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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象


函数y=Asin(ωx+φ)的图象

物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都 是常数).

物理意义:
简谐运动的图像所对应的函数解析式的形式:

y=Asin(ωx+

φ),x ? [0, ??) ,(A>0,ω>0,)
(1)A---简谐运动的振幅,是简谐运动的物体离开平衡 位置的最大距离, (2)ωx+φ---相位, (3)x=0时的相位φ---初相, ( 4) ---简谐运动的周期,是做简谐运动的 ? 物体往复运动一次所需要的时间,
T ? 2?

(5) ---简谐运动的频率,是做简谐运动物 体在单位时间内往复运动的次数。

f ?

1 ? ? T 2?

知识回顾:
y
1-1

y ? sin x x ?[0,2? ]
?
2

o
-1 -

? 6

?

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有: 最高点: (

?
2
2

最低点: ( 3?

与x轴的交点: (0,0) (? ,0) (2? ,0) 在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出函数 数的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。

-

,1)

,?1)

?

如何由函数y=sinx的图象变换得到函 数y=Asin(ω x+φ)的图象 培养观察问题和探索问题的能力

?

1 函数 y ? sin ?x 的图象
1 比较 y ? sin x与y ? sin 2 x和y ? sin x的图象: 2
x
y=sin x y
1.列表
2.描点 1 3.连线
?

0 0

2 ? 1 0

?

3? 2

2? 0

-1

( ,1) 4

(

?

振幅相同
,1)

? ? 3? x ? 0 4? ? 0 ?2 ? 2 4 4 2 2 3? 2 x y ? sin x 0 y =sin y =sin2 1 0 -1 0 =sin 2

x 2x 2

2

(? ,1)

x x
3? 2

y=sinx

y=sin

o (0,0)

? 4
?

? 2

1 x 2
4?

3? 4

?
(? ,0)

2?
(2? ,0)

3?
(4? ,0)

( ,0 ) 2

x

y=sin2x -1
( 3? ,?1) 4

(

3? ,?1) 2

(3? ,?1)

发生了什 么变化?

1、函数图象的横向伸缩变换
上述变换可简记为:
y=sinx的图象
各点的横坐标缩短到原来的1/2倍 (纵坐标不变)

y=sin2x的图象

各点的横坐标伸长到原来的2倍 1 y=sinx的图象 y=sin 2 x的图象 (纵坐标不变)

方法:伸缩一般规律
函数 y=Sinx
横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到
1 原来的 倍,纵坐标不变 ?

y=Sin ? x 的图象

注: ω决定函数的周期T=2π/ω,它引起图象横向 伸缩。

ω的作用

横向伸缩

1 2.比较y ? sin x与y ? 2sin x和y ? sin x的图象: 2 3? ? x 0 ? 2 ? 2 2
sinx
2sinx
1 sinx 2
y
2
1

0
0 0

1
2
1 2

0
0 0 y=2sinx y=sinx
3? 2

-1
-2
1 ? 2

0
0 0

1 y= 2sinx
2?

o
-1

? 2

?

x

-2

周期相同

2、函数图象的纵向伸缩变换
上述变换可简记为 : 各点的纵坐标伸长到原来的2倍 y=2sinx的图象 y=sinx的图象
(横坐标不变) 各点的纵坐标缩短到原来的1/2倍 1 y= sinx的图象 y=sinx的图象 2 (横坐标不变 )

方法:伸缩一般规律
y=Sinx

纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) y=ASinx 到原来的A倍(横坐标不变)

注:A引起图象的纵向伸缩,它决定函数的最值。

A的作用

纵向伸缩

(一)探索A,ω ,φ 对函数y=Asin(ω x+φ )(A>0, ω>0)图像的影响:
用“五点法”在同一坐标系画出下列几组函数(在一个周 期的)图象,并说明它们之间的关系:

探究一: y=sinx 与y=sin(x+π/3) 探究二: y=sin(x+π/3)与y=sin(2x+π/3) 探究三: y=sin(2x+π/3)与y=3sin(2x+π/3)

1组展示

3组展示
5组展示

探究一 x x+ ? 3 ? sin(x+ )
3

y=sinx 与y=sin(x+π/3)

_?
0
0

3

? 6 ? 2

2? 3

?
0

7? 6 3?
2
-1

5? 3
2?
0

1
y

y=sin(x+ 3 ) ? 3

兀 1

y=sinx
?
2?

o?
6

2? 3

7? 6

5? 3

x

-1

y ? sin (x ?

