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高二数学竞赛试卷及参考答案


高二数学竞赛试卷 题 得 号 分 一 二 (11) (12) 三 (13) (14) (15) 合 计 评卷员 考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分。 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内. (1) F1 , F2 是椭圆 C : (A) 1 个 x2 y 2 ? ? 1 的焦点,在 C 上满足 PF1 ? PF2 的点 P 的个数为( 8 4 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 ) (2)已知实数集合 A 满足条件:若 a ? A ,则 为( (A) 1 ) (B) ?1 (C) 2 1? a ? A ,则集合 A 中所有元素的乘积的值 1? a ?1 (D) 与 a 的取值有关 (3)若 ?ABC 的三边长 a 、 b 、 c 满足 a ? a ? 2b ? 2c ? 0 且 a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ,则它 的最大内角的度数是( (A) 150 ? ) ? (B) 135 (C) 12? 0 (D) 90? (4)已知定点 A ? 7,8? 和抛物线 y ? 4 x ,动点 B 和 P 分别在 y 轴上和抛物线上,若 2 O B? P B ? 0 (其中 O 为坐标原点) ,则 PB ? PA 的最小值为( (A) 9 (B) 10 (C) ) 113 (D) 115 1 、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上. (5)高二数学竞赛获一等奖的人数在 30 到 55 人之间,颁奖 典礼上给获一等奖的学生照 相.按 3 列排,多出 2 人;按 5 列排,多出 4 人;按 7 列排,多出 2 人,则获一等 奖的人数有 人. (6)若函数 f ? x ? 的图像经过点 ? ,1? , ?1,0 ? , ? 2, ?1? ,试写 出两个 满足上述条件的函数的解析式 .. (7)已知点 P?a,b ? 在直线 3x ? 4 y ? 14 ? 0 上,则 为 . 、 . ?1 ? ?2 ? ?a ? 1?2 ? ?b ? 1?2 的最小值 (8)正三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? ?BPC ? ?APC ? 30 , AP ? BP ? CP ? ? 2, . 过点 A 作平面分别交 PB 、 PC 于 E 、 F ,则 ?AEF 的周长的最小值为 (9)现代社会对破译密码的要求越来越高,有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分 解,其中英文的 a 、 b 、 c 、…、 z 的 26 个字母(不论大小写)依次对应 1、2、3、…、 26 这 26 个自然数,见表格: a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 f 6 g 7 h 8 i 9 j 10 k 11 l 12 m 13 n 14 o 15 p 16 q 17 r 18 s 19 t 20 u 21 v 22 w 23 x 24 y 25 z 26 ? x ?1    1 ? x ? 26,x不能被2整除 ? ? x ? N,  ? ? 2 给出如下一个变换公式: x? ? ? ?x   ? 13   1 ? x ? 26,x能被2整除 ? ? x ? N,  ? ?2 将明文转换成密文,如 6 ?

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