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“杨辉三角”与二项式系数的性质-教学设计-浠水实验高中-周少雄


“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学设计
——人教 A 版数学选修 2-3 第 1 章第 3 节第 2 课时
湖北省黄冈市浠水实验高级中学 周少雄

一、教材背景分析
1.教材的地位和作用 《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教 A 版选修 2-3 第 1 章第 3 节第 2 课时. 教科书将二项式系数性

质的讨论与“杨辉三角”结合起来, 是因为“杨辉 三角”蕴含了丰富的内容,由它可以直观看出二项式系数的性质,“杨辉三角”是我国古代数 学重要成就之一,显示了我国古代人民的卓越智慧和才能,应抓住这一题材,对学生进行爱 国主义教育,激励学生的民族自豪感. 本节内容以前面学习的二项式定理为基础, 由于二项式系数组成的数列就是一个离散函 数,引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质,便于建立知识的前后联系,使学生体会 用函数知识研究问题的方法,可以画出它的图象,利用几何直观、数形结合、特殊到一般的 数学思想方法进行思考,这对发现规律,形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培 养学生的思维能力、理性精神和实践能力,也有利于学生理解本节课的核心数学知识,发展 其数学应用意识. 研究二项式系数这组特定的组合数的性质, 对巩固二项式定理, 建立相关知识之间的联 系,进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用,对后续学习微分方程等 也具有重要地位. 2.学情分析 知识结构:学生已学习两个计数原理和二项式定理,再让学生课前探究“杨辉三角”包含 的规律,结合“杨辉三角”,并从函数的角度研究二项式系数的性质. 心理特征:高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力,恰时恰点的问题引导 就能建立知识之间的相互联系,解决相关问题. 3.教学重点与难点 重点:体会用函数知识研究问题的方法,理解二项式系数的性质.

1

难点:结合函数图象,理解增减性与最大值时,根据 n 的奇偶性确定相应的分界点;利 用赋值法证明二项式系数的性质. 关键:函数思想的渗透.

二、教学目标
1.通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活 动,让学生感受我国古代数学成就及其数学美,激发学生的民族自豪感. 2.通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质,建立知识的前后联系,体会用函数 知识研究问题的方法,培养学生的观察能力和归纳推理能力. 3.通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程,使学生掌握二 项式系数的一些性质,体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方 法解决问题的“再创造”过程. 4.通过恰时恰点的问题引入、引申,采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延 伸探究的学习方式,培养学生问题意识,提高学生思维能力,孕育学生创新精神,激发学生 探索、研究我国古代数学的热情.

三、教法选择和学法指导
教法:问题引导、合作探究. 学法:从课前探究和课上展示中感知规律,结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟性质, 在探究证明性质中理解知识,螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想.

四、教学基本流程设计
展示成果话杨辉

感知规律悟性质

联系旧知探新知

合作交流议方法

反馈升华拨思路

悬念小结再求索

2

五、教学过程
1. 展示成果话杨辉
课前开展学习活动:了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用,探究与发现“杨辉三角” 包含的规律. (1)学生从不同的角度畅谈“杨辉三角”,对它有何了解及认识. (2)各小组展示探究与发现的成果——“杨辉三角”包含的一些规律. 【设计意图】引导学生开展课外学习,了解“杨辉三角”,探究与发现“杨辉三角”包含的 规律,弘扬我国古代数学文化;展示探究与发现的杨辉三角的规律,为学习二项式系数的性 质埋下伏笔.

2. 感知规律悟性质
通过课外学习,同学们观察发现了杨辉三角的一些规律,并且知道杨辉三角的第 n 行就 是 (a ? b)n 展开式的二项式系数, (a ? b)n 展开式的二项式系数具有杨辉三角同行中的规律 ——对称性和增减性与最大值. 【设计意图】 寻找二项式系数与杨辉三角的关系, 从而让学生理解二项式系数具有杨辉 三角同行中的规律. 3. 联系旧知探新知 【问题提出】怎样证明 (a ? b)n 展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢?
1 2 n r 【问题探究】探究: (1) (a ? b)n 展开式的二项式系数 C0 n ,Cn , Cn ,?,Cn , C n 可以看成是

以 r 为自变量的函数 f (r ) ? Cr n 吗?它的定义域是什么? (2)画出 n ? 6 和 7 时函数 f (r ) ? Cr n 的图象,并观察分析他们是否具有对称性和增减 性与最大值.

(3)结合杨辉三角和所画函数图象说明或证明二项式系数的性质.