?

y 3

)

1
o

yy y ? y y ? y ? y sin ? y ? y sin ? y sin ? sin ? sin ? sin ? sin x sin sin x sin x x x x x x x x

? ?? ? 2 3

? 6

? 2 ? 2 3

? 7?

3? 5? 6 2 3

2?

x

-1

规律一、φ对y=sin(x+φ)的图象的影响

方法:平移一般规律
函数 y=Sinx 向左(? >0)或向右(? <0) 平移| ? |个单位 y=Sin(x+ ? ) 的图象

注:φ引起图象的左右平移,它改变图象的位置 ,不改变图象的形状。 φ的作用

左右平移

练习:已知函数y=sinx的图象为C,为了得到函数 y=sin(x-π/4)的图象,只要把C上所有的点( A )
(A)向右平行移动π/4个单位长度

(B)向左平行移动π/4个单位长度

1

探究二: y=sin(x+π/3)与y=sin(2x+π/3)
x
X ? x?

?
?
3

?
3

?
6

2? 3

7? 6
3? 2

5? 3
2?

0
)

?
2

?

y ? sin( x ?

?
3

0

1

0

-1

0

x
X ? 2x ?

?
?
3

?
6

?
12 ? 2
1

?
3
? 0

7? 12
3? 2 -1
2?

5? 6
0

0
3 )

y ? sin(2 x ?

?

0

y
3 2 1 2?
5? 6

o
?

2? 3
? ? 12 6

?
3

?

?
6

? 3

7? 12

7? 6

-1

-2
-3

? y=sin(x+ )① 3 ? y=sin(2x + )② 3

5? 3

x

规律二、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响

方法:伸缩一般规律
横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到 原来的 倍,纵坐标不变 ?
1

y=sin(x+φ)

y=sin(ωx+φ)

练:2已知函数y=sin(x-π/4)的图象为C,为了得到函数 y=sin(x/3-π/4)的图象,只要把C上所有的点( A )
(A)横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变

(B)横坐标缩短到原来的1/3倍,纵坐标不变
(C)纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变 (D)纵坐标缩短到原来的1/3倍,横坐标不变

探究三: y=sin(2x+π/3)与y=3sin(2x+π/3)
x
X ? 2x ?

?
?
3

?
6

?
12

?
3

?

7? 12
3? 2

5? 6

0
)

2

? 0
?
3

2?

y ? sin(2 x ?

?
3

0
?

1
?
12

-1
7? 12
3? 2

0
5? 6

x
X ? 2x ?

?
6

?
3
?
3 )

0 0

?
2

? 0

2?

y ? 3sin(2 x ?

3

-3

0

y
3 2 1

? y=3sin(2x+ ) 3

o
?

?
6

? 12

? 3

7? 12

5? 6

x

-1

-2

? y=sin(2x + ) 3

-3

规律三、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响

y=Sin(? x+ ? )

纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) 到原来的A倍(横坐标不变)

y=ASin(?x+ ? )

参数φ, ω, A 对图象的影响
Φ:沿x轴平 移 |φ|个单位 , 口诀: “左加” “右减” ω: 横坐标伸长或缩短为原来的1/ω

A:纵坐标伸长或缩短为原来的A倍

(二)探索y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象关系

例、如何由

y ? sinx 变换得 ? y ? 3 sin ( 2 x ? )的图象? 3

?? ? 探究:画出函数y ? 3sin ? 2 x ? ? , x ? R的图象。 3? ?

1.列表 x
? 2x ? 3
?? ? sin ? 2 x ? ? 3? ?
?? ? 3sin ? 2 x ? ? 3? ?

