了大量时间整理,希望对你有所帮助!第...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com