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n?m 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. Cm . n ? Cn

增减性与最大值: Ck n ? 的增减情况由

n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? k ? 1) k ?1 ?1 (n ? k ? 1) ,所以 C k ? Ck n 相对于 Cn n (k ? 1)!k k

(n ? k ? 1) (n ? k ? 1) n ?1 n ?1 决定.由 可知,当 k ? 时,二项式系 ?1? k ? k k 2 2
n ?1

数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是偶 数时,中间的一项取得最大值;当 n 是奇数时,中间的两项 C n 2 、 C n
n ?1 2

相等,且同时取

得最大值. 【设计意图】 教师引导学生用函数思想探究二项式系数的性质, 学生画图并观察分析图 象性质;运用特殊到一般、数形结合的数学思想归纳二项式系数的性质,升华认识;通过分 组讨论、自主探究、合作交流,说明或证明二项式系数的对称性和增减性与最大值,提高学 生合作意识.

4. 合作交流议方法
【继续探究】问题: (a ? b)n 展开式的各二项式系数的和是多少? 探究: (1)计算 (a ? b)n 展开式的二项式系数的和( n =1,2,3,4,5,6). (2)猜想 (a ? b)n 展开式的二项式系数的和. (3)怎样证明你猜想的结论成立?
1 2 2 r r n n 赋值法:已知 (1 ? x) n ? C.0 n ? C n x ? C n x ? ? ? C n x ? ?? C n x ,

1 2 n 令 x ? 1 ,则 2n ? C0 n ? Cn ? Cn ? ? ? C n .

这就是说, (a ? b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n .

n 元集合子集的个数(两个计数原理).
1 2 n 分类计数原理: C0 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn

分步计数原理: n 个 2 相乘,即 2n . 1 2 n n 所以 C0 n ? Cn ? Cn ? ? ? C n ? 2 .
1 2 3 4 5 【问题拓展】你能求 C0 n ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? 吗?

n 1 n ?1 n?2 2 n b ? C2 b ? ? ? Cn 在展开式 (a ? b)n ? C0 n a ? Cn a na n b 中,令 a ? 1, b ? ?1 ,

1 2 3 n n 则得 (1 ? 1)n ? C0 n ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) Cn ,

2 1 3 0 2 1 3 即 0 ? (C0 n ? Cn ? ?) ? (Cn ? Cn ? ?) ,所以 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ? ,

在 (a ? b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

4

【设计意图】通过学生归纳猜想各二项式系数的和,引导学生验证猜想结论是否正确; 同时为了突破利用赋值法证明二项式系数性质的难点, 引导学生从模型化的角度出发, 多角 度的分析问题、探究问题、解决问题,将学生思维推向高潮,既加深学生对前后知识的内在 联系的理解,又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应. 5. 反馈升华拨思路 练 1. (a ? b)n 的展开式中的第四项和第八项的二项式系数相等,则 n 等于 练 2. (2 x ? 3 y)11 的展开式中前 式系数取得最大值的是第 项. .

项的二项式系数逐渐增大,后半部分逐渐减小,二项

练 3.已知 (1 ? 2 x)7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x7 ,求: (1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ; (2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 . 【设计意图】促进学生进一步掌握二项式系数的性质,学会用赋值法解决问题,促进其 有意识的运用. 6. 悬念小结再求索 【课堂小结】 通过本节课的学习,你有什么收获和体会(从数学和生活的角度)?还 有什么疑问吗? 【课堂延伸】 今天同学们展示了一些杨辉三角的规律, 但是作为我国古代数学重要成就 之一的杨辉三角还有更多有趣的规律, 相信大家一定有极高的热情和严谨的态度去探究与发 现杨辉三角的奥妙之处. 【课外活动】 (研究性学习) 活动主题:杨辉三角中的奥妙. 活动目标:探究与发现杨辉三角中的更多奥妙. 活动方案步骤:查阅资料,收集信息;独立思考,发现规律,猜想证明;合作探究,小 组讨论,形成初步结论;与指导老师及其他小组成员交流展示;撰写研究性学习报告. 【设计意图】通过课堂的整理、总结与反思,使学生更好的掌握主干知识,体会探究过 程中渗透的数学思想方法,再次感受我国古代数学成就,激励自己努力学习 .“杨辉三角”还 有很多有趣的规律,让学生带着问题走进课堂,带着疑问离开教室,培养学生自主研修的习 惯,提高学生探究问题、解决问题的能力.设计研究性学习活动,诱发学生创造性的想象和 推理.同时教会学生如何开展研究性学习.

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