?

?
6

?
12

?
3

0
0 0

? 2

7? 12

?
0 0

3? 2

5? 6

2?

1 3

-1 -3

0 0

(2) 描点:
y

?, ( ? ,0 ) 6

? ( ,3) 12




? ( ,0 ) 3


7? 5? ( ,?3) ( ,0) 12 6
?

3

? y=3sin(2x+ 3

)

(3)连线:

?
6

o

?
12

?
3

7? 12

5? 6

x

(4)根据周期性将作出的简图 左右 扩展。

-3

方法1:先平移后伸缩演示 (按? , ? , A顺序变换 )
y
3 2 1

? y=3sin(2x+ )③ 3

y=sinx ?
? 3
5? 6

o
?

5? 3

2?

?
3

?

?
6

x

-1

-2 -3

? y=sin(x+ )① 3 ? y=sin(2x + )② 3

?

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3


(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变

? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

方法1:先平移后伸缩一般规律 (1)向左(? >0)或向右(? <0) 函数 y=Sinx y=Sin(x+ ? ) 的图象 平移| ? |个单位 (2)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到 原来的 ? 倍,(纵坐标不变) (3)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) 到原来的A倍(横坐标不变) y=ASin(?x+ ? )的图象
1

y=Sin(? x+ ? ) 的图象

◆思考:还有其他的变换方法吗?

关键 :如何由 y ? sin(2 x) 图象变成

y ? sin(2 x ?

?

3

) 的图象?

探究:y=sin(2x)和y=sin(2x+π/3)图象关系
x

0

?
4

?
2

3? 4
3? 2

?
2?

y ? sin 2 x

X ? 2x
y ? sin(2 x)

?

0 0

2

? 0

1

-1

0

? 向左平移 6

个单位

x
X ? 2x ?

?
?
3

?
6

?
12

?
3

7? 12
3? 2

5? 6
2?

0 0

?
2

? 0

? y ? sin(2 x ? ) 3

? y ? sin(2( x ? )) 6

1

-1

0

方法2:先伸缩后平移一般规律

(按? , ? , A顺序变换 ) 方法2:
y

3
2 1

? y=3sin(2x+ ) 3

y=sinx
?
? 3
5? 6

o
? ? 6
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变 象
?

1 2



y=Sin2x的图

(2) 向左平移 6

? y=Sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3Sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

方法2:先伸缩后平移一般规律 (1)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到 函数 y=Sinx y=Sin ? x 的图象 1 原来的 倍,纵坐标不变
?

(2)向左(? >0)或向右(? <0)
? 平移|? |个单位

y=Sin(? x+ ? ) 的图象

(3)横坐标不变,纵坐标伸 长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的A倍

y=ASin(?x+ ? )的图象

y ? sin x 图象变成 1 ? y ? 2sin( x ? )的图象? 3 6
如何由

1 ? 例1:怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2sin( x ? )的图象 ? 3 16 ? (画法一)利用" 五点法 "画函数y ? 2 sin( x ? )在 3 6 2? 一个周期(T ? 1 ? 6? )内的图象.
(1)列表 :
3
y

X x y

0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2
2

2?

5?

0

2

0

?2

0

(2)描点 :

O -2

?
2

2?

7? 2

5?

13? 2

x

? 7? 13? ( ,0), (2? ,2), ( ,0), (5? ,?2), ( ,0) 2 2 2
(3)连线 :

1 ? 例1:怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2sin( x ? )的图象 ? 3 6

函数y ? sin x

(1)向右平移

?
6

y ? sin( x ? )的图象 6 1 ? y ? sin( x ? )的图象 3 6 1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象 3 6

?

(2)横坐标伸长到原来的 3倍
纵坐标不变

(3)横坐标不变

纵坐标伸长到原来的 2倍

练习:考虑下列函数是由函数y=sinx通过 何种办法变化而来?

