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2016年专项练习题集-平面向量的正交分解及坐标表示


2016 年专项练习题集-平面向量的正交分解及坐标表示 选择题 1. 已知向量 a ? (?m , 2), b ? (?3, m ) , m ? R ,若 a ∥(a ? b ) 则 m ? ( A. 6 B. ? 6 C. ? 6 D.-1 或 4 【分值】5 【答案】C 【易错点】 (1)向量平行与向量垂直在坐标运算上容易弄混(2)容易把 m ? ? 6 这种情 况遗漏掉 【

考查方向】 本题主要考查向量的坐标运算以及向量共线得坐标表示, 向量得坐标运算特别 是平行与垂直的坐标表示常常是这几年高考的热点问题, 属于基础题, 考查学生对基本的结 论的掌握及运算求解能力. 【解题思路】 先求得 a ? b 的坐标, 进而再利用向量平行的坐标运算结论得到关于 m 的方程, 从而解得 m 的值. 【解析】
? ?

?

?

?

?

?



? ? ? ? ? ? ? 若 a∥ 则有 ?m(2 ? m) ? 2(?3 ? m) ? 0 , 解得 m ? ? 6 a ? b ? (?3 ? m , 2 ? m ) , (a ? b ) ,
2. 在 ? ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP = 2PC ,点 Q 是 AC 的中点,若 PA = 4,3 ,

??? ?

??? ?

??? ?

( )

??? ? ??? ? PQ = (1,5) ,则 BC =(
A. 5,8 B. 8, 6

)

( )

( )

C. - 6, 21 D. 18,39

(

)

(

)

【分值】 5 【答案】 C 【易错点】个别同学在表示向量 PC 时不能直接和 PA 与 PQ 建立联系. 【考查方向】 本题主要考查平面向量基本定理以及向量的几何运算法则及坐标运算, 是对用 基底表示完平面向量后又对其坐标运算的考查. 【解题思路】本题实质是以 PA 与 PQ 为基底表示向量 BC ,可以先将 BC 转化到离基底比 较近的向量 PC 上,然后再逐步逼近基向量,最后依据向量的加减法坐标运算法则得到 BC 的坐标. 【解析】

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BC = 3PC = 3 2PQ - PA = 6PQ - 3PA = ( 6,30) - (12,9) = ( - 6, 21) .

(

)

3.已知点 P 2,1 在直线 AB 上, 且 A(0, 则函数 y = sin ax 的周期为( 2) , B a,0 共线, A.

( )

( )

)

p 2

B. p C. 2p D. 3p 【分值】 5 【答案】 A 【易错点】(1)三点共线,有些同学不会利用向量这一工具来解决问题;(2)在用向量共线的坐 标表示时易与垂直的结论弄混. 【考查方向】 本题主要考查平面向量共线的坐标表示及三角函数的图像及性质。 平面向量共 线的坐标表示是高考的常考内容, 多以选择题或填空题的形式出现, 难度较小, 属容易题. 高

考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度: (1)利用两向量共线求参数; (2)利用两向量共线的条件求向量坐标;(3)三点共线问题.本题就属于第三种情形. 【解题思路】由已知三点共线可以得到任意两点所构成的向量共线,比如可以利用向量 AB 与 PA 共线,然后利用坐标运算得到 a 的值,进而求得三角函数的周期. 【解析】

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? PA = ( - 2,1) , AB = ( a, - 2)
依题意, PA / /AB 有 - 2? ( 2) - 1? a=0 , 所以 a = 4 ,则函数 y = sin ax 的周期为 T =

??? ?

??? ?

2p p = ,故选 A. 4 2

4. 已 知 四 边 形 ABCD 中 , BC?CD

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ACB=30 , 0 , | BC |= 3 , | CD |= 3 且 邪
)

??? ? ??? ? ??? ? CA = l CB + CD ,则实数 l 的值为(
A. -

3 3 3 3

B. C. 1 D.

3

【分值】 5 【答案】 C 【易错点】 (1)本题部分同学可能想不到通过建立坐标,利用坐标解决问题,实际上这是 运算量最小得方法(2)个别同学容易忽略 A 点的坐标横坐标为负值. 【考查方向】 本题主要考查向量坐标的定义以及运算, 是对基本概念基本运算掌握程度的考 查,与三角函数有一定结合. 【解题思路】 由 BC?CD

??? ? ??? ?

??? ? 0 得直线 BC 与 CD 垂直, 从而可以建立坐标系, 进而得向量 CB 、

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CD 的坐标,再由 CA = l CB + CD 得到向量 CA 的坐标,进而得到 A 点的坐标,再由三角

函数的定义得到 l 的值. 【解析】 由 BC?CD

0 得直线 BC 与 CD 垂直, 因此可以 C 点为坐标原点,CD 方向为 y 轴正方向 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 建立平面直角坐标系, 从而由题意得 CB = ( - 3, 0) , 且 CA = l CB + CD , CD = 0, 3 ,

??? ? ??? ?

