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欧拉费尔马定理证明


欧拉费尔马定理证明: 证明:

? ( f ) 简记作 N , Fp[ x ] 内次数 ? ? 0 f ( x) 且与 f ( x) 互素的
多项式。共有 N 个分别记作
(1) r1( x ) , r 2( x ) ,

??? , rN ( x)

这 N 个多项式 mod f ( x) 互不同余

,任何一个与 f ( x) 互素 的多项式必与(1)中之一同余,而且只与其中之一同余, 用 x 乘(1)中各项得: (2) xr1( x) , xr 2( x) ,

??? , xrN ( x)

(2)中每个多项式与 f ( x) 互素,因而(2)中每个 xri ( x) 必与而且只与(1)之一同余,设 xri ( x) 与 ?? i ( x) 同余。 (3) xri( x) ? ?? i ( x) mod f ( x) , i ? 1, 2, ???, N , 由于 x 与 f ( x) 互素 ,按 照 定 理【 1 】 ,当 i ? j 时 ?? i ( x) ? r? j ( x) mod f ( x)

? 因而 ?? i ( x) ? r? j ( x) mod f ( x) 可见 ?? 1( x) , ? 2( x) ,
不过是 r1( x) , r 2( x) , 个同余式相乘,得
x
N

??? , r

??? ,??

N

( x)

N

( x ) 的某一个排列。将(3)中 N

? r ( x) ? ??? ( x) mod f ( x)
i
i

N

N

i ?1

i ?1

但是 ? ri( x) ? ? ?? i ( x) 而且与 f ( x) 互素,按照定理【1】 ,
i ?1 i ?1

N

N

N 消去 ? ri ( x) 即得 x ? 1mod f ( x) 。
i ?1

N

定理证毕。

定 理 【 1 】: 如 果 ? ( x) f ( x) ? ? ( x) g ( x) mod k ( x) 但

(? ( x), k ( x)) ? 1 ,则 ? ( x) 可以消去。 f ( x) ? g ( x) mod k ( x) 。


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