3 3? (1) y ? sin x;(2) y ? sin 4 x;(3) y ? sin( x ? ); 5 4 1 ? (4) y ? sin( x);(5) y ? sin( x ? );(6) y ? 4sin x 3 2 (7) y ? 3 ? 2sin x

y
3

2
1

? y=sin(x- )① 6
?
y=sinx

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
1 ? y ? sin( x ? ) ② 3 6
2?
7? 2

o
?
-1

6

? 2

13? 2

x

-2
-3

你学到了哪些知识?
图象的变换: (1)伸缩变换 (2)平移变换 周期变换 振幅变换 左右平移 上下平移 ( ----- 形状变换) ( ----- 位置变换)

1 向左 ( ? >0) 或向右 ( ? <0) 横坐标变为原来的 ? 倍 y=sin(?x+?) y=sinx y=sin(x+?) 平移???个单位 纵坐标不变

? ? y=Asin(?x+?) (A>0, ?>0) 的图象可由y=sinx经过如下变换得到:
纵坐标变为原来的A倍 y=Asin(?x+?) 横坐标不变

或:
1 ? 向左 ( ? >0) 或向右 ( ? <0) 横坐标变为原来的 倍 ? y=sinx y=sin?x y=sin?(x+ ? ) ? 平移 ? ? 个单位 纵坐标不变

?

纵坐标变为原来的A倍 y=Asin(?x+?) 横坐标不变

=sin(?x+?)

1 ? 由 y ? 2sin( x ? ) 的图象经过怎样的 3 6
变换得到 y ? sin x 的图象?

练习一 1.函数y=sin3x的周期是多少?它的图象是由y=sinx 的图 象作什么变换而得到?

解 :

2? T? ? ? 3

2?

y=sinx

1 各点的横坐标缩短到原来的 3 倍

y=sin3x的图象

(纵坐标不变) 2.把正弦曲线y=sinx图象上所有点的横坐标伸长到原来的 1 y ? sin x 5倍(纵坐标不变),就得到函数______________ 的图象. 5

2.把y ? sin( 2 x ? )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数 为? D ? A. y ? sin( 2 x ? ) 2 B. y ? sin( 2 x ? ) 6 3 C. y ? sin( 2 x ? ) 2 D. y ? sin 2 x

?

?

? ?

x ? x 3.要得到函数 y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象? C ? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移

?
6

?
6

?
3

?
3

?第二课时

1、由图说出该简谐运动的振幅和周期分别等于什么?
y/c m 2O x/s

1

5

2 1 ? 2、求函数 y ? sin( x ? )的振幅、周期和频率各 是多少? 3 2 4

例2:图是某简谐运动的图象。试根据图象回答:
(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少? (2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了 一次往复运动?如从A点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式。
y/c m A
o

2O

E 0.4 B C 0.8 D 1.2 F x/s

?函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

[例 3] 已知函数

? π? y=2sin?2x+3?, ? ?

(1)求它的振幅、周期、初相;

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
? π? (3)说明 y=2sin?2x+3?的图象可由 y=sin ? ?

x 的图象经过

怎样的变换而得到.

[自主解答] π π,初相 φ=3.

? π? (1)y=2sin?2x+3?的振幅 ? ?

2π A=2,周期 T= 2 =

? π? π (2)令 X=2x+3,则 y=2sin?2x+3?=2sin X. ? ?

列表,并描点画出图象:
x X y=sin X π? y=2sin 2x+ 3 ? ? ?
? ? ? ?



π 6

0 0 0

π 12 π 2 1 2

π 3 π 0 0

7π 12 3π 2 -1 -2

5π 6 2π 0 0

π (3)法一:把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移3个单位, 得到
? π? y=sin?x+3?的图象,再把 ? ? ? π? y=sin?x+3?的图象上的点 ? ?

? π? 1 的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x+3?的 ? ?

图象,最后把

? π? y=sin?2x+3?上所有点的纵坐标伸长到原来的 ? ? ? π? ? y=2sin 2x+3?的图象. ? ?