(

)

则 CA = - 3l , 3 ,

??? ?

(

)

ACB=30 知以 x 轴的正半轴为始边, CA 为终边的一个角为150° , 由邪
\ tan 150? 3 3 3 ,即 ,\ l =1 . =- 3l 3 3l

5. 已知一凸四边形 OABC 中, O(0, 0) A(4, 0) , B(4, 4) , C(2, 6) ,则该四边形对角线的 交点 P 的坐标为( A. 2, - 2 B. 4,6 )

(

)

( ) ( )

C. 3,3

D. 10,4

(

)

【分值】 5 【答案】 C 【易错点】容易忽视 O , P , B 三点共线的条件. 【考查方向】本题主要考查向量共线与三点共线之间的关系,涉及到两个方面的知识点:判 断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以 列出方程(组),求出未知数的值. 【解题思路】设 P 点的坐标,利用由 O , P , B 三点共线,可得 P 点的横纵坐标得关系, 进而表示向量 OP , AP 的坐标,然后可利用 A , P , C 三点共线得所设坐标的值. 【解析】

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ???? AP = OP - OA = ( 4l - 4, 4l ) .

法 一 : 由 O , P , B 三 点 共 线 , 可 设 O P = l O B =

? ? ??

? ? ??

(

4 l ) ,, l4 则

又 AC = OC - OA = - 2,6 ,由 AP 与 AC 共线,得 (4l -4) 磍 6-4 ? (-2)=0 ,解

??? ? ??? ? ????

??? ? 3 ??? ? 3 得 l = ,所以 OP = OB = ( 3,3) ,所以 P 点的坐标为 ( 3,3) . 4 4

(

)

??? ?

??? ?

法二: 设点 P(x,y) , 则 OP = x, y , 因为 OB = 4,4 , 且 OP 与 OB 共线, 所以 即x = y.

??? ?

(

)

??? ?

( )

??? ?

??? ?

x y = , 4 4

又 AP = x - 4, y , AC = - 2,6 ,且 AP 与 AC 共线, 所以 (x-4) 创 6-y (-2)=0 ,解得 x=y=3 , 所以 P 点的坐标为 3,3 . 填空题 6. 已 知 直 角 坐 标 系 中 三 点 A 1, 2 , B 2,1 , C 4,2 , 若 向 量 A B / / C D ,且

??? ?

(

)

??? ?

(

)

??? ?

??? ?

( )

( )

( )

( )

????

????

???? ???? D 的坐标为________ ,则点 | CD |= 2 | AB |
【分值】 5 【答案】 2,4

( )

【易错点】没有利用向量解决平面几何的性质的意识,停留在直线方程的层面上解决问题. 【考查方向】本题主要考查向量坐标的定义,考查利用向量的关系判断直线的位置关系,意 在考查向量在平面几何中的应用,同时考查待定系数法的应用. 【解题思路】可设 D 点的坐标,已知中 AB / /CD ,且 DC = 2AB,由一个等式关系

??? ? ??? ? DC =2AB 即可反映,下面由点坐标可以得到对应向量的坐标,再利用此关系即可解出对应
的坐标值. 【解析】 设点 D 的坐标为 x, y ,且由向量 AB / /CD ,且 | CD|=2 | AB| 得 DC = 4, 2 - x, y = 4 - x, 2 - y ,

(

)

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

( ) (

) (

)

??? ? AB = ( 2,1) - (1, 2) = (1, - 1) ,
\ (4-x, 2-y)=2(1 ,- 1) ,即 (4-x, 2-y)=(2,-2) ,

ì ì ? 4- x =2 ? x =2 ,解得 í ,故点 D 的坐标为 ( 2,4) . \ í ? ? ? 2- y =-2 ? y=4

7.已知 a = sin a ,cos a , b = 2cos a ,sin a ,若 a / /b 则 tan a 的值为__________ 【分值】 5 【答案】 ± 2 【易错点】 (1)向量共线时得坐标运算容易和垂直弄混(2)求解 tan a 时忘记负值也有可 能. 【考查方向】本题主要考查向量共线的坐标运算的运算法则,属于基础题型. 【解题思路】由 a / /b ,得到 sin a 与 cos a 之间得等式关系,进而求出 tan a 的值. 【解析】

?

(

)

?

(

)

?

?

?

?

? ? ? a / /b ,
\ sin a 碼 sin - cos a 碼 2cos = 0 ,
\ sin 2 a = 2cos 2 a ,从而得\ tan2 a = 2, tan a =? 2
8.已知向量 OA = 3, - 4 , OB = 6, - 3 , OC = 5 - m, - 3 - m ,若点 A 、 B 、 C 能构 成三角形,则实数 m 满足的条件是________. 【分值】 5 【答案】 m ?