2

倍(横坐标不变),即可得到

?若将本例中“y=sin

x”改为“y=2cos 2x”,则如何变换?
? π? 向右平移 ?2x+ ? ――――→ y = 2? π ?

解 : y = 2cos 2x = 2sin

4

个单位

2sin

? π? 向左平移 2x――――――→ y=2sin?2x+3?, π ? ? 个单位 6

π 即将 y=2cos 2x 的图象向右平移 个单位即可得到 12 ? π? y=2sin?2x+3 ?的图象. ? ?

课堂小结
作函数y=Asin(?x+?) 的图象的方法 1、用“五点法”作图. 2、利用“图象变换法”作图. (1) ?--?--A (2)?--?--A 注意:左右平移变换时保证x的系数为1. (3)参数?、?、A物理意义. 注意:如何根据函数图像确定函数 y=Asin(?x+?)的解析式

练习 1、 当函数 y = -5sin (-2x +π/4) 表示一个振动量时 其振幅为 频率为 1/ π 5 周期为 ______ π 相位为 -2x +π/4 初相为 π/ 4 ;

2、将函数 y= sin2x 的图象向左平移 π/ 6 得到的曲线对应的解 析式为( C )
A. y=sin(2x+π/6) C. y=sin(2x+π/3) B. y=sin(2x-π/6) D. y=sin(2x-π/3) C) B. 向右平移π/6个单位 D. 向右平移π/18个单位

3、要得到函数 y = cos3x 的图象,只需将函数

y = cos (3x-π/ 6) 的图象(
A. 向左平移π/6个单位 C. 向左平移π/18个单位

?

?

?

?

?

?

? ?

4、函数 y = 3sin( x/ 2 + π/3) 的图象可由函数 y = 3 sin x 经 ( D )变换而得; A. 先把横坐标扩大到原来的两倍(纵坐标不变) ,再向左平 移π/6个单位 B. 先把横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变) ,再向右平 移π/3个单位 C. 先向右平移π/3个单位 ,再把横坐标缩短到原来的1/2倍(纵 坐标不变) D. 先向左平移π/3个单位 ,再把横坐标扩大到原来的两倍(纵 坐标不变) *5、要得到函数 y = cos ( 2x -π/4) 的图象,只需将函数 y = sin 2 x 的图象( D ) A. 向左平移π/4个单位 B. 向右平移π / 4 个单位 C. 向左平移π/ 8个单位 D. 向右平移π/ 8个单位

x
X ? x?

?

?
3

?

?

y ? sin( x ?

?

3

0
)
?

?
2

6

2? 3

7? 6

5? 3

? 0
?
3

3? 2

2?

3

0
?
6

1
?
12

-1
7? 12

0
5? 6

x
X ? 2x ?

?

y ? sin(2 x ?

?

3

0 0
?

?

2

? 0
?
3

3? 2

2?

3

)

1
?

-1
7? 12

0
5? 6

x
? X ? 2x ? 3
y ? 3sin(2 x ? ) 3

?
6

0
?

?

12

2

? 0

3? 2

2?

0

3

-3

0

1 向左 ( ? >0) 或向右 ( ? <0) 横坐标变为原来的 倍 y=sin(?x+?) ? y=sinx y=sin(x+?) 平移???个单位 纵坐标不变

? ? y=Asin(?x+?) (A>0, ?>0) 的图象可由y=sinx经过如下变换得到:
纵坐标变为原来的A倍 y=Asin(?x+?) 横坐标不变

在一个周期内的简图(如图),求其相应的 函数表达式,并说明它是 y = sinx 经过怎 y 样变换得到的.
2

π y = Asin( ω x + φ )(A > 0 , ω > 0 , φ < ) 2、已知函数 2

3? ? 8

? ? 8
O

?
8

3? 8

5? 8

x

-2

函数y ? 2 sin(2 x ?

?
4

)

练习: 已知函数 0 ?? ?? (A>0,ω>0,

y ? A cos(? x ? ? )
)的最小值是 -5 ,图象上相

? 邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ,且图象经 4
5 过点 (0, ? ) ,求这个函数的解析式。 2


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