????

(

)

??? ?

(

)

??? ?

(

)

1 2

【易错点】部分沉浸在向量共线的运算中,最后忘记本题要求是不共线,而把答案写成

m=

1 . 2

【考查方向】 本题考查向量坐标法的应用及向量平行充要条件, 考查学生逆向思维问题的意 识. 【解题思路】要使点 A 、 B 、 C 能构成三角形,则应使三点不在一条直线上,可以先求共 线时参数的值,然后取其补集即可. 【解析】 因为 OA = 3 - 4 , OB = 6, - 3 , OC = 5 - m, - 3 - m ,

????

(

)

??? ?

(

)

??? ?

(

)

所以 AB = 3,1 , BC = - m - 1, - m . 由于点 A 、 B 、 C 能构成三角形,所以 AB 与 BC 不共线, 而当 AB 与 BC 共线时,有

??? ?

( )
??? ?

??? ?

(

)

??? ?

??? ?

??? ?

3 1 1 = ,解得 m = , -m- 1 -m 2
1 . 2

故当点 A 、 B 、 C 能构成三角形时实数 m 满足的条件是 m ?

综合题: 9. 已知 ? ABC 的顶点分别为 A(2, 求 AD 1) ,B(3, 2) ,C(-3,- 1) ,BC 边上的高为 AD , 及点 D 的坐标 【分值】 6

????

( ,) (【答案】 D 的坐标 , AD =

9 7 5 5

????

1 2 ,) 5 5

【易错点】本题容易忽视最明显的一个条件 C 、B 、D 三点共线. 【考查方向】 本题考查向量的垂直与共线及向量的坐标运算, 考查学生数形结合及运算求解 的意识,考查用待定系数法求解问题的思路. 【解题思路】 可先设 D 点的坐标, 这样如果解得它的坐标, 向量 AD 坐标自然也得到。D 点 的坐标有两个未知量,需要两个方程才能解出。观察得到 AD ^ BC , C 、 B 、 D 三点共 线即可得出. 【解析】 设点 D 的坐标为 x, y

????

????

??? ?

(

)
???? ??? ?

? AD 是边 BC 上的高,\ AD ^ BC ,\ AD ^ BC
又∵ C 、 B 、 D 三点共线,

??? ? ??? ? \ BC / /BD ???? ??? ? ??? ? 又 AD = ( x - 2, y - 1) , BC = ( - 6, - 3) BD = ( x - 3, y - 2)

ì ? - 6 ( x - 2) - 3( y - 1) = 0 \ í ? ? - 6 ( y - 2) + 3( x - 3) = 0 9 7 解方程组,得 x = , y = 5 5
∴点 D 的坐标为 琪 琪,

???? 骣 骣1 2 9 7 琪 , AD 的坐标为 琪 - , 5 5 桫 桫5 5

10. 平面内给定三个向量 a = 3,2 ,b = - 1,2 ,c = 4,1 ,回答下列问题: (1)求满足 a = mb + nc 的实数 m.n ;

( )

(

)

( )

? ??? ? ?? ?

?? ??

) ( ) ? ? ? ? ? ? ? (3)若 d 满足 ( d - c) / / ( a + b) ,且 d - c =
(2)若 a + kc / / 2b - a ,求实数 k ; 【分值】 6 【答案】(1) m =

(

? ?? ?

? ?

?

5 ,求 d

?

?? ?

? ? 5 ? 8 6 , n = (2) k = (3) d = ( 3, - 1) ( 5,3) 或 9 9 13

【易错点】 本题在涉及向量模的时候有一个容易弄错的地方, 那就是向量的模不是横纵坐标 的平方和,而是平方和还需要开根号才是模. 【考查方向】本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件 【解题思路】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式,建立 方程组求解 【解析】 (1)由题意得 3, 2 = m - 1, 2 + n 4,1

( )

?? ?

(

) ( )

?

? 5 ì ?? ?? ? ? ?m= ì ? - m + 4n = 3 ? 9 所以 í ?? ,得 í ? ? ? 8 ? ? ? 2m + n = 2 ?n= 9 ?
(2) a + kc = 3 + 4k, 2 + k , 2b - a = - 5, 2

? ?? ?

(

?

?

)

? ?

(

)
? ?

\ 2? ( 3 4k) - ( - 5) ( 2 + k) = 0,\ k = -

(3)设 d = x, y ,则 d - c = x - 4, y - 1 ,a + b = 2, 4

?

(

)

? ?

16 13

(

)

( )

由题意得 í

ì 4 ( x - 4) - 2 ( y - 1) = 0 ? 2 2 ? ? ( x - 4) +( y - 1) = 5

得í

ì ì ? x =3 ? x =5 ? 或í ∴ d = ( 3, - 1) ( 5,3) ? ? y =3 ? y =-1 ?


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